第二十四章 圆 单元检测卷 2025-2026学年人教版（2012）数学九年级上册

第二十四章《圆》单元检测卷 一、选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．对于命题“若，则”能说明它属于假命题的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．坐标平面上有两圆、，其圆心坐标均为．若圆与轴相切，圆与轴相切，则圆与圆的周长比（  ） A． B． C． D． 3．如图，为的直径，点C、D是的三等分点，，则的度数为（    ） A．32 B．60 C．80 D．120 4．如图，是的一条弦，直径,  垂足为，下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，四边形内接于，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，点，，，点为线段的中点，以点为圆心，为半径作⊙，则下列结论中正确的是（  ） A．与⊙相切 B．点在⊙上 C．点在⊙上 D．点在⊙上 7．如图所示，∆ABC的三个顶点在上，其中=，，则等于（     ） A． B． C． D． 8．如图所示，是的直径，点 B，D都在上，连接，若，则的半径长为(     ) A． B． C．4 D．2 9．如图，在四边形中，，，，点在边上，且为直角三角形，则符合要求的点P的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 10如图，点A，B在上，P为外一点，且，，连接OP，OP与相交于点C，与AB交于点D，连接，，有下列结论：①；②；③C为中点；④四边形为菱形；⑤O，A，B，P四点共圆，其中一定成立的有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．已知扇形的面积为，半径为3，则这个扇形的弧长是 （结果保留）． 12．如图，是的直径，，则 ． 13．如图，在中，满足=2，则下列对弦与弦大小关系表述为 ． 14．如图，A，B，C三点都在上，，则 ． 15．如图，是的直径，P是延长线上一点；与相切于点C，若，则 ° 16．如图，在平面直角坐标系中，点、、的坐标分别为，，，则以、、为顶点的三角形外接圆的圆心坐标是 ． 17．大自然中有许多小动物都是“小数学家”，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．一个巢房的横截面为正六边形，如图所示，若边心距 则这个正六边形的边长是 ． 18．在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．图1是一种推磨工具模型，图2是它的示意图，图3是其简化图，已知，点在中轴线上运动，点在以为圆心，长为半径的圆上运动，且．当点按逆时针方向运动到时，与相切，则的长为 ． 三、解答题（8小题，共64分） 19．用一个直角边长分别为3和4的直角纸片剪半圆，要求剪出的半圆的直径在的边上，且半圆的弧与另两边都相切，请用尺规作出示意图，并求出相应半圆的半径．    20．已知：如图，、、、是上的点，，． (1)求证：； (2)求的长． 21．如图，正六边形为的内接正六边形，过点D作的切线，交的延长线于点P，的半径为6，连接，．    (1)求； (2)连接，试判断和有什么特殊位置关系，并说明理由． 22．如图，为的直径，，垂足为，点是上一动点，连接分别交，于点，． (1)当时，与有何关系？证明你的结论． (2)当点在什么位置时，？证明你的结论． 23．绣球是广西民族文化的特色载体．如图，设计某种绣球叶瓣时，可以先在图纸上建立平面直角坐标系，再分别以原点，为圆心、以2为半径作圆，两圆相交于，两点，其公共部分构成叶瓣①（阴影部分），同理得到叶瓣②． (1)请直接写出，两点的坐标； (2)求叶瓣①的面积．（结果保留）． 24．如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A、B、C．（网格小正方形的边长为1）． (1)请在图中标出圆心P点位置，点P的坐标为 ；⊙P的半径为 ； (2)判断点与的位置关系； (3)若扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的侧面积为 ． 25．请仅用无刻度直尺按下列要求作图． (1)在图1中，已知正七边形，分别画出一个以为边的平行四边形和为边的菱形； (2)在图2中，若正七边形的外接圆为，画出的中点P，过点A作的切线． 26．对于凸四边形，根据它有无外接圆（四个顶点都在同一个圆上）与内切圆（四条边都与同一个圆相切），可分为四种类型，我们不妨约定： 既无外接圆，又无内切圆的四边形称为“平凡型无圆”四边形； 只有外接圆，而无内切圆的四边形称为“外接型单圆”四边形； 只有内切圆，而无外接圆的四边形称为“内切型单圆”四边形； 既有外接圆，又有内切圆的四边形称为“完美型双圆”四边形． 请你根据该约定，解答下列问题： (1)下列说法正确的有_____________．（填序号） ①平行四边形一定不是“平凡型无圆”四边形； ②内角不等于的菱形一定是“内切型单圆”四边形； ③若“完美型双圆”四边形的外接圆心与内切圆圆心重合，外接圆半径为R，内切圆半径为，则有． (2)如图1，已知四边形内接于．四条边长满足：． ①该四边形是“____________”四边形（从约定的四种类型中选一种填入）； ②若的平分线交于点E，的平分线交于点F，连接，求证：是的直径． (3)如图2，已知四边形是“完美型双圆”四边形，它的内切圆与分别相切于点连接交于点．若的半径为1，连接，当时，求的取值范围． 参考答案 一、选择题 1．D 【详解】解：、当，时，，不是反例，不符合题意； 、当，时，，不是反例，不符合题意； 、当，时，，不是反例，不符合题意； 、当，时，，是反例，符合题意； 故选：． 2．B 【详解】解：圆心坐标均为，圆与轴相切，圆与轴相切， 与的半径分别是7，3． 圆与圆的周长比是． 故选：B． 3．C 【详解】解：∵， ， ∵点、是的三等分点， ∴ ， ， 故选：C． 4．C 【详解】直径， ，，， ，， 选项、、结论成立； 与的关系不能确定，故选项的结论不一定成立； 故选：． 5．A 【详解】解：， ， 四边形内接于， ， ， 故选A． 6．A 【详解】解：由于点，，点为线段的中点， 那么点的坐标为，直线方程为：， 选项A、过点作于点，由题意得，，设，则， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 则，解得， ，即长等于半径， 则与相切，故结论正确； 选项B、，则点在外，故结论错误； 选项C、，则点在外，故结论错误； 选项D、，则点在外，故结论错误； 故选：A． 7．A 【详解】解：， ， ， ∵， ∴ 故选：A． 8．C 【详解】解：∵是的直径， ∴， 又∵， ∴， ∴的半径长为； 故选C． 9．C 【详解】解：如图所示， 符合要求的点P的个数是4个， 故选：C． 10．C 【详解】证明：，， ， 在和中， ， ， ，故①一定成立； ， ， 在和中， ， ， ，即，故②一定成立； ， ，故③一定成立； 要使得四边形为菱形， ，即，即， 显然，只有当时，这些前提才成立，故④不一定成立； ，， ， O，A，B，P四点共圆，故⑤一定成立； 一定成立的有：①②③⑤， 故选：C． 二、填空题 11． 【详解】，扇形的面积为，半径为3， ∴ ∴ ∴这个扇形的弧长是． 故答案为：． 12． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 13． 【详解】解：如图，取弧的中点，则=， 2， ==， ， ， ． 故答案为：． 14． 【详解】解：如下图所示， ， ， 四边形是的内接四边形， ， ． 故答案为：． 15．24 【详解】解：如图，连接， 与相切于点C， ， ， ， ， 故答案为：24． 16． 【详解】解：如图，作弦、的垂直平分线， ∵点、、的坐标分别为，，， 所以弦，弦， ∴弦的垂直平分线与轴相交于点，弦的垂直平分线与轴相交于点， ∴两条垂直平分线的交点即为三角形外接圆的圆心，且点的坐标是． 故答案为：． 17．2 【详解】解：连接，，如图所示： 六边形是正六边形， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：，负值舍去， ∴， ∴这个正六边形的边长是， 故答案为：2． 18． 【详解】解：如图3，连接，则， ， ， 与相切于点， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 19．解：如图，    作的平分线交于，则点为所要剪出的半圆的圆心， 设半圆与、切于、，连接、， 则，， 设半圆的半径为， 则， 解得：， 答：半圆的半径为． 20．（1）证明：， ， 即． ∴． （2）解：∵，， ． 21．（1）解：连接，    ∵正六边形为的内接正六边形， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下，连接，    由题意可得，点A，O，D共线，即为的直径， ∴， ∴． 22．（1）； 证明：连接， 为的直径， ． 又， ． ， ． ． ． （2）当弧弧时，， 证明：∵弧弧， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 23．（1）解：∵以原点，为圆心、以2为半径作圆，两圆相交于，两点， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴点； （2）解：如图，连接， ∵以原点，为圆心、以2为半径作圆， ∴两个圆是等圆，， ∴， ∴叶瓣①的面积为． 24．（1）解：如图，点P为所作，P点坐标为， ， 即的半径为； 故答案为：，； （2）解：∵P，， ∴， ∴的长等于的半径， ∴点N在上； （3）解：∵，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴该圆锥的侧面积为． 25．（1）解：如图所示，四边形为平行四边形，四边形为菱形； （2）如图所示，点P为的中点，为的切线． 26．（1）解：由题干条件可得：有外接圆的四边形的对角互补；有内切圆的四边形的对边之和相等； ①∵当平行四边形的对角不互补，对边之和也不相等时，该平行四边形无外接圆，也无内切圆， ∴该平行四边形是 “平凡型无圆”四边形，故①错误； ②∵内角不等于的菱形的对角不互补， ∴该菱形无外接圆， ∵菱形的四条边都相等， ∴该菱形的对边之和相等， ∴该菱形有内切圆， ∴内角不等于的菱形一定是“内切型单圆”四边形，故②正确； ③由题意，外接圆圆心与内切圆圆心重合的“完美型双圆”四边形是正方形，如图， 则，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即，故③正确； 故答案为：②③； （2）解：①若四边形中有内切圆，则， 这与矛盾， ∴四边形中无内切圆， ∴该四边形是“外接型单圆”四边形， 故答案为：外接型单圆； ②∵的平分线交于点E，的平分线交于点F， ∴， ∴， ∴， ∴， 即均为半圆， ∴是的直径； （3）解：如图，连接， ∵是四边形的内切圆， ∴， ∴， ∴； 同理：； ∵四边形有外接圆， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； 如图，过O作于M，于N，连接； 由垂径定理知：，； ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 由勾股定理有，， ∴， ∴， ∴， 解得：． 学科网（北京）股份有限公司 $