精品解析：重庆市西南大学附属中学校2025--2026学年上学期九年级数学定时检测题

数学定时8 一、单选题 1. 5的相反数是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相反数的定义解答． 【详解】解：只有符号不同的两个数称为互为相反数， 则5的相反数为-5， 故选D. 【点睛】本题主要考查了相反数的性质，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0． 2. 如图，该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，从前面看到的图形是主视图，从上面看到的图形是俯视图，从左边看到的图形是左视图．能看到的线画实线，看不到的线画虚线．画物体的三视图的口诀为：主、俯长对正；主、左高平齐；俯、左宽相等． 根据俯视图的定义作答即可. 【详解】该几何体的俯视图是， 故选C． 3. 估计的值介于（ ） A. 4与5之间 B. 5与6之间 C. 6与7之间 D. 7与8之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，无理数的估算，掌握二次根式的混合运算法则是关键． 通过简化表达式，将原式转化为 ，然后利用 的近似值估计其数值范围． 【详解】解：∵ 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 该值介于与之间， 故选：C． 4. 有机化学中的稠环芳香烃是由若干个苯环组合而成，如图是一组稠环芳香烃的结构简式，其中图①是由3个苯环组成，图②是由6个苯环组成，．．．，依此规律，图⑦中苯环的个数为（　　） A. 34个 B. 35个 C. 36个 D. 37个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查找规律，根据图形找出图中苯环的个数为，据此规律求解，即可解题． 【详解】解：由图知， 图①是由个苯环组成， 图②是由个苯环组成， 图③是由个苯环组成， 图④是由个苯环组成， ，依此规律， 图中苯环的个数为， 图⑦中苯环的个数为个苯环组成， 故选：C． 5. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为3，∠C＝140°，则弧BD的长为（　　） A. π B. π C. π D. 2π 【答案】B 【解析】 【分析】连接OB、OC，根据圆内接四边形的性质求出∠A的度数，根据圆周角定理求出∠BOD的度数，利用弧长公式计算即可． 【详解】解：连接OB、OC， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠A+∠C＝180°， ∴∠A＝180°﹣∠C＝40°， 由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝80°， ∴弧BD的长＝＝π， 故选：B． 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理以及弧长的计算，掌握圆内接四边形的对角互补、弧长公式是解题的关键． 6. 某种品牌电动汽车经过连续两次降价，售价由25万降为16万，则平均每次降价的百分率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找到正确的等量关系． 设平均每次降价的百分率为，则，由此进行求解． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为， 则， 解得或（舍去） 平均每次降价的百分率为． 故选B． 7. 下列说法正确的是（ ） A. 垂线段最短 B. 过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线 C. 平方根等于本身的数是和 D. 数轴上的点表示的数都是有理数 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂线的性质和公理，平方根及数轴表示，根据垂线的性质和公理、平方根的定义及数轴与实数的关系逐一判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、垂线段最短，该选项说法正确，符合题意； 、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，该选项说法错误，不合题意； 、平方根等于本身的数只有，该选项说法错误，不合题意； 、数轴上的点可以表示有理数和无理数，该选项说法错误，不合题意； 故选：． 8. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等式的基本性质、不等式的性质等知识点，灵活运用等式的基本性质和不等式的基本性质是解题的关键． 根据等式的基本性质、不等式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：A．由得，即或，不一定，故A错误； B．当时，分式无意义，必须才成立，故B错误； C．若，乘以负数，不等号方向改变，，故C错误； D．若，且，即两边除以得，故D正确． 故选：D． 9. 已知在矩形中，对角线交于点O，，点E在边上，，点F在边上，将四边形沿翻折，点D恰好与点O重合，点C落在处，与交于点G，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识点，说明为等腰直角三角形是解题的关键． 如图：过点O作交于点M，交于点N，，根据翻折的性质证明是等腰直角三角形，然后利用勾股定理以及三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图：过点O作交于点M，交于点N，， 由翻折可知： ∵， ∴， ∵在矩形中，对角线交于点O， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴，则， 同理可得， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理，得， ∴，解得：， ∴， ∴的面积为． 故选：B． 10. 已知整式，整式，令，令，其中，，，为自然数，，，，为正整数，下列说法： ①若，时，则； ②若，时，则的值不可能是； ③若时，则满足条件的整式共有个． 其中正确的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的求值、奇偶性及非负整数解的个数，关键是灵活应用知识点解题； 说法①通过代入得到，求解正整数和即可； 说法②通过代入且，分析的奇偶性即可； 说法③通过列举的非负整数解，计算整式的个数即可． 【详解】解：①当时， ∵，， ∴； ∵为正整数，且， ∴或， ∴，故①正确； ②当且（为自然数）时， ∵，， ∴； ∵为偶数，为偶数，为偶数， ∴为偶数； ∵为奇数， ∴不可能为，故②正确； ③当时，，其中为正整数，为自然数， 当时，，有共种； 当时，，有、、共种； 当时，，有、共种； 当时，，有共种， ∴总共有种，故③正确， 综上，正确的个数为个． 故答案为：D． 二、填空题 11. 如图，若，，，则的度数是_______ 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题主要考查了邻补角的性质、平行线的性质、直角三角形两锐角互余等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 由邻补角的性质可得，根据平行线的性质可得，最后根据直角三角形两锐角互余即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 12. 如图，已知A为反比例函数的图象上一点，过点A作轴，垂足为B．若的面积为2，则k的值为__________________． 【答案】 【解析】 【分析】再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到|k|=2，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值． 【详解】解：∵AB⊥y轴， ∴S△OAB=|k|， ∴|k|=2， ∵k＜0， ∴k=-4． 故答案为：-4． 【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 13. 周末，小明和小东两名同学去重庆园博园游园，园内有A、B、C三条不同的赏花路线，两名同学每人随机选择一条路线，那么他们至少一人选择路线B的概率是_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法求概率，根据题意、正确画列表是解题的关键． 先根据题意列表，得到所有等可能结果数以及满足题意的结果数，然后运用概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意列表如下： A B C A B C 由表格知，共有9种等可能结果，其中至少一人选择路线B的情况数有5种，则 “至少一人选择路线B”的概率为． 故答案为：． 14. 已知关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义、根的判别式等知识点，理解根的判别式与根的关系是解题的关键． 由方程有两个实数根，则需满足一元二次方程的定义（二次项系数不为零）且判别式大于等于零，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵方程 有两个实数根， ∴ 且． ∴且， 解得：且． 故答案为：且． 15. 如图，为的直径，为过点的切线，为圆上一点，连接并延长交于点，为弧的中点，交于点．已知，，则_______，_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】连接，，根据圆周角定理和切线的判定与性质可证，利用相似三角形的性质可得，即，利用勾股定理求得，；再证明，用勾股定理得，结合利用相似三角形的性质可得，，通过证明，求出的长，再利用线段的和差即可求解． 【详解】解：连接，，如图： ∵为的直径，为过点的切线， ∴， ∵为弧的中点，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，，， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、切线的性质定理、圆周角定理、勾股定理等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 16. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，并且满足，那么称这个四位数为“加和数”．例如：四位数5127，因为，所以5127是“加和数”；又如：四位数6238，因为，所以6238不是“加和数”．若M是“加和数”，则_______；记，若“加和数”能被7整除，则满足条件的所有的和为_______ 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】本题考查新定义下的运算，有理数的混合运算，掌握知识点是解题的关键． 根据“加和数”的定义，由且为两位数，结合和的取值范围，推出必须为1．然后根据能被7整除的条件，利用同余关系求出所有可能的，再计算并求和． 【详解】解：∵，且是两位数， ∴， ∵和均为1至9的整数， ∴， ∴，即． 若，则，与矛盾， ∴， ∴， ∵数字互不相等且均不为0，且， ∴， ∴． 将代入， 得 ， ∵能被7整除， ∴能被7整除，即能被7整除， 由和为1至9的整数，且，，，，得 ①当时，，，20不能被7整除，舍去； ②当时，或9，或21，只有21能被7整除，符合题意， 即，，， ∴； ③当时，或8或9，或20或22，都不能被7整除，不符合题意； ④当，时或7或8或9，或19或21或23，只有21能被7整除，符合题意，即，，， ∴； ⑤当时，或7或8或9，或20或22或24，都不能被7整除，不符合题意； ⑥当时，或5或6或8或9，或17或19或23或25，都不能被7整除，不符合题意，舍去； ⑦当，或4或5或6或7或9时，或16或18或20或22或26，只有14能被7整除，此时，不符合题意； ⑧当时，或3或4或5或6或7或8，或15或17或19或21或23或25，只有21能被7整除，此时，，符合题意， ∴； ∴． 故答案为：①1，②． 三、解答题 17. 求不等式组：的所有整数解的和． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，掌握算理是解决问题的关键．先分别解出每个不等式的解集，再找到两个解集的公共部分即不等式组的解集，从中找出整数解求和即可． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， ∴不等式组的解集为， 则整数解有， 则所有整数解的和为． 18. 在学习了三角形和平行四边形的相关知识后，小明发现：在等腰中，，点是的中点，过点作交的延长线于点，的平分线与延长线相交于点，连接，则四边形为菱形．请根据他的思路完成以下作图和推理填空： （1）用尺规完成以下基本作图：作的平分线交延长线于点，连接；（不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：四边形为菱形． 证明：∵， ∴______， ∵是的中点， ∴， 在和中， ∴ ∴______， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ______， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； 小明进一步研究发现：若，则四边形为_________． 【答案】（1） 如图， （2）；；；正方形． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，菱形、正方形的判定，掌握知识点的应用是解题的关键． （）作平分线即可； （）由，则，证明，所以，再证明四边形是平行四边形，又，从而可知平行四边形是菱形，再通过正方形的判定即可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 某中学组织全校学生参加国家安全知识学习，现让八年级和九年级的学生参加安全知识竞赛，再从中各随机选出20名同学的成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 八年级20名学生的竞赛成绩是：65，74，75，78，78，81，82，83，84，86，86，88，88，88，91，92，94，95，96，96； 九年级20名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：86，87，83，81，87，82，89． 八、九年级所抽取学生竞赛成绩统计表 学生 平均数 中位数 众数 八年级 85 86 b 九年级 85 a 91 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______，______； （2）根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级在此次安全知识竞赛中的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校八年级有670名学生、九年级有800名学生，请估计该校八、九年级参加此次知识竞赛成绩不低于90分的学生共有多少人？ 【答案】（1），， （2） 解：九年级安全知识竞赛成绩较好． 理由如下：在八、九年级的成绩的平均数相等的情况下，八年级安全知识竞赛成绩的中位数为86，九年级安全知识竞赛成绩中位数为， ∵， ∴九年级安全知识竞赛成绩较好． （3）481人 【解析】 【分析】本题考查了中位数，众数，样本估计总体，利用中位数作决策，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据中位数的定义，得九年级成绩的中位数排在第名和第名，再分析C组中的成绩，即可得，然后根据众数的定义进行分析，即可作答． （2）利用中位数作决策，即可作答． （3）运用样本估计总体进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，九年级一共抽取20名学生进行调查， ∴中位数排在第名和第名（按低分到高分），且， ∵九年级20名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：86，87，83，81，87，82，89． ∴排序C组中的成绩（按低分到高分）为81，82，83，86，87，87，89． ∴第名和第名是86，87， ∴． 则 ∴． 观察八年级20名学生的竞赛成绩，其中分出现次数最多， ∴， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：依题意，（人） 答：估计该校八、九年级参加此次知识竞赛成绩不低于90分的学生人数共481人． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】化简结果为：；值为： 【解析】 【分析】先将分式、整式通过通分、因式分解等方法进行化简，再将的值计算出来，最后代入化简后的代数式求值． 【详解】解： ∵ ∴ ∴上式 【点睛】本题考查了分式的化简及整式的化简，绝对值的化简，零指数幂的计算，关键是熟练准确的进行运算． 21. 中秋吃月饼是中国传统的习俗，圆圆的月饼不仅承载着文化寓意，更藏着丰富的数学知识．某班举办将数学元素和传统文化结合的“月饼里的数学秘密”主题活动，其中购买25袋“云腿馅”与20袋“豆沙馅”一共花费420元，已知每袋“云腿馅”比每袋“豆沙馅”贵6元． （1）求一袋“云腿馅”和“豆沙馅”的价格分别是多少元？ （2）将数学文化与传统文化结合，提升了学生的跨学科素养，刘老师决定在她的班上也举行这个活动，但是单价发生了变化，每袋“云腿馅”增加的价格是每袋“豆沙馅”增加的价格的2倍，用108元买到的“云腿馅”的数量比用相同价格买到的“豆沙馅”的数量少6袋，此时一袋“云腿馅”和“豆沙馅”的价格分别是多少元？ 【答案】（1）一袋“豆沙馅”6元，一袋“云腿馅”12元 （2）一袋“豆沙馅”9元，一袋“云腿馅”18元 【解析】 【分析】本题考查列一元一次方程和分式方程解应用题： （1）设一袋“豆沙馅”的价格是元，一袋“云腿馅”的价格是元，根据题中等量关系列出方程并求解即可； （2）设每袋“豆沙馅”增加元，每袋“云腿馅”增加元，根据题中等量关系列出分式方程求解并检验即可． 【小问1详解】 解：设一袋“豆沙馅”的价格是元，则一袋“云腿馅”的价格是元． 根据题意，得， 解方程，得， 则有， 答：一袋“豆沙馅”的价格是6元，则一袋“云腿馅”的价格是12元． 【小问2详解】 解：设每袋“豆沙馅”增加元，则每袋“云腿馅”增加元． 根据题意，得， 解得， 经检验，是方程的解． 则有， 答：此时，一袋“豆沙馅”的价格是9元，则一袋“云腿馅”的价格是18元． 22. 在矩形中，，，点是的中点，动点从出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动，同时动点从出发，以每秒0.5个单位长度的速度沿折线运动，当、两点相遇时，立即停止运动．设运动时间为秒，的面积为，线段的长与点的运动路程之比为． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 【答案】（1）， （2） 函数，的图象如图所示， 的性质：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数，根据题意求出一次函数和反比例函数是解题的关键． （1）根据运动时间的变化，的面积表示方法不同，分别根据当时和当时，表示出即可；先表示出的运动路程，再根据的长与点的运动路程之比为，解答即可； （2）根据函数，的解析式画出图象即可；根据的图象，写出函数的一条性质即可； （3）先求出和的交点，再根据图象求解即可． 【小问1详解】 解：设运动时间为秒，的面积为，线段的长与点的运动路程之比为， 当时，， 当时，， ∴， ∵，的运动路程为， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当时， 使，解得，（舍去）， ∴当时，和相交， 当时， 使，解得，（舍去）， ∴当时，和相交， ∴由图可知，当时，的取值范围约． 23. 为提升全民体重管理意识和技能，国家卫健委联合16个部门制定了《“体重管理年”活动实施方案》．甲乙两人积极响应号召，相约在公园跑步锻炼．如图，他们从点出发，目的地在点的东北方向处点，点在点的正北方向，点在点的北偏东方向，点在点的东南方向，且在点的南偏西方向．（参考数据：） （1）求的长度（结果保留根号）； （2）甲乙两人同时从点出发跑步前往点，甲选择路线，乙选择路线，已知甲的速度为每分钟，乙的速度为每分钟，请通过计算说明甲和乙谁先到达点． 【答案】（1）； （2）甲先到达点 ． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，等腰直角三角形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）先证明为等腰直角三角形，根据解直角三角形求出，，即可求解； （2）通过解直角三角形求出长，再分别求出甲，乙到达点的时间，比较即可得出答案． 【小问1详解】 解：过点作，交的延长线于点，如图： 由题意可得：，，， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图： 在中，， ∴， ∴， ∴甲到达所用的时间为：， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴乙到达所用的时间为：， ∵， ∴甲先到达点． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于两点(点 在点的左侧)，且点坐标为，直线的解析式为． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点为直线上方抛物线上的任意一点，连接交直线于点，过点作轴的垂线，当最大时，在直线上找一点，在直线上找一点，求周长的最小值； （3）将抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，新抛物线的对称轴与轴交于点，点为新抛物线上的一个动点，连接，当，直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出求解点的横坐标的一种情况的过程． 【答案】（1） （2）的周长最小值为 （3） 符合条件的点的横坐标为或 平移后新抛物线的解析式为，点与点重合． ①过点作，交新抛物线于点，此时 ∵直线 解析式为： 又∵ ∴直线  联立 解得：舍)，  ②在上取一点，使得，连接交新抛物线于点，此时， 设点 由得 ． 解得： 点  同理可得直线： ． 联立 解得： ，(舍)． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，相似三角形的判定和性质，二次函数图象的平移，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）根据直线解析式先求得点的坐标，进而将， 分别代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）过点作轴交直线于点，过点作轴交直线于点，证明，进而求得点的坐标，设点，，根据的值最大，此时点，作点关于直线的对称的，点关于直线的对称点，根据中点坐标公式求得点，点的坐标，进而可得周长的最小值为的长，根据勾股定理，即可求解； （3）根据平移的性质得出平移后新抛物线的解析式，当，分两种情况讨论，①过点作，交新抛物线于点，此时；②在上取一点，使得，连接交新抛物线于点，此时，进而联立直线解析式和抛物线解析式求得交点的坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：在直线中，当，即 解得 将， 分别代入，得： ，解得 【小问2详解】 过点作轴交直线于点，过点作轴交直线于点 在直线中，当时， ， ∴点 设点， ． 当时， 的值最大，此时点 作点关于直线的对称点，点关于直线的对称点 连接交直线于点，交直线于点， 此时的周长最小值； 【小问3详解】 略 25. 在中，为上一点，连接． （1）如图1，若，作交于，交于，，求的度数； （2）如图2，若，作交于，交于，将绕点顺时针旋转得到，连接，若，求证：； （3）如图3，若，，将绕点逆时针旋转得线段，连接为直线上一点，连接，当取最小值时，将沿所在直线翻折到所在的平面内，得，连接，作交直线于点，当取最大值时，请直接写出的面积． 【答案】（1）； （2） 证明：设， ∴； ，， ， ， ； 又∵， ∴， ∴； ，， ， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ； 如图所示，过点A和点C分别作的垂线，垂足分别为M，H，则都是等腰直角三角形， ∴， ∴； ∵， ∴，， ∴， 又∵， ， ， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角和三角形内角和定理可得的度数，再由三角形外角的性质可得的度数，再由垂线的定义和三角形内角和定理可得答案； （2）设，可证明，则；导角证明得到，则，进而证明，证明，得到；过点A和点C分别作的垂线，垂足分别为M，H，则都是等腰直角三角形，则；再证明，得到，再由线段的和差关系可证明结论； （3）如图3-1所示，过点A作于K，延长到R，使得，连接，设直线交于T，可证明，得到，则可证明，故点M在直线上运动，则当点M与点T重合时，有最小值；如图3-2所示，由勾股定理可得；由折叠的性质可得，则点Q在以点M为圆心，半径为2的圆上运动，故当点在线段上时，有最大值；证明，求出，再根据列式求解即可． 【小问1详解】 解：，， ， ，， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图3-1所示，过点A作于K，延长到R，使得，连接，设直线交于T， ∵， ∴是等腰直角三角形，，， 在中，由勾股定理得， ∴； ∵， ∴； 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点M在直线上运动， ∵垂线段最短， ∴当点M与点T重合时，有最小值； 在中，由勾股定理得， ∴； 如图3-2所示，在中，； 由折叠的性质可得， ∴点Q在以点M为圆心，半径为2的圆上运动， ∴当点在线段上时，有最大值； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，折叠的性质，相似三角形的性质与判定，一点到圆上一点的距离的最值问题，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，解（2）的关键在于作出辅助线构造全等三角形，解（3）的关键在于构造全等三角形确定点M的轨迹以及点Q的轨迹． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学定时8 一、单选题 1. 5的相反数是( ) A. B. C. D. 2. 如图，该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 估计的值介于（ ） A. 4与5之间 B. 5与6之间 C. 6与7之间 D. 7与8之间 4. 有机化学中的稠环芳香烃是由若干个苯环组合而成，如图是一组稠环芳香烃的结构简式，其中图①是由3个苯环组成，图②是由6个苯环组成，．．．，依此规律，图⑦中苯环的个数为（　　） A. 34个 B. 35个 C. 36个 D. 37个 5. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为3，∠C＝140°，则弧BD的长为（　　） A. π B. π C. π D. 2π 6. 某种品牌电动汽车经过连续两次降价，售价由25万降为16万，则平均每次降价的百分率是（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法正确的是（ ） A. 垂线段最短 B. 过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线 C. 平方根等于本身的数是和 D. 数轴上的点表示的数都是有理数 8. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 9. 已知在矩形中，对角线交于点O，，点E在边上，，点F在边上，将四边形沿翻折，点D恰好与点O重合，点C落在处，与交于点G，则的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，整式，令，令，其中，，，为自然数，，，，为正整数，下列说法： ①若，时，则； ②若，时，则的值不可能是； ③若时，则满足条件的整式共有个． 其中正确的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题 11. 如图，若，，，则的度数是_______ 12. 如图，已知A为反比例函数的图象上一点，过点A作轴，垂足为B．若的面积为2，则k的值为__________________． 13. 周末，小明和小东两名同学去重庆园博园游园，园内有A、B、C三条不同的赏花路线，两名同学每人随机选择一条路线，那么他们至少一人选择路线B的概率是_______ 14. 已知关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围是______． 15. 如图，为的直径，为过点的切线，为圆上一点，连接并延长交于点，为弧的中点，交于点．已知，，则_______，_______． 16. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，并且满足，那么称这个四位数为“加和数”．例如：四位数5127，因为，所以5127是“加和数”；又如：四位数6238，因为，所以6238不是“加和数”．若M是“加和数”，则_______；记，若“加和数”能被7整除，则满足条件的所有的和为_______ 三、解答题 17. 求不等式组：的所有整数解的和． 18. 在学习了三角形和平行四边形的相关知识后，小明发现：在等腰中，，点是的中点，过点作交的延长线于点，的平分线与延长线相交于点，连接，则四边形为菱形．请根据他的思路完成以下作图和推理填空： （1）用尺规完成以下基本作图：作的平分线交延长线于点，连接；（不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：四边形为菱形． 证明：∵， ∴______， ∵是的中点， ∴， 在和中， ∴ ∴______， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ______， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； 小明进一步研究发现：若，则四边形为_________． 19. 某中学组织全校学生参加国家安全知识学习，现让八年级和九年级的学生参加安全知识竞赛，再从中各随机选出20名同学的成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 八年级20名学生的竞赛成绩是：65，74，75，78，78，81，82，83，84，86，86，88，88，88，91，92，94，95，96，96； 九年级20名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：86，87，83，81，87，82，89． 八、九年级所抽取学生竞赛成绩统计表 学生 平均数 中位数 众数 八年级 85 86 b 九年级 85 a 91 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______，______； （2）根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级在此次安全知识竞赛中的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校八年级有670名学生、九年级有800名学生，请估计该校八、九年级参加此次知识竞赛成绩不低于90分的学生共有多少人？ 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 中秋吃月饼是中国传统的习俗，圆圆的月饼不仅承载着文化寓意，更藏着丰富的数学知识．某班举办将数学元素和传统文化结合的“月饼里的数学秘密”主题活动，其中购买25袋“云腿馅”与20袋“豆沙馅”一共花费420元，已知每袋“云腿馅”比每袋“豆沙馅”贵6元． （1）求一袋“云腿馅”和“豆沙馅”的价格分别是多少元？ （2）将数学文化与传统文化结合，提升了学生的跨学科素养，刘老师决定在她的班上也举行这个活动，但是单价发生了变化，每袋“云腿馅”增加的价格是每袋“豆沙馅”增加的价格的2倍，用108元买到的“云腿馅”的数量比用相同价格买到的“豆沙馅”的数量少6袋，此时一袋“云腿馅”和“豆沙馅”的价格分别是多少元？ 22. 在矩形中，，，点是的中点，动点从出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动，同时动点从出发，以每秒0.5个单位长度的速度沿折线运动，当、两点相遇时，立即停止运动．设运动时间为秒，的面积为，线段的长与点的运动路程之比为． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 23. 为提升全民体重管理意识和技能，国家卫健委联合16个部门制定了《“体重管理年”活动实施方案》．甲乙两人积极响应号召，相约在公园跑步锻炼．如图，他们从点出发，目的地在点的东北方向处点，点在点的正北方向，点在点的北偏东方向，点在点的东南方向，且在点的南偏西方向．（参考数据：） （1）求的长度（结果保留根号）； （2）甲乙两人同时从点出发跑步前往点，甲选择路线，乙选择路线，已知甲的速度为每分钟，乙的速度为每分钟，请通过计算说明甲和乙谁先到达点． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于两点(点 在点的左侧)，且点坐标为，直线的解析式为． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点为直线上方抛物线上的任意一点，连接交直线于点，过点作轴的垂线，当最大时，在直线上找一点，在直线上找一点，求周长的最小值； （3）将抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，新抛物线的对称轴与轴交于点，点为新抛物线上的一个动点，连接，当，直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出求解点的横坐标的一种情况的过程． 25. 在中，为上一点，连接． （1）如图1，若，作交于，交于，，求的度数； （2）如图2，若，作交于，交于，将绕点顺时针旋转得到，连接，若，求证：； （3）如图3，若，，将绕点逆时针旋转得线段，连接为直线上一点，连接，当取最小值时，将沿所在直线翻折到所在的平面内，得，连接，作交直线于点，当取最大值时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $