精品解析：广东省河源市龙川县龙川第一实验学校2025-2026学年九年级数学上学期期中试题

2025-2026年度龙川第一实验学校期中 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共4页，23小题，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题．（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 若四条线段，，，成比例，其中，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，要使平行四边形ABCD是矩形，需要增加的一个条件可以是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 4. 如图，在中，已知分别是边上的点，且．若，则（） A. B. C. D. 5. 玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比（约等于）时（如图），可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度约为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在菱形中，，点A的坐标为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 7. 龙川县历史悠久，是广东最早立县的四个古邑之一，有“千年古县”之称，龙川县有许多旅游景点，如佗城景区，霍山景区，九龙湾景区．周末，小明与小佳两人准备从这个景区随机选一个景区前往游览，他们恰好选择同一景区的概率（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点D在的边上，添加一个条件，使得．以下是天翼和佳琛的做法，下列说法不正确的是（ ） 天翼的做法： 添加条件． 证明：，， （两角分别相等的两个三角形相似）． 佳琛的做法：添加条件． 证明：，（两组对应边成比例及一组对应角相等的两个三角形相似）． A. 天翼的做法证明过程没有问题 B. 佳琛的做法证明过程没有问题 C. 天翼的做法添加的条件没有问题 D. 佳琛的做法添加的条件有问题 9. 美术绘画小组在中秋节这一天人人相互送一个月饼，共送出72个月饼，美术绘画小组的人数是( ) A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 10. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴、y轴于两点，过该函数图象上一点作轴于D，点E是线段上一动点，连接，若以为顶点的三角形与相似，则点E的坐标为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题．（每题3分，共15分） 11. 河源湿地公园是国家级湿地公园，集自然景观、生态保护和科普教育于一体．为了解该湿地公园内候鸟的情况，从中捕捉只候鸟，做上标记后放回，经过一段时间后，捕捉的候鸟中有标记的频率稳定在左右，则估计该湿地公园中约有________只候鸟． 12. 已知，则________． 13. 若是方程的解，则代数式的值为_____． 14. 如图，在等腰中，，以斜边为边向外作正方形，连接，则_______． 15. 如图，点分别在的边上，，，已知是的中点，连接并延长交于点N，则________． 三、解答题（一） 16. 解方程：． 17. 如图．在中．，． （1）用无刻度的直尺和圆规作边的垂直平分线，分别交、于点，（不写作法，保留作图痕迹，可描黑）； （2）证明：． 18. 如图，在矩形中，是边上一点，是的延长线上一点，连接，，已知，． 求证：四边形是正方形． 四、解答题（二） 19. 如图，在四边形ABCD中，ABCD，，，E为BC上一点，且，若，，求AB的长． 20. 已知：的两邻边，的长是关于的方程的两个实数根． （1）当为何值时，是菱形？ （2）若的长为3，求的周长． 五、解答题（三） 21. 河源市是客家人的发祥地之一，拥有丰富的历史文化，包括客家文化，恐龙文化和水文化．为了弘扬河源地方文化，让更多游客了解客家文化，某文旅公司推出多款文创产品．某款吉祥物受到广大游客的喜爱，6月份的销量为200件，8月份的销量为288件，已知该款吉祥物的成本价是30元．当售价为40元时，每天可售出60件，调查发现，售价每降价1元，每天可多售出10件． （1）求该款吉祥物月份的销量的月平均增长率； （2）为让利于游客，该款吉祥物应该降价多少元，能使文旅公司每天的利润是630元； （3）该文旅公司每天的利润能达到1000元吗？如果能，请求出该款吉祥物应降价多少元，若不能，请说明理由． 22. 如图1，已知，，，连接，． （1）当绕点A旋转过程中，试探究的值； 【深入探究】 （2）如图2，点B在内部，延长交的延长线于F，交于G，若，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图3，点B在内部，连接，延长交于H，若，，且，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年度龙川第一实验学校期中 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共4页，23小题，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题．（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 若四条线段，，，成比例，其中，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了比例线段的定义，若四条线段，，，成比例，则，由此进行计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：四条线段，，，成比例， ， ，，， ， 故选：A． 2. 如图，要使平行四边形ABCD是矩形，需要增加的一个条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理和平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形等 ）是解题的关键．根据矩形的判定定理，逐一分析每个选项，判断哪个条件能使平行四边形成为矩形． 【详解】解：选项A：∵ 平行四边形本身就有的性质， ∴ 此条件不能使平行四边形变为矩形，该选项错误． 选项B：∵ ，平行四边形中邻边相等时是菱形，不是矩形的判定条件， ∴ 此条件不能使平行四边形变为矩形，该选项错误． 选项C：∵ 平行四边形本身就有的性质， ∴ 此条件不能使平行四边形变为矩形，该选项错误． 选项D：∵ 矩形的判定定理之一是“对角线相等的平行四边形是矩形”，平行四边形中， ∴ 平行四边形是矩形，该选项正确． 故选：D ． 3. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，根据方程的根的判别式，即可得出该方程有两个不相等的实数根． 【详解】解：在方程中， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 4. 如图，在中，已知分别是边上的点，且．若，则（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键； 由证，利用相似三角形对应边成比例，结合，得出结论． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵ ∴ 故选：A． 5. 玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比（约等于）时（如图），可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：由题知， 因为液面高度与瓶高之比为黄金比，且， 所以， 故选：C 6. 如图，在菱形中，，点A的坐标为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、含角的直角三角形的性质；由点A的坐标为得,由菱形的性质得出，再由含角的直角三角形的性质得． 【详解】解：∵点A的坐标为， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， 故选：C． 7. 龙川县历史悠久，是广东最早立县的四个古邑之一，有“千年古县”之称，龙川县有许多旅游景点，如佗城景区，霍山景区，九龙湾景区．周末，小明与小佳两人准备从这个景区随机选一个景区前往游览，他们恰好选择同一景区的概率（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查可能事件的概率．通过计算所有可能的选择组合和满足条件的组合数，利用概率公式求解． 【详解】解：∵小明从个景区中随机选择个，有种选择；小佳同样有种选择， ∴总共有种可能的选择组合， ∵他们选择同一景区的情况有种（都选佗城、都选霍山或都选九龙湾）， ∴概率为． 故选：C． 8. 如图，点D在的边上，添加一个条件，使得．以下是天翼和佳琛的做法，下列说法不正确的是（ ） 天翼的做法： 添加条件． 证明：，， （两角分别相等的两个三角形相似）． 佳琛的做法：添加条件． 证明：，（两组对应边成比例及一组对应角相等的两个三角形相似）． A. 天翼的做法证明过程没有问题 B. 佳琛的做法证明过程没有问题 C. 天翼的做法添加的条件没有问题 D. 佳琛的做法添加的条件有问题 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据题意已知，故添加两组对应边成比例夹角为或者添加一组对应角相等，即可求解． 【详解】解：依题意，，添加一组对应角相等，可以使得，故天翼的做法以及过程没有问题， 佳琛的做法添加的条件有问题，应为，故B选项符合题意， 故选：B． 9. 美术绘画小组在中秋节这一天人人相互送一个月饼，共送出72个月饼，美术绘画小组的人数是( ) A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用；等量关系为：小组的人数小组人数，把相关数值代入计算即可． 【详解】解：设美术兴趣小组人数为人． ， 解得 (不合题意，舍去)， 故选：C． 10. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴、y轴于两点，过该函数图象上一点作轴于D，点E是线段上一动点，连接，若以为顶点的三角形与相似，则点E的坐标为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，一次函数图象和一次函数图象上点的坐标特征．设，先利用一次函数解析式确定，，利用勾股定理计算出，由于，则，根据相似三角形的判定方法，当时，，利用相似比求出，利用两点间的距离公式得到，解方程得到此时E点坐标；当时，，同样方法求此时E点坐标． 【详解】解：设， 对于，当时，，解得， ∴， 当时，，则， ∴， ∵，轴， ∴，， ∵， ∴， ∴当时，， 即， 解得， ∴， 解得（舍去），， 此时E点坐标为； 当时，， 即， 解得， ∴， 解得（舍去），， 此时E点坐标为， 综上所述，E点坐标为或． 故选：C． 二、填空题．（每题3分，共15分） 11. 河源湿地公园是国家级湿地公园，集自然景观、生态保护和科普教育于一体．为了解该湿地公园内候鸟的情况，从中捕捉只候鸟，做上标记后放回，经过一段时间后，捕捉的候鸟中有标记的频率稳定在左右，则估计该湿地公园中约有________只候鸟． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是通过样本去估计总体．根据标记重捕法的原理，利用重捕样本中有标记候鸟的频率估计候鸟总数． 【详解】解：设湿地公园中候鸟的总数为只． 首次捕捉并标记只候鸟后放回， 重捕时，有标记候鸟的频率稳定在，即， 解方程得，故估计该湿地公园中约有只候鸟． 故答案为：． 12. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的基本性质化简，准确观察分析是解题的关键． 根据比例的基本性质进行化简，代入求值即可． 【详解】解：由可得， ∴． 故答案为：． 13. 若是方程的解，则代数式的值为_____． 【答案】2024 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解与代数式求值，根据一元二次方程的解的定义得到是解此题的关键，注意采用整体代入的思想进行计算． 根据一元二次方程的解的定义得到，再把表示为，然后整体代入计算即可得到答案． 【详解】解：是方程的解， ， ， ∴． 故答案为：2024． 14. 如图，在等腰中，，以斜边为边向外作正方形，连接，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，由勾股定理得，由正方形得是等腰直角三角形，得，最后根据勾股定理得． 【详解】解：∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，点分别在的边上，，，已知是的中点，连接并延长交于点N，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，过点F作交于点G，可证．同理可得，，；由得，于是；设，则，，，从而得． 【详解】解：∵是的中点， ∴， 过点F作交于点G， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 设，则， ∴， ∴， ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 三、解答题（一） 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了利用公式法解一元二次方程，根据公式法的定义先求得根的判别式的值，再利用公式求得的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 17. 如图．在中．，． （1）用无刻度的直尺和圆规作边的垂直平分线，分别交、于点，（不写作法，保留作图痕迹，可描黑）； （2）证明：． 【答案】（1） 如图即为所求： （2） 证明：如图 垂直平分 ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图——垂直平分线，相似三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）分别以点为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于两点，连接两点即可； （2）根据垂直平分线的性质，可推出，即可证． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 略． 18. 如图，在矩形中，是边上一点，是的延长线上一点，连接，，已知，． 求证：四边形是正方形． 【答案】 证明：四边形是矩形， ， ，． ， ， ， ， ， ． 矩形是正方形． 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，正方形的判定，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定，得出． 证明，得出，根据一组邻边相等的矩形为正方形，即可得出结论． 【详解】略 四、解答题（二） 19. 如图，在四边形ABCD中，ABCD，，，E为BC上一点，且，若，，求AB的长． 【答案】 【解析】 【分析】由题意易知AB和CD所在的两个三角形相似，再利用相似比即可求出所求线段的长度． 【详解】解：∵AB平行CD，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题主要考查学生对梯形的性质及相似三角形的性质的理解及运用． 20. 已知：的两邻边，的长是关于的方程的两个实数根． （1）当为何值时，是菱形？ （2）若的长为3，求的周长． 【答案】（1）的值为8； （2）的周长为． 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，平行四边形的性质和菱形的判定与性质． （1）根据菱形的判定得到，再利用根的判别式的意义得到，解得，，然后根据根与系数的关系得到，，从而确定的值； （2）利用根与系数的关系得到，，解方程组得到，然后根据平行四边形的性质求解． 【小问1详解】 解：当时，，是菱形， 即，的长是关于的方程的两个相等的实数根， ， 解得，， ，， 的值为8； 【小问2详解】 解：， ，， ， 解得， 的周长． 五、解答题（三） 21. 河源市是客家人的发祥地之一，拥有丰富的历史文化，包括客家文化，恐龙文化和水文化．为了弘扬河源地方文化，让更多游客了解客家文化，某文旅公司推出多款文创产品．某款吉祥物受到广大游客的喜爱，6月份的销量为200件，8月份的销量为288件，已知该款吉祥物的成本价是30元．当售价为40元时，每天可售出60件，调查发现，售价每降价1元，每天可多售出10件． （1）求该款吉祥物月份的销量的月平均增长率； （2）为让利于游客，该款吉祥物应该降价多少元，能使文旅公司每天的利润是630元； （3）该文旅公司每天的利润能达到1000元吗？如果能，请求出该款吉祥物应降价多少元，若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）该款吉祥物降价元时，文旅公司每天的利润是元； （3） 解：不能达到元，理由如下： 设吉祥物应降价元， 由题意得，， 整理得，， ∵， ∴该方程无实数根， 答：该文旅公司每天的利润不能达到元． 【解析】 【分析】（）设该款吉祥物月份的销量的月平均增长率为，根据题意方程并解方程即可； （）设该款吉祥物应该降价元，根据题意列出方程即可求解； （）根据题意列出方程，再根据方程解的情况即可求解； 本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【小问1详解】 解：设该款吉祥物月份的销量的月平均增长率为， 则， 解得（不合题意，舍去）， 即该款吉祥物月份的销量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设该款吉祥物应该降价元， 由题意得，， 整理得：， 解得， ∵要让利顾客， ， 答：该款吉祥物降价元时，文旅公司每天的利润是元； 【小问3详解】 略 22. 如图1，已知，，，连接，． （1）当绕点A旋转过程中，试探究的值； 【深入探究】 （2）如图2，点B在内部，延长交的延长线于F，交于G，若，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图3，点B在内部，连接，延长交于H，若，，且，求的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题关键是发现图中的相似三角形，以及正确作辅助线构造直角三角形． （1）利用，得出，，进一步求出，利用相似三角形的性质即可求得； （2）先求出，得到，证明出，利用相似的性质求出后即可求解； （3）证明，求出，过B点作于K，求出，再利用勾股定理求出，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图，过B点作于K， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $