精品解析：贵州省毕节市威宁县蓝天追梦学校2025-2026学年九年级数学上学期期中教学质量检测

贵州省毕节市威宁县蓝天追梦学校2025-2026学年九年级数学上学期期中教学质量检测 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．全类共8页，三个大题，共25题，满分150分．考试时长120分钟．考试形式为闭卷． 2．请在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题不计分． 3．不能使用计算器． 一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1. 我国是最早使用正负数表示相反意义的量的国家，早在我国西汉时期的《九章算术》中就引入了负数．若在粮谷的计算中，益实一斗（增加1斗）记为斗，那么损实5斗（减少5斗）记为（ ） A. 斗 B. 斗 C. 斗 D. 斗 2. 的算术平方根是（ ） A. B. C. D. 625 3. 当时，代数式的值为（ ） A. B. 17 C. 7 D. 4. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 化简的结果是（ ） A. 0 B. 1 C. a D. 7. 已知关于x，y的方程组的解满足，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 我国宋代数学家秦九韶发明的“大衍求一术”阐述了多元方程的解法，大衍问题源于《孙子算经》中“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三……，问物几何？”意思是：有一些物体不知个数，每3个一数，剩余2个；每5个一数，剩余3个……．问这些物体共有多少个？设3个一数共数了x次，5个一数共数了y次，其中x，y为正整数，依题意可列方程（ ） A. B. C. D. 10. 若关于的分式方程无解，则的值为（） A. 3 B. C. 1 D. 11. 已知，则的值为（ ） A. B. 0 C. 2 D. 5 12. 如图①是明代陆深古墓中发掘出来的宝玉——明白玉幻方．其背面有方框四行十六格，为四阶幻方（从1到16，一共十六个数目，它们纵列、横行与两条对角线上4个数之和均为34）．小明探究后发现，这个四阶幻方中的数满足下面规律：在四阶幻方中，当数有如图②的位置关系时，均有．如图③，已知此幻方中的一些数，则x的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题．（每小题4分，共16分） 13. 威宁草海位于贵州省西部的毕节市，是贵州最大的天然淡水湖和中国著名三大高原湖泊之一，被誉为“高原明珠”．“十一”国庆假期期间，威宁草海景区接待游客65000人次，同比增长，数据65000用科学记数法可以表示为_______． 14. 分解因式：=______． 15. 对于实数m，n，先定义一种断运算“”如下：，若，则实数x的值为___． 16. 若关于x的不等式组有三个整数解，且关于y的分式方程的解是负整数，则满足条件的整数a的值为_______． 三、解答题．（本大题9个小题，共98分） 17. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 18. 下面是于老师在批改作业时，薇薇同学和萱萱同学解分式方程的过程，请认真阅读后解决问题： 薇薇： 解：方程两边同乘，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 检验：当时，， 是原分式方程的解． 萱萱： 解：方程两边同乘，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （1）找出薇薇和萱萱解分式方程过程中的错误，并写出正确过程； （2）请你根据平时的学习经验，就解分式方程时需要注意的事项给其他同学提一条建议． 19. 【知识储备】 （1）比较大小：_______；_______，_______（填“>”“<”或“=”）； 【猜想与证明】 （2）观察（1）中的式子，试猜想当时，与之间的数量关系，并说明理由． 20. 已知关于的方程，请回答下列问题． （1）k的值不可能是_______； （2）若该方程与方程的解相等，求k的值． 21. 小张计划购进，两种文创产品，在“文化夜市”上进行销售．已知A种文创产品进价比B种文创产品进价每件多3元，用140元购进A种文创产品的件数与用80元购进B种文创产品的件数相同． （1）求，两种文创产品每件的进价； （2）小张决定购进，两种文创产品共100件，且总费用不超过550元，那么小张最多可购进A种文创产品多少件？ 22. 如图是一个整式运算程序： （1）输入整式，，此时整式是_______； （2）已知运算程序中含． ①若输入整式，则输出的结果为_______； ②若输入整式，，输出的结果中不含的一次项，求的值． 23. 贵州是夜郎文化的发源地之一，拥有灿烂的夜郎文化，为弘扬贵州地方文化，让更多游客了解夜郎文化，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款吉祥物的成本价是元，当售价为元时，每天可售出件，调查发现，售价每降价元，每天可多售出件． （1）设该款吉祥物降价元，则每天售出的数量是_______件； （2）为让利于游客，该款吉祥物应该降价多少元，能使文旅公司每天的利润是元； （3）该文旅公司每天的利润能达到元吗？如果能，请求出该款吉祥物应降价多少元，若不能，请说明理由． 24. 我们已经学习了整式、分式和二次根式，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似的形式，我们把形如的式子称为根分式，例如，都是根分式． （1）下列各式中，是根分式的是_______； A． B． C． D． （2）写出根分式中的取值范围_______（直接写出答案）； （3）已知两个根分式与． ①是否存在的值使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由； ②当是一个整数时，求无理数x的值． 25. 下面是小军同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务. 今天在复习方程（组）的概念和解法时，我发现，各类方程的解法有一定的规律，求解一元一次方程时，把方程转化为的形式：求解二元一次方程组时，把它转化为一元一次方程求解；类似的，解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组求解；解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程求解；解分式方程，把它转化为整式方程求解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验. 各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知，把多元转化成一元，把复杂转化为简单. 运用“转化”的数学思想，我还可以解一些新的方程， 例如，一元三次方程，第一步，因式分解：，第二步，转化为两个方程：________或________，第三步，解得：，，. （1）问题：将小军求解一元三次方程过程中的第二步补充完整为________或________； （2）类比：方程的解是：，________，________； （3）拓展：解方程组； （4）应用：如图，已知矩形草坪的长，宽，点在上，小明把一根长为的绳子一端固定在点，把绳长拉直并固定在上的一点处，再拉直绳长的另一端恰好落在矩形的顶点处，求的长．    第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵州省毕节市威宁县蓝天追梦学校2025-2026学年九年级数学上学期期中教学质量检测 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．全类共8页，三个大题，共25题，满分150分．考试时长120分钟．考试形式为闭卷． 2．请在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题不计分． 3．不能使用计算器． 一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1. 我国是最早使用正负数表示相反意义的量的国家，早在我国西汉时期的《九章算术》中就引入了负数．若在粮谷的计算中，益实一斗（增加1斗）记为斗，那么损实5斗（减少5斗）记为（ ） A. 斗 B. 斗 C. 斗 D. 斗 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键．根据正负数表示相反意义的量，增加记为正数，减少记为负数． 【详解】解：∵益实一斗（增加1斗）记为斗， ∴损实5斗（减少5斗）表示相反意义的量，应记为负数，即斗． 故选：D． 2. 的算术平方根是（ ） A. B. C. D. 625 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，一个正数的平方根有两个，正的平方根叫做这个正数的算术平方根．根据算术平方根的定义即可得答案． 【详解】解：∵的平方根是， ∴的算术平方根是． 故选：A． 3. 当时，代数式的值为（ ） A. B. 17 C. 7 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，直接将代入计算即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 4. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】对于，当, 方程有两个不相等的实根，当, 方程有两个相等的实根，, 方程没有实根，根据原理作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 所以原方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 5. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求不等式的解集，在数轴上表示解集，先求出不等式的解集，定边界，定方向，表示出不等式的解集即可． 【详解】解：， ， ， ∴； 在数轴上表示如图： 故选C． 6. 化简的结果是（ ） A. 0 B. 1 C. a D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同母的分式加法法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 【点睛】本题考查同分母的分式加法，熟练掌握运算法则是解决问题的关键． 7. 已知关于x，y的方程组的解满足，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握知识点是解题的关键． 将求出x，y的值，再代入计算即可． 【详解】解： 由②，得 将③代入①，得 ， 解得， ∴， ∴． 故选：D． 8. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的加减，积的乘方，算术平方根的计算，掌握知识点是解题的关键． 需根据运算法则逐一判断各选项是否正确即可． 【详解】解：选项A、与不是同类项，不能合并，该项错误； 选项B、与不是同类项，不能合并，该项错误； 选项C、，该项正确； 选项D、，该项错误． 故选:C． 9. 我国宋代数学家秦九韶发明的“大衍求一术”阐述了多元方程的解法，大衍问题源于《孙子算经》中“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三……，问物几何？”意思是：有一些物体不知个数，每3个一数，剩余2个；每5个一数，剩余3个……．问这些物体共有多少个？设3个一数共数了x次，5个一数共数了y次，其中x，y为正整数，依题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查根据实际问题列二元一次方程，熟练掌握从实际情境中找出等量关系是解题关键．根据题目中“每 3 个一数，剩余 2 个；每 5 个一数，剩余 3 个”这两个条件，分别找出物体总数与、的等式关系，进而列出方程． 【详解】解：∵每 3 个一数，数了次，剩余 2 个， ∴物体总数可表示为 ． 又∵每 5 个一数，数了次，剩余 3 个， ∴物体总数也可表示为 ． 由于物体总数是固定的， ∴ 故选：A． 10. 若关于的分式方程无解，则的值为（） A. 3 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程无解的条件就是分母等于0或化简后整式方程无解是解题的关键． 把原方程去分母化为整式方程，求出方程的解得到x的值，由分式方程无解得到分式方程的分母为0，求出x的值，两者相等得到关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值． 【详解】解：， 方程两边同乘以，得 ， 整理得 ， ∴， 解得 ． ∵关于的分式方程无解， ∴，即， 令， 解得． 故选：D． 11. 已知，则的值为（ ） A. B. 0 C. 2 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了乘法公式和求代数式的值等知识．先根据已知条件得到，再把原式变形为，再整体代入进行求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴， ∵ ． 故选：D． 12. 如图①是明代陆深古墓中发掘出来的宝玉——明白玉幻方．其背面有方框四行十六格，为四阶幻方（从1到16，一共十六个数目，它们纵列、横行与两条对角线上4个数之和均为34）．小明探究后发现，这个四阶幻方中的数满足下面规律：在四阶幻方中，当数有如图②的位置关系时，均有．如图③，已知此幻方中的一些数，则x的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的加减法；根据发现，将四阶幻方分解为三阶幻方进行研究，图中给出数据，在三阶区域内有左上角对应的是，对应左下角的数是，再根据每列和是，即可求解． 【详解】解：如图，根据发现，三阶区域内有左上角对应的是，对应左下角的数是， 在第一列中，四个数分别是，，，， ， ； 故选：B． 二、填空题．（每小题4分，共16分） 13. 威宁草海位于贵州省西部的毕节市，是贵州最大的天然淡水湖和中国著名三大高原湖泊之一，被誉为“高原明珠”．“十一”国庆假期期间，威宁草海景区接待游客65000人次，同比增长，数据65000用科学记数法可以表示为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学计数法，掌握知识点是解题的关键． 将65000用科学记数法表示，即写成的形式，其中，为整数，即可解答． 【详解】解：． 故答案为． 14. 分解因式：=______． 【答案】x（x+2）（x﹣2） 【解析】 【分析】先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可． 【详解】解： = =x（x+2）（x﹣2）． 故答案为：x（x+2）（x﹣2）． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，掌握a2-b2=（a+b）（a-b）是解题的关键． 15. 对于实数m，n，先定义一种断运算“”如下：，若，则实数x的值为___． 【答案】3 【解析】 【分析】根据定义，分x≥－2和x＜－2两种情况进行解方程，得出x的值． 【详解】解：当x≥－2时，x2+x－2=10， 解得：x1=3，x2=－4（不合题意，舍去）； 当x＜－2时，（－2）2+x－2=10， 解得：x=8（不合题意，舍去）； ∴x=3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，体现了分类讨论的数学思想，分x≥－2和x＜－2两种情况进行解方程是解题的关键． 16. 若关于x的不等式组有三个整数解，且关于y的分式方程的解是负整数，则满足条件的整数a的值为_______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了求不等式组的解集、解分式方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 首先解不等式组，根据有三个整数解的条件，确定a的取值范围为，且a为整数，即a可能为7、8、9，然后解分式方程，得到y关于a的表达式，根据分式方程的解为负整数且分母不为零的条件，分情况讨论即可得出答案． 【详解】解：解不等式组得，， ∵不等式组有三个整数解， ∴， 解得， ∵是整数， ∴， 去分母，得， 整理得， 解得， 当时，，方程的解为正整数，不符合题意； 当时，无意义，不符合题意； 当时，，方程的解为负整数，符合题意； 故满足条件的整数a的值为9． 故答案为：9． 三、解答题．（本大题9个小题，共98分） 17. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握相关的运算法则． （1）根据零指数幂运算法则，二次根式的运算法则，进行计算即可； （2）先根据分式的混合运算法则进行化简，然后代入数据求值即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 当时，原式． 18. 下面是于老师在批改作业时，薇薇同学和萱萱同学解分式方程的过程，请认真阅读后解决问题： 薇薇： 解：方程两边同乘，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 检验：当时，， 是原分式方程的解． 萱萱： 解：方程两边同乘，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （1）找出薇薇和萱萱解分式方程过程中的错误，并写出正确过程； （2）请你根据平时的学习经验，就解分式方程时需要注意的事项给其他同学提一条建议． 【答案】（1） 薇薇解分式方程的错误是：去分母时漏乘整式项，导致后面的步骤全部错误， 萱萱解分式方程的错误是：解方程没有验根， 正确过程为： 方程两边同乘，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 检验：当时，， 是原分式方程的解； （2）方程两边同乘最简公分母时，每一项都要乘，不要漏掉 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤，是解题的关键： （1）薇薇去分母时，常数项漏乘最简公分母，出错，萱萱没有进行检验出错，根据解分式方程的步骤解方程即可； （2）根据两位同学的错误，提出建议即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①方程两边同乘最简公分母时，每一项都要乘，不要漏掉， ②解分式方程必须要验根等．（答案不唯一） 19. 【知识储备】 （1）比较大小：_______；_______，_______（填“>”“<”或“=”）； 【猜想与证明】 （2）观察（1）中的式子，试猜想当时，与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）>，>，=； （2），理由如下： ， 即， ∴ 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式在比较大小中的应用，掌握公式的形式是解题关键； （1）将各数化为统一形式即可比较； （2）根据即可证明； 【详解】解：（1）∵，， ∴； ∵，，， ∴； ∵，， ∴； （2）略 20. 已知关于的方程，请回答下列问题． （1）k的值不可能是_______； （2）若该方程与方程的解相等，求k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了一元一次方程的定义和解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是关键． （1）根据方程的定义进行解答即可； （2）先求出方程的解，再把得到的解代入方程，解方程即可求出答案． 【小问1详解】 解： ∴， 则 则， 根据方程的定义可知，，即， 故答案为：． 【小问2详解】 解方程，得， 将代入方程得到， 解得． 21. 小张计划购进，两种文创产品，在“文化夜市”上进行销售．已知A种文创产品进价比B种文创产品进价每件多3元，用140元购进A种文创产品的件数与用80元购进B种文创产品的件数相同． （1）求，两种文创产品每件的进价； （2）小张决定购进，两种文创产品共100件，且总费用不超过550元，那么小张最多可购进A种文创产品多少件？ 【答案】（1）A种文创产品每件进价为7元，B种文创产品的每件进价为4元； （2）小张最多可购进A种文创产品50件． 【解析】 【分析】本题考查分式方程和一元一次不等式的实际应用，正确的列出方程和不等式是解题的关键． （1）设A种文创产品每件的进价为x元，则B种文创产品每件的进价为元，依题意列出方程，求解即可； （2）设购进A种文创产品m件，依题意列出不等式，求解即可． 【小问1详解】 解：设A种文创产品每件的进价为x元，则B种文创产品每件的进价为元， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解， ∴A种文创产品每件进价为7元，B种文创产品的每件进价为4元； 【小问2详解】 解：设购进A种文创产品m件，依题意得： ， 解得：， ∴最多可购进50件A种文创产品． 22. 如图是一个整式运算程序： （1）输入整式，，此时整式是_______； （2）已知运算程序中含． ①若输入整式，则输出的结果为_______； ②若输入整式，，输出的结果中不含的一次项，求的值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】此题考查了同底数幂的乘法，完全平方公式和多项式除以单项式，整式的运算的无关型问题，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）理由同底数幂的乘法法则求解即可； （2）①根据完全平方公式和多项式除以单项式法则求解即可； ②根据题意列出算式化简，然后根据输出的结果中不含的一次项得到，然后求解即可． 【小问1详解】 ∵，， ∴； 【小问2详解】 ①∵ ∴ ∴； ②∵，， ∴ ∵输出的结果中不含的一次项， ∴ ∴． 23. 贵州是夜郎文化的发源地之一，拥有灿烂的夜郎文化，为弘扬贵州地方文化，让更多游客了解夜郎文化，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款吉祥物的成本价是元，当售价为元时，每天可售出件，调查发现，售价每降价元，每天可多售出件． （1）设该款吉祥物降价元，则每天售出的数量是_______件； （2）为让利于游客，该款吉祥物应该降价多少元，能使文旅公司每天的利润是元； （3）该文旅公司每天的利润能达到元吗？如果能，请求出该款吉祥物应降价多少元，若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）元 （3） 不能达到元，理由如下： 设吉祥物应降价元， 由题意得，， 整理得，， ∵， ∴该方程无实数根， 答：该文旅公司每天的利润不能达到元． 【解析】 【分析】（）根据题意列出代数式即可； （）根据题意列出方程即可求解； （）根据题意列出方程，再根据方程解的情况即可求解； 本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【小问1详解】 解：设该款吉祥物降价元， ∵售价每降价元，每天可多售出件， ∴每天售出的数量是件， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意得，， 整理得：， 解得， ∵要让利顾客， ， 答：该款吉祥物降价元时，文旅公司每天的利润是元； 【小问3详解】 略 24. 我们已经学习了整式、分式和二次根式，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似的形式，我们把形如的式子称为根分式，例如，都是根分式． （1）下列各式中，是根分式的是_______； A． B． C． D． （2）写出根分式中的取值范围_______（直接写出答案）； （3）已知两个根分式与． ①是否存在的值使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由； ②当是一个整数时，求无理数x的值． 【答案】（1）B （2）且 （3）①不存在，经检验，是方程的增根；② 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，解分式方程，正确的计算是解题的关键． （1）根据定义进行判断即可求解； （2）根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件进行计算即可求解； （3）①根据题意列出方程，解方程即可求解，最后要检验； ②先计算，根据是一个整数，求得的值，最后检验即可求解． 【小问1详解】 解：A．的分子不是二次根式，不是根分式， B．的分母是整式，是根分式， C．的分母不是整式，不是根分式， D．不符合根分式的形式，不是根分式， 故选：B； 【小问2详解】 由题意得：且， 解得：且， 故x的取值范围是：且， 故答案为：且， 【小问3详解】 当与时， ①不存在的值使得，理由如下： ， ， ， ， 解得：， 经检验，是增根，原方程无解； 即不存在的值使得； ② ， ∵是一个整数， ∴是一个整数， 或， 解得：或或或1， 当时，意义；当或1时。不是无理数；当时，符合题意． 25. 下面是小军同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务. 今天在复习方程（组）的概念和解法时，我发现，各类方程的解法有一定的规律，求解一元一次方程时，把方程转化为的形式：求解二元一次方程组时，把它转化为一元一次方程求解；类似的，解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组求解；解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程求解；解分式方程，把它转化为整式方程求解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验. 各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知，把多元转化成一元，把复杂转化为简单. 运用“转化”的数学思想，我还可以解一些新的方程， 例如，一元三次方程，第一步，因式分解：，第二步，转化为两个方程：________或________，第三步，解得：，，. （1）问题：将小军求解一元三次方程过程中的第二步补充完整为________或________； （2）类比：方程的解是：，________，________； （3）拓展：解方程组； （4）应用：如图，已知矩形草坪的长，宽，点在上，小明把一根长为的绳子一端固定在点，把绳长拉直并固定在上的一点处，再拉直绳长的另一端恰好落在矩形的顶点处，求的长．    【答案】（1）， （2） （3） （4）的长为 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程，勾股定理，解方程的转化思想解复杂方程（组）的解法等知识的综合， （1）根据一元一次方程，一元二次方程的概念及形式即可求解； （2）根据材料提示，先提取公因式，运用因式分解法解一元二次方程即可求解； （3）把变形得代入，再运用材料提示的方法进行计算即可求解； （4）设，则，根据矩形的性质，勾股定理在中，求出，在中，求出，再根据，及材料提示的方法进行计算即可求解． 【小问1详解】 解：是一元一次方程，是一元二次方程， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：， 由②得，， 把③代入①得，，整理得，， ∴， 解得，， ∴， ∴原方程组的解为； 【小问4详解】 解：设，则， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，，即，则 在中，，即，则， ∵， ∴， ， 等式两边同时平方得，，整理得，， 等式两边同时平方，整理得，， 解得，， ∴或，则对应的或， ∵， ∴， ∴的长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $