精品解析：上海市青浦区实验中学2025-2026学年上学期八年级期中考试数学试卷

2025学年度第一学期八年级数学期中考试 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 1. 下列实数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列关于的方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（ ） A. B. C. D. 5. 如果，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 关于的方程有实数根，那么a的值为（ ） A. B. 且 C. D. 二、填空题：本题共12小题，每小题2分，共24分． 7. 的平方根是_______． 8. 当______时，有意义． 9. 写出的一个有理化因式：________． 10. 化简：______． 11. 最简二次根式与是同类二次根式，则______． 12. 比较大小：-_____-4． 13. 用科学记数法表示：______． 14. 在实数范围内因式分解：2x2﹣4x﹣1＝_____． 15. 将化为分数：_______． 16. 设x1，x2是方程2x2﹣3x﹣3=0的两个实数根，则的值为___． 17. 有一边长为3的等腰三角形，它的两边长是方程x2-4x+k=0的两根，则k =_________． 18. “两个一元二次方程有且只有一个公共根，这两个方程叫做互为好友方程，这两个公共根叫做好友根．”例如和就是互为好友方程，好友根为．如果和就是互为好友方程，那么_______． 三、简答题：（第19-24题，每题5分，第25，26每题6分，27，28每题8分，共58分） 19. 计算: 20. 计算：． 21. 计算：． 22. 解不等式：． 23. 解方程；． 24. 用配方法解方程：． 25. 已知，求的值． 26. 已知的整数部分为,小数部分为，求的值． 27. 已知关于的方程． （1）若方程有实数根，求的取值范围． （2）若、是方程的两个根，且，求的值 28. 材料一：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： ； 材料二：根式化简 ； ． 根据以上材料，请完成下列问题： （1）_______；（直接写结果） （2）计算：； （3）计算：； （4）计算：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年度第一学期八年级数学期中考试 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 1. 下列实数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，即无限不循环小数叫做无理数，掌握其概念是解题的关键．根据无理数的概念逐一判断即可． 【详解】解：A、，是无理数，符合题意； B、是小数，不符合题意； C、是分数，不符合题意； D、，是整数，不符合题意； 故选：A． 2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，理解其定义是解题的关键． 根据最简二次根式的定义逐一判断各选项即可． 【详解】解： 最简二次根式需满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式， A： = ，被开方数含分母，不是最简二次根式，故该选项不合题意； B： = ，被开方数含平方因数9，不是最简二次根式，故该选项不合题意； C：，被开方数不含分母且不含平方因式，是最简二次根式，故该选项符合题意； D：，被开方数含分母，不是最简二次根式，故该选项不合题意． 故选：C． 3. 下列关于的方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据一元二次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：一元二次方程需同时满足：①是整式方程；②只含一个未知数；③未知数的最高次数为2， A： ，化简得 ，是一元一次方程，故该选项不合题意； B： 是整式方程，且最高次数为2，故该选项符合题意； C：含有 ，是分式方程，不是整式方程，故该选项不合题意； D： 中，若 则不是二次方程，故该选项不合题意． 故选：B． 4. 如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数，理解其定义是解题的关键． 根据无理数的定义解题即可． 【详解】解：由图可知，这个无理数在和之间， A：，故该选项不合题意； B：，故该选项符合题意； C：，故该选项不合题意； D：，故该选项不合题意．   故选：B ． 5. 如果，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：可知：， 所以， 解得， 故选：B． 6. 关于的方程有实数根，那么a的值为（ ） A. B. 且 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及对含参方程的分类讨论，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 方程可能为一次或二次方程，需分类讨论，最后合并结果． 【详解】解：∵ 方程 有实数根， 当 时，方程化为 ，解得 ，有实数根； 当 时，方程为二次方程，判别式 ， 解得 ； 综上， 时方程有实数根． 故选：A． 二、填空题：本题共12小题，每小题2分，共24分． 7. 的平方根是_______． 【答案】±2 【解析】 【详解】解：∵ ∴的平方根是±2． 故答案为±2． 8. 当______时，有意义． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，熟练掌握条件是解题的关键．根据分母不能为零，被开方数是非负数，建立不等式解答即可． 【详解】解：根据题意，得代数式有意义的条件是且， 解得且， 故答案为：且． 9. 写出的一个有理化因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，求解即可． 【详解】解：∵， ∴的一个有理化因式为， 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查分母有理化的方法，分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式，解题的关键是掌握分母有理化的方法． 10. 化简：______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分母有理化，二次根式的性质，分子，分母同时乘以，化解解答即可． 本题考查了二次根式的化简，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 11. 最简二次根式与是同类二次根式，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式，熟练掌握定义是解题的关键．根据同类二次根式的定义，若两个最简二次根式是同类二次根式，则它们的被开方数必须相同，据此列出方程求解即可 【详解】解：由最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得， 故答案为：4． 12. 比较大小：-_____-4． 【答案】> 【解析】 【分析】先利用平方法比较和4的大小关系，然后将不等式的两边同时乘-1即可得出结论． 【详解】解：∵15＜16 即＜ ∴＜4 ∴-＞-4 故答案为：＞． 【点睛】此题考查的是实数的比较大小，掌握利用平方法比较大小和不等式的基本性质是解决此题的关键． 13. 用科学记数法表示：______． 【答案】 【解析】 【分析】为负整数，其绝对值等于原数中第一个非零数字是小数点后第几位；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，写成的形式即可． 本题考查了绝对值小于1的数的科学记数法，按照左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，确定这两个关键要素是解题的关键． 【详解】解：∵， 故答案为：． 14. 在实数范围内因式分解：2x2﹣4x﹣1＝_____． 【答案】2（x﹣）（x﹣） 【解析】 【分析】令原式为0求出x的值，即可确定出因式分解的结果． 【详解】解：令2x2﹣4x﹣1＝0， 这里a＝2，b＝﹣4，c＝﹣1， ∵△＝16+8＝24， ∴ 则原式＝2（x﹣）（x﹣）. 故答案为2（x﹣）（x﹣）. 【点睛】此题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 15. 将化为分数：_______． 【答案】 【解析】 【分析】通过设循环小数为未知数，利用循环节的特点，构造方程求解即可． 本题考查了一元一次方程的应用，把循环小数化成分数，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】解：设 ，则 ， 故 ， 故， 故， 故答案为：． 16. 设x1，x2是方程2x2﹣3x﹣3=0的两个实数根，则的值为___． 【答案】 【解析】 【详解】∵x1，x2是方程2x2﹣3x﹣3=0的两个实数根，∴x1+x2=，x1x2=． ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，整体思想的应用． 17. 有一边长为3的等腰三角形，它的两边长是方程x2-4x+k=0的两根，则k =_________． 【答案】3或4 【解析】 【分析】分类讨论：当腰长为3时，根据韦达定理求得k的值；当腰长不为3时，关于x的方程的判别式△=0，据此可以求得k的值． 【详解】解：当该等腰三角形的腰长是3时，根据韦达定理知 3+x2=4， ∴x2=1， ∴x1•x2=3=k，即k=3； 当该等腰三角形的腰长不是3时，△=16-4k=0， 解得，k=4； 综上所述，k=3或k=4． 故答案为：3或4． 【点睛】本题考查了根与系数的关系、等腰三角形的性质．解答该题时要分类讨论，以防漏解．当腰长为3时，根据韦达定理求得k的值；当腰长不为3时，关于x的方程的判别式△=0，据此可以求得k的值． 18. “两个一元二次方程有且只有一个公共根，这两个方程叫做互为好友方程，这两个公共根叫做好友根．”例如和就是互为好友方程，好友根为．如果和就是互为好友方程，那么_______． 【答案】1或3 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解及解一元二次方程，正确理解“互为好友方程”的定义是解题关键． 先解出，然后分为和两种情况，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 当好友根为时，则， 即； 当好友根为时，则， 即； 故答案为：或3． 三、简答题：（第19-24题，每题5分，第25，26每题6分，27，28每题8分，共58分） 19. 计算: 【答案】 【解析】 【分析】按照二次根式混合运算的法则进行计算即可. 【详解】原式===. 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，掌握基本的运算法则是关键. 20. 计算：． 【答案】4 【解析】 【分析】系数先除后乘，被开方数也是按这个顺序运算，把除法化为乘法求出最后结果． 【详解】解：原式＝12a÷3b2 ＝ ＝ ＝4． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法、二次根式的性质与化简，掌握计算时先乘除，后化简，运算顺序是解题关键． 21. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，二次根式的加减解答即可． 本题考查了二次根式的性质，加减运算，熟练掌握运算是解题的关键． 【详解】解： ． 22. 解不等式：． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，解不等式的基本步骤解答即可． 本题考查了分母有理数，解不等式，熟练掌握解不等式是解题的关键． 【详解】解： ， 又， ， 解得． 23. 解方程；． 【答案】， 【解析】 【分析】利用公式法求解即可． 本题考查了求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键． 【详解】解：∵, 在这里， ∴， 解得，． 24. 用配方法解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】根据配方的基本步骤解答即可． 本题考查了配方法求解方程的根，熟练掌握配方是解题的关键． 【详解】解：， 移项，得． 系数化为1，得 配方，得，即． 两边开平方，得． 解得． 25. 已知，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化，完全平方公式，分式的求值，先对进行分母有理化，得到，再利用完全平方公式把原式转化为，然后代入计算即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ∴原式 ． 26. 已知的整数部分为,小数部分为，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】首先由已知条件,可判定,即可得出和的值,代入即可得解. 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴原式= 故答案为. 【点睛】此题主要考查估算无理数的大小，要想准确地估算出无理数的取值范围需要记住一些常用数的平方. 27. 已知关于的方程． （1）若方程有实数根，求的取值范围． （2）若、是方程的两个根，且，求的值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据所给一元二次方程有实数根，得出关于m的不等式，据此可解决问题． （2）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得． 【小问2详解】 解：是方程的两个根， 则，， ∵， ∴， ∴， 整理，得， 解得． 又， 故． 28. 材料一：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： ； 材料二：根式化简 ； ． 根据以上材料，请完成下列问题： （1）_______；（直接写结果） （2）计算：； （3）计算：； （4）计算：． 【答案】（1） （2）9 （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查分母有理数、二次根式的混合运算，理解分母有理化的求解过程并灵活运用是解答的关键． （1）仿照题中例题解过程求解即可； （2）仿照题中求解过程化简各式，然后加减运算即可求解； （3）仿照题中求解过程化简各式，然后加减运算即可求解； （4）先对分母分解因式，再进行裂项化简各数，然后加减运算即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为： 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $