精品解析：天津市武清区杨村第四中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷

杨村四中2025-2026年度高一年级第一学期期中考试 数学学科 一、选择题：本题共12个小题，每题5分，共60分. 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. “”是“”的（　　）． A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 给出下列关系：①；②；③；④；⑤.其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，则 5. 下列各组函数是同一函数的是（ ）. A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 下列函数中，在其定义域上是奇函数又是减函数的是（ ）. A. B. C. D. 8. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 9. 已知奇函数为上的减函数，且在区间上的最大值为8，最小值为，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 10. 已知且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 8 11. 若命题“，使得”为真命题，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 12. 已知函数为定义在上的奇函数，且在为减函数，在为增函数，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 13. 设函数，则______． 14. 已知幂函数的图象过点，则______． 15. 函数的定义域为______________. 16. 已知集合，集合，若A是B的必要不充分条件，则m的取值范围为_____． 17. 若两个正实数x，y满足，并且恒成立，则实数m的取值范围是______________．当x等于______________时，中等号成立． 18. 已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是__________. 三、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19. 已知集合． （1）当时，求与 （2）若，求实数a的取值范围． 20. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，． （1）求函数的解析式，并画出函数的图象； （2）根据图象写出函数的单调区间及值域． 21. 某商家准备促销某商品，根据市场调查，当该商品的售价定为元时，销售量可达到万件．已知该商品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分．其中固定价格为元/件，浮动价格（单位：元/件）与销售量（单位：万件）成反比，比例系数为．假设不计其他成本，即销售每件商品的利润售价供货价格． （1）当每件商品的售价定为元时，求该商家所获得的总利润； （2）该商品的售价定为多少元时，单件商品的利润最大? 22. 已知定义在上的奇函数，且. （1）求函数的解析式; （2）判断的单调性（并用单调性定义证明）; （3）解不等式. 23. 已知函数． （1）若的单调递减区间是，求a的值． （2）若关于x的不等式的解集为，求关于x的不等式的解集； （3）若，求关于x的不等式的解集． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杨村四中2025-2026年度高一年级第一学期期中考试 数学学科 一、选择题：本题共12个小题，每题5分，共60分. 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】 根据含有一个量词的命题的否定的定义求解. 【详解】因为命题“，”是存在量词命题， 所以其否定是全称量词命题，即，， 故选：A. 2. “”是“”的（　　）． A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】做差变形后可知，由充要条件的定义得解. 【详解】，且， ，即， 所以“”是“”的充分必要条件. 故选：C． 3. 给出下列关系：①；②；③；④；⑤.其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用常用数集的范围和元素与集合的关系即可判断. 【详解】因为，，，分别表示正整数集，整数集，有理数集，实数集； 是正整数，即，故①错误；是整数，即，故②错误； 是无理数，故③错误；是实数，故④正确；是有理数，故⑤正确. 故选：B. 4. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据反例可判断ACD的正误，根据不等式的性质可判断B的正误， 【详解】对于A，取成立，当，故A错误； 对于B，因为，故成立，故B正确； 对于C，取成立，时，，故C错误； 此时，，故D错误， 故选：B. 5. 下列各组函数是同一函数的是（ ）. A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据相等函数的定义即可一一去判断各选项. 【详解】对于A，函数和定义域均为， 但与的对应关系不同， 故函数和不是同一函数，故A错误； 对于B，函数定义域为，定义域为， 两函数和定义域不同，故不是同一函数，故B错误； 对于C，解得，所以函数定义域为， 令得，所以函数定义域为， 函数和定义域相同， 又，，所以函数和对应关系同， 所以两函数和是同一函数，故C正确； 对于D，函数定义域为，定义域为， 两函数和定义域不同，故不是同一函数，故D错误. 故选：C. 6. 若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对应的幂函数单调性进行求解. 【详解】由题意得函数在上单调递增， 因为，所以得：，故A项正确. 故选：A. 7. 下列函数中，在其定义域上是奇函数又是减函数的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的单调性和奇偶性逐一判断即可. 【详解】对于A，函数在上单调递增，故A错误； 对于B，函数是偶函数，故B错误； 对于C，函数的定义域是，不是其定义域上的减函数，故C错误； 对于D，函数定义域为，是奇函数且在上单调递减，故D正确. 故选：D. 8. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和函数的极限即可判断. 【详解】的定义域为，因为，所以为奇函数，排除BD； 当时，，排除C，故A正确. 故选：A 9. 已知奇函数为上的减函数，且在区间上的最大值为8，最小值为，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇函数的性质计算可得. 【详解】因为奇函数为上的减函数，且在区间上的最大值为8，最小值为， 所以，， 所以，， 则. 故选：B 10. 已知且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】且，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，的最小值为8. 故选：D 11. 若命题“，使得”为真命题，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，关于的不等式有解，则对应二次函数的判别式，解关于的不等式即可. 【详解】因为“，使得”为真命题， 则，即， 解之得{或}，即C正确. 故选：C 12. 已知函数为定义在上的奇函数，且在为减函数，在为增函数，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据奇函数性质确认函数零点，再根据已知单调性可以求出函数在各个区间符号，由不等式性质可得解. 【详解】因为为定义在上的奇函数，所以，且 又因，所以， 又因在为增函数，在上， 在上， 又因在为减函数，所以上， 综上，当时，，当时， 当时，则，所以，则， 当时，则，所以，则， 不等式可化简变形为， 综上所述可知当时，. 故选：D 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 13. 设函数，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式先求出，再求即可. 【详解】因为， 所以， 所以. 故答案为:2. 14. 已知幂函数的图象过点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的定义求出，再根据函数过点代入解析式求出. 【详解】因为为幂函数，所以，解得， 即，又函数图象过点，所以，即，解得， 所以. 故答案为： 15. 函数的定义域为______________. 【答案】 【解析】 【分析】由被开方数非负和分母不等式0得到不等式，求出定义域. 【详解】由题意得，解得且， 故的定义域为. 故答案为： 16. 已知集合，集合，若A是B的必要不充分条件，则m的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】化简集合，由集合与集合关系求解. 【详解】由已知，集合， 因为是的必要不充分条件，所以 ， 当，即时，，满足 ； 当，即时，，若 ， 则（等号不同时成立），解得，此时， 综上可得，的取值范围为， 故答案为：. 17. 若两个正实数x，y满足，并且恒成立，则实数m的取值范围是______________．当x等于______________时，中等号成立． 【答案】 ①. ②. 2 【解析】 【分析】根据基本不等式1的代换，求出的最小值，结合基本不等式分析求解. 【详解】因为两个正实数x，y满足， 且恒成立，即， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 则，即， 所以实数m的取值范围是，当且仅当时，等号成立. 故答案为：；2. 18. 已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合对勾函数的性质，以及分段函数单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数在上为单调递增函数， 结合分段函数单调性的判定方法，以及对勾函数的性质，可得足， 解得，即实数的取值范围为. 故答案为：. 三、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19. 已知集合． （1）当时，求与 （2）若，求实数a的取值范围． 【答案】（1），或； （2）. 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式求解集合，再根据集合的运算求解即可； （2）由，得，从而可求解. 【小问1详解】 由，得，解得， 故. 又， 当时，， 所以. 又或， 所以或. 【小问2详解】 因为，所以. 因为，， 所以, 故实数a的取值范围为. 20. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，． （1）求函数的解析式，并画出函数的图象； （2）根据图象写出函数的单调区间及值域． 【答案】（1），画出函数图象如下： （2） 根据函数图象可得，的单调递减区间为，， 单调递增区间为，， 函数的值域为. 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的性质即可求出，再根据解析式即可画出图象； （2）根据图象即可求解. 【小问1详解】 因为是定义在上的偶函数，当时，， 则当时，，则， 所以； 画出函数图象如下： 【小问2详解】 略 21. 某商家准备促销某商品，根据市场调查，当该商品的售价定为元时，销售量可达到万件．已知该商品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分．其中固定价格为元/件，浮动价格（单位：元/件）与销售量（单位：万件）成反比，比例系数为．假设不计其他成本，即销售每件商品的利润售价供货价格． （1）当每件商品的售价定为元时，求该商家所获得的总利润； （2）该商品的售价定为多少元时，单件商品的利润最大? 【答案】（1）总利润为万元 （2）110元 【解析】 【分析】（1）由已知确定销量与单件商品的利润，即可求得总利润； （2）根据已知条件可得，再利用基本不等式求最值. 【小问1详解】 当每件商品的售价定为元时，销售量为万件， 该商家所获得的总利润为万元 【小问2详解】 该商品的售价定为元，由得． 设单件商品的利润为元， 则， 当且仅当时，等号成立 所以该商品的售价定为元时，单件商品的利润最大，最大值为元． 22. 已知定义在上的奇函数，且. （1）求函数的解析式; （2）判断的单调性（并用单调性定义证明）; （3）解不等式. 【答案】（1） （2） 函数在上是增函数，证明如下： 任取、且， 则 ， 因为，则，， 故，即， 因此函数在上是增函数. （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得，又，求解、，即可得出答案； （2）判断出函数在上是增函数，任取、且，作差，通分、因式分解后判断的符号，即可证得结论成立； （3）根据单调性与奇偶性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可，需注意函数的定义域. 【小问1详解】 定义在上的奇函数，则，即，解得， 又，即，解得， ，经检验符合题意； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，， ，解得，不等式的解集为． 23. 已知函数． （1）若的单调递减区间是，求a的值． （2）若关于x的不等式的解集为，求关于x的不等式的解集； （3）若，求关于x的不等式的解集． 【答案】（1）1 （2） （3） 当时，所求不等式解集为； 当时，所求不等式解集为； 当时，所求不等式解集为； 当时，所求不等式解集为． 【解析】 【分析】（1）分，讨论，根据二次函数单调性可得； （2）利用韦达定理求出，然后可解； （3）对分类讨论，结合二次不等式的解法求解即可． 【小问1详解】 当时，的单调递减区间为，不满足题意； 当时，由的单调递减区间是， 可得，解得． 综上，的值为1； 【小问2详解】 若关于的不等式的解集为， 则和3是方程的两根，且， 由韦达定理得，解得， 所以不等式即为： 即 解得或， 所以不等式的解集为； 【小问3详解】 若，则即为： ， 即， 由于，可得方程的两根为， 当时，，解不等式，得； 当时，，解不等式，得或； 当时，，解不等式，得或； 当时，由得． 综上，当时，所求不等式解集为； 当时，所求不等式解集为； 当时，所求不等式解集为； 当时，所求不等式解集为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $