6.3 相交线（基础提升练习） 2025-2026学年苏科版数学七年级上册

2024-2025学年苏科版数学七年级上册 6.3相交线 （基础提升练习） 【题型一】对顶角 【例1】下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【例2】下列说法中错误的是（    ） A．同一个角的两个邻补角是对顶角 B．对顶角相等，相等的角是对顶角 C．对顶角的平分线在一条直线上 D．的补角与的和是 【例3】下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（　　） A.B．C． D． 【例4】如图，直线、相交于点O，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【例5】如图，直线AB，CD，EF相交于点O，则的邻补角是（    ） A. B． C．和 D．和 【例6】下列说法正确的有（   ） ①对顶角相等；②互补的两个角是邻补角；③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角；④若两个角不是对顶角，则这两个角一定不相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型二】垂直 【例1】如图，AD⊥BC，ED⊥AB，表示点A到直线DE距离的是（　　） A．线段AD的长度 B．线段AE的长度 C．线段BE的长度 D．线段DE的长度 【例2】过点C向AB边作垂线段，下列画法中正确的是（　　） A． B． C． D． 【例3】下列选项中，过点P画的垂线，三角板放法正确的是（    ） A. B． C．D． 【例4】如图，已知点是射线上一点，过作交射线于点，交射线于点，下列结论正确的是　　 A．的余角只有 B．图中互余的角共有4对 C．的补角只有 D．图中与互补的角共有2个 【例5】如图，已知钝角三角形，． (1)画出点到的垂线段； (2)过点画的垂线． 【例6】操作题 (1)尺规作图：如图1，已知点是直线外一点，过点P作直线的平行线；（不写作法，保留作图痕迹） (2)①利用网格画图：过点画直线的垂线，并标出垂线所经过的格点、垂足； ②线段_____的长度是点到直线的距离． 【题型三】垂线段最短 【例1】体育课上，老师测量某个同学的跳远成绩的依据是（    ） A．点到直线的距离相等 B．两点之间线段最短 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 【例2】如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，请你在铁路线上选一点来建火车站，应建在（　　） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【例3】下列说法正确的是（　　） A．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离 D．三角形任意两边之和小于第三边，任意两边之差大于第三边 【例4】如图，数学课上老师让同学们在方格纸上进行如下操作：经过线段外一点，画线段的垂线段，并测量．同学们发现：点到点的距离均大于点到点的距离，这其中蕴含的数学原理是（   ） A．两点确定一条直线 B．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点之间的所有连线中，线段最短 D．直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短 【例5】如图，已知AC⊥BC，CD⊥AB，AC＝5，BC＝12，AB＝13，则点C到直线AB的距离等于（　　） A． B． C． D． 【例6】如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1． (1)过点C画的垂线，垂足是D； (2)过点A画的平行线n； (3)线段 的长度是点C到直线的距离； (4)的面积 ． 【题型四】综合求角度 【例1】如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，若∠AOD＝100°，则∠BOE＝（　　） A．60° B．50° C．40° D．30° 【例2】如图，三条直线AB，CD，EF相交于点O，且CD⊥EF，∠AOE＝70°，若OG平分∠BOF．∠DOG的度数为 　 　． 【例3】如图，直线AB、CD相交于点O，∠DOE＝∠BOD，OF平分 ∠AOE． （1）判断OF与OD的位置关系，并说明理由； （2）若∠AOC：∠AOD＝1：4，求∠EOF的度数． 【例4】如图，点O是直线AB上一点，OC平分∠AOB，在直线AB另一侧以O为顶点作∠DOE＝90°． （1）若∠AOE＝46°，那么∠BOD＝　　 ；∠AOE与∠DOB的关系是 　； （2）∠AOE与∠COD有什么数量关系？请写出你的结论并说明理由． 【例5】阅读理解：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为补角，则称该射线为的“分补线”． 如图，点在直线上，、在直线上方，且，射线是的“分补线”． (1)若，且在内部，则_____； (2)若平分，求的度数． 【例6】如图，已知直线AB和CD相交于点O，∠COE＝90°，OF平分∠AOE，∠COF＝37°． （1）求∠EOB的度数． （2）若射线OF、OD分别绕着点O按顺时针方向转动，两射线同时出发，射线OF每分钟转动6°，射线OD每分钟转动0.5°，多少分钟后，射线OF与射线OD第一次重合． （3）在（2）的条件下，假设转动时间不超过60分钟，若∠FOD＝33°，则两射线同时出发 　 　分钟． 答案解析 【题型一】对顶角 【例1】下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是（    ） B． B． C． D． 【答案】B 【例2】下列说法中错误的是（    ） A．同一个角的两个邻补角是对顶角 B．对顶角相等，相等的角是对顶角 C．对顶角的平分线在一条直线上 D．的补角与的和是 【答案】B 【例3】下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（　　） A.B．C． D． 【答案】C 【例4】如图，直线、相交于点O，平分，若，则的度数为（    ） B． B． C． D． 【答案】A 【例5】如图，直线AB，CD，EF相交于点O，则的邻补角是（    ） A. B． C．和 D．和 【答案】D 【例6】下列说法正确的有（   ） ①对顶角相等；②互补的两个角是邻补角；③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角；④若两个角不是对顶角，则这两个角一定不相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【题型二】垂直 【例1】如图，AD⊥BC，ED⊥AB，表示点A到直线DE距离的是（　　） A．线段AD的长度 B．线段AE的长度 C．线段BE的长度 D．线段DE的长度 【答案】B 【例2】过点C向AB边作垂线段，下列画法中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【例3】下列选项中，过点P画的垂线，三角板放法正确的是（    ） A. B． C．D． 【答案】C 【例4】如图，已知点是射线上一点，过作交射线于点，交射线于点，下列结论正确的是　　 A．的余角只有 B．图中互余的角共有4对 C．的补角只有 D．图中与互补的角共有2个 【答案】B 【例5】如图，已知钝角三角形，． (1)画出点到的垂线段； (2)过点画的垂线． 【答案】（1）解：如图， ∴即为所求； （2）解：如图， ∴即为所求． 【例6】操作题 (1)尺规作图：如图1，已知点是直线外一点，过点P作直线的平行线；（不写作法，保留作图痕迹） (2)①利用网格画图：过点画直线的垂线，并标出垂线所经过的格点、垂足； ②线段_____的长度是点到直线的距离． 【答案】（1）解：如图，即为所求， （2）①如图所示， 即为所求的垂线， ②由图可知，线段的长度是点C到直线的距离， 故答案为：． 【题型三】垂线段最短 【例1】体育课上，老师测量某个同学的跳远成绩的依据是（    ） A．点到直线的距离相等 B．两点之间线段最短 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 【答案】C 【例2】如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，请你在铁路线上选一点来建火车站，应建在（　　） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】A 【例3】下列说法正确的是（　　） A．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离 D．三角形任意两边之和小于第三边，任意两边之差大于第三边 【答案】C 【例4】如图，数学课上老师让同学们在方格纸上进行如下操作：经过线段外一点，画线段的垂线段，并测量．同学们发现：点到点的距离均大于点到点的距离，这其中蕴含的数学原理是（   ） A．两点确定一条直线 B．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点之间的所有连线中，线段最短 D．直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短 【答案】D 【例5】如图，已知AC⊥BC，CD⊥AB，AC＝5，BC＝12，AB＝13，则点C到直线AB的距离等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【例6】如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1． (1)过点C画的垂线，垂足是D； (2)过点A画的平行线n； (3)线段 的长度是点C到直线的距离； (4)的面积 ． 【答案】（1）如图所示，即为所求； （2）如图所示，直线n即为所求； （3）线段的长度是点C到直线的距离； （4）的面积． 【题型四】综合求角度 【例1】如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，若∠AOD＝100°，则∠BOE＝（　　） A．60° B．50° C．40° D．30° 【答案】 【例2】如图，三条直线AB，CD，EF相交于点O，且CD⊥EF，∠AOE＝70°，若OG平分∠BOF．∠DOG的度数为 　 　． 【答案】55° 【例3】如图，直线AB、CD相交于点O，∠DOE＝∠BOD，OF平分 ∠AOE． （1）判断OF与OD的位置关系，并说明理由； （2）若∠AOC：∠AOD＝1：4，求∠EOF的度数． 【答案】（1）OF与OD的位置关系：互相垂直，理由如下： ∵OF平分∠AOE， ∴∠AOF＝∠FOE， ∵∠DOE＝∠BOD， ∴∠AOF+∠BOD＝∠FOE+∠DOE180°＝90°， ∴OF与OD的位置关系：互相垂直； （2）∵∠AOC：∠AOD＝1：4， ∴∠AOC180°＝36°， ∴∠BOD＝∠EOD＝36°， ∴∠AOE＝180°﹣2×36°＝108， ∴∠EOF∠AOE＝54°． 【例4】如图，点O是直线AB上一点，OC平分∠AOB，在直线AB另一侧以O为顶点作∠DOE＝90°． （1）若∠AOE＝46°，那么∠BOD＝　　 ；∠AOE与∠DOB的关系是 　； （2）∠AOE与∠COD有什么数量关系？请写出你的结论并说明理由． 【答案】（1）∵点O在直线AB上， ∴∠AOE+∠EOD+∠BOD＝180°， 又∵∠DOE＝90°， ∴∠AOE+∠BOD＝180°﹣90°＝90°， 若∠AOE＝46°，则∠BOD＝90°﹣46°＝44°； 故填：44°，互余． （2）∠AOE+∠COD＝180°，理由如下： ∵点O是直线AB上一点，OC平分∠AOB， ∴， ∵∠DOE＝90°， ∴∠AOE+∠BOD＝180°﹣∠DOE＝180°﹣90°＝90°， ∴∠AOE+∠COD＝∠AOE+∠BOD+∠BOC＝90°+90°＝180°， 即：∠AOE+∠COD＝180°． 【例5】阅读理解：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为补角，则称该射线为的“分补线”． 如图，点在直线上，、在直线上方，且，射线是的“分补线”． (1)若，且在内部，则_____； (2)若平分，求的度数． 【答案】1）解：如图，在内部， ∵射线是的“分补线”， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，∵是的“分补线”， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．    【例6】如图，已知直线AB和CD相交于点O，∠COE＝90°，OF平分∠AOE，∠COF＝37°． （1）求∠EOB的度数． （2）若射线OF、OD分别绕着点O按顺时针方向转动，两射线同时出发，射线OF每分钟转动6°，射线OD每分钟转动0.5°，多少分钟后，射线OF与射线OD第一次重合． （3）在（2）的条件下，假设转动时间不超过60分钟，若∠FOD＝33°，则两射线同时出发 　 　分钟． 【答案】（1）∵∠COE＝90°，∠COF＝37°， ∴∠EOF＝90°﹣37°＝53°． ∵OF 平分∠AOE， ∴∠AOE＝53°×2＝106°． ∴∠EOB＝180°﹣106°＝74°． （2）∵∠COD＝180°，∠COE＝90°， ∴∠EOD＝90°． ∴∠FOD＝90°+53°＝143°． 设x分钟后射线OF与射线OD第一次重合，依题意得：6x﹣0.5x＝143， 解得：x＝26． 答：26分钟后，射线OF与射线OD第一次重合． （3）由（2）可知，开始时∠FOD＝143°， 设两射线同时出发t分钟后，∠FOD＝33°， 当射线OF与射线OD第一次重合前，由题意得6t+33＝143+0.5t， 解得t＝20； 当射线OF与射线OD第一次重合后，由题意得6t＝143+33+0.5t， 解得t＝32， 综上，两条射线同时出发20或32分钟后，∠FOD＝33°． 故答案为：20或32． ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $