精品解析：吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期数学大练习（十三）

东北师范大学附属中学2025—2026学年高三上学期 数学大练习（十三） 考试时间：90分钟 试卷满分：120分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足（为虚数单位），则复数在复平面上对应的点不可能位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量在向量方向上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 4 4. 球的表面积增大为原来的9倍，那么球的体积增大为原来的（    ） A. 9倍 B. 18倍 C. 27倍 D. 81倍 5. 已知数列中，，则能使的的数值是（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 6. 已知函数．将函数向左平移一个单位，再向上平移一个单位后得函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ） A. 3699块 B. 3474块 C. 3402块 D. 3339块 8. 设为两个不同的正数，我们称为的对数平均值，且已知恒有成立，该不等式也称为对数均值不等式，它在各个领域都有着重要应用．已知，且，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 等差数列中，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，则， 10. 已知函数是奇函数，是的导函数（），且有满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数为偶函数 C. D. 函数的周期为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 一圆台的上、下底面半径分别为、，体积为，则该圆台的侧面积为______． 12. 已知为数列的前n项和，，，则______． 13. 已知，若关于的不等式的解集中有且仅有一个负整数，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共3小题，共47分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 在中，角的对边分别为，若成等差数列，且. 求的值； 若，求的面积. 15. 已知数列的前n项和为，，且. （1）求数列的通项； （2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 16. 已知函数，. （1）若，求的单调区间； （2）若，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东北师范大学附属中学2025—2026学年高三上学期 数学大练习（十三） 考试时间：90分钟 试卷满分：120分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简集合,然后利用并集运算求解可得答案. 【详解】由已知，，所以. 故选：D 2. 已知复数满足（为虚数单位），则复数在复平面上对应的点不可能位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】设，由在复平面上对应的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，由图即可判断. 【详解】设，由得， 可得在复平面上对应的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，（如图）. 由图可知圆显然不经过第三象限， 故复数在复平面上不可能位于第三象限. 故选：C. 3. 已知向量在向量方向上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由投影向量的定义求出，再由向量的模长公式求解即可. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为， 所以，所以，又， 所以，所以. 故选：D. 4. 球的表面积增大为原来的9倍，那么球的体积增大为原来的（    ） A. 9倍 B. 18倍 C. 27倍 D. 81倍 【答案】C 【解析】 【分析】根据球的表面积公式可确定变化前后球的半径的关系，结合球的体积公式，即可求得答案. 【详解】设原来球体的半径为，则原来球体的表面积为：， 原来球体的体积为：， 当球的表面积增大为原来的9倍时，则此时球的半径， 此时球体体积为：，由， 所以球的体积增大为原来的27倍. 故选：C. 5. 已知数列中，，则能使的的数值是（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 【答案】C 【解析】 【分析】结合数列的周期性即可求解. 【详解】由题意数列的前4项为， 数列是周期为3的周期数列， 能使的的数值是， 对比选项可知，只有C正确. 故选：C. 6. 已知函数．将函数向左平移一个单位，再向上平移一个单位后得函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象平移求出，分析的单调性和值域，画出即的图象数形结合求解即可. 【详解】由函数向左平移一个单位，再向上平移一个单位后得函数，所以， 当时，即单调递增，又，则， 又时，单调递增，又，则， 作出的图象如图，由，则， 解得或，所以实数的取值范围为． 故选：C. 7. 北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ） A. 3699块 B. 3474块 C. 3402块 D. 3339块 【答案】C 【解析】 【分析】第n环天石心块数为，第一层共有n环，则是以9为首项，9为公差的等差数列， 设为的前n项和，由题意可得，解方程即可得到n，进一步得到. 【详解】设第n环天石心块数为，第一层共有n环， 则是以9为首项，9为公差的等差数列，， 设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分 别为，因为下层比中层多729块， 所以， 即 即，解得， 所以. 故选：C. 8. 设为两个不同的正数，我们称为的对数平均值，且已知恒有成立，该不等式也称为对数均值不等式，它在各个领域都有着重要应用．已知，且，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助对数均值不等式取特殊值可得，再计算出函数的奇偶性及其单调性即可得解. 【详解】由，取、，则，即； 由，取、，则，即； 则有； ， ，又定义域为，故为偶函数， 当时，， 故在上单调递增， 由为偶函数，则， 由，则，即. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 等差数列中，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，则， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，结合等差数列的性质、前n项和公式逐项分析判断即得. 【详解】等差数列中，， 对于A，，，A正确； 对于B，，则，， 则，，因此，即，B错误； 对于C，，则，C正确； 对于D，设的公差为，由，得，解得， 则，，D正确. 故选：ACD 10. 已知函数是奇函数，是的导函数（），且有满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数为偶函数 C. D. 函数的周期为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据奇函数和偶函数的定义，结合函数的周期性和对称性，以及复合函数求导即可逐项判断. 【详解】由可得，则的对称轴为. 即为的一个极值点，所以，故A错误. 由为奇函数，得即， 所以，因为为的导函数，则有， 即为偶函数，故B正确. 由和，可得， 则，即周期为. 因为是上的奇函数，所以， 又的对称轴为，则， 所以，故C正确. 由得，即， 所以周期为，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 一圆台的上、下底面半径分别为、，体积为，则该圆台的侧面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】先用圆台体积公式求得高，再求出母线长，利用圆台侧面积公式可求得侧面积. 【详解】由题可知，圆台上底面面积，下底面面积， 设高为，则体积， 解得.而圆台母线长为， 所以圆台的侧面积为. 故答案为：. 12. 已知为数列的前n项和，，，则______． 【答案】##0.8 【解析】 【分析】通过变形条件利用累乘法求解出的通项公式，然后利用裂项相消法求解出结果. 【详解】由，可得， 两式相减可得，所以，， 当时，， 当时，符合上式， 所以，所以， 所以. 故答案为：. 13. 已知，若关于的不等式的解集中有且仅有一个负整数，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】原式可化为，然后研究函数的图象，只需当时，直线在曲线上方时，只有一个负整数即可，构造不等式组求解． 【详解】原不等式可化为：， 令，，显然时，，单调递减； 时，，单调递增， 所以，且时，，, 同一坐标系中，作出与（过定点的图象： 据图可知，满足题意的整数解为，此时应满足， 解得． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题考查不等式解问题，关键是将不等式适当变形，转化为两个函数交点问题. 四、解答题：本题共3小题，共47分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 在中，角的对边分别为，若成等差数列，且. 求的值； 若，求的面积. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【详解】因为成等差数列，所以 由正弦定理得即 又因为根据余弦定理有： 所以 因为根据余弦定理有： 由知，所以 解得. 由得， 所以的面积 【点睛】本题考查等差数列的简单性质，正弦定理、余弦定理、面积公式的考查，难度不大，属于简单题. 15. 已知数列的前n项和为，，且. （1）求数列的通项； （2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由，结合与的关系，分讨论，得到数列为等比数列，即可得出结论； （2）由结合的结论，利用错位相减法求出，对任意恒成立，分类讨论分离参数，转化为与关于的函数的范围关系，即可求解. 【详解】（1）当时，， ， 当时，由①， 得②，①②得 ， 又是首项为，公比为的等比数列， ； （2）由，得， 所以， ， 两式相减得 ， 所以， 由得恒成立， 即恒成立， 时不等式恒成立； 时，，得； 时，，得； 所以. 【点睛】易错点点睛：（1）已知求不要忽略情况；（2）恒成立分离参数时，要注意变量的正负零讨论，如（2）中恒成立，要对讨论，还要注意时，分离参数不等式要变号. 16. 已知函数，. （1）若，求的单调区间； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）单调增区间为，减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）代入参数值，求导函数，解导函数大于0的不等式，得出增减区间； （2）求导函数，得到增减区间，求得最小值；由题意建立不等式，构建对应函数，由导函数求得单调区间得最小值再建立不等关系，得到范围. 【小问1详解】 当时， 时，，时，； 的单调增区间为，单调减区间为 【小问2详解】 时，，时， 又， 令 则，显然单调递减，且， 必然存在唯一使得 当，，单调递增， 当，，单调递减 由于时，，成立 当时，单调递减，且，因此成立 综上，成立的范围为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $