精品解析：河北省沧州市多校联考2025-2026学年高二上学期12月期中数学试题

2025～2026学年度第一学期高二年级第三次月考 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分,考试时间120分钟. 2.答题前,考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时,请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册,选择性必修第二册第四章第1节～第2节. 一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列1，，，，3，…，，…，则9是该数列的（ ） A. 第42项 B. 第41项 C. 第9项 D. 第8项 2. 抛物线C：的准线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 若抛物线上的点（）到其焦点F的距离为3，则实数m的值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 5. 一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹是（ ） A. 抛物线 B. 双曲线的一支 C. 椭圆 D. 圆 6. 如图，在棱长为6的正四面体中，，分别为棱，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的右焦点为，点，点为双曲线左支上的动点，则的周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知等差数列，的前项和分别为和，若，则满足的正整数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 5个 D. 6个 二、选择题：本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9. 直线与圆相切，则实数等于（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列满足，，记数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知点F是抛物线C：的焦点，点A是抛物线C的准线与x轴的交点，过点A且斜率为k的直线l与C交于M，N两点，则下列说法正确的是（ ） A. k的取值范围为 B. C. 若，则或 D. 点M关于x轴的对称点在直线NF上 三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分. 12. 数列满足，若，则__________． 13. 已知直线与双曲线交于，两点，点是弦的中点，则双曲线的离心率为______. 14. 已知椭圆G：（）的两个焦点分别为，，短轴的两个端点分别为，，O为坐标原点，点P在椭圆G上,且满足.当b变化时，的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知三点，记的外接圆为圆. （1）求圆的方程； （2）若直线与圆交于两点，求的面积. 16. 已知抛物线的焦点为F，点（其中）在抛物线C上，． （1）求和的值； （2）为坐标原点，过点的直线与抛物线交于另一点，，求直线的方程． 17. 已知等差数列的前项和为. （1）求证：数列是等差数列； （2）若是递增数列，，求证：. 18. 如图，直四棱柱的底面为直角梯形，为的中点，点为棱上一动点. （1）证明：平面； （2）当点为棱的中点时，证明：平面平面； （3）若二面角的余弦值为，求的值. 19. 已知双曲线的一条渐近线方程为，左、右顶点分别为，，且. （1）求的方程； （2）若点为直线上的一点，直线交于另外一点（不同于点）. ①记，的面积分别为，，且，求点的坐标； ②若直线交于另外一点，点是直线上的一点，且，其中为坐标原点，试判断是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第一学期高二年级第三次月考 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分,考试时间120分钟. 2.答题前,考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时,请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册,选择性必修第二册第四章第1节～第2节. 一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列1，，，，3，…，，…，则9是该数列的（ ） A. 第42项 B. 第41项 C. 第9项 D. 第8项 【答案】B 【解析】 【分析】由递推得到通项公式，然后计算即可. 【详解】由已知数列1，，，，3，…，，…，即，， ，，，…，，…，则数列的第项为， 令，解得，所以9是该数列的第41项. 故选：B. 2. 抛物线C：的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将抛物线方程化为标准式，得到，求出准线方程. 【详解】抛物线的标准方程为， 抛物线C的焦点在x轴的负半轴上且，故其准线的方程为. 故选：D. 3. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将双曲线方程化为标准形式，结合渐近线方程的定义求结论. 【详解】双曲线的标准方程为， 所以该双曲线的渐近线方程为， 故选：C. 4. 若抛物线上的点（）到其焦点F的距离为3，则实数m的值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线的定义结合题意计算可得. 【详解】由抛物线，则焦点，准线方程为， 因为抛物线上的点到其焦点F的距离为3， 根据抛物线的定义，可得点P到准线的距离为3，即，解得， 因点是抛物线上的点，则，又，则. 故选：C. 5. 一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹是（ ） A. 抛物线 B. 双曲线的一支 C. 椭圆 D. 圆 【答案】C 【解析】 【分析】由圆与圆的位置关系确定，，，再利用椭圆的定义可求. 【详解】如图，设动圆的圆心为，半径为， 由题意得圆：，圆：， 则，，， 所以，所以点的轨迹为以，为焦点，长轴长为的椭圆（除去点）. 故选：C. 6. 如图，在棱长为6的正四面体中，，分别为棱，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作平面，垂足为，连接，以为坐标原点，直线，分别为轴，轴建立空间直角坐标系，根据空间向量的坐标运算求解，再利用向量的夹角余弦值的坐标运算得所求. 【详解】作平面，垂足为，连接，则为的中心， 以为坐标原点，直线，分别为轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，，， 设，所成的角为，所以. 故选：A. 7. 已知双曲线的右焦点为，点，点为双曲线左支上的动点，则的周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的焦点坐标求出的值，设双曲线的左焦点为，利用双曲线的定义得出，利用当为线段与双曲线的交点时，的周长取最小值，求解即可. 【详解】因为双曲线的右焦点为，则， 且，可得，则，，， 所以，双曲线的标准方程为，如下图所示： 双曲线的左焦点为，且， 同理可得， 由双曲线的定义可得，所以，， 所以，的周长为， 当且仅当为线段与双曲线的交点时，等号成立， 所以，周长的最小值为. 故选：A. 8. 已知等差数列，的前项和分别为和，若，则满足的正整数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 5个 D. 6个 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列前项和的性质，由，从而可设（），，由通项与前项和的关系利用相减法可得通项，从而可得，结合分式与整式的性质即可得结论. 【详解】因为等差数列,的前n项和分别为和,， 所以可设（），， 所以时，， 又满足上式，所以（）， 时，， 又满足上式，所以,， 则， 因为，所以是63的正因数，63的正因数有1，3，7，9，21，63， 又，则，解得；，解得， 所以，15，即满足的正整数n有2个. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9. 直线与圆相切，则实数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由题意，圆心到直线的距离等于半径建立方程，解之即得. 【详解】由，可得，知其圆心为，半径为， 依题意，圆心到直线的距离为， 解得或. 故选：AC. 10. 已知数列满足，，记数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由得，进而由可得，可判断A选项；由可判断B选项；由可知，数列的周期为3，又，利用周期可得所以，可判断C选项；由周期性可得，可判断D选项. 【详解】因为，所以，因为， 即，所以，，故A错误； 因为，所以， 所以，即，故B正确； 由可知，数列的周期为3，又， 所以，故C错误； ，所以，故D正确. 故选：BD. 11. 已知点F是抛物线C：的焦点，点A是抛物线C的准线与x轴的交点，过点A且斜率为k的直线l与C交于M，N两点，则下列说法正确的是（ ） A. k的取值范围为 B. C. 若，则或 D. 点M关于x轴的对称点在直线NF上 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出抛物线的焦点、准线方程，将直线的方程与抛物线方程联立，由判别式判断A；利用抛物线的定义结合几何图形推理判断B；利用韦达定理求出判断C；利用斜率坐标公式、结合韦达定理求解判断D. 【详解】抛物线C：的焦点，准线，点，直线， 对于A，由消去得：，依题意，， 解得且，因此k的取值范围为，A正确； 对于B，过作准线的垂线，垂足分别为，则， 因此，即，B正确； 对于C，由，得，设， 则，而，联立解得，C错误； 对于D，直线的斜率，直线的斜率， ， 令点M关于x轴的对称点为，则直线的斜率， 而直线与直线有公共点，因此点在直线上，D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：作出几何图形，利用平行线分线段成比例，结合抛物线定义是判断选项B的关键. 三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分. 12. 数列满足，若，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据条件等式，代入求，再赋值求. 【详解】由，得，，所以，． 故答案为： 13. 已知直线与双曲线交于，两点，点是弦的中点，则双曲线的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】设，，利用点差法结合中点坐标公式和离心率的定义求解即可. 【详解】设，，可得，， 两式相减可得，点是弦的中点， 且直线，可得，，，即有， 即，，，故双曲线的离心率为. 故答案为：2. 14. 已知椭圆G：（）的两个焦点分别为，，短轴的两个端点分别为，，O为坐标原点，点P在椭圆G上,且满足.当b变化时，的最小值为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】利用椭圆的定义得到点P同时也在以,为焦点,长轴长为的椭圆上，再联立原椭圆方程得到的表达式，然后可求最小值. 【详解】 由题可知， 所以点P同时也在以,为焦点,长轴长为的椭圆上， 其椭圆方程为C：（）. 联立， 即，即， 两式相加可得, 则, 当时,的最小值为4,即的最小值为2. 故答案为：2. 四、解答题：本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知三点，记的外接圆为圆. （1）求圆的方程； （2）若直线与圆交于两点，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设圆的一般方程为，将三点代入得到方程组，求出，即可得到圆的方程； （2）先求出圆心到直线的距离，再利用勾股定理求出弦长，即可求出的面积. 【小问1详解】 设圆的一般方程为， 将三点代入上式可得，， 解得， 所以圆的一般方程为 将其化为标准方程为； 【小问2详解】 由（1）可知，圆心，半径. 则圆心到直线的距离为， 所以， 故的面积为. 16. 已知抛物线的焦点为F，点（其中）在抛物线C上，． （1）求和的值； （2）为坐标原点，过点的直线与抛物线交于另一点，，求直线的方程． 【答案】（1）p的值为2，t的值为4． （2）． 【解析】 【分析】（1）由抛物线的定义结合点在抛物线上即可求解； （2）法一：设B点的坐标为，通过，列出等式求解即可； 法二：设直线方程为，联立抛物线方程，由，结合韦达定理求解； 【小问1详解】 由抛物线的定义及，知，解得． 将点的坐标代入抛物线C的方程，得， 又，所以，故p的值为2，t的值为4． 【小问2详解】 法一：设B点的坐标为， 因为，A点的坐标为（4，4），所以， 解得或（舍去）． 所以B点的坐标为（4，－4），所以直线的方程为． 法二：由题知的斜率不为零，设直线的方程为，整理得． 设点A，B的坐标分别为， 联立方程，得， 所以． 因为，所以，解得或． 当时，直线的方程为，经过原点O不合题意； 当时，直线的方程为，满足题意， 故直线的方程为． 17. 已知等差数列的前项和为. （1）求证：数列是等差数列； （2）若是递增数列，，求证：. 【答案】（1）证明：设等差数列的公差为， 则， 所以， 所以数列是公差为的等差数列. （2）证明：由（1）知数列是公差为的等差数列， 因为，即， 因为，所以， 所以， 所以 得证. 【解析】 【分析】（1）由已知条件求得，通过作差即可求证； （2）通过裂项相消法求和即可求证. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略. 18. 如图，直四棱柱的底面为直角梯形，为的中点，点为棱上一动点. （1）证明：平面； （2）当点为棱的中点时，证明：平面平面； （3）若二面角的余弦值为，求的值. 【答案】（1） 取的中点，连接， 在中，为中位线，所以，且， 因为四边形为直角梯形，，所以， 又，所以， 所以，且，所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面平面， 所以平面. （2） 易知两两垂直，以为坐标原点， 以直线，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，， 因为， 且， 所以，即， 因为平面，所以平面， 又平面，故平面平面. （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，先证出四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定定理直接证明即可； （2）以为坐标原点，以直线，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量的数量积，即可得到线线垂直，然后利用面面垂直的判定定理证明即可； （3）设，设平面的一个法向量，并求出法向量，又向量是平面的一个法向量，然后利用向量法表示出二面角的余弦值，即可求得，即可得出结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设，则由（2）知，所以， 设平面的一个法向量， 则，即， 取，解得，所以， 由（2）可知，向量是平面的一个法向量， 因为二面角的余弦值为， 所以， 整理，得，解得，或（舍去）， 所以，则，故. 19. 已知双曲线的一条渐近线方程为，左、右顶点分别为，，且. （1）求的方程； （2）若点为直线上的一点，直线交于另外一点（不同于点）. ①记，的面积分别为，，且，求点的坐标； ②若直线交于另外一点，点是直线上的一点，且，其中为坐标原点，试判断是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2）①或；②是， 【解析】 【分析】（1）根据条件，直接求出，即可求解； （2）①设，直线：，联立直线与双曲线方程，消得到，进而可得，再结合条件，即可求解；②设直线：，联立双曲线方程，求得，， 结合①中结果，可求直线的方程，进而判断直线恒过定点，即可求解. 【小问1详解】 由题意知 解得，， 所以的方程为. 【小问2详解】 由题意可知，，，设，因为直线交于另外一点（不同于点）， 所以，又双曲线的渐近线为，故，解得， 所以直线，即， 由，消得， 所以，解得， 所以. ①因为，， 又，所以， 解得或，即点的坐标为或. ②直线，即， 由，消得，， 即，所以，解得， 所以， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为， 令，得，解得， 所以直线恒过定点， 又，即，又点是的中点，所以， 所以是定值，且定值为. 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（2）问中的②小问，设，直线的方程分别为，，通过联直线与双曲线方程，求得两点坐标，进而求出直线的方程，再判断出直线过定点，即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $