精品解析：云南省昆明市云南师范大学附属世纪金源学校2025-2026学年上学期期中九年级数学试卷

云南师范大学附属世纪金源学校 2025-2026学年上学期期中九年级数学试卷 注意事项：本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 下列图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 3. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）． A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系xOy中，以点(－3，4)为圆心，4为半径的圆( ) A. 与x轴相交，与y轴相切 B. 与x轴相离，与y轴相交 C. 与x轴相切，与y轴相交 D. 与x轴相切，与y轴相离 5. 抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 6. 已知点和点关于原点对称，则 （    ） A. 1 B. C. 3 D. 7. 关于二次函数y＝2x2﹣4x+3的图象，下列叙述正确的是（　　） A. 顶点坐标是（﹣1，1） B. 对称轴是直线x＝1 C. 当x>1时，y随x的增大而减小 D. 该图象与x轴有两个交点 8. 如图，已知是的直径，弦，垂足为，且，，则的半径长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 10 9. 如图，在中，，，，由ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点与点A、点与点B是对应点，连接，且A、、在同一条直线上，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 10. 如图，是的直径，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 11. 关于的二次函数的图像过原点，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 0 12. 2023年10月8日，杭州亚运会乒乓球比赛全部结束，国乒揽获除女双项目外的6块金牌，展现了我国乒乓球队员强大的实力，某小组赛采用单循环制（每两队之间都进行一场比赛），比赛总场数为场．若设参赛队伍有支，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 13. 如图1，校运动会上，初一的同学们进行了投实心球比赛．我们发现，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作是抛物线．如图2建立平面直角坐标系，已知实心球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系是y=，则该同学此次投掷实心球的成绩是（ ） A. 2m B. 6m C. 8m D. 10m 14. 如图，在半径为2，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆交于点D，连接，则阴影部分的面积是（　　） A. B. C. D. 15. 抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①；②；③方程的两个根是，；④；⑤当时，的取值范围是；⑥为任意实数时，其中结论正确的个数是（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是______． 17. 如图，将逆时针旋转得到，若，，，则旋转角度是______°． 18. 在上有两点A和B，，点C是圆上异于A和B的一点，则___________． 19. 在认识圆锥主题活动课上，芳芳用半径，圆心角的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示．在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的高是____． 三．解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 21. “一山揽胜景，美人卧池西．”凭借自身奇、绝、险、幽、秀美的自然景观，厚重的历史遗迹，丰富的文化内涵，西山坐稳了“滇中第一佳境”的名头，也成为云南旅游的一张亮眼名片．“网红打卡地”西山风景区在2025年10月1日国庆节，接待游客达2万人次，预计到10月3日这天将接待游客万人次． （1）求西山风景区2025年10月1日至2025年10月3日这3天时间内接待游客人次的平均增长率． （2）按这个增长规律，预计10月4日西山接待游客多少人？ 22. 如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（5，3）、B（5，1）． （1）在图中标出△ABC外心D的位置，并直接写出它的坐标； （2）将△ABC绕点C逆时针方向旋转90°后，得到△A′B′C，画出旋转后的△A′B′C； （3）求△ABC旋转过程中点A经过的路径长． 23. 如图，P是等边内的一点，若将绕点A逆时针旋转后，得到，连接．求证：． 24. 如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，设矩形与墙垂直的一边长为米，矩形花圃的面积为S平方米． （1）花圃面积为，求与墙垂直的一边的长度． （2）求S与之间的函数关系式；要想使花圃的面积最大，应为多少？最大面积是多少？ 25. 某商场有、两种商品，若购买1件商品和3件商品，则共需90元；若购买2件商品和4件商品，则共需140元． （1）求、两种商品每件的售价分别是多少元． （2）商品每件的成本是10元，根据市场调查发现，若按（1）中求出的单价销售，则该商场每天销售商品100件；若销售单价每上涨1元，则商品每天的销售量就减少4件，请写出商品每天的销售利润（元）与销售单价（元）（）之间的函数关系式，并求销售单价为多少元时，商品每天的销售利润最大，最大利润是多少？ 26. 阅读下面材料，体会其中的数学思想方法 “整体思想”是数学学习中的一种重要思想方法．解方程组，若时，若直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的和分别看作一个整体，设，，则原方程组可化简为，解得，即，所以原方程组的解为，这种解方程组的方法叫做整体换元法． 请你类比以上思想方法，解决下列问题． （1）解方程，求m的值； （2）在（1）的前提下取m的值代入，若抛物线与x轴有唯一的公共点，将该抛物线向下平移5个单位后得到另一抛物线，设n是此抛物线与x轴的一个交点的横坐标，求代数式的值． 27. 如图，点为的外接圆上的一动点（点不在上，且不与点，重合），． （1）求的度数． （2）过点A作，交延长线于点E，求证：是的切线． （3）是否存在常数，使存在？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南师范大学附属世纪金源学校 2025-2026学年上学期期中九年级数学试卷 注意事项：本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 下列图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了心对称图形的识别，熟知中心对称图形得到定义是解题的关键．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是中心对称图形，故此选项符合题意； D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选C． 2. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据判别式的意义得到，然后解关于m的不等式，最后对各选项进行判断． 【详解】解：根据题意得， 解得：，四个选项中符合要求的只有，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 3. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程，叫一元二次方程，据此判断即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：、方程含有个未知数，不是一元二次方程，该选项不合题意； 、方程是一元二次方程，该选项符合题意； 、方程不是整式方程，不是一元二次方程，该选项不合题意； 、方程化简得，是一元一次方程，该选项不合题意； 故选：． 4. 在平面直角坐标系xOy中，以点(－3，4)为圆心，4为半径的圆( ) A. 与x轴相交，与y轴相切 B. 与x轴相离，与y轴相交 C. 与x轴相切，与y轴相交 D. 与x轴相切，与y轴相离 【答案】C 【解析】 【详解】分析：首先画出图形，根据点的坐标得到圆心到X轴的距离是4，到Y轴的距离是3，根据直线与圆的位置关系即可求出答案． 解答：解：圆心到X轴的距离是4，到y轴的距离是3， 4=4，3＜4， ∴圆与x轴相切，与y轴相交， 故选C． 5. 抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】抛物线的平移遵循：上加下减，左加右减的规律，据此即可解答. 【详解】解：抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是； 故选：A. 【点睛】本题考查了抛物线的平移，熟知抛物线的平移规律是解题的关键. 6. 已知点和点关于原点对称，则 （    ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的特征，代数式求值．关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数． 根据点和点关于原点对称求出和，再代入中进行求解． 【详解】解：点和点关于原点对称， ，， ． 故选：B． 7. 关于二次函数y＝2x2﹣4x+3的图象，下列叙述正确的是（　　） A. 顶点坐标是（﹣1，1） B. 对称轴是直线x＝1 C. 当x>1时，y随x的增大而减小 D. 该图象与x轴有两个交点 【答案】B 【解析】 【分析】将函数解析式由一般式转化为顶点式，再根据二次函数的性质来判断． 【详解】解：∵y＝2x2﹣4x+3＝2（x﹣1）2+1， ∴抛物线顶点坐标为（1，1），对称轴为直线x＝1， ∴A选项错误，B选项正确， ∵抛物线开口向上，顶点为（1，1）， ∴抛物线与x轴无交点，D选项错误， ∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1， ∴x>1时，y随x增大而增大，C选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数y＝ax2+bx+c的性质，关键是将函数解析式转化成y＝a（x﹣h）2+k的形式． 8. 如图，已知是的直径，弦，垂足为，且，，则的半径长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据垂径定理得出，根据圆周角定理得出，中，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径，弦，， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键． 9. 如图，在中，，，，由ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点与点A、点与点B是对应点，连接，且A、、在同一条直线上，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用互余计算出∠BAC=30°，再根据含30度的直角三角形三边的关系得到AB=2BC=2，接着根据旋转的性质得A′B′=AB=2，B′C=BC=1，A′C=AC，∠A′=∠BAC=30°，∠A′B′C=∠B=60°，于是可判断△CAA′为等腰三角形，所以∠CAA′=∠A′=30°，再利用三角形外角性质计算出∠B′CA=30°，可得B′A=B′C=1，然后利用AA′=AB′+A′B′进行计算． 【详解】解：∵∠ACB=90°，∠B=60°， ∴∠BAC=30°， ∴AB=2BC=2， ∵△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C′， ∴A′B′=AB=2，B′C=BC=1，A′C=AC，∠A′=∠BAC=30°，∠A′B′C=∠B=60°， ∴△CAA′为等腰三角形， ∴∠CAA′=∠A′=30°， ∵A、B′、A′在同一条直线上， ∴∠A′B′C=∠B′AC+∠B′CA， ∴∠B′CA=60°-30°=30°， ∴B′A=B′C=1， ∴AA′=AB′+A′B′=2+1=3． 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了含30度的直角三角形的性质． 10. 如图，是的直径，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了弧与圆心角之间的关系，根据等弧所对的圆心角相等得到，再由对顶角相等得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径，即点O是与的交点， ∴， ∴， 故选：D． 11. 关于的二次函数的图像过原点，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，关于的二次函数的图像过原点，将坐标代入可得且，解得，从而得到答案． 【详解】解：关于的二次函数的图像过原点， 将坐标代入可得，且二次函数定义知， ， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数定义、二次函数图像与性质，根据题意得到且是解决问题的关键． 12. 2023年10月8日，杭州亚运会乒乓球比赛全部结束，国乒揽获除女双项目外的6块金牌，展现了我国乒乓球队员强大的实力，某小组赛采用单循环制（每两队之间都进行一场比赛），比赛总场数为场．若设参赛队伍有支，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，由参赛队伍有支，知每只参赛队伍参加场比赛，根据题意可列出方程，解题关键是熟练掌握单循环制的特点：若参赛队伍有 支，则比赛总场数为场，对于双循环制，若参赛队伍有支，则比赛总场数为场． 【详解】解：设参赛队伍有支，则每只队伍参加场比赛， 根据题意得：， 故选：． 13. 如图1，校运动会上，初一的同学们进行了投实心球比赛．我们发现，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作是抛物线．如图2建立平面直角坐标系，已知实心球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系是y=，则该同学此次投掷实心球的成绩是（ ） A. 2m B. 6m C. 8m D. 10m 【答案】D 【解析】 【分析】根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y=0，解方程即可． 【详解】解：该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离， ∴令y=0，则=0， 整理得：x2-8x-20=0， 解得：x1=10，x2=-2（舍去）， ∴该同学此次投掷实心球的成绩为10m， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，关键是理解题意把函数问题转化为方程问题． 14. 如图，在半径为2，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆交于点D，连接，则阴影部分的面积是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算．先根据题意可知，，从而证明，最后根据阴影部分的面积=扇形的面积的面积，进行解答即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴弓形的面积=弓形的面积， ∴阴影部分的面积 =扇形的面积的面积 ， 故选：C． 15. 抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①；②；③方程的两个根是，；④；⑤当时，的取值范围是；⑥为任意实数时，其中结论正确的个数是（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 根据函数图像开口方向、对称轴、与y轴交点的位置可判断结论①；根据图像与x轴交点的个数可判断结论②；根据函数图像与x轴的交点和对称轴，可判断结论③；根据时的函数值与对称轴，可判断结论④；根据函数图像在x轴下方的部分可判断结论⑤；根据函数在时，有最大值可判断结论⑥． 【详解】解：函数图像开口向上，， 对称轴为直线，， 函数图像与y轴交于正半轴，即当，， ，故结论①正确， 函数图像与x轴有两个交点，即其相关一元二次方程有两个不相等实数根， ，即，故结论②正确， 函数图像与x轴的一个交点为，对称轴为直线， 函数图像与x轴的另一个交点为， 方程的两个根是，，故结论③正确， 函数对称轴为直线，， 当，，故结论④错误， 当时，即取抛物线在x轴下方的部分，由图象结合③可知此时x的取值范围是或，故结论⑤错误， 由图像可知当时，函数有最大值， 当m为任意实数时，， ，故结论⑥正确． 综上所述，结论①②③⑥正确，故正确的结论有4个． 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系． 根据一元二次方程的根与系数的关系，直接计算两根之和即可． 【详解】解：对于一元二次方程，其中二次项系数，一次项系数， 根据根与系数的关系，两根之和． 故答案为：3． 17. 如图，将逆时针旋转得到，若，，，则旋转角度是______°． 【答案】  【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、角的运算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据旋转的性质解题即可． 【详解】解：根据旋转的性质及可知，≌，旋转角为， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为： ． 18. 在上有两点A和B，，点C是圆上异于A和B的一点，则___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理及圆内接四边形的性质，掌握圆周角定理及圆内接四边形的性质并分情况讨论是解题的关键． 分两种情况讨论：如图，当C点在优弧上，利用圆周角定理得到的度数；当点在上，利用圆内接四边形的性质得到的度数． 【详解】解：如图， 当C点在优弧上，则； 当点在上，则； 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 19. 在认识圆锥主题活动课上，芳芳用半径，圆心角的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示．在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的高是____． 【答案】 【解析】 【分析】先利用弧长公式得到圆心角为，半径为的扇形的弧长为，根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，则可计算出圆锥的底面圆的半径为，然后根据勾股定理可计算出圆锥的高． 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了弧长公式和勾股定理． 【详解】解：∵半径，圆心角的扇形纸板， ∴扇形的弧长为， 设圆锥的底面圆半径为r， ∴， 解得， 故圆锥的高为：， 故答案为：． 三．解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了公式法、因式分解法解一元二次方程，理解相关知识是解答关键． （1）先求出判断根的情况，再用求根公式求解； （2）先移项，再利用公因式，再利用两个因式的积为零，它们分别为零来求解． 【小问1详解】 解：，，， ， 方程有两个不相等的实数根， ， ，． 【小问2详解】 解： ， ， 或， 解得，． 21. “一山揽胜景，美人卧池西．”凭借自身奇、绝、险、幽、秀美的自然景观，厚重的历史遗迹，丰富的文化内涵，西山坐稳了“滇中第一佳境”的名头，也成为云南旅游的一张亮眼名片．“网红打卡地”西山风景区在2025年10月1日国庆节，接待游客达2万人次，预计到10月3日这天将接待游客万人次． （1）求西山风景区2025年10月1日至2025年10月3日这3天时间内接待游客人次的平均增长率． （2）按这个增长规律，预计10月4日西山接待游客多少人？ 【答案】（1）平均增长率为 （2）4日西山接待游客万人 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用． （1）设平均增长率是，可得：，求解即可； （2）根据增长率计算即可． 【小问1详解】 解：设平均增长率是， 根据题意得：， 解得 (舍去)， 即平均增长率是； 【小问2详解】 解：预计10月4日西山接待游客（万人）． 22. 如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（5，3）、B（5，1）． （1）在图中标出△ABC外心D的位置，并直接写出它的坐标； （2）将△ABC绕点C逆时针方向旋转90°后，得到△A′B′C，画出旋转后的△A′B′C； （3）求△ABC旋转过程中点A经过的路径长． 【答案】 （1）如图，点D为所作，D点坐标为（3，2）； （2）如图，△A'B'C为所作； （3）π 【解析】 【分析】（1）先利用点A、B的坐标建立直角坐标系，根据三角形外心的性质得到AC的中点为D； （2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点 A′、B′即可； （3）先计算出CA的长，然后根据弧长公式计算． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）CA， 所以△ABC旋转过程中点A经过的路径长＝． 【点睛】本题考查了三角形的外心定义、图形的旋转、弧长计算公式等知识点，较难的是题（3），正确找出图形的运动轨迹是解题关键． 23. 如图，P是等边内的一点，若将绕点A逆时针旋转后，得到，连接．求证：． 【答案】 证明∶∵为等边三角形， ∴，， ∵绕A逆时针旋转后得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在与中， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了根据旋转的性质求解，等边三角形的判定和性质，全等的性质和综合（）等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先利用等边三角形的性质，得出，，再利用旋转的性质得出，，根据等边对等角得出，进而可得出，再利用证明． 【详解】略 24. 如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，设矩形与墙垂直的一边长为米，矩形花圃的面积为S平方米． （1）花圃面积为，求与墙垂直的一边的长度． （2）求S与之间的函数关系式；要想使花圃的面积最大，应为多少？最大面积是多少？ 【答案】（1）与墙垂直的一边的长度为 （2），要想使花圃的面积最大，则，最大面积为 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）表示出平行于墙的一边的长度，再根据矩形面积计算公式建立方程求解即可； （2）表示出平行于墙的一边的长度，再根据矩形面积计算公式列出S关于x的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， 整理得， 解得或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 综上所述，， 答：与墙垂直的一边的长度为； 【小问2详解】 解：由题意得， ， ∵平行于墙的一边的长不能超过墙的长度， ∴，且， ∴， ∵， ∴当时，S随x增大而减小， ∴当时，S有最大值，最大值为， ∴要想使花圃的面积最大，则，最大面积为． 25. 某商场有、两种商品，若购买1件商品和3件商品，则共需90元；若购买2件商品和4件商品，则共需140元． （1）求、两种商品每件的售价分别是多少元． （2）商品每件的成本是10元，根据市场调查发现，若按（1）中求出的单价销售，则该商场每天销售商品100件；若销售单价每上涨1元，则商品每天的销售量就减少4件，请写出商品每天的销售利润（元）与销售单价（元）（）之间的函数关系式，并求销售单价为多少元时，商品每天的销售利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）、两种商品每件的售价分别是元和元 （2），销售单价为元时，商品每天的销售利润最大，最大利润是1225元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，二次函数的实际应用： （1）设、两种商品每件的售价分别是元和元，根据购买1件商品和3件商品，共需90元；购买2件商品和4件商品，共需140元，列出方程组进行求解即可． （2）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出函数关系式，利用二次函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：设、两种商品每件的售价分别是元和元， 由题意，得：， 解得：， 答：、两种商品每件的售价分别是元和元； 【小问2详解】 由题意，得：， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴当时，有最大值，； 答：销售单价为元时，商品每天的销售利润最大，最大利润是1225元． 26. 阅读下面材料，体会其中的数学思想方法 “整体思想”是数学学习中的一种重要思想方法．解方程组，若时，若直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的和分别看作一个整体，设，，则原方程组可化简为，解得，即，所以原方程组的解为，这种解方程组的方法叫做整体换元法． 请你类比以上思想方法，解决下列问题． （1）解方程，求m的值； （2）在（1）的前提下取m的值代入，若抛物线与x轴有唯一的公共点，将该抛物线向下平移5个单位后得到另一抛物线，设n是此抛物线与x轴的一个交点的横坐标，求代数式的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法及二次函数图象的平移，解题的关键是理解整体思想； （1）设，则有，然后进行求解即可； （2）把代入抛物线得：，然后可得，由平移可知，则有，进而根据整体思想可进行求解． 【小问1详解】 解：设， ， 解得：， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：把代入抛物线得：， 与x轴有唯一公共点， ，解得：， ， 将该抛物线向下平移5个单位后得到另一抛物线，则平移后抛物线的解析式为， ∵抛物线与x轴交点的横坐标为n， 即， ； ； ∴ ． 27. 如图，点为的外接圆上的一动点（点不在上，且不与点，重合），． （1）求的度数． （2）过点A作，交延长线于点E，求证：是的切线． （3）是否存在常数，使存在？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） 证明：如图，连接， 由（1），得，， ∴为直径，为等腰直角三角形， ∴点为的中点，， 又∵， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线； （3） 【解析】 【分析】本题考查“切线的判定”“圆周角定理”“圆内接四边形的性质定理”，构造合适的辅助线和全等三角形，从而建立题目中各线段、角度之间的联系是解题关键． （1）利用同弧所对角相等，推出的度数，再通过三角形内角和计算即可； （2）已知半径证垂直，连半径，借助平行的条件，通过证明得到即可； （3）通过在所在直线上构造与相等的线段，建立与相关联的线段，再通过全等三角形，找到角度或线段关系，从而得到该线段与的关系即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 解：如图，在的延长线上截取，连接， ， ， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， 又， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ∴存在常数m，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $