精品解析：吉林省长春市东北师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期数学大练习（八）

2025—2026学年高三上学期 数学大练习（八） 考试时间：90分钟 试卷满分：120分 命题人： 审题人： 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若函数为奇函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 若，则为（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 声强是表示声波强度的物理量，记作.由于声强的变化范围非常大，为方便起见，引入声强级的概念，规定声强级，其中，声强级的单位是贝尔，贝尔又称为分贝.生活在分贝左右的安静环境有利于人的睡眠，而长期生活在分贝以上的噪音环境中会严重影响人的健康.根据所给信息，可得分贝声强级的声强是分贝声强级的声强的（ ） A. 3倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于的方程有三个不相同的实根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数在区间恰有2个零点，2个极值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数在一个周期内的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的值域为 B. 该函数的解析式为 C. 是函数图象的一个对称中心 D. 函数的减区间是 10. 某数学兴趣小组对函数进行研究，得出如下结论，则（ ） A. B. ，都有 C. 的值域为 D. ，都有 11. 已知函数（，且），则（ ） A. B. 曲线关于直线对称 C. 在区间上单调递增 D. 的值域为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知2lg（x﹣2y）＝lgx+lgy，则__． 13. 已知定义在上的函数的导函数为，且对都有，则不等式的解集为__________. 14. 已知函数，则的最小值为___________. 四、解答题：本题共3小题，共47分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间及在上的值域； （2）若为锐角且，求的值. 16. 已知是数列的前项和，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）在平面直角坐标系中，已知点，定义点（其中），记． （i）求的值； （ii）证明：． 17. 已知函数，且. （1）求; （2）已知为函数的导函数，证明：对任意的，均有； （3）证明：对任意的，均有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年高三上学期 数学大练习（八） 考试时间：90分钟 试卷满分：120分 命题人： 审题人： 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的定义求解即可. 【详解】因为集合，所以. 故选：C. 2. 若函数为奇函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇函数的性质，建立方程，结合三角函数的奇偶性，可得答案. 【详解】由题意可得，即， 化简可得，解得. 故选：A. 3. 若，则 为（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【答案】C 【解析】 【分析】根据各象限三角函数符号特征判断即可 【详解】由，得角 的终边在y轴左侧，即第二或第三象限，或x轴负半轴， 由，得角 的终边在第一或第三象限， 所以当时， 为第三象限角. 故选：C 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由充分条件、必要条件的定义判断即可得解. 【详解】由题意，若，则，故充分性成立； 若，则或，推不出，故必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5. 声强是表示声波强度的物理量，记作.由于声强的变化范围非常大，为方便起见，引入声强级的概念，规定声强级，其中，声强级的单位是贝尔，贝尔又称为分贝.生活在分贝左右的安静环境有利于人的睡眠，而长期生活在分贝以上的噪音环境中会严重影响人的健康.根据所给信息，可得分贝声强级的声强是分贝声强级的声强的（ ） A. 3倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍 【答案】C 【解析】 【分析】 将分贝换算成贝尔，根据指数与对数运算的关系可求得分贝和分贝对应的声强，从而求得倍数关系. 【详解】分贝为贝尔，分贝为贝尔， 令，则；令，则，， 即分贝声强级的声强是分贝声强级的声强的倍. 故选：. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，结合同角三角函数平方关系求出，再由两角和的正弦公式即可求解. 【详解】由，又，所以， 因为，所以，所以， 所以， 所以， 故选：D. 7. 已知关于的方程有三个不相同的实根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过分离参数和分析函数的单调性、极值最值即可得. 【详解】由方程，得，且.令. ①当时，，所以，， 令，得，即. 当时，，； 当时，，； 所以在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值也是最大值， ，当. ②当时，，， 所以在单调递增，且，. 因方程有三个不相同的实根，所以函数与有三个不同的交点，如图： 所以. 故选：A. 8. 设函数在区间恰有2个零点，2个极值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把转化为，然后结合正弦函数图像的性质即可求解. 【详解】因为，所以， 因为函数在区间恰有2个零点，2个极值点， 所以，解得. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数在一个周期内的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的值域为 B. 该函数的解析式为 C. 是函数图象的一个对称中心 D. 函数的减区间是 【答案】AD 【解析】 【分析】根据图象求得，结合三角函数的值域、对称性、单调性求得正确答案. 【详解】由图知值域为，故A正确； 由，得， ，代入得， 又，故B错误； 由，得，，故C错误； 由， 得，故D正确. 故选：AD. 10. 某数学兴趣小组对函数进行研究，得出如下结论，则（ ） A. B. ，都有 C. 的值域为 D. ，都有 【答案】ABD 【解析】 【分析】A.直接验证；B.由 判断；C. 由 判断，D.由时， ，作差法判断. 【详解】因为函数， A.，故正确； B. ，易知在上递减， 所以，都有，故正确； C. 当时，；当时，，所以 ，故错误； D. 当时，， 要证明，都有， 即证明， 化简得， 即证明，即证明， 因为， 所以不等式恒成立，故D正确； 故选：ABD 11. 已知函数（，且），则（ ） A. B. 曲线关于直线对称 C. 在区间上单调递增 D. 的值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用诱导公式化简计算即得；对于B，先利用同角的三角函数关系式和降幂公式化简得，求其对称轴检验即得；对于C，与B同法化简得，利用余弦函数的单调性即可判断；对于D，令，将换元成，利用求导判断其单调性，即可求出其值域. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B， 由，可得的对称轴为，故B正确； 对于C， ， 当时，，因函数在上单调递减， 在区间上单调递减，故C错误； 对于D，令，则 因，则， 则， 令，可得，即解得， 故当时，，则，， 故，则在上单调递减； 当时，，则，， 故，则在上单调递增， 于是，，，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知2lg（x﹣2y）＝lgx+lgy，则__． 【答案】2 【解析】 【分析】根据对数的运算求解即可. 【详解】∵2lg（x﹣2y）＝lgx+lgy ∴，解得 ∴2 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了对数的运算，属于基础题. 13. 已知定义在 上的函数的导函数为，且对都有，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，构造新函数，分析新函数的单调性，从而得到不等式的解集. 【详解】令，，则. 因为对都有，所以，所以函数在上单调递增. 因为，所以不等式，即的解集为. 故不等式的解集为. 故答案为：. 14. 已知函数，则的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】应用三角恒等变换得，令，则，利用导数求其最小值即可. 【详解】由 ， 所以， 令，则， 所以，当时，当或时， 所以在上单调递减，在、上单调递增， 由，故的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共3小题，共47分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间及在上的值域； （2）若 为锐角且，求的值. 【答案】（1）单调递增区间为，值域为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求解. （2）由（1）的信息，利用同角公式及差角余弦公式求解. 【小问1详解】 依题意，函数 由，解得， 所以函数的单调递增区间为； 由，得，， 所以当的值域为. 【小问2详解】 由（1）知，，由，得， 由，得，所以，， 所以 . 16. 已知是数列的前项和，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）在平面直角坐标系中，已知点，定义点（其中），记． （i）求的值； （ii）证明：． 【答案】（1） （2）（i）； （ii）由题意可知：，则， 先证明以下结论：． 因为， 且，所以， 故． 因为，则，原式得证． 【解析】 【分析】（1）根据求解即可； （2）（i）由题知，，则，再利用和差公式求值即可；（ii）先证，即，，求出即可证明． 【小问1详解】 时，， 时，，化简得：， 经检验得，时也满足， 故． 【小问2详解】 （i）由题意：，则， 所以，即． （ii）略 17. 已知函数，且. （1）求; （2）已知为函数的导函数，证明：对任意的，均有； （3）证明：对任意的，均有. 【答案】（1） （2）证明：由（1）知，， 要证，即证， 进一步变形为证，即证. 因为，令，则需证（）， 即证（） 设，，， 当时，，在单调递增，所以，得证. （3）证明：由（1）知，且， 当时，，即； 令（），则. 要证，即证， 因为，所以， 而，得证. 【解析】 【分析】（1）构造函数，利用导数判断函数的单调性， 可得，只需 满足，计算即可得解； （2）先写出，将不等式变形，通过换元，构造函数，利用导数证其单调性，从而推导不等式成立； （3）由（1）中的结论，取得到，对不等式左边求和，结合对数运算性质（裂项相消），证得结果. 【小问1详解】 由得， 令，则， ①当时，恒成立，在上单调递减，且，不符题意； ②当时，在上单调递增，在上单调递减， 故， 令，则， 故在上单调递减，在上单调递增， 则，即，又， 所以，解得. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $