精品解析：江西省吉安市永丰县第二中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试卷

江西省永丰县二中2022级高一下学期期中考试数学试卷及解析 考试范围：第一章三角函数、第二章向量第1、2节考试时间120分钟（2023.4.28） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.） 1. 如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图形，找出边界对应的角，即可写出集合. 【详解】由图象知，终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是， 故选：C 2. 如图，正六边形中，（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】将平移到，平移到， 故， 故选D. 本题主要考查平面向量的基本概念及线性运算 考点：向量的加法. 3. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦×矢＋矢）.弧田如图，由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径为6米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（）（ ） A. 16平方米 B. 18平方米 C. 20平方米 D. 25平方米 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据公式计算可得. 【详解】弦=，矢=， 所以弧田面积=（弦×矢＋矢）==平方米， 故选：C 【点睛】本题考查了数学文化，考查了扇形中面积的计算，属于基础题. 4. 已知角β与α的终边关于y轴对称，则下列关于β，α表达式中正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据角与角的终边关系逐项分析求解. 【详解】A表示角β和α的终边相同； B表示角β和α的终边关于原点对称； C表示角β和α的终边关于x轴对称； D表示角β和α的终边关于y轴对称. 故选：D 5. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得出，即，然后利用单位圆分析即可得出答案. 【详解】由题意知，即得， 在单位圆中分别画出不等式①②的解集对应的区域P与Q， 则区域P的解集为， 区域Q的解集为， 其公共区域为不等式组的解即为， 故函数的定义域为. 故选：B. 6. 若，且，则角是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【答案】C 【解析】 【分析】判断出、的符号，由此可判断出角的终边所在的象限. 【详解】，，又，则. 因此，角为第三象限角. 故选：C. 【点睛】本题考查象限角的判断，考查推理能力，属于基础题. 7. 设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：由已知得， 而所以，选D. 考点：平面向量的线性运算，相反向量. 8. 已知函数（），若在区间上有且仅有个零点和个最大值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，将问题转化为在区间上有且仅有4个零点和1个最大值点，结合函数的图象可得答案. 【详解】由，设； 在区间上有且仅有4个零点和1个最大值点， 即在区间上有且仅有4个零点和1个最大值点. 作出的图象如图. 由在区间上有且仅有个零点，得①； 又在区间上有且仅有个最大值点，得②； 依题意需同时满足①②式，于是得， 即，解得， 故的取值范围是. 故选：A 二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 9. 已知角α的终边在第二象限，则的终边在第几象限（ ） A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】AC 【解析】 【分析】由已知角α的终边在第二象限，可得，分为奇数、偶数讨论即可得到答案. 【详解】由于角α的终边在第二象限，则有，， 所以，， 当，时，，，所以的终边在第一象限； 当，时，，，所以的终边在第三象限. 综上，的终边在第一或三象限. 故选：AC. 10. 下列所表示的向量式子中，化简后等于零向量的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量的加减运算逐项分析即可. 【详解】因为，， ，. 故选：ACD 11. 若函数，为了得到函数的图象，下面有四种变换：①先横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位长度；②先向右平移个单位长度，再横坐标伸长为原来的2倍；③先向右平移个单位长度，再横坐标伸长为原来的2倍；④先横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位长度.则只需将的图象（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】AC 【解析】 【分析】先利用诱导公式将转换成正弦函数的形式，然后根据伸缩和平移变换即可得到答案. 【详解】由于函数， 为了得到函数的图象，则只需将的图象，先横坐标伸长为原来的2倍得到，再向右平移个单位长度得到图象，即①正确； 或先将的图象向右平移个单位长度得到的图象，再横坐标伸长为原来的2倍得到图象，即③正确； 故选：AC. 12. 已知函数的部分图象如图所示，其中，，将的图象向右平移1个单位长度，得到函数的图象，则的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据图象求出函数的解析式，再由函数图象的平移得出. 【详解】设函数的最小正周期为T. 由题图及，利用勾股定理得，则，. 又由，得，且，得. 所以， 则. 故选：AD 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 13. 已知扇形的周长是4厘米，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是________． 【答案】2 【解析】 【分析】设扇形半径为r，可得周长，写出扇形的面积公式，再利用二次函数的性质求出扇形面积的最大值，即可求得α的值． 【详解】设扇形的半径为，则周长为， ∴面积为， 当且仅当r＝1时取等号，此时α＝2． 故答案为：2． 14. 若角的终边经过点且，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知得 由m，解得m，由此能求出. 【详解】由题意得，，所以m， 因为，所以 . 当时， ，点P的坐标为， 所以， 当时， ，点P的坐标为， 所以. 【点睛】本题考查三角函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意任意角三角函数的定义的合理运用． 15. 有下列四个命题：①若非零向量与的方向相同或相反，则与，其中之一的方向相同；②与的方向相同；③；④若（λ为实数），则.其中叙述错误的命题个数有______个. 【答案】4 【解析】 【分析】根据向量方向、模、向量的加法、共线等基本知识逐项判断即可. 【详解】对于①， 当时，其方向任意，它与，的方向都不相同； 对于②， 当，中有一个为零向量时结论不成立； 对于③， 因为两个向量之和仍是一个向量，所以，而非； 对于④， 当时，，此时不一定有. 故答案为：4. 16. 如图，某地一天从早上6时至中午14时的温度变化曲线近似满足函数（其中）的关系式，其中点和分别是曲线的最低和最高点，则这段曲线的函数解析式为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据图像确定函数的半个周期，即可得出；根据函数的最大值和最小值的差值与和值得出和；代入一个点的坐标，得出. 【详解】由图像可知，从时至时的曲线恰好是函数的半个周期， 得，； 又，解得； 由“五点作图”原理知，解得. 故这段曲线的函数解析式为， 故答案为：. 四、解答题（本大题共6小题，分别为10，12，12，12，12，12分，共70分.） 17. （1）已知，求的值； （2）已知角终边上一点的坐标为，求角α的值. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式对函数进行化简进而可求得函数值. （2）根据角的终边的坐标可求出，进而求得该角的值； 【详解】（1）因为，所以. （2）由角终边上一点的坐标为， 所以，， 因为，且，所以， 又因为，且，所以， 综上，. 18. 已知函数. （1）求的定义域； （2）求的单调区间. 【答案】（1） （2）单调递减区间为，无单调递增区间 【解析】 【分析】（1）根据正切函数的定义域列式求解即可； （2）根据正切函数的单调性列出不等式，求解即可得出答案. 【小问1详解】 由于函数，要使有意义， 则，，解得， 故的定义域为； 【小问2详解】 因为，由， 得，所以函数的单调递减区间为，无单调递增区间. 19. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 5 0 （Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解析式； （Ⅱ）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象．若图象的一个对称中心为，求的最小值． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）． 【解析】 【详解】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得．数据补全如下表： 0 0 5 0 0 且函数表达式为． （Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，得． 因为的对称中心为，． 令，解得，． 由于函数的图象关于点成中心对称，令， 解得，．由可知，当时，取得最小值． 考点：“五点法”画函数在某一个周期内的图象，三角函数的平移变换，三角函数的性质． 20. 设函数的周期为，且图像过点. （1）求与的值； （2）用五点法作出函数在长度为一个周期的闭区间上的图像； （3）叙述函数的图像可由的图像经过怎样的变换而得到. 【答案】（1）， （2）作图见解析 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据函数周期及函数图象过的点求解析式即可； （2）利用“五点法”求函数图象即可； （3）根据函数的图象变换求解即可. 【小问1详解】 由函数的周期为，且， 知，解得； 将点的坐标代入中，有，且， 解得，故，. 【小问2详解】 用五点法列出四者的关系如下， 先描点，再作出在一个周期上的图像如图所示， 【小问3详解】 法1，把的图像上所有的点向左平移个单位，得到的图像；再把的图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，得的图像；最后把的图像上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的倍，得的图像. 法2，将的图像上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得的图像；再将的图像上所有的点向左平移个单位，得到的图像；最后把的图像上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得的图像. 21. 已知函数. （1）若，且在区间上至少出现50次最大值，求的最小值； （2）若在区间上的最小值为，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数出现的最大值的次数确定周期数，进而可列出不等式求得的最小值. （2）根据正弦函数取最小值时的范围求出的取值范围. 【小问1详解】 由题意，，且函数至少出现50次最大值，即至少需用个周期， 所以，解得，所以的最小值为. 【小问2详解】 显然.若，当时，， 因为函数在区间上的最小值为-2，所以，解得. 若，当时，， 因为函数在区间上的最小值为. 所以，解得. 综上所述，符合条件的实数的取值范围是. 22. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式，并求它的对称中心的坐标； （2）将函数的图象向右平移个单位，得到的函数为偶函数，求函数的最值及相应的值. 【答案】（1）， （2），；，. 【解析】 【分析】（1）根据正弦函数的图象识别，可得到正弦函数的周期、振幅，进而可求得函数的解析式和对称中心的坐标. （2）先根据正弦函数的平移和奇偶性求得的解析式，然后根据正弦函数的性质求出最值. 【小问1详解】 根据图象知，，∴，∴，∴. 将点代入，即.又，∴，∴. 令，解得，∴的对称中心的坐标为. 【小问2详解】 ，∵为偶函数，∴， ∴.又∵，∴，∴， 所以函数，又∵，所以， 则，，于是. ∴，此时；，此时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省永丰县二中2022级高一下学期期中考试数学试卷及解析 考试范围：第一章三角函数、第二章向量第1、2节考试时间120分钟（2023.4.28） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.） 1. 如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，正六边形中，（ ） A. B. C. D. 3. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦×矢＋矢）.弧田如图，由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径为6米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（）（ ） A. 16平方米 B. 18平方米 C. 20平方米 D. 25平方米 4. 已知角β与α的终边关于y轴对称，则下列关于β，α表达式中正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 若，且，则角是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 7. 设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于 A. B. C. D. 8. 已知函数（），若在区间上有且仅有个零点和个最大值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 9. 已知角α的终边在第二象限，则的终边在第几象限（ ） A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 10. 下列所表示的向量式子中，化简后等于零向量的是（ ） A. B. C. D. 11. 若函数，为了得到函数的图象，下面有四种变换：①先横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位长度；②先向右平移个单位长度，再横坐标伸长为原来的2倍；③先向右平移个单位长度，再横坐标伸长为原来的2倍；④先横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位长度.则只需将的图象（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 12. 已知函数的部分图象如图所示，其中，，将的图象向右平移1个单位长度，得到函数的图象，则的解析式是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 13. 已知扇形的周长是4厘米，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是________． 14. 若角的终边经过点且，则的值为________． 15. 有下列四个命题：①若非零向量与的方向相同或相反，则与，其中之一的方向相同；②与的方向相同；③；④若（λ为实数），则.其中叙述错误的命题个数有______个. 16. 如图，某地一天从早上6时至中午14时的温度变化曲线近似满足函数（其中）的关系式，其中点和分别是曲线的最低和最高点，则这段曲线的函数解析式为______. 四、解答题（本大题共6小题，分别为10，12，12，12，12，12分，共70分.） 17. （1）已知，求的值； （2）已知角终边上一点的坐标为，求角α的值. 18. 已知函数. （1）求的定义域； （2）求的单调区间. 19. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 5 0 （Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解析式； （Ⅱ）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象．若图象的一个对称中心为，求的最小值． 20. 设函数的周期为，且图像过点. （1）求与的值； （2）用五点法作出函数在长度为一个周期的闭区间上的图像； （3）叙述函数的图像可由的图像经过怎样的变换而得到. 21. 已知函数. （1）若，且在区间上至少出现50次最大值，求的最小值； （2）若在区间上的最小值为，求的取值范围. 22. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式，并求它的对称中心的坐标； （2）将函数的图象向右平移个单位，得到的函数为偶函数，求函数的最值及相应的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $