精品解析：湖南省岳阳市湘一南湖学校2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

湘一南湖学校2025年下学期九年级期中考试 数学 时量：120分钟 分值：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 瓷器上的纹饰是中国古代传统文化的重要载体之一，如图所示的图片即为瓷器上的纹饰，该图形既是中心对称图形也是轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义及对称轴条数的判断，解题的关键是理解对称轴的概念（平面内使图形沿直线折叠后直线两旁部分完全重合的直线），并结合图形既是中心对称图形也是轴对称图形的特征确定对称轴数量． 先明确对称轴的定义，再根据图形兼具中心对称和轴对称的性质，分析其可能的对称轴方向（水平、垂直及两条对角方向），进而确定对称轴的总条数． 【详解】解：根据轴对称图形的定义，对称轴是使图形沿直线折叠后两旁部分完全重合的直线．已知该图形既是中心对称图形也是轴对称图形，结合其纹饰特征，可判断出该图形的对称轴有4条（分别为水平方向、垂直方向及两条对角方向的直线），对应选项B． 故选：B． 2. 一只不透明的袋中装有除颜色外都相同的红球、黄球、白球共50个．通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黄球的频率分别是．则可估计袋中白球的个数是（ ） A. 10 B. 15 C. 25 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到摸到红球和摸到黄球的概率，进而求出黄球和红球的个数，据此可得白球的个数． 【详解】解：∵通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黄球的频率分别是， ∴摸到红球、黄球的概率分别是， ∴红球和黄球各有个，个， ∴可估计袋中白球的个数是个， 故选：D． 3. 如果两个相似多边形的周长比为，则它们的面积比为（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似多边形的性质，根据相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，进行求解即可． 【详解】解：∵两个相似多边形的周长比为， ∴相似多边形的相似比为； ∴它们的面积比为； 故选：C． 4. 已知二次函数下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为：直线 B. 当时，随的增大而减小 C. 函数的最小值是 D. 顶点坐标为 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的顶点式解析式的图像和性质，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质． 利用二次函数的顶点式解析式的图像和性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：由得，， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， 故选项A和D错误，不符合题意； ∵， ∴顶点坐标为最高点，顶点纵坐标为最大值，最大值为， 故选项C错误，不符合题意； 当时，随的增大而减小， 故选项B正确，符合题意； 故选：B． 5. 如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．根据相似三角形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：设各个小正方形的边长为1，则已知的三角形的各边分别为1，，， A、因为三边分别为：，，3，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似； B、因为三边分别为：2，，，三边与已知三角形的各边对应成比例，，故两三角形相似； C、因为三边分别为：1，，，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似； D、因为三边分另为：2，，，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似， 故选：B． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 半圆是弧 B. 过圆心的线段是直径 C. 弦是直径 D. 长度相等的两条弧是等弧 【答案】A 【解析】 【分析】利用圆的有关定义分别判断即可． 【详解】解：A、半圆是弧，正确，符合题意； B、过圆心的弦是直径，故原命题错误，不符合题意； C、直径是弦，但弦不一定是直径，故原命题错误，不符合题意； D、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故原命题错误，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了圆的认识，解题的关键是了解圆的有关定义及性质． 7. 若二次函数与轴有交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了抛物线与轴的交点问题，根据二次函数与轴有交点则，进而求出得取值范围即可，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数与轴有交点， ∴， ∴， 又∵， ∴且， 故选：． 8. 摩拜共享单车计划2023年第三季度（8月，9月，10月）连续3个月对成都投放新型摩拜单车，计划8月投放3000台，第三季度共投放12000台，每月按相同的增长率投放，设增长率为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程应用，关键是抓住增长率表示出12月的投放台数．根据8月投放台数，列出用增长率表示9月和10月的投放台数，再根据题意列方程即可． 【详解】根据题意，计划9月投放台，计划10月投放台，所以可列方程． 故选：D． 9. 如图，在一张台球桌上，一球在点A处，要从A处击打出去，经球台边挡板CD反射击中B球．作于点C，于点D．已知，，，，若球手恰好能击中B球，则的长为（ ） A. 8cm B. 10cm C. 12cm D. cm 【答案】C 【解析】 【分析】证明，再由对应边成比例可求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又， ∴， ∴，即， 解得， 即的长为12cm． 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是判断出，要求熟练掌握相似三角形的对应边成比例． 10. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论： ①； ②若且，则； ③当时，； ④若，，连接，点P在抛物线的对称轴上，且，则． 以上结论正确的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、勾股定理的应用，熟练掌握二次函数的对称轴、最值及坐标运算的方法是解题的关键． 根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点，逐一分析每个结论的正确性． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴， ∴ ∵ 抛物线与轴正半轴交于， ∴ ， ∵ ，，， ∴ ，结论①正确． ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ，即，结论②错误． ∵ 对称轴为，， ∴ 当时，取得最大值， ∴ 当时，， ∴ ，结论③正确． ∵ 对称轴，， ∴ ， 设，，， 则，，， ∵ ， ∴ ， 即，解得， ∴ ，结论④正确． 综上，①③④正确，共3个． 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 已知反比例函数的图象经过点，则k的值是_____________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 将图象上点的坐标代入函数表达式即可求出k的值． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ， ， 故答案为：6． 12. 将二次函数的图象向下平移4个单位长度，得到的函数的解析式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数图象平移的规律，向下平移4个单位长度相当于在函数值上减去4个单位长度即可得解，熟练掌握二次函数的平移法则是解此题的关键． 【详解】解：将二次函数的图象向下平移4个单位长度，得到的函数解析式为， 故答案为：． 13. 函数图象上的两个不同点，，则，的大小关系是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的函数值计算，熟练掌握二次函数的代入求值方法是解题的关键． 先确定二次函数的顶点，再分别代入两点坐标计算函数值，最后比较大小． 【详解】解：，， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 如图，是半圆O的直径，点C、D在半圆O上，若，则的度数为________． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆的内接四边形性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 根据圆内接四边形对角互补，可求得的度数，再根据直径所对的圆周角为直角，三角形内角和定理即可求得的度数． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ， ∵是半圆O的直径， ∴， ， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，点为的中点，连接，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数，直角三角形的斜边中线定理，解题的关键是掌握相关知识．根据锐角三角函数求出，再根据直角三角形的斜边中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：在中，，，， ， 点为的中点， ， 故答案为：． 16. 5个全等的方块如图放置在中，则的值是__________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了求正切值.根据题意知，计算即可. 【详解】解：如图， 由题意可知：． 故答案为：1. 17. 如图，正方形为一个密闭容器的轴截面，当与水平桌面的夹角为时，液面恰过点A，若，则此时容器的最高点D到桌面的高度为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质以及直角三角形的相关知识，解直角三角形等知识点，解题的关键是熟练掌握以上知识． 过点作垂直桌面于点，过点作于点，过点作垂直桌面于点，先根据正方形性质得到相关边和角的信息，求出，最后在中，求得，即可求出容器的最高点D到桌面的高度． 【详解】解∶ 过点作垂直桌面于点，过点作于点，过点作垂直桌面于点， ， 四边形是矩形， ，， 四边形是正方形， ． ， ， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， 在中， 点到桌面的高度， 故答案为：． 18. 函数，其中m是常数且，该函数的图象记为G． （1）当，时，图象G与x轴的交点坐标为______； （2）若直线与该函数图象G恰好只有两个交点，则m的取值为______． 【答案】 ①. ②. 3或 【解析】 【分析】（1）代入得到时的函数式，令解方程，结合确定交点； （2）分析函数两部分的顶点，结合直线与图象的交点数，求解的值． 【详解】解：（1）当，时，函数为， 令，得， 解得或． ∵ ∴ ∴交点坐标为， 故答案为：； （2）当时，，顶点横坐标为，代入得顶点为； 当时，，顶点横坐标为，代入得顶点为． ∵直线与图象恰有两个交点， ∴直线过其中一个顶点， ①直线过顶点，则， 解得， ②直线过顶点，则， 解得， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了分段二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的顶点式、函数与方程的关系是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共66分） 19. 计算： ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，掌握相关运算法则是解决问题的关键．先算零次幂，算术平方根，特殊角三角函数值，化简绝对值，再进行加减运算即可． 【详解】解：， ， ， ． 20. 如图，为的直径，和是的两条弦，且，，求的度数． 【答案】的度数为． 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，半径相等，三角形的外角性质．由平行线的性质，可得，由等边对等角求得，再根据三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的度数为． 21. 年国庆黄金周期间，岳阳旅游景点热闹非凡．市文旅局为了进一步提升旅游服务质量，对本次国庆期间到过岳阳游玩的部分游客通过在线调查的方式评选出“您最推荐的景点”，对岳阳市各景点包括：岳阳楼、圣安寺、君山岛、洞庭南路（以下分别用、、、表示，只能选择一类）的情况进行了抽样调查，并将调查结果绘制如图所示不完整的两幅统计图． （1）补全这两幅统计图； （2）若国庆期间岳阳市累计接待了游客约万人，根据抽样调查的结果估计最推荐岳阳楼的游客有多少万人？ （3）某游客准备到岳阳旅游，随机选择、、、四个景点中的两个去游玩，请用画树状图或列表的方法，求该游客恰好选择岳阳楼和洞庭南路这两个景点的概率． 【答案】（1） 补全统计图为： （2）万人 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概率，正确读懂统计图和画出树状图是解题的关键； （1）通过已知条件求样本容量，求出各部分数据及占比来补全统计图； （2）利用样本估计总体的方法计算人数； （3）通过画树状图求概率即可． 【小问1详解】 解：（人）， A：（人）， B：（人），， D：， 【小问2详解】 解：（万人）， 答：最推荐岳阳楼的游客有万人 【小问3详解】 解：画树状图为： 如上图所示共种等可能结果，其中游客恰好选择岳阳楼和洞庭南路这两个景点的结果共有种 ∴． 答：该游客恰好选择岳阳楼和洞庭南路这两个景点的概率为． 22. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于两点，． （1）求反比例函数与一次函数的函数关系式； （2）根据图象，直接回答：当x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值； （3）在y轴上找一点P，使得点A，O，P构成以为腰的等腰三角形，直接写出满足条件的点P的坐标． 【答案】（1），． （2）或； （3）或或． 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合应用、等腰三角形的分类讨论、平面直角坐标系内两点间距离公式，熟练掌握函数交点的求解方法和等腰三角形的分类分析是解题的关键． （1）把点A代入反比例函数求k，再用反比例函数求点B的n，最后将A、B代入一次函数列方程组求m、b； （2）观察图象，找一次函数图象在反比例函数图象上方对应的x范围； （3）分、两种情况，结合距离公式计算P点坐标． 【小问1详解】 解：将代入，得， 解得， 所以反比例函数的关系式为． 将代入，得， 解得，即． 将、代入，得 ， 解得，， 所以一次函数的关系式为． 【小问2详解】 解：由（1）得反比例函数的图象与一次函数的图象交于两点，， 结合图形得当或时，一次函数的值大于反比例函数的值． 【小问3详解】 解：∵ ，， ∴， 当时，设，则， 所以或，对应点的坐标为、． 当时，，则 ， ， ， 所以或． 当时，（与点O重合，舍去）； 当时，，对应点的坐标为， 综上，点P的坐标为或或． 23. 综合与实践： A. 新增选项 项目 测量某塔的高度 方案 方案一：借助太阳光线构成相似三角形．测量：标杆长，影长，塔影长． 方案二：利用锐角三角函数，测量：距离，仰角，仰角． 测量示意图 测量 项目 第一次 第二次 平均值 测量 项目 第一次 第二次 平均值 测量数据 （1）根据“方案一”的测量数据，求出塔的高度； （2）根据“方案二”的测量数据，求出塔的高度；（参考数据：，，，，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和锐角三角函数的实际应用． （1）由题意可知，从而得出，代入测量的平均值进行求解即可； （2）根据锐角三角函数的正切值分别得出，，再根据进行求解即可． 【小问1详解】 解：如图， 由题意可知， ∴，即， 解得， ∴塔的高度为米； 【小问2详解】 解：如图， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴，即． ∴米， ∴塔的高度为米． 24. 公安部提醒市民，骑行必须严格遵守“一盔一带”的规定，若这种头盔每个进价为30元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为40元时，月销售量为600个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．设该品牌头盔售价为x元，月销售量为y． （1）直接写出y关于x的函数关系式； （2）该品牌头盔的实际售价定为多少元时，商家能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当时，利润最大，最大值为12250元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数，一次函数的应用，找准等量关系是解题的关键． （1）根据“售价每涨价1元，则月销售量将减少10个”，列出关系式即可求解； （2）根据月销售利润每个头盔的利润月销售量，即可得出关于x的二次函数，进而可求出结论． 【小问1详解】 解：根据题意得：． 【小问2详解】 解：根据题意得： ． ∴当元时，取最大值元． 25. 如图，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，D为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图①，若N是直线下方抛物线上的一点，求面积的最大值； （3）如图②，P，Q两点在抛物线的对称轴上（点P在点Q上方），且，当与相似时，求出Q点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）P，Q两点的坐标分别为或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）在下方抛物线上取一点，过点作轴，与直线交于点，连接，首先确定，利用待定系数法解得直线的解析式为；设，则，易得，进一步可得，结合二次函数的图像与性质即可获得答案； （3）连接，首先确定是等腰直角三角形，由勾股定理可得，，再证明为等腰直角三角形，易得，然后分和两种情况分别求解即可． 【小问1详解】 解：将，两点代入， 得，解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 如图，过点作轴，与直线交于点，连接， 对于抛物线，令，则， ∴， 设直线的解析式为， 将，两点代入，可得，解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴， ∴当时，的面积有最大值，最大值为； 【小问3详解】 如图④，连接， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设对称轴与轴的交点为M， ∵，， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， 由勾股定理可得， 在中，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 若，则， ∴，解得， ∴， ∴； 若，则， ∴，解得， ∴， ∴． 综上所述，当与相似时，P，Q两点的坐标分别为或． 【点睛】本题是二次函数与几何的综合，考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的图像与性质、等腰三角形的判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，有一定的综合性，灵活应用是关键． 26. 【问题探究】轴对称和旋转是平面几何中图形变化中最重要的两种方式，运用作轴对称图形和旋转的方法可以十分便利的解决一些较困难的几何问题，小智和小慧在学习完这两个部分内容后分别利用不同的方法轻松的解决了一道“网红题”，题目如下：如图①，是等腰直角三角形，，，，求证：； 小智是这样思考的，如图②把沿折叠至，连接，易证，所以，，，在中由勾股定理得：，所以有． 小慧是这样思考的，如图③把绕点A旋转至，连接，易证，所以，，，在中由勾股定理得：，所以有． 【问题迁移】的直角顶点E在矩形的对角线上运动，斜边交于G点，且， ①如图1，当，，则的值为______；的值为______． 【问题拓展】 ②如图2，在矩形中，，当时，求证：； ③如图3，在矩形中，，，，请直接写出线段、、的数量关系． 【答案】①12，5 ②证明：延长、交于点，将顺时针旋转至，连接、， ， ，， ， ， 又四边形是矩形， ，， ， ，， 又 ， 即， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， 在中，由勾股定理得， 即， 又， ， ． ③ 【解析】 【分析】①利用矩形的性质和勾股定理即可求出，利用旋转的方法将绕点A旋转至，连接，得到，在中，运用勾股定理建立方程求解； ②延长、交于点，将顺时针旋转至，得到，连接、，通过证明三角形全等和角的关系，得到，在中，运用勾股定理得到，再进行等量代换证明； ③将绕点旋转至，并使得，得到， 作，，证明，得到，，证明，得到，进而得到． 【详解】解：①四边形是矩形且， 矩形是正方形， ， 又 是正方形的对角线， 根据勾股定理，， ， 把绕点A旋转至，连接，如图， ，，，， ， ， ， ， ， 在与中 ， ， ， 在中，根据勾股定理，， 设，则， ， 解得， ． 故答案为12，5． ②略 ③如图所示，将绕点旋转至，并使得， 四边形是矩形， 又，， ， 作，， ， ， ，， ， 又， ， ，， ， ，， ， 又， 在与中， ， ， ， 又， 即． 【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．利用旋转的方法将分散的线段集中到一个三角形以便利用勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湘一南湖学校2025年下学期九年级期中考试 数学 时量：120分钟 分值：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 瓷器上的纹饰是中国古代传统文化的重要载体之一，如图所示的图片即为瓷器上的纹饰，该图形既是中心对称图形也是轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 2. 一只不透明的袋中装有除颜色外都相同的红球、黄球、白球共50个．通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黄球的频率分别是．则可估计袋中白球的个数是（ ） A. 10 B. 15 C. 25 D. 20 3. 如果两个相似多边形的周长比为，则它们的面积比为（     ） A. B. C. D. 4. 已知二次函数下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为：直线 B. 当时，随的增大而减小 C. 函数的最小值是 D. 顶点坐标为 5. 如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与相似的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 半圆是弧 B. 过圆心的线段是直径 C. 弦是直径 D. 长度相等的两条弧是等弧 7. 若二次函数与轴有交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 8. 摩拜共享单车计划2023年第三季度（8月，9月，10月）连续3个月对成都投放新型摩拜单车，计划8月投放3000台，第三季度共投放12000台，每月按相同的增长率投放，设增长率为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在一张台球桌上，一球在点A处，要从A处击打出去，经球台边挡板CD反射击中B球．作于点C，于点D．已知，，，，若球手恰好能击中B球，则的长为（ ） A. 8cm B. 10cm C. 12cm D. cm 10. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论： ①； ②若且，则； ③当时，； ④若，，连接，点P在抛物线的对称轴上，且，则． 以上结论正确的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 已知反比例函数的图象经过点，则k的值是_____________． 12. 将二次函数的图象向下平移4个单位长度，得到的函数的解析式是______． 13. 函数图象上的两个不同点，，则，的大小关系是______． 14. 如图，是半圆O的直径，点C、D在半圆O上，若，则的度数为________． 15. 如图，在中，，，，点为的中点，连接，则的长为_____． 16. 5个全等的方块如图放置在中，则的值是__________． 17. 如图，正方形为一个密闭容器的轴截面，当与水平桌面的夹角为时，液面恰过点A，若，则此时容器的最高点D到桌面的高度为________． 18. 函数，其中m是常数且，该函数的图象记为G． （1）当，时，图象G与x轴的交点坐标为______； （2）若直线与该函数图象G恰好只有两个交点，则m的取值为______． 三、解答题（本大题共8小题，共66分） 19. 计算： ． 20. 如图，为的直径，和是的两条弦，且，，求的度数． 21. 年国庆黄金周期间，岳阳旅游景点热闹非凡．市文旅局为了进一步提升旅游服务质量，对本次国庆期间到过岳阳游玩的部分游客通过在线调查的方式评选出“您最推荐的景点”，对岳阳市各景点包括：岳阳楼、圣安寺、君山岛、洞庭南路（以下分别用、、、表示，只能选择一类）的情况进行了抽样调查，并将调查结果绘制如图所示不完整的两幅统计图． （1）补全这两幅统计图； （2）若国庆期间岳阳市累计接待了游客约万人，根据抽样调查的结果估计最推荐岳阳楼的游客有多少万人？ （3）某游客准备到岳阳旅游，随机选择、、、四个景点中的两个去游玩，请用画树状图或列表的方法，求该游客恰好选择岳阳楼和洞庭南路这两个景点的概率． 22. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于两点，． （1）求反比例函数与一次函数的函数关系式； （2）根据图象，直接回答：当x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值； （3）在y轴上找一点P，使得点A，O，P构成以为腰的等腰三角形，直接写出满足条件的点P的坐标． 23. 综合与实践： A. 新增选项 项目 测量某塔的高度 方案 方案一：借助太阳光线构成相似三角形．测量：标杆长，影长，塔影长． 方案二：利用锐角三角函数，测量：距离，仰角，仰角． 测量示意图 测量 项目 第一次 第二次 平均值 测量 项目 第一次 第二次 平均值 测量数据 （1）根据“方案一”的测量数据，求出塔的高度； （2）根据“方案二”的测量数据，求出塔的高度；（参考数据：，，，，，） 24. 公安部提醒市民，骑行必须严格遵守“一盔一带”的规定，若这种头盔每个进价为30元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为40元时，月销售量为600个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．设该品牌头盔售价为x元，月销售量为y． （1）直接写出y关于x的函数关系式； （2）该品牌头盔的实际售价定为多少元时，商家能获得最大利润？最大利润是多少？ 25. 如图，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，D为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图①，若N是直线下方抛物线上的一点，求面积的最大值； （3）如图②，P，Q两点在抛物线的对称轴上（点P在点Q上方），且，当与相似时，求出Q点的坐标． 26. 【问题探究】轴对称和旋转是平面几何中图形变化中最重要的两种方式，运用作轴对称图形和旋转的方法可以十分便利的解决一些较困难的几何问题，小智和小慧在学习完这两个部分内容后分别利用不同的方法轻松的解决了一道“网红题”，题目如下：如图①，是等腰直角三角形，，，，求证：； 小智是这样思考的，如图②把沿折叠至，连接，易证，所以，，，在中由勾股定理得：，所以有． 小慧是这样思考的，如图③把绕点A旋转至，连接，易证，所以，，，在中由勾股定理得：，所以有． 【问题迁移】的直角顶点E在矩形的对角线上运动，斜边交于G点，且， ①如图1，当，，则的值为______；的值为______． 【问题拓展】 ②如图2，在矩形中，，当时，求证：； ③如图3，在矩形中，，，，请直接写出线段、、的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $