精品解析：广东省深圳市福田区福田中学2025-2026学年高二上学期数学第13周周测试题

深圳市福田中学2025-2026学年高二数学周测试题 一､单选题 1. 两条平行直线与之间的距离为（ ） A. B. C. 7 D. 2. 直线，圆，则与在同一坐标系中的图形可能是（ ） A. B. C. D. 3. 设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为 A. B. C. D. 5. 设正四面体的棱长为，，分别是，的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆在平面直角坐标系中，，，点满足．则点的轨迹所包围的图形的面积等于（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题 9. 已知椭圆：的焦点分别为，，P为上一点，则（ ） A. 的焦距为 B. 的离心率为 C. 的周长为 D. 面积的最大值为 10. 已知实数，满足，则下列选项成立的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 11. 如图，在长方体中，，，若为的中点，则以下说法中正确的是（ ） A. 线段的长度为 B. 异面直线 和夹角的余弦值为 C. 点到直线的距离为 D. 三棱锥的体积为 三､填空题 12. 若直线与直线平行，则______． 13. 点是圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则切点弦所在直线方程为_________. 14. 若⊙C：，⊙D：，M，N分别为⊙C，⊙D上一动点，最小值为4，则取值范围为_________． 四､解答题 15. 已知直线. （1）求过点且与直线l垂直的直线的方程； （2）若直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积等于4，求实数m的值. 16. 已知圆 （1）若直线过定点，且与圆C相切，求直线的方程； （2）若圆D的半径为3，圆心在直线上，且与圆C外切，求圆D的方程． 17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面为棱上的动点. （1）当为棱的中点时，证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知圆，直线． （1）求证：直线与圆恒有两个交点； （2）求出直线被圆截得的最短弦长，并求出截得最短弦长时的的值； （3）设直线与圆的两个交点为，且（点为圆的圆心），求直线的方程． 19. 已知椭圆：的离心率为，长轴为4． （1）求椭圆的标准方程； （2）直线：与椭圆交于，两点，求弦长； （3）点在上，过点的直线交椭圆于，两点（异于点），设直线，的斜率分别为，，证明：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳市福田中学2025-2026学年高二数学周测试题 一､单选题 1. 两条平行直线与之间的距离为（ ） A. B. C. 7 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平行线之间的距离公式求解即可. 【详解】因为直线与平行， 整理：，代入平行直线距离公式， 则. 故选：D 2. 直线，圆，则与在同一坐标系中的图形可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出圆M的圆心和半径，可排除B，C选项，再由圆心的位置可得其横纵坐标的正负，从而可判断直线的位置． 【详解】解：由x2＋y2－2ax＋2by＝0，得， 所以圆心，半径为， 由此可知圆过坐标原点，所以排除B，C， 由选项A，D可知， 所以直线l：ax－y＋b＝0过一、三、四象限， 故选：A． 3. 设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得到，根据三点共线得到，再利用向量相等的条件求解参数即可. 【详解】因为，，， 所以， 因为三点共线，所以存在唯一的实数使得， 所以，解得， 所以. 故选：C. 4. 已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】分析：首先根据题中所给的条件椭圆的一个焦点为，从而求得，再根据题中所给的方程中系数，可以得到，利用椭圆中对应的关系，求得，最后利用椭圆离心率的公式求得结果. 详解：根据题意，可知，因为， 所以，即， 所以椭圆的离心率为，故选C. 点睛：该题考查的是有关椭圆的离心率的问题，在求解的过程中，一定要注意离心率的公式，再者就是要学会从题的条件中判断与之相关的量，结合椭圆中的关系求得结果. 5. 设正四面体的棱长为，，分别是，的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算以及数量积的定义即可求解. 【详解】依题意，由 ，， 故, 所以 ． 故选:A． 6. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆在平面直角坐标系中，，，点满足．则点的轨迹所包围的图形的面积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，则由结合距离公式化简可得，从而可知点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆，进而可求出面积 【详解】设点，则， 化简整理得，即， 所以点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆， 所以所求图形的面积为， 故选：D 7. 已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出圆心到直线的距离，然后结合图象，即可得出结论. 【详解】由题意， 在圆中，圆心，半径为， 到直线的距离为的点有且仅有 个， ∵圆心到直线的距离为：， 故由图可知， 当时， 圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于； 当时， 圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于； 当则的取值范围为时， 圆上有且仅有两个点到直线的距离等于. 故选：B. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意作图，利用椭圆的定义结合三角形的三边关系得出，再根据两点间距离公式计算即可. 【详解】 如图，为椭圆上任意一点，则， 所以， 因为为圆上任意一点，则， 所以， 当且仅当共线且在和之间时，等号成立． 由题意知，，则， 所以的最小值为． 故选：B． 二､多选题 9. 已知椭圆：的焦点分别为，，P为上一点，则（ ） A. 的焦距为 B. 的离心率为 C. 的周长为 D. 面积的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据椭圆方程求出，再结合椭圆的性质逐一判断即可. 【详解】设椭圆：的长轴长为，短轴长为，焦距为， 则，故， 所以的焦距为，故A正确； 的离心率为，故B正确； 的周长为，故C错误； 对于D，当点位于椭圆的上下顶点时，的面积最大， 最大值为，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知实数，满足，则下列选项成立的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，根据不等式，可通过证明进行求解判断； 对于B，设，化为直线，再通过直线与圆的位置关系进行求解判断； 对于C，转化为点到直线距离问题解决； 对于D，转化为两点间距离问题解决. 【详解】对于A，∵ ， ∴，∴，∴， ∴当且仅当时，的最大值为，故A正确； 对于B，设，则，（）， 设，则为直线（除点外）与圆的公共点， ∴直线（除点外）与圆相切或相交， ∴设圆心到直线即的距离为， 则，解得，∴的最小值为，故B正确； 对于C，设圆上一点， 则到直线的距离的最大值为圆心到直线的距离与半径之和， ∴， ∴，∴， ∴的最大值为，故C错误； 对于D，设圆上一点， 则到圆外一点距离的最小值为圆心到点的距离与半径之差， ∴， ∴，∴的最小值为，故D错误. 故选：AB. 11. 如图，在长方体中，，，若为的中点，则以下说法中正确的是（ ） A. 线段的长度为 B. 异面直线 和夹角的余弦值为 C. 点到直线的距离为 D. 三棱锥的体积为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算即可判断ABC，结合等体积法即可判断D. 【详解】 根据题意，以为坐标原点，分别为轴正半轴，建立如图所示空间直角坐标系，则， 则，所以线段的长度为，故A错误； 又，设异面直线 和夹角为， 则，故B正确； 设直线上存在点满足，且， 则，所以， 则，又，可得， 解得，则，所以点到直线的距离为 ，故C正确； 因为，故D错误； 故选：BC 三､填空题 12. 若直线与直线平行，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据两直线平行可得，求出再验证即可. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，即，解得或. 当时，直线即为， 直线即为，两直线平行. 当时，直线即为，即， 直线即为，两直线重合，不符合题意. 故. 故答案为：1. 13. 点是圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则切点弦所在直线方程为_________. 【答案】 【解析】 【分析】计算，设直线方程为，计算，利用点到直线的距离公式得到答案. 【详解】如图所示：，故，设直线方程为. ，，故，根据相似计算得到， 利用点到直线的距离公式得到：，解得或 当时，直线和圆不相交，舍去，故. 故答案为：. 【点睛】本题考查了圆的切线问题，意在考查学生的计算能力和转化能力. 14. 若⊙C：，⊙D：，M，N分别为⊙C，⊙D上一动点，最小值为4，则取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据的最小值求出，即，再使用柯西不等式求出取值范围. 【详解】由于最小值为4，圆C的半径为1，圆D的半径为2，故两圆圆心距离， 即， 由柯西不等式得：， 当且仅当，即时，等号成立， 即，解得：. 故答案为： 四､解答题 15. 已知直线. （1）求过点且与直线l垂直的直线的方程； （2）若直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积等于4，求实数m的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据点斜式求得所求直线的方程. （2）先求得直线的横截距和纵截距，再根据面积列方程，由此求得的值. 【小问1详解】 直线的斜率为. 与直线垂直的直线斜率为， 所以所求直线方程为， 故所求的直线方程为； 【小问2详解】 直线l与两坐标轴的交点分别为， 则所围成的三角形面积为， 由题意可知， 化简得， 解得或. 16. 已知圆 （1）若直线过定点，且与圆C相切，求直线的方程； （2）若圆D的半径为3，圆心在直线上，且与圆C外切，求圆D的方程． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）由点到直线的距离等于半径，即可分情况求解， （2）由两圆外切圆心距与半径之和的关系，即可列方程求解. 【小问1详解】 圆 化为标准方程为， 所以圆C的圆心为，半径为 ①若直线的斜率不存在，即直线为，符合题意． ②若直线的斜率存在，设直线的方程为即 由题意知，圆心到已知直线的距离等于半径2， 所以，即， 解得，所以直线方程为 综上，所求直线的方程为或 【小问2详解】 依题意，设 又已知圆C的圆心为，半径为2， 由两圆外切，可知， 所以， 解得或所以或， 所以所求圆D的方程为或 【点睛】本题考查圆的方程，直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系，属于中档题． 先求出圆心和半径，然后分成直线斜率存在或不存在两种情况，利用圆心到直线的距离等于半径列方程可求得直线的方程． 设出圆D圆心坐标，利用两圆外切，连心线等于两圆半径的和列方程，可求得a的值，从而求得圆D的方程． 17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面为棱上的动点. （1）当为棱的中点时，证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 取的中点，连接，， 因为为的中点，所以， 因为，所以， 所以四边形为平行四边形，所以 又平面平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，求证，即可求解； （2）建立空间直角坐标系，求得平面法向量，代入夹角公式即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面， 在平面内，所以， 即两两垂直， 故可以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则 因为，所以， 所以. 设平面的法向量为， 则，取，得，所以 因为平面，所以平面. 所以为平面的一个法向量. 设平面与平面的夹角为， 则. 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知圆，直线． （1）求证：直线与圆恒有两个交点； （2）求出直线被圆截得的最短弦长，并求出截得最短弦长时的的值； （3）设直线与圆的两个交点为，且（点为圆的圆心），求直线的方程． 【答案】（1）证明： 由圆可得圆心，半径， 由于直线，即， 令，解得， 所以恒过点，所以， 所以点在圆内，所以直线与圆恒有两个交点； （2），； （3） 【解析】 【分析】（1）根据直线的方程可得直线经过定点，而点到圆心的距离小于半径，故点在圆的内部，由此即可证明结果； （2）弦的中点与圆心连线与弦垂直时弦长最小，利用勾股定理可得结果； （3）设与的夹角为，由，可得，从而，可得点到直线的距离为，利用点到直线距离公式求出列方程求得，从而可得直线的方程 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 设直线与圆的两个交点为 当和过的直径垂直时，取最小值， 此时圆心到的距离， 所以，故的最小值为， 此时，和过的直径垂直时，所以的斜率 【小问3详解】 设与的夹角为， 因为， 所以，因为，所以， 所以点到直线的距离为， 即，解得， 所以直线的方程是 19. 已知椭圆：的离心率为，长轴为4． （1）求椭圆的标准方程； （2）直线：与椭圆交于，两点，求弦长； （3）点在上，过点的直线交椭圆于，两点（异于点），设直线，的斜率分别为，，证明：为定值． 【答案】（1）； （2）； （3）证明如下： 由已知直线过点，且交椭圆于两点，所以直线的斜率存在． 当直线l2的斜率为0时，方程为y=0，此时两点坐标为，又， 则. 当直线的斜率不为0时，由已知设直线， 设点且与点不重合， 联立直线与椭圆的方程，消去，得， 整理得，则，即， 解得或，且，则 ， 代入， 得. 综上，为定值，且． 【解析】 【分析】（1）根据离心率、长轴的长度和，求出的值，从而得到椭圆的标准方程； （2）通过直线和椭圆联立方程组，消元后得到一元二次方程，利用根与系数的关系和弦长公式求解； （3）先根据题意判断出直线存在斜率，再按照斜率是否为0进行分类讨论，在斜率为0时，利用斜率公式求出，，计算的值；在斜率不为0时，先设直线，再将直线和椭圆联立方程组，消去，得，整理得到的一元二次方程，设，利用根与系数的关系和斜率公式计算得解. 【小问1详解】 由题知，，又有，解得，，， 所以椭圆C的标准方程为． 【小问2详解】 联立与椭圆可得， 设，，则，， 所以弦长. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $