精品解析：安徽省六安第一中学2025-2026学年高一上学期周测一数学试题

六安一中2025年秋学期高一年级周末检测 数学试卷（一） 时间：100分钟 满分：120分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知p是q成立的必要条件，q是r成立的充要条件，r是s成立的充分条件，s不是q成立的充分条件，则下列说法正确的是（ ） A. p是r成立的充要条件 B. s是r成立的必要不充分条件 C. p是s成立的充分不必要条件 D. q是s成立的必要不充分条件 4. 下列命题与“，”的表述意义一致的是（ ） A. 有且只有一个实数，使得成立 B. 有些实数，使得成立 C. 不存在实数，使得成立 D. 有无数个实数，使得成立 5. 已知全集U的两个非空真子集A，B满足，则下列关系一定正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知命题：“”，命题：“”．若两个命题中全称量词命题是真命题，另一个命题是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 8. 定义非空数集的“和睦数”如下：将中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地加上、减去后继的数所得的结果.例如，集合的“和睦数”是，的“和睦数”是，的“和睦数”是1.对于集合，其所有非空子集的“和睦数”的总和为（ ） A. 82 B. 74 C. 12 D. 70 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 下列命题是真命题的有（ ） A. 两个三角形面积相等是这两个三角形全等的必要不充分条件 B. “”是“”成立的充分不必要条件 C. 每个定义域为R的二次函数的图象都是轴对称图形 D. 存在一个无理数，它的立方是有理数 10. 下列说法中错误的有（ ） A. 命题，，则命题的否定是， B. “”是“”的必要条件 C. 命题“，”是真命题 D. “”是“函数在上随x 增加而增加”的充分不必要条件 11. 群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中．有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明．群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“．”是G上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件： ①对所有的a、，有； ②、b、，有； ③，使得，有，e称为单位元； ④，，使，称a与b互为逆元． 则称G关于“·”构成一个群．则下列说法正确的有（ ） A. 关于数的乘法构成群 B. 自然数集N关于数的加法构成群 C. 实数集R关于数的乘法构成群 D. 关于数的加法构成群 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，，若，则实数__________. 13. “”是“”的_____ 条件(填“充分不必要、必要不充分、充要条件、既不充分也不必要” ） 14. 8月11日，第33届夏季奥林匹克运动会在巴黎法兰西体育场落下帷幕．中国体育代表团在巴黎奥运会获得40金、27银、24铜共91枚奖牌，取得了我国1984年全面参加夏季奥运会以来境外参赛历史最好成绩，小明统计了班级60名同学对游泳、跳水、乒乓球这三类体育项目的喜欢情况，其中有20名同学同时喜欢这三类体育项目，18名同学不喜欢乒乓球，20名同学不喜欢跳水，16名同学不喜欢游泳，且每人至少喜欢一类体育项目，则至少喜欢两类体育项目的同学的人数为______． 四、解答题：本题共3小题，共47分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合． （1）若，求的值； （2）若集合至多有两个子集，求的取值范围． 16. 已知集合，． （1）已知，若命题是命题的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若命题，是假命题，求实数的取值范围． 17. 已知集合，其中，由中元素可构成两个点集和其中中有个元素，中有个元素，若对任意的，必有，则称集合具有性质． （1）已知集合，直接写出其对应的集合，； （2）若集合具有性质，若，求集合最多有几个元素？ （3）若集合具有性质，试判断和的大小关系，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 六安一中2025年秋学期高一年级周末检测 数学试卷（一） 时间：100分钟 满分：120分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析可得，由此可得出结论. 【详解】任取，则，其中，所以，，故， 因此，. 故选：C. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据含有一个量词的否定得到答案即可. 【详解】根据含有一个量词的否定， 命题“，”的否定是“，”， 故选：A. 3. 已知p是q成立的必要条件，q是r成立的充要条件，r是s成立的充分条件，s不是q成立的充分条件，则下列说法正确的是（ ） A. p是r成立的充要条件 B. s是r成立的必要不充分条件 C. p是s成立的充分不必要条件 D. q是s成立的必要不充分条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据题给条件得出，据此对各选项进行逐一判断. 【详解】依题意得. 由得，但p不一定能推出r，充分性不一定满足，故A错. 由得，又，所以s是r成立的必要不充分条件，故B对. 由得，又，无法建立p与s的确切关联，即p不一定能推出s，s不一定能推出p，故C错； 因为，所以，又，所以q是s成立的充分不必要条件，故D错. 故选：B. 4. 下列命题与“，”的表述意义一致的是（ ） A. 有且只有一个实数，使得成立 B. 有些实数，使得成立 C. 不存在实数，使得成立 D. 有无数个实数，使得成立 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的描述方法即可得解. 【详解】与“，”表述一致的是“不存在实数，使得成立”. 故选：C. 5. 已知全集U的两个非空真子集A，B满足，则下列关系一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，借助韦恩图判断ABC三个选项；结合集合的包含关系推理判断D. 【详解】全集U的两个非空真子集A，B满足，， 如图，当时，，故A错误； 由图知，，集合不是集合的子集，故BC错误； ，，，故D正确. 故选：D. 6. 已知命题：“”，命题：“”．若两个命题中全称量词命题是真命题，另一个命题是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别根据已知命题的真假求出相应参数的取值范围，即可求得答案. 【详解】由题意知命题：“”为全称量词命题，是真命题， 故，可得； 结合题意知命题：“”为假命题， 则，即无实数解， 则，解得， 综合上述a需满足， 可知实数的取值范围是， 故选：A 7. 命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出命题为真的充要条件，然后根据必要不充分条件的定义判断． 【详解】当时，， 则当时，取得最大值，依题意，，解得， 因此命题“，”为真命题的充要条件是，C不是； 显然，分别是该命题为真命题的一个充分不必要条件，AB不是； 是该命题为真命题的一个必要不充分条件，D是． 故选：D 8. 定义非空数集的“和睦数”如下：将中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地加上、减去后继的数所得的结果.例如，集合的“和睦数”是，的“和睦数”是，的“和睦数”是1.对于集合，其所有非空子集的“和睦数”的总和为（ ） A. 82 B. 74 C. 12 D. 70 【答案】A 【解析】 【分析】分别列举子集，根据“和睦数”的定义，即可求解每种情况的“和睦数”，相加即可求解. 【详解】，非空子集有个. 当子集为单元素集，，，时，“和睦数”分别为1，2，3，6，和为12； 当子集为双元素集，，，，，时， “和睦数”分别为3，4，7，5，8，9，和为36； 当子集为三元素集，，，时， “和睦数”分别为4，7，8，7，和为26； 当子集为四元素集时，“和睦数”为. 故“和睦数”的总和为. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 下列命题是真命题的有（ ） A. 两个三角形面积相等是这两个三角形全等的必要不充分条件 B. “”是“”成立的充分不必要条件 C. 每个定义域为R的二次函数的图象都是轴对称图形 D. 存在一个无理数，它的立方是有理数 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于AB，由充分条件、必要条件的定义判断即可；对于CD，直接判断全称量词命题、特称量词命题的真假即可. 【详解】对于A，显然两个三角形全等必然可以导致面积相等， 直角边为的直角三角形的面积为6，设等腰三角形的底边是，腰是，此时等腰三角形的面积为， 所以面积相等的三角形未必全等， 所以两个三角形面积相等是这两个三角形全等的必要不充分条件，故A正确； 对于B，“”当且仅当是的子集，即当且仅当“”成立， 所以“”是“”成立的充分必要条件，故B错误； 对于C，所有的二次函数的图象都是轴对称图形，故C正确； 对于D，若，则是无理数，而，即是有理数，故D正确. 故选：ACD. 10. 下列说法中错误的有（ ） A. 命题，，则命题的否定是， B. “”是“”的必要条件 C. 命题“，”是真命题 D. “”是“函数在上随x 增加而增加”的充分不必要条件 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，利用含量词的命题的否定规定易得；对于B，举反例排除即可；对于C，举例子说明即得；对于D，先求出“函数在上单调递增”的等价条件，再利用充要条件判断即可． 【详解】对于A，由存在量词命题的否定的规定，可知命题的否定是，，故A错误； 对于B，由不能推出，例如，但， 所以“”不是“”的必要条件，故B错误； 对于C，当时，，故C正确； 对于D，因函数在上单调递增等价于， 由可以推出，但不能推出， 故“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件． 故选：AB． 11. 群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中．有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明．群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“．”是G上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件： ①对所有的a、，有； ②、b、，有； ③，使得，有，e称为单位元； ④，，使，称a与b互为逆元． 则称G关于“·”构成一个群．则下列说法正确的有（ ） A. 关于数的乘法构成群 B. 自然数集N关于数的加法构成群 C. 实数集R关于数的乘法构成群 D. 关于数的加法构成群 【答案】AD 【解析】 【分析】根据“”运算的定义，结合集合中元素与集合的关系判断，对每个选项逐一判断即要可． 【详解】对于A选项，对所有的、，有，且满足①乘法结合律； ②，使得，有； ③，，有，故A正确； 对于B选项，①自然数满足加法结合律； ②，使得，有； 但是对于，，不存在，使，故B错误； 对于C选项，对所有的、，有， ①实数满足加法结合律； ②，使得，有； 但对于，，不存在，使，故C错误； 对于D选项，对所有的、，可设，，，，，， 则， ①满足加法结合律，即、、，有； ②，使得，有； ③，设，，，，使，故D正确． 故选：AD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，，若，则实数__________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知集合的元素，分类讨论求参数值，再根据集合的性质确定的值. 【详解】若，则，此时集合违背互异性，不符合要求； 若，则，此时，符合要求； 若，则，此时集合违背互异性，不符合要求； 综上所述，. 故答案为：. 13. “”是“”的_____ 条件(填“充分不必要、必要不充分、充要条件、既不充分也不必要” ） 【答案】充分不必要 【解析】 【分析】通过对分类讨论，求出的解集，判断该解集与的关系即可得答案． 【详解】当时，由得，即， 解得或； 当时，由得，即，此时无解； 综上，的解集为或． 因为是或的真子集， 故“”是“”的充分不必要条件． 故答案为：充分不必要 14. 8月11日，第33届夏季奥林匹克运动会在巴黎法兰西体育场落下帷幕．中国体育代表团在巴黎奥运会获得40金、27银、24铜共91枚奖牌，取得了我国1984年全面参加夏季奥运会以来境外参赛历史最好成绩，小明统计了班级60名同学对游泳、跳水、乒乓球这三类体育项目的喜欢情况，其中有20名同学同时喜欢这三类体育项目，18名同学不喜欢乒乓球，20名同学不喜欢跳水，16名同学不喜欢游泳，且每人至少喜欢一类体育项目，则至少喜欢两类体育项目的同学的人数为______． 【答案】46 【解析】 【分析】根据给定条件，画出韦恩图，利用容斥原理列式计算即得. 【详解】设只喜欢游泳、跳水、乒乓球的同学的人数分别为， 喜欢游泳和跳水两样的同学的人数为，喜欢游泳和乒乓球两样的同学的人数为， 喜欢跳水和乒乓球两样的同学的人数为，如图， 则，后三个方程相加得， 与第一个方程消去得， 所以至少喜欢两类体育项目的同学的人数为. 故答案为：46 四、解答题：本题共3小题，共47分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合． （1）若，求的值； （2）若集合至多有两个子集，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由，代入得，再求解即可； （2）分集合为或有且仅有一个元素两种情况进行求解，其中当集合有且仅有一个元素时，注意对方程的二次项系数分和两种情况进行分别求解即可． 【小问1详解】 由于，所以是的实数根， 故，故； 【小问2详解】 由已知可得中最多有一个元素，故中可能无任何元素，或者只有一个元素， 当时只有一个元素， 当时，方程为一元二次方程，，即时，为空集； ，即时，方程有两个相等的根，中有一个元素， 中最多有一个元素，或． 16. 已知集合，． （1）已知，若命题是命题的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若命题，是假命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式化简集合A，分析可知集合是集合的真子集，结合包含关系列式求解即可； （2）分析可知，结合交集运算求解即可. 【小问1详解】 对于不等式，等价于， 解得，可知， 因为p是q的充分不必要条件，则集合是集合的真子集， 当时，恒成立，所以， 则且与不同时成立， 解得， 所以实数的取值范围为 ． 【小问2详解】 由（1）可知：， 因为命题，是假命题，则命题，是真命题， 可知，且， 可得， 解得， 所以实数的取值范围为． 17. 已知集合，其中，由中元素可构成两个点集和其中中有个元素，中有个元素，若对任意的，必有，则称集合具有性质． （1）已知集合，直接写出其对应的集合，； （2）若集合具有性质，若，求集合最多有几个元素？ （3）若集合具有性质，试判断和的大小关系，并证明你的结论． 【答案】（1）， （2） （3），理由如下： 对于，根据定义可知：，，， 又因为集合具有性质，则， 如果，是中不同元素，那么，中至少有一个不成立， 于是，中至少有一个不成立，故，也是中不同的元素， 可见的元素个数不多于的元素个数，即， 对于，根据定义可知，，，， 又因为集合具有性质，则， 如果，是中不同元素，那么，中至少有一个不成立， 于是，中至少有一个不成立， 故，也是中不同的元素， 可见的元素个数不多于的元素个数，即，综上，． 【解析】 【分析】（1）根据定义做出判断，直接写出集合，； （2）利用定义，探讨出与的关系式，再代入求值； （3）分和两种情况，若，推出的元素个数不多于的元素个数，即，若，推出的元素个数不多于的元素个数，即，从而得到答案． 【小问1详解】 ，由于，，， 故，由于，，， ，，，故． 【小问2详解】 依题意，集合的元素构成有序数对共有个， 由，得，又当时，，则当时，， 因此集合的元素个数不超过个， 取，则中元素的个数为个， 所以中元素的个数最多为． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $