精品解析：四川省成都市郫都区绵实外国语学校（初中）2025-2026学年九年级上学期期中数学测试题

四川省成都市郫都区绵实外国语学校（初中） 2025-2026学年九年级上学期期中数学测试题 满分：150分 时间：120分钟 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1. 如图所示的几何体，其左视图为（    ） A.   B.   C.   D.   2. 若反比例函数的图形位于第一、三象限，则m的取值范围（　　） A. B. C. D. 3. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 4. 在下列条件中选取一个作为增加条件，能使成为矩形的是（    ） A.   B.   C.   D. 5. 如图，和 是以点 O 为位似中心的位似图形， ，若，则为（    ） A.  2 B.  3 C.  4 D.  6 6. 袋中有50个除颜色外完全相同的小球，搅匀后随机从中摸出一个球，记下颜色放回袋中，记为一次试验． 通过多次摸球试验后发现从中摸出一个红球的频率稳定在0.3，则估计袋中红球的个数为（    ） A.  5 B.  10 C.  15 D.  20 7. 下列命题中，属于假命题的是（    ） A.  矩形的对角线互相平分   B.  菱形的对角线互相垂直 C.  平行四边形的邻角相等   D.  正方形的对角线互相垂直平分且相等 8. 如图是某停车场的平面示意图，停车场长为米，宽为米． 停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为平方米． 求车道的宽度． 设停车场内车道的宽度为 x 米，根据题意所列方程为（    ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9. 若  ，则 _________． 10. 已知点 ， 都在函数 的图象上，则 ，的大小关系是_________． 11. 矩形的短边与长边的比等于黄金比（即），则该矩形叫黄金矩形．黄金矩形给我们以协调的美感．如图，黄金矩形的长边，则它的周长为_________． 12. 在矩形中，，对角线 ，相交于点 O，E 为的中点，连接 ，则的面积为_________． 13. 小明家的客厅有一张直径为，高  的圆桌  ，在距地面 的 A 处有一盏灯，圆桌的影子为  ．如图，根据题意，以  为 1 个单位长度建立平面直角坐标系，其中点 D的坐标为  ，则点 E 的坐标是_________． 三、解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分） 14. （1）计算： （2）解方程： 15. 成都市某旅游机构抽样调查了外地游客对A、B、C、D四个景点作为最佳旅游景点的喜爱情况（每人只选一种），并将调查情况绘制成如图两幅不完整的统计图； （1）本次参加抽样调查的游客有_________人，根据题中信息补全条形统计图； （2）若某批次游客有人，请你估计选择C景点作为最佳旅游景点的有_________人； （3）旅游景点举行游客有奖问答活动． 现有2男2女4名游客回答对了问题． 现从这四名游客中随机抽取2名游客发放纪念品，请用列表或画树状图的方法求获得此次纪念品的是一男一女的概率． 16. 一个晴朗的早晨，小丽到广场呼吸新鲜空气． 广场上 E 处有积水，小丽在距积水 3m 的 D 处，她正好从积水水面上看到距她约 15m 的 B 处的一棵树顶端的影子 （如图，积水水面大小忽略不计）．已知小丽的身高为 1.6m，请你估计一下树高（积水与树和人都在同一水平直线上，眼睛到头顶的距离忽略不计）． 17. 如图，在中，，O，C 分别是，边的中点．连接，过点 B 作 交的延长线于点 A ，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 18. 如图 1，在平面直角坐标系 中，直线 与反比例函数  的图象交于，B 两点． （1）求点 A 的坐标及反比例函数的表达式； （2）如图2，点 C 是 x 轴上一点，连接  并延长与反比例函数第四象限图象交于点 D ，连接 ．当 为等腰三角形时，求点 C 的坐标； （3）点 P 为 x 轴上一动点，连接  ，将线段  绕点 P 旋转，点 B 的对应点是点 Q ，当点 Q 在反比例函数第四象限图象上时，求点 P 的坐标． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19. 已知且，则_________． 20. 若一元二次方程 的两根为 m，n ，则 的值为_________． 21. 如图，点 D 是 边上一点，，交于点 E ，顺次连接四边形各边的中点得到四边形．现将一个飞镖随机投掷到内，则飞镖落在四边形内（图中阴影部分）的概率为_________． 22. 如图，在等腰中， ，点 E，F 分别在边 上，且  ，连接相交于点 P ，则  的长为_________． 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象分别与轴，轴相交于，两点．在线段上取一点，此时点恰好落在内部（不包含边界），则的取值范围是______． 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24. 安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量（千克）与每千克降价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示： （1）求与之间的函数关系式； （2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？ 25. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，以为边在第一象限作平行四边形，其中，．点从点出发，沿边向点移动，过点作的垂线，交折线于点．将平行四边形在的左侧部分沿折叠，点O的对应点落在x轴上，设折叠部分与平行四边形的重叠部分（图中阴影部分）的面积为，． （1）当重叠部分为三角形时（如图1），求S和的函数关系式（不写的取值范围）； （2）当重叠部分为四边形时，请直接写出的取值范围； （3）在点从点移动到点的过程中，S是否有最大值？如果有，请求出S的最大值；如果没有，请说明理由． 26. 在中，，，点在过点的直线上运动，连接，在右侧作，使得 ． （1）如图 1，连接，求证：； （2）当，时，连接． ①当 时，直线交于点 F ，当为等腰三角形时，连接  ，求  的长； ②若时，交线段于点，如图2，当时，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省成都市郫都区绵实外国语学校（初中） 2025-2026学年九年级上学期期中数学测试题 满分：150分 时间：120分钟 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1. 如图所示的几何体，其左视图为（    ） A.   B.   C.   D.   【答案】B 【解析】 【分析】本题考查简单几何体的三视图，掌握相关知识是正确解答的关键．根据几何体的左视图画法得出答案． 【详解】解：这个几何体的左视图为． 故选：B． 2. 若反比例函数的图形位于第一、三象限，则m的取值范围（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，正确理解反比例函数的图象与性质是解题的关键．根据反比例函数的图形与性质，可得，求解不等式即得答案． 【详解】反比例函数的图形位于第一、三象限， ， 解得． 故选：A． 3. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式的意义．通过计算判别式判断一元二次方程的根的情况即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴方程有两个相等的实数根． 故选：B． 4. 在下列条件中选取一个作为增加条件，能使成为矩形的是（    ） A.   B.   C.   D. 【答案】D 【解析】 【分析】知识点：平行四边形的性质、矩形与菱形的判定定理．方法：根据矩形的判定条件（对角线相等的平行四边形是矩形），逐一分析选项是否符合判定要求．关键：区分矩形与菱形的判定条件（对角线相等→矩形；对角线垂直或邻边相等→菱形）．易错点：混淆矩形与菱形的判定条件，误将菱形的判定条件当作矩形的判定条件． 明确目标：找出能使平行四边形成为矩形的条件；回忆矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形；逐一分析选项． 【详解】∵ 在平行四边形中，增加条件，∴ 对角线相等，∴ 平行四边形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形），故D符合题意； 其他选项分析：选项A：，对角线垂直，可判定为菱形，不能判定矩形； 选项B：，是平行四边形已有性质，不能判定矩形； 选项C：，邻边相等，可判定为菱形，不一定为矩形． 故选D． 5. 如图，和 是以点 O 为位似中心的位似图形， ，若，则为（    ） A.  2 B.  3 C.  4 D.  6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键．根据位似图形的性质可得，得到根据相似三角形的性质求出，因为，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：∵，且和 是以点 O 为位似中心的位似图形， ∴ ∵ ， ， ∵， ， 故答案为：B． 6. 袋中有50个除颜色外完全相同的小球，搅匀后随机从中摸出一个球，记下颜色放回袋中，记为一次试验． 通过多次摸球试验后发现从中摸出一个红球的频率稳定在0.3，则估计袋中红球的个数为（    ） A.  5 B.  10 C.  15 D.  20 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率． 通过多次试验，频率稳定在某个值，该值可作为概率的估计值，从而计算红球个数． 【详解】∵ 摸出红球的频率稳定在0.3， ∴ 估计摸出红球的概率为0.3． ∵ 总球数为50， ∴ 红球的个数为． 故选：C． 7. 下列命题中，属于假命题的是（    ） A.  矩形的对角线互相平分   B.  菱形的对角线互相垂直 C.  平行四边形的邻角相等   D.  正方形的对角线互相垂直平分且相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查特殊四边形的性质，包括平行四边形、矩形、菱形和正方形的对角线及角的关系．解题关键为区分 “邻角互补” 与 “邻角相等” 的不同．根据矩形、菱形、平行四边形、正方形的性质，判断各选项的真假． 【详解】∵选项A：矩形的对角线互相平分（平行四边形性质），∴ A真； ∵选项B：菱形的对角线互相垂直（菱形性质），∴ B真； ∵选项C：平行四边形的邻角互补，但不一定相等，∴ C假； ∵选项D：正方形的对角线具有矩形和菱形的所有性质，即互相垂直平分且相等，∴ D真． 故选：C． 8. 如图是某停车场的平面示意图，停车场长为米，宽为米． 停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为平方米． 求车道的宽度． 设停车场内车道的宽度为 x 米，根据题意所列方程为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，理解题意是关键．将两个停车位合在一起，可以得到一个大的长方形，用含的式子表示出该长方形的长和宽，根据停车位的占地面积为列方程即可． 【详解】解：根据题意可得， 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9. 若  ，则 _________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，由可得．设，则，代入所求表达式化简求值． 【详解】解：， ． 设，则， ， 故答案为：． 10. 已知点 ， 都在函数 的图象上，则 ，的大小关系是_________． 【答案】 【解析】 【分析】知识点：反比例函数的函数值计算、有理数的大小比较．方法：将点的横坐标代入反比例函数解析式，求出对应的函数值，再比较大小．关键：准确代入横坐标计算函数值，注意符号运算（负数除以负数得正）．易错点：代入时符号运算错误；忽略正负号直接比较数值大小． 根据反比例函数的解析式，将点A和点B的横坐标代入函数，分别求出纵坐标和的值，再比较大小． 【详解】解：对于点，代入函数解析式，得． 对于点，代入函数解析式，得． 因为，所以． 故答案为：． 11. 矩形的短边与长边的比等于黄金比（即），则该矩形叫黄金矩形．黄金矩形给我们以协调的美感．如图，黄金矩形的长边，则它的周长为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了黄金比，矩形的周长，由题意可得，即得，进而根据矩形的周长公式计算即可求解，掌握黄金比是解题的关键． 【详解】解：∵矩形为黄金矩形， ∴， ∵， ∴， ∴矩形的周长为， 故答案为：． 12. 在矩形中，，对角线 ，相交于点 O，E 为的中点，连接 ，则的面积为_________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查知识点为矩形的性质（对角线互相平分）、三角形面积的比例关系．利用矩形面积与三角形面积的关系，结合对角线平分的性质，通过“中点分面积”的比例逐步计算．关键：明确矩形对角线平分后，各三角形面积的比例关系．易错点：混淆中点对应的面积比例（误将面积比例算错倍数）． 先算矩形面积，得面积为矩形的一半；由矩形对角线平分，得O是中点，面积为的一半；由E是中点，得面积为的一半． 【详解】矩形的面积为． 故． 矩形对角线互相平分，故O是中点， ； 又E是中点， ． 故答案为：5． 13. 小明家的客厅有一张直径为，高  的圆桌  ，在距地面 的 A 处有一盏灯，圆桌的影子为  ．如图，根据题意，以  为 1 个单位长度建立平面直角坐标系，其中点 D的坐标为  ，则点 E 的坐标是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了中心投影，相似三角形的判定和性质，平面直角坐标系中点的坐标确定，正确的识别图形是解题的关键．先根据圆桌与影子的平行关系，判定三角形相似；再利用相似三角形的对应边成比例，计算出影子的长度；最后结合已知点的坐标，确定目标点的坐标． 【详解】解：， ∴， ， ， ， ， ∵点 D的坐标为  ， ∴， ∴ ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分） 14. （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）；（2） ， 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算及因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键； （1）本题利用零次幂、二次根式、负指数幂及特殊的三角函数计算即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：（1） （2） ， 15. 成都市某旅游机构抽样调查了外地游客对A、B、C、D四个景点作为最佳旅游景点的喜爱情况（每人只选一种），并将调查情况绘制成如图两幅不完整的统计图； （1）本次参加抽样调查的游客有_________人，根据题中信息补全条形统计图； （2）若某批次游客有人，请你估计选择C景点作为最佳旅游景点的有_________人； （3）旅游景点举行游客有奖问答活动． 现有2男2女4名游客回答对了问题． 现从这四名游客中随机抽取2名游客发放纪念品，请用列表或画树状图的方法求获得此次纪念品的是一男一女的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】此题考查的是用树状图法求概率，条形统计图和扇形统计图，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由景点的人数除以所占百分比得出本次参加抽样调查的游客，即可解决问题； （2）由某批次游客的人数乘以C景点所占的百分比即可； （3）画树状图，共有种等可能的结果，其中获得此次纪念品的是一男一女的结果有8种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：本次参加抽样调查的游客有：（人）， 则景点的人数为：（人）， 景点的人数为：（人）， 故答案为：； 补全条形统计图如下： 【小问2详解】 解：估计选择C作为最佳旅游景点的有：（人， 故答案为：； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中获得此次纪念品的是一男一女的结果有8种， 获得此次纪念品的是一男一女的概率为． 16. 一个晴朗的早晨，小丽到广场呼吸新鲜空气． 广场上 E 处有积水，小丽在距积水 3m 的 D 处，她正好从积水水面上看到距她约 15m 的 B 处的一棵树顶端的影子 （如图，积水水面大小忽略不计）．已知小丽的身高为 1.6m，请你估计一下树高（积水与树和人都在同一水平直线上，眼睛到头顶的距离忽略不计）． 【答案】树高为6.4米 【解析】 【分析】本题考查知识点光的反射性质、相似三角形判定与性质．解题关键为算对长度，匹配相似边比例．易错点：混淆与，比例对应错误． 首先利用光的反射得，结合直角证；再算；由，解得． 【详解】由光的反射性质，，且，故． 已知，， 则；． 相似三角形对应边成比例，即，代入得： 解得． 答：树高为6.4米． 17. 如图，在中，，O，C 分别是，边的中点．连接，过点 B 作 交的延长线于点 A ，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：由，得； 又O是中点， ，且； ， ； ， 故四边形是平行四边形． 在中，C是中点， ； ， 故四边形为菱形． （2）四边形的面积为36 【解析】 【分析】本题考查平行四边形/菱形判定、直角三角形斜边中线性质、勾股定理、面积计算．证全等得平行四边形，结合直角三角形性质证菱形；用勾股定理求线段，算菱形面积再求和．解题关键为用斜边中线证邻边相等；借菱形对角线算面积．易错点：漏用斜边中线性质；混淆面积组成． (1) 由、O是中点，由证，得，定平行四边形；用斜边中线性质，得，平行四边形邻边相等，定菱形． (2) 由菱形得，用勾股定理得，；算菱形面积；加面积，得总面积36． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由菱形得， 在中，，O是中点，故； 由勾股定理得，故． ； ， 故； ． 18. 如图 1，在平面直角坐标系 中，直线 与反比例函数  的图象交于，B 两点． （1）求点 A 的坐标及反比例函数的表达式； （2）如图2，点 C 是 x 轴上一点，连接  并延长与反比例函数第四象限图象交于点 D ，连接 ．当 为等腰三角形时，求点 C 的坐标； （3）点 P 为 x 轴上一动点，连接  ，将线段  绕点 P 旋转，点 B 的对应点是点 Q ，当点 Q 在反比例函数第四象限图象上时，求点 P 的坐标． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将点代入直线解析式求坐标，再代入反比例函数求表达式； （2）先求点 坐标，可求得，取中点，，则是的垂直平分线，由图知，若为等腰三角形，只有当时，则在的垂直平分线上，所以是与反比例函数在第四象限的交点，据此可求出坐标，求出直线与轴交点即可； （3）设出点坐标，根据旋转性质表示出点坐标，代入反比例函数解析式求解，此题需要分类讨论旋转的方向． 【小问1详解】 解：∵点在直线上， 将代入得， ∴点的坐标为； 设反比例函数为， 将点代入得， 解得， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：联立 整理得， 解得，， 将代入得， ∴点的坐标为； 连接，作轴，轴， 在中， 由勾股定理求得， 取中点即，， 则是的垂直平分线， 由图知，若为等腰三角形， 当时， 则在的垂直平分线上， ∴是与反比例函数的交点， 设解析式为，代入得： ， ， ∴解析式为， 联立 解得：， ∵在第四象限， ∴点横坐标为，将代入， 得， ∴， 设解析式为，代入，， ， ， ∴解析式为， 令， 解得， ∴； 由于A、B在第二象限，D在第四象限，若或，则需以A或B为圆心、为半径的圆与反比例函数在第四象限有交点，经分析无解，故只有成立， 故； 【小问3详解】 解：分两种情况讨论旋转方向： 顺时针旋转∶ 设点，点， 过作轴，， ∴， 由题意， 则， ∴， ∴， ∴， 则， ， ∴， ∵在上，代入得： ， 整理得， 判别式，无实数解； 逆时针旋转： 设点，点， 过作轴，， ∴， 由题意， 则， ∴， ∴， ∴， 则， ， ∴， ∵在上，代入得： ， 整理得， 解得， ∵， ∴． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点坐标、待定系数法求反比例函数解析式、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、旋转的性质、垂直平分线性质和判定、反比例函数图象上点的坐标特征，掌握相关知识是解决问题的关键． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19. 已知且，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的求值．由变形得到，然后代入所求代数式，化简后得到1． 【详解】解：由，两边同乘（），得： ∴ 故答案为：1． 20. 若一元二次方程 的两根为 m，n ，则 的值为_________． 【答案】9 【解析】 【分析】知识点：一元二次方程的根的定义、根与系数的关系（韦达定理）．方法：利用根的定义将高次项降次为一次式，再结合根与系数的关系整体代入计算．关键：通过根的定义变形，将所求式转化为含的形式，实现整体代换．易错点：忽略根的定义，直接求解方程根再代入（计算繁琐且易出错）；混淆根与系数的关系中的符号（如误将算成）． 利用根与系数的关系求出两根之和，再根据方程的解代换，进而求解表达式． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为m，n， ∴，． 又∵n是方程的根，满足， ∴． 则， 故答案为：9． 21. 如图，点 D 是 边上一点，，交于点 E ，顺次连接四边形各边的中点得到四边形．现将一个飞镖随机投掷到内，则飞镖落在四边形内（图中阴影部分）的概率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查知识点相似三角形的判定与性质、中点四边形的面积性质、几何概率的计算．解题关键为利用相似比求三角形面积比，牢记 “中点四边形面积是原四边形面积的”．易错点：混淆相似三角形的面积比与相似比（误按相似比直接算面积）；记错中点四边形的面积规律． 首先由得，根据相似比，得面积比为；设面积为，则面积为k，算出四边形的面积为；再利用中点四边形面积是原四边形的，得阴影四边形面积为；最后用阴影面积除以面积，得到概率为． 【详解】， ， 又， ． 设，则，因此四边形的面积为： ． 四边形是四边形的中点四边形， ． 概率为阴影部分面积与面积的比值： ． 故答案为：． 22. 如图，在等腰中， ，点 E，F 分别在边 上，且  ，连接相交于点 P ，则  的长为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查将几何问题代数化的解决方式，一次函数，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．建立适当的平面直角坐标系，得出，即可求的解析式，联立求得P点坐标，用勾股定理即可求长 【详解】解：∵，， ∴， 建立如图所示的平面直角坐标系， ∴ 设的解析式为，代入， ，解得， ∴解析式为， 设的解析式为，代入， ， 解得， ∴解析式为， 联立， 解得， ∴， 作轴， 由勾股定理得，． 故答案为：． 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象分别与轴，轴相交于，两点．在线段上取一点，此时点恰好落在内部（不包含边界），则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的灵活应用，一元二次方程的解法，先得到，可得，则在的图象上，且在的内部，再进一步解答即可． 【详解】解：∵线段上取一点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴在的图象上，且在的内部， 令， 解得：，，经检验符合题意； 如图，记反比例函数与一次函数的交点为，， ∴， 解得：； 故答案为：． 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24. 安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量（千克）与每千克降价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示： （1）求与之间的函数关系式； （2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？ 【答案】（1）；（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价9元． 【解析】 【分析】（1）根据图象可得：当，，当，；再用待定系数法求解即可； （2）根据这种干果每千克的利润×销售量=2090列出方程，解方程即可． 【详解】解：（1）设一次函数解析式为：，根据图象可知：当，；当，； ∴，解得：， ∴与之间的函数关系式为； （2）由题意得：， 整理得：，解得：．， ∵让顾客得到更大的实惠，∴. 答：商贸公司要想获利2090元，这种干果每千克应降价9元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用和一次函数的应用，读懂图象信息、熟练掌握待定系数法、正确列出一元二次方程是解题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，以为边在第一象限作平行四边形，其中，．点从点出发，沿边向点移动，过点作的垂线，交折线于点．将平行四边形在的左侧部分沿折叠，点O的对应点落在x轴上，设折叠部分与平行四边形的重叠部分（图中阴影部分）的面积为，． （1）当重叠部分为三角形时（如图1），求S和的函数关系式（不写的取值范围）； （2）当重叠部分为四边形时，请直接写出的取值范围； （3）在点从点移动到点的过程中，S是否有最大值？如果有，请求出S的最大值；如果没有，请说明理由． 【答案】（1） （2）或； （3）有， 【解析】 【分析】（1）分别画出图形，求出函数解析式即可； （2）分两种情况画出图形，进行解答即可； （3）分五种情况求出各自的最大值，从中即可得到答案． 【小问1详解】 解：当点Q在上，重叠部分为三角形，如图1， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 当点P与点A重合时，如图2，重叠部分为三角形， ∵， ∴， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∴ 综上可知，当重叠部分为三角形时，S和的函数关系式为 【小问2详解】 ∵， ∴， 如图3， 与A重合，则， ∴， ∴， 如图4，点C的对称点与点B重合 ， ∵ ∴ 由折叠可知，， ∴， ∴ ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当重叠部分为四边形时，t的取值范围是或； 【小问3详解】 有 ①当时，重叠部分为三角形， ， ②当时，重叠部分是四边形，当时，S有最大值，如图3所示， ∵，，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； ③当时，重叠部分为五边形，如图5， 同理可得， 是等边三角形， ∵， ∴， ∴ 当时，有最大值， ④当时，重叠部分是四边形， 当时，有最大值，， ⑤当时， ， 综上可知，的大值为 【点睛】此题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质、函数解析式、等边三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质、折叠性质等知识，分类讨论和数形结合是解题的关键． 26. 在中，，，点在过点的直线上运动，连接，在右侧作，使得 ． （1）如图 1，连接，求证：； （2）当，时，连接． ①当 时，直线交于点 F ，当为等腰三角形时，连接  ，求  的长； ②若时，交线段于点，如图2，当时，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ，，， ，， ， ； （2）①② 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，，结合相似三角形的判定即可求解； （2）①建立适当的平面直角坐标系，确定三角形各顶点坐标，根据已知条件确定点D的坐标， 利用相似三角形的性质求出点E的坐标， 求出直线的解析式，联立方程得到坐标，利用勾股定理计算线段的长度． ②连接，过点作于点，先得出和是等腰直角三角形，利用，求得，可知点，，共线，设，利用，求出，得，解可得，则，可得，即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①建立如图所示的平面直角坐标系， ∵， ∴， ∵， ∴为钝角， ∵为等腰三角形， ∴， ∴，， ∴， 作轴， ∴， ∴， ∴ ， ∴， 设解析式为，代入坐标， 解得 解析式为：， 由题意， ∵轴， ∴， 设解析式为，代入坐标， 解得 ∴解析式为：， 联立， 解得， ∴； 在中，， ， ∵， ∴， ∴， ∴，， 作轴于点， ∵， ∴， ∴， ，， ， ， ， 作轴，轴交于， 由勾股定理得； ②如图，连接，过点作于点， ，，， ， 和是等腰直角三角形， ， ， 由（1）知， ， ， 点，，共线， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， △是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、相似三角形的性质、直角三角形性质，平面直角坐标系的应用、一次函数解析式的求解、勾股定理、锐角三角函数，掌握相关知识是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $