专题10 与圆的切线有关的辅助线作法-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级上册数学习题课件(人教版)河北专版

第二十四章　圆 专题10　与圆的切线有关的辅助线作法 1 典例1　（江苏镇江中考）如图，∠BAC=36°，点O在边AB上，⊙O与边AC相切于点D，交边AB于点E，F（AF>AE），连接FD，则∠AFD等于 （　　） A. 27° B. 29° C. 35° D. 37° 题型1 切线的性质—遇切线，连半径得直角 A 2 3 4 5 1 6 2 学霸说：当题目中有切线时，一般会连接圆心和切点，构造直角，再利用直角三角形的相关性质解决问题. 本题连接______，由切线的性质得到∠ADO=_______°，进而求得∠AOD的度数，根据圆周角定理即可得到结论. 【答案】 OD 90 A 2 3 4 5 1 6 3 变式训练 1.（山西中考）如图，在⊙O中，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C，过点A作AD⫽OB交⊙O于点D，连接CD. 若∠B=50°，则∠OCD为 （　　） A. 15° B. 20° C. 25° D. 30° B 2 3 4 5 1 6 4 2.如图所示，已知线段AB与⊙O相切于点A，过点B作BC⊥AB交⊙O于点C，D，连接CO并延长交⊙O于点E，连接AE，OD. 若∠DOE=120°，则∠E的度数为________°. 30 2 3 4 5 1 6 5 3.（石家庄裕华期中）如图，AB为⊙O的直径，OD为⊙O的半径，⊙O的弦CD与AB相交于点F，⊙O的切线CE交AB的延长线于点E，EF=EC. （1）求证：OD垂直平分AB； （2）若⊙O的半径长为3，且BF=BE，求OF的长. 2 3 4 5 1 6 6 解：（1）证明：如图，连接OC. ∵CE切⊙O于点C，∴OC⊥CE. ∴∠OCF+∠ECF=90°. ∵OC=OD，EF=EC，∴∠OCF=∠ODF，∠ECF=∠EFC. 又∠OFD=∠EFC，∴∠ODF+∠OFD=∠OCF+∠ECF=90°， ∴∠DOF=90°，∴OD⊥AB. 又OA=OB，∴OD垂直平分AB. （2）设BF=BE=x，则CE=EF=2x，OE=3+x. 在Rt△OCE中，由勾股定理，得OC2+CE2=OE2， 即32+（2x）2=（3+x）2，解得x1=2，x2=0（舍去）. ∴OF=OB-BF=3-2=1. 2 3 4 5 1 6 4.（山东济南中考）如图，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，交AB延长线于点D，连接AC，BC，∠D=30°，CE平分∠ACB交⊙O于点E，过点B作BF⊥CE，垂足为F. （1）求证：AC=CD； （2）若AB=12，求线段BF的长. 2 3 4 5 1 6 8 解：（1）证明：连接OC，如图所示. ∵CD与⊙O相切于点C，∴∠OCD=90°. ∵∠D=30°，∴∠COD=90°-∠D=60°. ∴∠A= ∠COD=30°. ∴∠A=∠D=30°. ∴AC=CD. （2）∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°. ∵∠A=30°，AB=12，∴BC= AB=6. ∵CE平分∠ACB，∴∠BCE=∠ACB=45°. ∵BF⊥CE，∴∠BFC=90°， ∴△BFC是等腰直角三角形，∴2BF2=BC2=62，∴BF=3. 2 3 4 5 1 6 【作法1】直线与圆没有已知的交点：作垂直，证半径 典例2　【教材P98例1改编】如图，AB为⊙D的切线，BD是∠ABC的平分线，AC过圆心D. 求证：BC是⊙D的切线. 题型2 切线的判定 2 3 4 5 1 6 学霸说　当不确定所证的切点是否在圆周上时，先过圆心作直线的垂线，再证明垂线段的长度与半径相等即可证得切线. 本题中，过点D作________的垂线，垂足为E，再证________为半径即可. 【规范解答】 BC DE 如图，过点D作DE⊥BC，垂足为E. ∵AB为⊙D的切线，∴DA⊥AB. 又BD是∠ABC的平分线， ∴DA=DE，∴DE是⊙D的半径. ∵DE⊥BC，∴BC是⊙D的切线. 2 3 4 5 1 6 变式训练 5.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE=DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D， AB=5，EB=3. （1）求证：AC是⊙D的切线； （2）求线段AC的长. 2 3 4 5 1 6 解：（1）证明：如图，过点D作DF⊥AC，垂足为F. ∵∠B=90°，∴AB⊥BC. ∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，∴BD=DF， 即DF是⊙D的半径， ∴AC是⊙D的切线. （2）在Rt△BDE和Rt△FDC中， ∵BD=FD，DE=DC， ∴Rt△BDE≌Rt△FDC（HL），∴FC=EB=3. 同理可证Rt△ABD≌Rt△AFD， ∴AF=AB=5，∴AC=AF+FC=5+3=8. 2 3 4 5 1 6 【作法2】直线与圆有交点：连半径，证垂直 典例3　（江苏淮安中考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是BC的中点，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，连接DE. （1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若CD=3，DE=，求⊙O的直径. 2 3 4 5 1 6 学霸说　当确定所证切线的切点在圆周上时，通常连接圆心与切点，证明垂直就可以证得切线. 本题中连接________，结合直角三角形斜边上的中线和等腰三角形的性质即可得证. 【规范解答】 OD （1）直线DE与☉O相切. 理由如下： 连接OD，如图.∵AC为☉O的直径， ∴∠ADC=∠BDC=90°. ∵E为BC的中点，∴DE=CE=BE， ∴∠EDC=∠ECD. 2 3 4 5 1 6 15 ∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD.∵∠OCD+∠ECD=∠ACB=90°， ∴∠ODC+∠EDC=90°，即∠EDO=90°，∴DE⊥OD，∴直线DE与⊙O相切. （2）由（1）得∠CDB=90°，CE=BE=DE= ， ∴BC=5，∴BD===4. 在Rt△ACD中，AC2=AD2+CD2，即AC2=AD2+9. 在Rt△ABC中，AC2=AB2-BC2，即AC2=（AD+4）2-25. ∴AD2+9=（AD+4）2-25，解得AD= . ∴AC= ，∴⊙O的直径为. 2 3 4 5 1 6 6.如图，AB是⊙O的直径，线段BC与⊙O的交点D是BC的中点，DE⊥AC于点E，连接AD，有下列结论：①AD⊥BC；②∠EDA=∠B；③OA=AC；④DE是⊙O的切线. 其中正确的个数是 （　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 D 2 3 4 5 1 6 解析：∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，故①正确. 连接DO，如图.∵D是BC的中点，AD垂直平分BC， ∴AC=AB，又OA=AB，∴OA=AC，故③正确. ∵AC=AB，∴∠C=∠B.∵OD=OB，∴∠B=∠ODB， ∴∠ODB=∠C，∴OD⫽AC. ∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE是☉O的切线，故④正确. ∵∠EDA+∠ADO=90°，∠BDO+∠ADO=90°，∴∠EDA=∠ODB. ∵∠ODB=∠B，∴∠EDA=∠B，故②正确. 2 3 4 5 1 6 19 $$