第二章有理数及其运算 单元测试 2025-2026学年北师大版数学七年级上册

第二章 有理数及其运算（单元测试） 北师大版（2024）七年级数学上册 评卷人 得分 一、单选题（共36分） 1．（本题3分）在一次环境监测工作中，一架环境监测无人机从距离地面350米的位置开始执行任务，先竖直上升320米，再竖直下降600米，这时无人机所在位置的高度是（　　） A．1270米 B．70米 C．670米 D．620米 2．（本题3分）如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（    ） A．   B．   C．   D．   3．（本题3分）在，，0，，中，正数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（本题3分）给出下列等式：①；②；③； ④，其中正确的个数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．（本题3分）若，，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．（本题3分）在这8个数中，有理数的个数是（   ） A．8个 B．7个 C．6个 D．5个 7．（本题3分）如图是小宇用计算机设计的一个有理数运算的程序框图．若输入a为1，则输出的结果是（   ） A． B． C．6 D． 8．（本题3分）年第十五届中国珠海航展圆满落幕，此次航展成交金额亿美元，折合人民币亿元，将数据“亿”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 9．（本题3分）下列各数，，，，，中，负数的个数有（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 10．（本题3分）把长为，宽为的长方形纸片的四个角各剪去一个小正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子．当剪去小正方形的边长取下列长度时，所得盒子的容积最大的是（   ） A． B． C． D． 11．（本题3分）如图，某学校数学兴趣小组活动室门上安装了密码锁，凡是参加兴趣活动的同学通过观察门上的小提示，输入密码便可进入活动室．李明同学要参加兴趣活动，走到门口思索了一会儿，输入密码后顺利进入活动室，他输入的密码是（　　） A．722427 B．729624 C．722724 D．722496 12．（本题3分）我国古代用算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．如图，图①可列式计算为，由此可推算图②可列的算式为（   ） A． B． C． D． 评卷人 得分 二、填空题（共18分） 13．（本题3分）比较大小：   （填“>”“=”或“<”） 14．（本题3分）我们平常用的数是十进制数，如，在电子数字计算机中用的是二进制，如二进制数等于十进制的数5，那么二进制数1011等于十进制的数 ． 15．（本题3分）关于科学计算器的按键顺序： 所表示的算式是 ． 16．（本题3分）一个数由1个亿、6个百万、5个万和39个百组成，这个数是 ；改写成用“万”作单位的数是 ；用“四舍五入法”省略“亿”后面的尾数约是 ． 17．（本题3分）某校建立了一个身份识别系统．小亮身份代码的二进制简易图如图所示，其中黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，每行代表不同的含义．如，第一行二进制的数字为111，转化成十进制为：，请将第二行和第三行代表二进制的数字依次转化为十进制，再将数字从第1行至第3行依次排列在一起就得出小亮的身份代码，则最终得出的小亮的身份代码是 ． 18．（本题3分）定义一种新运算：，如，则 ． 评卷人 得分 三、解答题（共46分） 19．（本题8分）体育老师检测男生的仰卧起坐完成情况，规定每分钟完成22个仰卧起坐为达标，超过标准的个数用正数表示，不足的个数用负数表示，一组8名同学的成绩分别记录为： ，，，，0，，，0，（单位：个）： (1)这组同学中达标的有______人，最好成绩是每分钟______个； (2)求这组同学每分钟完成仰卧起坐的平均成绩． 20．（本题8分）“双十二”大促临近，淘宝上某玩具商家根据所售玩具规格的不同，向厂家订制了不同型号的包装盒，所有包装盒均为双层上盖的长方体纸箱（上盖纸板面积刚好等于底面面积的2倍，如图1所示）． (1)已知某种规格的长方体包装盒的长为10厘米，宽为6厘米，高为8厘米，那么制作一个该长方体纸箱需要_________平方厘米纸板： (2)创新实践小组在学习从立体图形到平面图形这节课时，设计如下问题：已知某长方体的长为10，宽为6，高为8，图2是该长方体的一种表面展开图，请计算出这种表面展开图的外围周长是_________，请你设计一个使外围周长最大的表面展开图，此时的外围周长是_________； (3)该玩具商家在今年“双十二”期间推出两种优惠方案：方案一：每件商品按照标价打九折；方案二：购买10件以内（含10个）不优惠，超过10个的部分按照标价打八折．“阳光”幼儿园共有25个教学班，今年“双十二”准备在该网店给每个班级购买一件搭建区的玩具，标价为200元，选择哪种方案更优惠？请说明理由． 21．（本题8分）规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么． 例如：因为，所以． 根据以上信息，解答下列问题： (1)______，______，______，______． (2)若，，求的值． (3)直接写出的值． 22．（本题8分）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 23．（本题14分）综合与实践：进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制也就是说逢几进一，就是几进制，几进制的基数就是几．规定当时，．日常生活中，我们用十进制来表示数，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．例如：． 计算机中采用的是二进制，只要用到两个数码：0，1． 例如：十进制中的，表示的是二进制的10101000． 任务一：十进制数36改写成二进制数是________________； 任务二：类比二进制数的算法，试求八进制数“3751”所表示的十进制数； 任务三：有一种密钥破解方式，先将二进制数转成十进制数x后，再按以下规定获得密码：当x为奇数时，破解公式为，当x为偶数时，破解公式为．按上述规定，请将二进制明码“101101101”译成密码． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B C D C B A C B 题号 11 12 答案 A C 1．B 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数的加减运算，解题的关键是掌握正负数的实际意义． 通过直接计算无人机的高度变化求解，上升增加高度，下降减少高度． 【详解】解：∵ 初始高度为350米， 上升320米后，高度为：（米）； 再下降600米后，高度为：（米）； ∴ 无人机所在位置的高度是70米， 故选：B． 2．B 【分析】本题考查了绝对值以及正数和负数的应用， 求出每个数的绝对值，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可． 【详解】解; ∵， ∴最接近标准， 故选：B． 3．B 【分析】本题考查了正数的定义，解题的关键是明确正数是大于0的数，0既不是正数也不是负数；逐一判断所给数是否大于0，统计正数的个数． 【详解】解：逐一判断：（非正数），（正数），既不是正数也不是负数，（非正数），（正数），故正数有2个． 故选：B． 4．C 【分析】本题考查有理数的乘除运算，关键是先判断符号（奇负得负、偶负得正），再计算绝对值，易错点是符号处理错误或运算顺序混淆；逐个计算每个等式，判断其正确性，统计正确的个数． 【详解】解：等式①：，①错误； 等式②：，②错误； 等式③： ，然后 ，③正确； 等式④：，然后，④正确； 正确个数为； 故选：C． 5．D 【分析】本题考查了绝对值的定义，关键是熟练应用知识点； 根据绝对值的定义，和各有两种可能值，但条件要求和异号，因此只有两种组合情况，分别计算即可。 【详解】解：∵ ，∴ ； ∵ ； 又∵ ，∴ 与异号。 当时，； 当时，． ∴ 的值为或． 故选：D． 6．C 【分析】本题考查有理数的概念，掌握相关知识是解决问题的关键．有理数包括整数和分数，而分数可化为有限小数和无限循环小数，据此逐项判断即可． 【详解】解：为有理数， ∴ 有理数共6个． 故选：C． 7．B 【分析】本题考查了程序框图与代数式求值、有理数的乘方，理解程序框图的计算过程是解题的关键．由程序框图得，输入数a后的计算过程为，再判断结果是否小于，据此即可解答． 【详解】解：由程序框图得， 输入数a后的计算过程为， 若输入的数a为1，则计算结果为， ， 需要再重复一次计算过程， 若输入的数a为，则计算结果为， ， 则输出的结果是， 故选：B． 8．A 【分析】本题考查了用科学记数法表示一个较大的数，用科学记数法表示一个数就是把这个数写成的形式，其中，其中的指数与小数点移动的位数有关．首先把展开可得，用科学记数法表示需要把小数点向左移动位，所以的指数为． 【详解】解：， ． 故选：A． 9．C 【分析】本题考查了负数的定义，化简绝对值，多重符号，有理数的乘方运算．逐个计算每个数的值，根据正负性判断是否为负数． 【详解】解： ，是负数． ，是负数． ，不是负数． ，是负数． ，是负数． ，是负数． 负数有个． 故选：C． 10．B 【分析】本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应用，设剪去的小正方形边长为，则盒子的长、宽、高分别为，盒子的容积为，据此代入各选项计算比较即可． 【详解】解：当剪去的小正方形边长为时，盒子的容积为， 当剪去的小正方形边长为时，盒子的容积为， 当剪去的小正方形边长为时，盒子的容积为， 当剪去的小正方形边长为时，盒子的容积为， ∵， ∴当剪去的小正方形边长为时，盒子的容积最大， 故选：B． 11．A 【分析】本题主要考查了有理数的乘法的应用，解题的关键是总结出数字规律．根据示例总结出密码规律，然后求解即可． 【详解】解：； ； ， 密码共有6位， 前两位为：， 中间两位为：， 后两位为：， 密码为722427， 故选：A． 12．C 【分析】本题考查了有理数的加法运算及古代算筹的表示规则，解题的关键是根据“正放表示正数、斜放表示负数”的规则确定图1中算筹对应的数． 先依据算筹的表示规则，确定图2中正放、斜放算筹对应的数，再列出加法算式计算结果． 【详解】解：根据题意，正放的算筹表示正数，斜放的表示负数： 图1中，正放的算筹有3根，表示； 图2中，斜放的算筹有4根，表示； 因此算式为． 故选 C． 13． 【分析】本题考查有理数大小比较，比较两个负数的大小，需先比较它们的绝对值，绝对值较大的负数反而较小． 【详解】解：，， ∴， 故答案为：． 14．11 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，认真观察已知给出的两个式子，依照示例进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：11． 15． 【分析】本题考查计算器—有理数、有理数的混合运算，根据计算器的特点，可以写出相应的算式．熟练掌握计算器的输入特点是解答本题的关键． 【详解】解：由题意可得， 对应的算式是：． 故答案为：． 16． 106053900 万 1亿 【分析】本题主要考查了整数的读写及改写，近似数等知识点，在亿位上写1，百万位上写6，万位上写5，千位上写3，百位上写9，其它数位没有数用0占位，改写成用万作单位的数，就是在万位数的右下角点上小数点，然后把小数末尾的0去掉，再在数的后面写上“万”字；省略“亿”后面的尾数就是四舍五入到亿位，把亿位后的千万位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“亿”字，熟练掌握其改写方法是解决此题的关键． 【详解】一个数由1个亿、6个百万、5个万和39个百组成，这个数是106053900；改写成用“万”作单位的数是万；用“四舍五入法”省略“亿”后面的尾数约1亿， 故答案为：106053900，万，1亿． 17．745 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，正确地将各识别图案转换成编号是解题的关键．根据二进制转换十进制的方法，将剩下2行的二进制的数字依次转化为十进制，即可得出结论． 【详解】解：由题意，得 第二行二进制的数字为100，转化成十进制为：， 第三行二进制的数字为101，转化成十进制为：， 所以最终得出的小亮的身份代码是745． 故答案为：745． 18．6 【分析】本题考查了新定义运算的计算，解题的关键是遵循新运算的规则，先计算括号内的式子，再计算括号外的式子． 先根据新运算规则计算括号内的，得到结果后，将该结果与按照新运算规则计算最终值． 【详解】解： ． 故答案为：． 19．(1)5；26 (2)22个/分钟 【分析】本题主要考查正负数的意义，有理数混合运算的应用． （1）根据题意得出非负数是达标的，用22加上最大的数据即可． （2）根据平均数求解方法解答即可． 【详解】（1）解：根据题意达标的有5人， ， 最好成绩是每分钟个， 故答案为：5；26． （2）解：， 这组同学每分钟完成仰卧起坐的平均成绩22个/分钟． 20．(1)436 (2)100，124 (3)选择方案二，理由见解析 【分析】本题考查了长方体的表面积，长方体的展开图，图形的周长，有理数的混合运算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据（长宽宽高长高） 长宽求解即可； （2）将外围的线段加起来即可；要使展开图的外围周长最长，则需要使沿长为10的边剪开，使长为10的边尽可能多的作外围即可； （3）分别将方案一，方案二的总费用算出来，即可得出答案． 【详解】（1）解：长方体包装盒的长为10厘米，宽为6厘米，高为8厘米，其表面积为： （平方厘米） 故答案为：436； （2）解：其周长为：， 外围周长最大的设计图如下： 其周长为：， 故答案为：100，124； （3）解：选择方案二，理由如下： 方案一：（元）， 方案二：（元）， ∵， 故选择方案二． 21．(1)2；3；3；5 (2) (3)12 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的乘方以及逆运算，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据规定的运算法则计算即可； （2）根据规定的运算法则计算即可； （3）根据新定义运算对式子进行变形，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴，，，， 故答案为：2；3；3；5； （2）解：∵，， ∴，， ∴； （3）解：设，， 则，， ∴ ． 22．(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、运算律的应用，熟练掌握有理数的运算法则和运算律是解题的关键． （1）利用加法交换律和结合律，将同分母分数结合后计算； （2）先算绝对值、乘法，再依次进行加减运算； （3）先将带分数化为假分数，再按从左到右的顺序依次计算乘除； （4）利用乘法分配律，将120分别与括号内的数相乘后再计算； （5）先算乘方、绝对值、除法，再依次进行加减运算； （6）先算乘方，再算括号内的乘法与减法，最后算括号外的乘法． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 23．任务一：；任务二：；任务三： 【分析】本题考查了十进制数与二进制数之间的转化，理解进制数的表示是解题的关键．根据进制数的表示方法及转化方法求解即可． 【详解】解：任务一：， 任务二：八进制数3751表示的十进制数为： ， ， ， 任务三：二进制数101101101转成十进制数为： ， ， ， 因为365为奇数，所以密码为：． 学科网（北京）股份有限公司 $