精品解析：河北省沧州市运河区沧州市第八中学2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025～2026学年九年级第一学期期中考试 数学（人教版） 本试卷共8页．总分120分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．如图为部分“卦”的符号，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键． 【详解】解：A.是中心对称图形； B.不是中心对称图形； C.不是中心对称图形； D.不是中心对称图形； 故选A． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数性质，熟练掌握抛物线顶点式的特征是关键．根据抛物线顶点式解答即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 故选：B． 3. 如图，在中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查同弧所对的圆周角相等．证明，根据同弧所对的圆周角相等即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 4. 若是关于x的一元二次方程，则（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程中未知数的最高次数为2，且二次项系数不能为零，据此即可求解； 【详解】解：由题意得： 且 ； 解 得 ，即 ； 当 时，，二次项系数为零，不符合要求； 当 时，，符合要求； 故选：B 5. 下列图形中的线段是圆的直径的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理推论：度的圆周角所对的弦是直径，据此逐项分析即可得出答案 【详解】解：A．图中直角不是圆周角，所以线段不是圆的直径，故选项不符合题意； B．图中直角不是圆周角，所以线段不是圆的直径，故选项不符合题意； C．图中直角是圆周角，所以线段是圆的直径，故选项符合题意； D．图中直角是圆周角，但是点A不在圆上，所以线段不是圆的直径，故选项不符合题意； 故选：C． 6. 若是关于的一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是（ ） A. 5 B. 3 C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查由一元二次方程根的定义求参数，涉及解一元一次方程、解一元二次方程，熟记一元二次方程根的定义是解决问题的关键． 将已知根代入一元二次方程，得到关于参数的一元一次方程，求解即可得到参数，再将值代入一元二次方程求解即可得到另一个根． 【详解】解：是关于的一元二次方程的一个根， ， 解得， ∴关于的一元二次方程为， 则， 解得或， 则方程的另一个根是， 故选：C． 7. 如图，与关于点O成中心对称．下列不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查中心对称，解题的关键是掌握中心对称的性质，根据中心对称的性质解决问题即可． 【详解】解：∵与关于点O成中心对称， ∴，，， ∴， 但不一定正确， 故选：D． 8. 如图是函数的图象，对称轴为直线，则方程的负数解的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，抛物线的对称性，抛物线与x轴交点坐标，二次函数与一元二次方程的关系，理解抛物线的轴对称性质是解题的关键． 令方程的正数解为，根据在x轴的位置确定的位置即可． 【详解】解：令方程的正数解为， 如图可知，， 点关于直线的对称点坐标为， 抛物线关于直线对称， ． 故选：B． 9. 如图，，与相切于点与交于点．若，则的长为（ ） A. 0.5 B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】解题方法是利用切线长定理得，结合角度证为等边三角形，再通过切线垂直半径、勾股定理求线段长度；解题思路：由切线长定理得，证为等边三角形，结合求，再通过等腰三角形三线合一求，进而得． 【详解】解：∵是的切线， ∴，平分（切线长定理）， 又∵， ∴是等边三角形，， 如图，连接，则， ∵，， ∴垂直平分， ∴，． 在中，． 在中，， 设，则， 由勾股定理： 解得 ∴， ∴的长为． 故选：． 【点睛】本题考查圆的切线性质、等边三角形与直角三角形的应用，涉及知识点：切线长定理、切线与半径垂直、等腰三角形三线合一、勾股定理，解题关键是构造直角三角形并利用特殊角的性质，易错点是忽略切线与半径的垂直关系． 10. 如图，为正方形内一点，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到．延长交于点，则的长为（ ） A. 7 B. 7.5 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质是解答本题的关键．由旋转得，，可得出四边形为正方形，可得．在中，由勾股定理得，，则． 【详解】解：由旋转得， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ， 在中，由勾股定理得，， ， ， 故选：A． 11. 《九章算术》中有题为：如图，在中，，步，步，是的内切圆，则的直径为（ ） A. 4步 B. 5步 C. 6步 D. 7步 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、三角形的内切圆、等面积法等知识点，灵活运用等面积法求线段的长是解题的关键． 先根据勾股定理求得步，如图：过O作，则半径为，再运用等面积法求得，进而求得的直径． 【详解】解：∵在中，，步，步， ∴步， 如图：过O作，则半径为，连接， ∵， ∴， 解得：， ∴的直径为步． 故选：A． 12. 如图，已知抛物线过点，对称轴为直线．关于嘉嘉、淇淇的说法，下列判断正确的是（ ） 嘉嘉：关于的一元二次方程的解为，； 淇淇：若与轴围成封闭区域（边界除外）内整点（横、纵坐标都是整数）的个数为7，则符合条件的整数的值为 A. 嘉嘉对，淇淇错 B. 嘉嘉错，淇淇对 C. 两人均对 D. 两人均错 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，利用对称轴和与x轴的交点，解一元二次方程，判断嘉嘉的说法；结合图像及条件，判断x、y的取值范围，判断淇淇的说法． 【详解】解：已知抛物线的对称轴为，已知过点， 根据抛物线的对称性，与x轴的另一个交点为， 所以一元二次方程的解为∶ ，， 嘉嘉的说法正确． 一元二次方程的解为∶ ，， ． 顶点坐标为． 由图可知为负数． 与轴围成封闭区域（边界除外）x的范围是， 可取的整数为0、1、2． 当时，． 的范围是； 当时， 的范围是； 当时， 的范围是． 要使整点个数为7，结合顶点纵坐标，当时，顶点纵坐标为4，此时∶ 时，y可取1、2； 时，y可取1、2、3； 时，y可取1、2； 共7个数． 淇淇的说法正确． 故选：C． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 已知的半径为3，点在外，写出一个长度的整数值：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，熟记点与圆的位置关系的判断方法是解决问题的关键． 点在外，则大于的半径3，因此的长度的整数值只需取大于3的整数即可． 【详解】解：点在外， ， 的长度要求取整数值， ∴可取， 故答案为：（答案不唯一）． 14. 下图中的图案是由基本图形（阴影部分）绕点旋转3次得到的，则每次的最小旋转角为______． 【答案】##90度 【解析】 【分析】本题考查旋转构造图形，涉及旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度，熟记旋转性质是解决问题的关键． 由旋转图形及题中要求，图案是由基本图形（阴影部分）绕点旋转3次得到的，而旋转一周是，从而得到答案． 【详解】解：如图所示： 根据题意，相当于将线段绕点旋转3次得到图形， 旋转一周是， 每次的最小旋转角为， 故答案为：． 15. 已知二次函数，若时，函数的最大值与最小值的差不大于，则满足条件的整数共有______个． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与性质，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键． 先由二次函数图象与性质求出二次函数的最大值与最小值，再由函数的最大值与最小值的差不大于，列不等式求解，最后由取整数即可得到答案． 【详解】解：， 二次函数的图象开口向上， 二次函数图象的对称轴， 当时，二次函数有最小值为； 当时，；当时，； ， ，即， 则二次函数有最大值为； 函数的最大值与最小值的差不大于， ， 解得， ， 则满足条件的整数有，共有个， 故答案为：． 16. 如图，在中，，，，以为直径作．若与有两个交点，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了直线与圆的综合题、解直角三角形、平行四边形的性质等知识点，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 如图：分别过A，O两点作、垂足分别为点E，点F，则，再列方程求解即可解答． 【详解】解：如图：分别过A，O两点作、，垂足分别为点E，点F， ∴，就是圆心O到的距离， ∵四边形是平行四边形， ∴， ， ∵在中，，， ∴，解得：， ∴， ∵为的直径，且， ∴当时，与相切于F点， ∴，解得：， ∴当时，与相切； 当点C在时，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴若与有两个交点，则的取值范围为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 下图是嘉嘉解方程的过程． 解方程： 解：① ② ③ ④ （1）嘉嘉的解答过程是从第______（填序号）步开始出错的； （2）请你用因式分解法解该方程． 【答案】（1）③ （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，灵活运用配方法解一元二次方程是解题的关键． （1）根据配方法解一元二次方程的步骤，逐步检查即可； （2）先移项，再运用提取公因式法因式分解求解即可． 【小问1详解】 解： 去括号可得：，即①正确； 移项得：，即②正确； 配方得：，，即③错误． 所以嘉嘉的解答过程是从第③步开始出错的． 故答案为：③． 【小问2详解】 解：， ， ， ， 所以，． 18. 如图，的各顶点坐标分别为． （1）下面是嘉嘉设计图案的步骤，请你按步骤完成画图； 步骤一：以点为对称中心，画出与成中心对称的； 步骤二：以点为旋转中心，画出将按顺时针方向旋转后的； （2）在嘉嘉设计的图案中，点的坐标为______． 【答案】（1） 如图：，即为所求． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了作旋转图形、作中心对称图形、平面直角坐标系等知识点，掌握基本的作图方法是解题的关键． （1）分别作出点A、B关于点O的对称点，再与点O首尾顺次连接即可得；再将点分别绕点O顺时针旋转得到其对应点，再与点O首尾顺次连接即可得； （2）结合（1）的作图写出点的坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）作图可得：点的坐标为． 19. 抛物线经过点，． （1）求a，c的值； （2）点，均在上． ①若，求m的值； ②若，直接写出与的大小关系． 【答案】（1）， （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等定系数法求二次函数解析式，解一元二次方程等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）用等定系数法求解即可； （2）①分别求出和，根据列出方程，解方程即可,②利用函数的增减性即可判断． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点，， ∴， 解得：， 【小问2详解】 ①解：由（1）可得：抛物线的解析式为：， ∵点，均在上，且 ∴ 解得： ②由（1）得对称轴为直线 ∵， ∴ ∵ ∴当时 ∴y随增大而减小 ∴. 20. 如图，是的直径，点在上，为的中点，延长到点，使，连接． （1）求的度数； （2）求证：直线是的切线． 【答案】（1） （2） 证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 又∵为直径， ∴直线是的切线． 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理、切线的判定定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆周角定理和切线的判定定理是解题的关键． （1）圆周角定理得到．进一步得到，即可得到答案； （2）证明，得到，则．根据切线的判定定理即可证明结论成立． 【小问1详解】 解：∵为直径， ∴． ∵C为弧的中点， ∴弧＝弧， ∴． ∵， ∴； 【小问2详解】 略 21. 如图，已知抛物线经过点，与轴交于点，直线与该抛物线交于点，点在点的左侧． （1）求的值及的长； （2）分别求点的坐标； （3）请直接写出关于的不等式的解集． 【答案】（1）， （2）， （3）或 【解析】 【分析】（1）代入点坐标求，再求抛物线与轴交点得； （2）联立抛物线与直线方程，解方程组得交点坐标； （3）根据函数图象位置（抛物线在直线上方）确定不等式解集． 【小问1详解】 解：将点代入抛物线，得： 抛物线解析式为． 当时，，故， ； 【小问2详解】 解：联立抛物线与直线方程： 消去得： 得， 解得或 当时，，故； 当时，，故． 【小问3详解】 解：不等式表示抛物线在直线上方的部分，结合，解集为或． 【点睛】本题考查抛物线的解析式求解、抛物线与直线的交点及不等式解集，涉及知识点：抛物线过点求参数、抛物线与坐标轴交点、联立方程求交点、函数图象与不等式的关系．解题关键是联立方程求解交点，易错点是解方程组时符号错误或不等式解集与图象位置对应错误． 22. 赵州雪花梨膏是河北传统名产，某特产店在旺季进购一批礼盒装雪花梨膏进行售卖，已知雪花梨膏每盒的进价为30元，售价为50元，每星期可卖出100盒，经市场调研发现，每盒售价每下降2元，每星期可多卖20盒．现特产店进行降价销售，每盒售价下降x元． （1）降价后该特产店每星期卖出雪花梨膏______盒（用含x的代数式表示）； （2）若该特产店想要实现每星期卖出雪花梨膏的利润为2240元的目标，同时尽可能的让利与顾客，求每盒雪花梨膏的售价； （3）求每盒售价下降多少元时，每星期卖出礼盒装雪花梨膏的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）44元 （3）每盒售价下降5元时，每星期卖出礼盒装雪花梨膏的利润最大，最大利润是2250元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是找出等量关系和掌握二次函数的性质． （）根据题意列出代数式即可； （）根据题意找出等量关系列式计算即可得； （）根据二次函数的性质进行解答即可得； 【小问1详解】 解：由题意得； 【小问2详解】 由题意可得 解得，. ∵要尽可能的让利与顾客， ∴x的值为6， ∴（元）. 答：每盒雪花梨膏的售价为44元； 【小问3详解】 设每星期卖出礼盒装雪花梨膏的利润为w元. 由题意得. 其中； ∵， ∴当时，w有最大值为2250. 答：当每盒售价下降5元时，每星期卖出礼盒装雪花梨膏的利润最大，最大利润是2250元. 23. 如图1，图2，在中，为直径，为圆上的两个动点，连接． （1）如图1，当点与点位于同侧时，连接，若于点． ①若，求的度数； ②若，求的半径； （2）如图2，当点与点位于异侧（点不与点重合）时，连接．若，直接写出的值． 【答案】（1）①，② （2） 【解析】 【分析】（1）①连接，如图所示，先由垂径定理得到，再由题中已知条件，有，从而有，最后根据圆周角定理求角度即可得到答案；②由垂径定理可知，设的半径为，则，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案； （2）延长至点，使，连接，如图所示，先由圆内接四边形性质得到，进而证得，再由全等三角形的性质得到，最后由等腰直角三角形的判定与性质求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：①连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， 是的直径， ∴， ， ； ②∵， ， 设的半径为， ， ， 在中，由勾股定理可知，即 ， 解得， 的半径为； 【小问2详解】 解：的值为． 延长至点，使，连接，如图所示： 四边形为的内接四边形， ， ， ， 在和中， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ． 【点睛】本题考查圆综合，涉及垂径定理、圆中弦与弧的关系、圆周角定理、勾股定理、圆内接四边形性质、三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟记圆的相关性质及几何性质，并灵活运用是解决问题的关键． 24. 下图是嘉淇正在设计的一动画示意图，在轴上依次有三个点，在的上方有一个矩形．从点处向右上方沿抛物线发出一个光点，光点落在的中点处后立即弹起，其运动轨迹为抛物线，且与的最大高度相同． （1）求点的横坐标； （2）求点的坐标及的解析式； （3）在轴上设置一个正方形，点从左往右依次在轴上，，点的坐标为，使光点落在边（不含边界）上，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】本题考查抛物线的点坐标求解、解析式确定及函数与几何图形的结合，涉及知识点：抛物线的函数值计算、顶点式解析式、正方形的坐标范围．解题关键是准确利用函数与坐标的对应关系，易错点是坐标计算或范围边界的处理．解题思路：（1）令中求H；（2）由矩形得的坐标，结合顶点式求；（3）根据正方形边长确定、的坐标，代入求的范围． （1）通过抛物线的函数值求点； （2）结合矩形性质得点坐标，利用顶点式和最高点相同求解析式； （3）根据正方形边长确定、的坐标范围，代入抛物线求的取值． 【小问1详解】 令，解得，， 由图象分析可知，点的横坐标为； 【小问2详解】 ∵，点为中点， ∴点横坐标为， 将代入中，得， 点的坐标为； 的最大高度为2， 与的最大高度相同， ，将代入的解析式， 解得（舍），， 的解析式为； 【小问3详解】 点的坐标为，点N的坐标为()， 令， 解得（舍）． 光点落在边（不含边界）上， ，， m的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年九年级第一学期期中考试 数学（人教版） 本试卷共8页．总分120分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．如图为部分“卦”的符号，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 若是关于x的一元二次方程，则（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 2 5. 下列图形中的线段是圆的直径的是（ ） A. B. C. D. 6. 若是关于的一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是（ ） A. 5 B. 3 C. 1 D. 7. 如图，与关于点O成中心对称．下列不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图是函数的图象，对称轴为直线，则方程的负数解的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，，与相切于点与交于点．若，则的长为（ ） A. 0.5 B. 1 C. D. 2 10. 如图，为正方形内一点，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到．延长交于点，则的长为（ ） A. 7 B. 7.5 C. 8 D. 9 11. 《九章算术》中有题为：如图，在中，，步，步，是的内切圆，则的直径为（ ） A. 4步 B. 5步 C. 6步 D. 7步 12. 如图，已知抛物线过点，对称轴为直线．关于嘉嘉、淇淇的说法，下列判断正确的是（ ） 嘉嘉：关于的一元二次方程的解为，； 淇淇：若与轴围成封闭区域（边界除外）内整点（横、纵坐标都是整数）的个数为7，则符合条件的整数的值为 A. 嘉嘉对，淇淇错 B. 嘉嘉错，淇淇对 C. 两人均对 D. 两人均错 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 已知的半径为3，点在外，写出一个长度的整数值：______． 14. 下图中的图案是由基本图形（阴影部分）绕点旋转3次得到的，则每次的最小旋转角为______． 15. 已知二次函数，若时，函数的最大值与最小值的差不大于，则满足条件的整数共有______个． 16. 如图，在中，，，，以为直径作．若与有两个交点，则的取值范围为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 下图是嘉嘉解方程的过程． 解方程： 解：① ② ③ ④ （1）嘉嘉的解答过程是从第______（填序号）步开始出错的； （2）请你用因式分解法解该方程． 18. 如图，的各顶点坐标分别为． （1）下面是嘉嘉设计图案的步骤，请你按步骤完成画图； 步骤一：以点为对称中心，画出与成中心对称的； 步骤二：以点为旋转中心，画出将按顺时针方向旋转后的； （2）在嘉嘉设计的图案中，点的坐标为______． 19. 抛物线经过点，． （1）求a，c的值； （2）点，均在上． ①若，求m的值； ②若，直接写出与的大小关系． 20. 如图，是的直径，点在上，为的中点，延长到点，使，连接． （1）求的度数； （2）求证：直线是的切线． 21. 如图，已知抛物线经过点，与轴交于点，直线与该抛物线交于点，点在点的左侧． （1）求的值及的长； （2）分别求点的坐标； （3）请直接写出关于的不等式的解集． 22. 赵州雪花梨膏是河北传统名产，某特产店在旺季进购一批礼盒装雪花梨膏进行售卖，已知雪花梨膏每盒的进价为30元，售价为50元，每星期可卖出100盒，经市场调研发现，每盒售价每下降2元，每星期可多卖20盒．现特产店进行降价销售，每盒售价下降x元． （1）降价后该特产店每星期卖出雪花梨膏______盒（用含x的代数式表示）； （2）若该特产店想要实现每星期卖出雪花梨膏的利润为2240元的目标，同时尽可能的让利与顾客，求每盒雪花梨膏的售价； （3）求每盒售价下降多少元时，每星期卖出礼盒装雪花梨膏的利润最大？最大利润是多少？ 23. 如图1，图2，在中，为直径，为圆上的两个动点，连接． （1）如图1，当点与点位于同侧时，连接，若于点． ①若，求的度数； ②若，求的半径； （2）如图2，当点与点位于异侧（点不与点重合）时，连接．若，直接写出的值． 24. 下图是嘉淇正在设计的一动画示意图，在轴上依次有三个点，在的上方有一个矩形．从点处向右上方沿抛物线发出一个光点，光点落在的中点处后立即弹起，其运动轨迹为抛物线，且与的最大高度相同． （1）求点的横坐标； （2）求点的坐标及的解析式； （3）在轴上设置一个正方形，点从左往右依次在轴上，，点的坐标为，使光点落在边（不含边界）上，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $