精品解析：安徽省合肥市第八中学2025-2026学年高二上学期数学统一作业（四）

合肥八中2024级高二年级第一学期统一作业（四） （考试时间：120分钟 试卷淌分：150分） 命题人：李孔莹 审题人：阮正浩 第一部分（选择题共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线：的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将抛物线写成标准方程，即可根据准线方程的公式求解. 【详解】的标准方程为，故准线方程为， 故选：A 2. 圆与圆的公切线条数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】分析圆心距和两圆半径的关系，可知两圆外切，即可得到两圆公切线条数. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径. 因为，所以两圆外切，所以圆与圆的公切线有3条. 故选：C. 3. 如图，三棱锥中，，，点为的中点，记，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据向量的线性运算与共线定理运算即可. 【详解】连接， 因为点为的中点， 所以 即，. 故选：C. 4. 已知点，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出直线的斜率，然后结合图象即可写出答案． 【详解】记为点，则直线的斜率，直线的斜率， 因为直线过点，且与线段相交， 结合图象，可得直线的斜率的取值范围是. 故选：D. 5. 已知圆的方程为，定点，为圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则点的轨迹方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件可得点在以，为焦点，的椭圆上，即可求解. 【详解】因为圆的圆心为，半径为， 由题知，又，则， 所以点在以，为焦点，的椭圆上， 由，得，所以点的轨迹方程为， 故选：B. 6. 如图，在圆锥中，是底面圆的直径，为底面圆的圆心，，则直线与直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求解直线与直线所成角的余弦值即可. 【详解】连接 在圆锥中有平面，平面，所以 又是底面圆直径，所以为中点，因为，所以， 如图以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，，，，则，， ， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 故选：D. 7. 已知抛物线的焦点为，准线为，与轴平行的直线与l和抛物线C分别交于两点，且直线的倾斜角为，则（ ） A. B. C. 6 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由直线AF的倾斜角为得到得到为等边三角形，进而得到，由，得到答案. 【详解】由抛物线定义可知， 因为直线AF的倾斜角为，轴， ， 所以为等边三角形， 故，， 所以， 其中准线l与轴交点为，则，故， 所以. 故选：D. 8. 已知椭圆：的焦距为，上一点P满足，为坐标原点，且，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由椭圆定义可得，，由焦距为，得，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，根据，解得，从而得，在中，由余弦定理求得，即可得答案. 【详解】由椭圆定义得， 又， 则，， 又因为焦距为， 所以， 在中，由正弦定理得， 即， 同理在中，由正弦定理得， 所以， 所以， 又， 则， 即 解得， 又因为， 即， 所以， 在中，由余弦定理得， 解得， 所以． 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法错误的是（ ） A. 若空间向量，满足，则与夹角为锐角. B. 设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底. C. 若，则存在唯一的实数，使. D. 向量，，，若向量，，共面，则实数的值为1. 【答案】ABC 【解析】 【分析】举例判断AC；根据共面向量的定义求解判断BD. 【详解】对于A，当与方向相同时，且都不为零向量时满足， 但与夹角为0，故A错误； 对于B，由于是空间中的一组基底，则不共面， 因为，所以共面， 所以不是空间的一组基底，故B错误； 对于C，当时，，但不存在唯一的实数，使，故C错误； 对于D，若向量，，共面，则， 即， 则，解得，故D正确. 故选：ABC 10. 已知椭圆的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为是椭圆上异于的一个动点，则下列说法正确的有（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 若，则 C. 直线的斜率与直线的斜率之积为定值 D. 符合条件的点有且仅有2个 【答案】AC 【解析】 【分析】由椭圆的定义、方程和性质，结合直线的斜率公式和向量数量积的性质，对选项分析即可得到结论． 【详解】由题知，因为，即，解得，所以离心率，故A正确； 若，连接，在中，由勾股定理得， 又因为点在椭圆上，所以，所以， 又，解得，所以，故B错误； 设， 则， 又因为点在椭圆上，所以， 因为，所以，从而， 所以为定值，故C正确； 因为，所以点在以为直径的圆上，半径为， 又因为， 所以该圆与椭圆无交点，所以同时在圆上和在椭圆上的点不存在，即不存在符合条件的点，故D错误. 故选：AC. 11. 已知点在圆：上，点是直线：上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为、，又设直线分别交，轴于，两点，则（ ） A. 的最小值为 B. 直线必过定点 C. 满足的点有两个 D. 过点作圆的切线，切线方程为或 【答案】BCD 【解析】 【分析】A：将问题转化为求的最小值，由此可解；B：根据是以为直径的圆与圆相交所得到的公共弦，由此求出方程并分析是否过定点；C：分析以为直径的圆与圆的位置关系，由此可判断结果；D：设出切线方程，根据相切时圆心到直线的距离等于半径求解出结果. 【详解】A：因为，当最小时，取最小值， 取最小值时即为到直线的距离，所以最小值为， 所以的最小值为，故A错误； B：设，，所以中点坐标为，， 以为直径的圆的方程为， 又圆，两圆方程相减可得， 即为 令，解得， 所以公共弦所在直线过定点，故B正确； 对于C：对于， 令，则，所以， 令，则，所以， 所以中点的坐标为，， 故以为直径的圆的方程为， 又因为，且， 所以圆与圆相交，所以满足的点有两个，故C正确； 对于D：如图所示，不妨设切线方程为，即， 因为与圆相切，所以，所以，解得， 所以切线方程为或，故D正确； 故选：BCD. 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线，直线.若，则值为____________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据直线平行可得，运算求解，并代入检验即可. 【详解】因为，则，解得或， 若，则直线，直线，两直线重合，不合题意； 若，则直线，直线，两直线平行，符合题意； 综上所述：. 故答案为：2. 13. 已知直线经过抛物线的焦点并交抛物线于，两点，则，且在抛物线的准线上的一点满足，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】由所给向量关系可得点C在直线AB上，过点A，B分别作抛物线准线的垂线，结合抛物线定义求出即可作答. 【详解】过点A，B作抛物线准线的垂线，垂足分别为N，M，令准线交x轴于点K，如图： 则有，因点C在准线上且满足，即点C是直线AB与准线的交点， 于是有，得，从而有，即点F是线段AC的中点， 而，则有,又， 所以. 故答案为：2 14. 设，分别为双曲线的左、右焦点，过且斜率为的直线与的右支交于点，与的左支交于点，点满足，，则双曲线的渐近线方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】设，利用双曲线定义分别表示出，利用直线的斜率得到，在解出，在用余弦定理得到与的关系，即解出双曲线的渐近线方程． 【详解】由，得为的中点；又，所以，所以； 设，如下图： 由双曲线的定义得，， 所以，从而， 所以； 由直线的斜率为，得 又， 在中，，即； 在中，由余弦定理得， 即，整理得， 解得，所以，可得， 因此，可知渐近线方程为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知动点与两个定点，的距离的比是2. （1）求动点的轨迹的方程； （2）直线过点，且被曲线截得的弦长为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）直接利用条件求出点的轨迹方程，所求方程表示一个圆； （2）直线的斜率分存在与不存在两种情况，当直线的斜率不存在时，检验不满足条件；当直线的斜率存在时，用点斜式设出直线的方程，根据弦长和点到直线的距离公式列出等式即可求出直线的斜率，进而求出直线的方程. 【小问1详解】 设点， 动点与两个定点，的距离的比是， ，即， 则， 化简得， 所以动点的轨迹的方程为； 【小问2详解】 由（1）可知点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 直线被曲线截得的弦长为， 圆心到直线的距离， ①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离是3，不符合条件； ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 所以圆心到直线的距离， 化简得，解得或， 此时直线的方程为或. 综上，直线的方程是或. 16. 已知F为抛物线的焦点，为C上的一点，且，斜率为的直线l与C交于A，B两点，设直线，的斜率分别为，． （1）求抛物线C的方程； （2）求证为定值． 【答案】（1）； （2）证明：设，联立，得． AI 由，得． 设，，则． 由（1）知，，． 所以为定值． 【解析】 【分析】（1）由点在抛物线上及抛物线定义求参数，即可得方程； （2）设，联立抛物线并应用韦达定理、斜率两点式化简求，即可证. 【小问1详解】 依题意，，得，所以抛物线C的方程为． 【小问2详解】 略. 17. 如图，在正三棱柱中，底面边长为2，侧棱长为是的中点． （1）求直线与平面所成角的正弦值： （2）在线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）利用正三棱柱的性质如图建立空间直角坐标系，利用空间向量法来求线面角的正弦值； （2）利用设未知量，来表示空间向量，借助空间向量法来求点到面的距离，从而解决问题. 【小问1详解】 因为在正中，D是的中点，故， 以D为坐标原点，取的中点F，分别以为轴， 建立如图所示空间直角坐标系，    则，，，， ，，， 则，，， 设平面的法向量为， 则，取，则， 设直线与平面所成角为， 可得， 所以直线与平面所成角的正弦值为； 【小问2详解】 存在点，使得点到平面的距离为，且，理由如下： 设，其中， 所以， ，， 设平面的法向量为， 则，取，则， 则点到平面的距离， 化简得，解得或（舍去）． 综上，存在点E，使得点到平面的距离为，此时. 18. 已知双曲线：的离心率为，实轴长为4. （1）求双曲线的方程； （2）若直线：与的右支交于A，B两点，O为坐标原点，若直线与y轴交于点P，且，求的面积 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】(1) 利用实轴长和离心率求双曲线的基本量，进而得方程； (2) 联立直线与双曲线，结合韦达定理和距离公式求参数，进而求得的坐标，从而求得三角形面积. 【小问1详解】 由实轴长为，得. 离心率，故. 由，得. 因此双曲线的方程为. 【小问2详解】 直线与轴交于， 联立与双曲线方程得， 设、，双曲线渐近线方程为， 由直线与右支相交于两点，得. ， 由韦达定理，. ，同理， 故：， 解得（）. 将代入联立方程，得， 解得、，对应、. 即， 因此的面积为：. 19. 已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆上. （1）求椭圆的方程. （2）过点且斜率不为0的直线与椭圆相交于，两点. （ⅰ）若为原点，求面积的最大值； （ⅱ）点，设点是线段上异于，的一点，直线，的斜率分别为，，且，求的值. 【答案】（1） （2）（ⅰ）1；（ⅱ）的值为1. 【解析】 【分析】（1）根据题意先判断三点在椭圆上，再代入椭圆方程解方程组即可求解； （2）（ⅰ）设直线的方程为，点，，与椭圆方程联立，利用韦达定理得，求得面积，令，得，最后利用均值不等式即可求解； （ⅱ）由得，即点在线段的垂直平分线上，得，利用两点间的距离公式计算，代入得，又，代入即可求解. 【小问1详解】 由对称性知，和在椭圆上， 所以所以，椭圆的方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）设直线的方程为，点，， 由，消去得：， 则，，则或. 所以， 所以面积. 令，则，， 当且仅当，即时，面积的最大值为1. （ⅱ）因为，所以直线，的倾斜角互补，所以， 所以点在线段的垂直平分线上，所以. 所以，同理得， ，. 所以， 于是， 因为， 所以. 所以的值为1. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥八中2024级高二年级第一学期统一作业（四） （考试时间：120分钟 试卷淌分：150分） 命题人：李孔莹 审题人：阮正浩 第一部分（选择题共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线：的准线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 圆与圆的公切线条数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 如图，三棱锥中，，，点为的中点，记，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知点，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆的方程为，定点，为圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则点的轨迹方程为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在圆锥中，是底面圆的直径，为底面圆的圆心，，则直线与直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线的焦点为，准线为，与轴平行的直线与l和抛物线C分别交于两点，且直线的倾斜角为，则（ ） A. B. C. 6 D. 4 8. 已知椭圆：的焦距为，上一点P满足，为坐标原点，且，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法错误的是（ ） A. 若空间向量，满足，则与夹角为锐角. B. 设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底. C. 若，则存在唯一的实数，使. D. 向量，，，若向量，，共面，则实数的值为1. 10. 已知椭圆的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为是椭圆上异于的一个动点，则下列说法正确的有（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 若，则 C. 直线的斜率与直线的斜率之积为定值 D. 符合条件的点有且仅有2个 11. 已知点在圆：上，点是直线：上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为、，又设直线分别交，轴于，两点，则（ ） A. 的最小值为 B. 直线必过定点 C. 满足的点有两个 D. 过点作圆的切线，切线方程为或 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线，直线.若，则值为____________. 13. 已知直线经过抛物线的焦点并交抛物线于，两点，则，且在抛物线的准线上的一点满足，则______. 14. 设，分别为双曲线的左、右焦点，过且斜率为的直线与的右支交于点，与的左支交于点，点满足，，则双曲线的渐近线方程为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知动点与两个定点，的距离的比是2. （1）求动点的轨迹的方程； （2）直线过点，且被曲线截得的弦长为，求直线的方程. 16. 已知F为抛物线的焦点，为C上的一点，且，斜率为的直线l与C交于A，B两点，设直线，的斜率分别为，． （1）求抛物线C的方程； （2）求证为定值． 17. 如图，在正三棱柱中，底面边长为2，侧棱长为是的中点． （1）求直线与平面所成角的正弦值： （2）在线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 18. 已知双曲线：的离心率为，实轴长为4. （1）求双曲线的方程； （2）若直线：与的右支交于A，B两点，O为坐标原点，若直线与y轴交于点P，且，求的面积 19. 已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆上. （1）求椭圆的方程. （2）过点且斜率不为0的直线与椭圆相交于，两点. （ⅰ）若为原点，求面积的最大值； （ⅱ）点，设点是线段上异于，的一点，直线，的斜率分别为，，且，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $