精品解析：百师联盟2025-2026学年高一上学期12月联考数学试题

2025-2026学年高一年级12月阶段检测数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则集合的真子集个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. “”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知实数，且，下列不等式或命题不一定成立的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 若，则 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. 4 D. 6 5. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数且在上为减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若函数的值域为，且在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的有（ ） A. B. 已知角的终边在上，则 C. 终边落在直线上的角的集合是 D. 已知点在第四象限，则角终边在第二象限 10. 下列结论中，正确的是（ ） A. 和表示同一个函数 B. 已知，则的解析式为 C. 已知函数的定义域是，则函数的定义域是 D. 函数的值域是 11. 下列说法正确的是（ ） A. “，使得”的否定是“，均有” B. “”是“关于的方程有一个正根一个负根”的充分不必要条件 C. 函数的最小值为 D. 若对数有意义，则实数的取值范围为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 12. 已知，且，则___________． 13. 如图，为的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是___________． 14. ，记，若方程有四个不相同的实数根，则实数的取值范围为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知是第二象限角，求的值； （2）已知，求的值； （3）已知，且，求的值． 16. 已知集合，集合． （1）若且，求实数的取值范围； （2）设，若的充分不必要条件是，求实数的取值范围． 17. 在某大学生创业园，小王团队开展了废旧钢材回收项目，他们每天通过固定渠道回收废旧钢材，然后再全部售出.已知该团队的日废旧钢材回收成本（单位：元）与日废旧钢材回收量（吨）的关系为，销售时每吨废旧钢材2400元，记该团队的日废旧钢材回收利润为（单位：元），且利润=销售收入-成本. （1）求关于的函数解析式； （2）求的最大值，并求出取得该最大值时的值. 18. 已知函数 （1）求函数在区间上的最大值； （2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 19. 欧拉对函数的发展做出了巨大的贡献，除特殊符号，概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质.例如，欧拉引入了“倒函数”的定义：对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为“倒函数”. （1）判断函数是不是倒函数，并说明理由； （2）若函数是定义在上的倒函数，且当时，，求函数的解析式； （3）在（2）的条件下，判断方程是否有正整数解？如果有，请求出所有的正整数解，如果没有，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一年级12月阶段检测数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则集合的真子集个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先得到集合，再根据集合真子集个数计算即可． 【详解】已知集合，则集合的真子集个数为． 故选：C． 2. “”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据绝对值不等式、一元二次不等式的解法，结合充分、必要条件的定义，即可得答案. 【详解】由题意的解集为， 的解集为，则， 故“”是“”成立的必要不充分条件． 故选：B． 3. 已知实数，且，下列不等式或命题不一定成立的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】对于AD：根据不等式性质分析判断；对于B：利用作差法分析判断；对于C：举反例说明即可. 【详解】对于选项A：因为，由不等式性质可知一定成立，不合题意； 对于选项B：若，则， 因为，则，可得一定成立，不合题意； 对于选项C：例如，满足， 但，可知，符合题意； 对于选项D：若，由不等式性质可知一定成立，不合题意； 故选：C. 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. 4 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知函数解析式的性质，结合所求函数式的特点计算求解． 【详解】函数， ，， ，故A正确． 故选：A． 5. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先计算出的值，然后根据幂函数的单调性可知的大小. 【详解】由题意，均为正数， 因为，且， 所以，由在上单调递增可知． 故选：B． 6. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出BCD选项中函数的定义域，再结合函数值的正负判断出答案. 【详解】对于B选项：，定义域为：， 因为，不满足图像，B错误； 对于C选项：，定义域为：， 因为，不满足图像，C错误； 对于D选项：，定义域为：， 因为，不满足图像，D错误； 故选：A. 7. 若函数且在上为减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】要使函数在上为减函数，须满足分段函数在各段上单调递减，结合端点处需要满足的条件，列出不等式组，求解即可. 【详解】当时，单调递减须满足，解得， 当时，单调递减须满足， 且； 所以要使函数在上为减函数，须满足 ，即，解得， 所以的取值范围是. 故选：C 8. 若函数的值域为，且在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对数函数的性质，结合二次函数的图象性质列式求解. 【详解】由函数的值域为，得函数的值域包含， 则函数的图象与轴有交点，即方程有实根， 因此，解得或； 由函数在上单调递增，而函数是减函数， 则函数在上单调递减且恒为正，则有， 解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的有（ ） A. B. 已知角的终边在上，则 C. 终边落在直线上的角的集合是 D. 已知点在第四象限，则角终边在第二象限 【答案】BD 【解析】 【分析】利用三角函数的性质和定义、诱导公式、象限角的符号规律及终边相同角的集合分析判断各选项． 【详解】对于A，， ， ，故A错误； 对于B，角的终边在直线上，， ，故B正确； 对于C，终边落在射线上的角的集合为， 终边落在射线上的角的集合为， 终边落在直线上的角的集合为，故C错误； 对于D，点在第四象限， ，，则角终边在第二象限，故D正确． 故选：BD． 10. 下列结论中，正确的是（ ） A. 和表示同一个函数 B. 已知，则的解析式为 C. 已知函数的定义域是，则函数的定义域是 D. 函数的值域是 【答案】BD 【解析】 【分析】根据同一函数的定义和判定方法，可判定A错误；根据换元法求得函数的解析式，可判定B正确；根据函数定义域的求解方法，列出不等式，可判定C错误；根据指数函数的单调性，求得其值域，可判定D正确. 【详解】对于A，函数的定义域为，的定义域为， 函数和的定义域不同，所以不是同一函数，所以A不正确； 对于B，令，由， 则，所以，所以B正确； 对于C，由函数的定义域是，则函数满足， 解得且，所以的定义域为，所以C不正确； 对于D，因为，可得，所以， 即函数值域为，所以D正确． 故选：BD. 11. 下列说法正确的是（ ） A. “，使得”的否定是“，均有” B. “”是“关于的方程有一个正根一个负根”的充分不必要条件 C. 函数的最小值为 D. 若对数有意义，则实数的取值范围为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定可知A正确；根据一元二次方程根的分布和充分、必要条件的定义可知B错误；利用换元法和对勾函数单调性可知C错误；根据对数底数和真数范围的基本要求可构造不等式组求得D正确. 【详解】对于A，由存在量词命题的否定知：“，使得”的否定为“，均有”，A正确； 对于B，若，则，关于的方程存在两根， ，两根必是一正一负，充分性成立； 若关于的方程有一个正根一个负根，则，解得：，必要性成立； “”是“关于的方程有一个正根一个负根”的充要条件，B错误； 对于C，令，则， 由对勾函数单调性知：在上单调递增，， 无最小值，C错误； 对于D，若对数有意义，则，解得：， 实数的取值范围为，D正确. 故选：AD. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 12. 已知，且，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据x的范围，可得的范围，根据条件，结合同角三角函数的关系，可得的值，根据诱导公式，化简即可得答案. 【详解】因为，所以， 由，得， 所以． 故答案为： 13. 如图，为的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是___________． 【答案】 【解析】 【分析】运用扇环的定义，两个同心扇形（圆心相同）的面积差利用扇形面积公式求解两个扇形的面积差. 【详解】由题意知， 因为， 由扇形面积公式得: 所以． 故答案为：. 14. ，记，若方程有四个不相同的实数根，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】首先画出函数的图象，再转化为函数图象的交点问题，求的取值范围. 【详解】， 当时，，即，得（舍）或 当时，，即，得或（舍）， 所以， 若方程有四个不相同的实数根， 即与有4个交点， 如图，画出函数的图象， 此时与有4个交点，则. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知是第二象限角，求的值； （2）已知，求的值； （3）已知，且，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据平方关系先计算出的值，再根据商数关系计算出的值； （2）先根据诱导公式化简原方程，再根据商数关系计算出的值，最后根据齐次式的运算求解出结果； （3）先将原方程平方可计算出的值，再根据的正负判断出的正负，最后采用先平方再开方的方法计算出结果. 【详解】（1）是第二象限角， ，． （2）， 由诱导公式得，即，， （3），等式两边同时平方，得， 又，， 又，，，则， ， . 16. 已知集合，集合． （1）若且，求实数的取值范围； （2）设，若的充分不必要条件是，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，若，求得；若时，求得，得到当时，所以或，进而求得实数的取值范围； （2）根据题意，转化为，分和，两种情况讨论，列出不等式组，即可求解. 【小问1详解】 由集合， 因为，可得，解得， 若，可得，解得，则当，可得或， 又因为且，可得，所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 解：因为成立的充分不必要条件是成立， 又因为，所以是的真子集， 因为， 所以或， ①当，即时，此时，则，满足题意； ②当时，则满足或， 解得或 综上，实数的取值范围为. 17. 在某大学生创业园，小王团队开展了废旧钢材回收项目，他们每天通过固定渠道回收废旧钢材，然后再全部售出.已知该团队的日废旧钢材回收成本（单位：元）与日废旧钢材回收量（吨）的关系为，销售时每吨废旧钢材2400元，记该团队的日废旧钢材回收利润为（单位：元），且利润=销售收入-成本. （1）求关于的函数解析式； （2）求的最大值，并求出取得该最大值时的值. 【答案】（1）； （2）最大值为2980元，且取得该最大值时. 【解析】 【分析】（1）根据利润销售收入成本，列式求解； （2）当时，利用二次函数单调性求出最大值，当时，利用基本不等式求出最大值，比较得解. 【小问1详解】 设该团队的日销售收入为（单位：元），由题意知； 所以， 即. 【小问2详解】 由（1）知，当时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以（元）； 当时， （元）， 当且仅当时，等号成立. 因为，所以的最大值为2980元，且取得该最大值时吨. 18. 已知函数 （1）求函数在区间上的最大值； （2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）33； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用换元法，结合指数函数单调性、二次函数性质求出最大值. （2）利用指数函数、二次函数单调性确定函数在上的单调性，由此脱去法则“f”并分离参数，利用二次函数性质求出最大值即得. 【小问1详解】 函数，令，则， 当时，则，函数在上单调递减，在上单调递增， 而，所以函数在上的最大值为33. 【小问2详解】 由（1）知，函数，函数在上单调递增， 函数在上单调递增，因此函数在上单调递增， 由，得，则由，得， 依题意，对恒成立，则在上恒成立， ， 当时，，则当，即时，取得最大值1， 因此，解得，所以实数的取值范围为. 19. 欧拉对函数的发展做出了巨大的贡献，除特殊符号，概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质.例如，欧拉引入了“倒函数”的定义：对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为“倒函数”. （1）判断函数是不是倒函数，并说明理由； （2）若函数是定义在上的倒函数，且当时，，求函数的解析式； （3）在（2）的条件下，判断方程是否有正整数解？如果有，请求出所有的正整数解，如果没有，请说明理由. 【答案】（1）函数是倒函数，理由如下： 因为函数的定义域为， 对任意的， 函数是倒函数. （2） （3）有， 【解析】 【分析】（1）根据倒函数的定义判断即可； （2）当时，，求出，即可求出的解析式，从而得解； （3）当时结合函数的单调性及函数值得到，从而得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，， 因为当时，，所以， 由倒函数的定义，可得， 综上，函数的解析式为. 【小问3详解】 方程有正整数解，理由如下： 当时，，因为函数在上均单调递增，所以函数在上单调递增， 又因为，，， 所以是方程的一个正整数解， 由函数单调性的一一对应关系可知，是方程的唯一正整数解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $