精品解析：江苏省连云港市东海县2024-2025学年九年级上学期期中学业质量检测数学试题

2024-2025学年度第一学期期中考试 九年级数学试题 温馨提示： 1．本试卷共6页，27题．全卷满分150分，考试时间为100分钟． 2．请在答题纸规定的区域内作答，在其它位置作答一律无效． 3．作答前，请考生务必将自己的姓名、考试号和座位号用0.5毫米黑色签字笔填写在答题纸及试题指定的位置． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 老师出示问题：“解方程，”四位同学给出了以下答案： 甲；乙；丙；丁，． 下列判断正确的是（ ） A. 甲正确 B. 乙正确 C. 丙正确 D. 丁正确 3. 若的半径为，，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在外 B. 点P在上 C. 点P在内 D. 点P在内或上 4. 下列说法：①三点确定一个圆；②圆的直径是圆的对称轴；③三角形的外心到三个顶点的距离相等．其中正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 5. 如图，是弧所在圆的圆心．已知点B、C将弧AD三等分，那么下列四个选项中不正确的是（ ） A. B. C. D. ． 6. 数学期中考试，齐思所在班级的平均分是112分，苗想所在班级的平均分是122分，这次齐思的数学成绩与苗想相比（ ） A. 齐思分数高 B. 苗想分数高 C. 他们分数一样 D. 以上三种都有可能 7. 定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图．在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点A的坐标为，弧是以点B为圆心，为半径的圆弧；弧是以点O为圆心，为半径的圆弧；弧是以点C为圆心，为半径的圆弧；弧是以点A为圆心，为半径的圆弧．继续以点B，O，C，A为圆心按上述作法得到的曲线…称为正方形的“渐开线”，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 9. 方程的根是____________． 10. 一组数据：3，4，x，4，5的平均数是4，则x的值是_______． 11. 关于 x 的一元二次方程有一根为，则 n 的值为____________． 12. 如图，已知A，B，C是上三点，，则的度数为________． 13. 如图，将长为的铁丝首尾相接围成半径为的扇形．则________． 14. 如图，根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直上拋，那么物体经过离地面的高度（单位：m）为．根据物理学规律，物体经过__________s落回地面．（结果保留小数后两位） 15. 为筹备学校秋季运动会，小明制作了如图所示的宣传牌，在正五边形和正方形中，，的延长线分别交，于点M，N，则的度数是______°． 16. 如图，直线与相切于点，直线与相交于点，连接．若，则___________． 17. 如图所示，的三个顶点的坐标分别为，，，则外接圆半径的长为______． 18. 如图，等边三角形的边长为6，经过点A且与边相切的动圆与边分别相交于点D，E，则线段长度的最小值为______． 三、解答题（本题共9小题，共96分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解下列方程； （1）；（用配方法） （2）． 20. 小明在解方程的过程中出现了错误，其解答如下： 解：，，，第一步 ，第二步 ，第三步 ，．第四步 （1）问：小明的解答是从第______ 步开始出错的； （2）请写出本题正确的解答． 21. 已知关于x的方程（m为常数）． （1）求证：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根是，求的值． 22. 已知：如图，、是圆的两条弦，且．求证：． 23. 某公司要在甲、乙两人中招聘一名职员，对两人的学历、能力、经验这三项进行了测试，各项满分均为10分，成绩高者被录用．图1是甲、乙测试成绩的条形统计图． （1）分别求出甲、乙三项成绩之和，并指出会录用谁； （2）若将甲、乙的三项测试成绩，按照扇形统计图（图2）各项所占之比，分别计算两人各自的综合成绩，并判断是否会改变（1）的录用结果． 24. 如图，在中． （1）尺规作图：以边上一点O为圆心，线段的长为半径作，使得与边相切于点D；（保留作图痕迹，不写作法．） （2）在（1）的条件下，记与边的另一交点为E，，．求的半径． 25. 某品牌服装店以900元/件的价格销售一款服装；“双11”期间，服装店连续两次下调销售价格后，最终以729元/件的价格销售该款服装． （1）求平均每次下调的百分率； （2）小明给服装店提出如下建议：先公布下调，再下调，这样更有吸引力，请问小明建议的方案对购买者是否更优惠？为什么？ 26. 如图1，在矩形中，，，点P以的速度从点B向点A运动，点Q以的速度从点B向点C运动，点P、Q同时出发，运动时间为t秒，是的外接圆，连接． （1）当时，与直线的位置关系是______； （2）求当t为值时，恰好与直线相切； （3）连接，交于点E，连接，如图2，在P、Q两点的运动中，若，请直接写出此时点Q到直线的距离． 27. 【问题提出】（1）小明通过“直线与圆的位置关系”的学习，已经知道过圆外一点可以作圆的两条切线．在对这一知识的学习过程进行反思时，小明突发奇想：如图1，直线l与相离，点P在直线l上运动，过点P作的切线，切点为A，则的长是否存在最小值？ 小明探究后发现，当直线l时，的长最小． 请帮小明证明该结论： 【理解内化】（2）如图2，正方形的边长为4，以D为圆心，2为半径作圆．点P是边上动点，过点P作的切线，切点为E，则的取值范围为______． 【拓展应用】（3）如图3，直线与x轴和y轴分别相交于A，B两点，P是该直线上的任一点．将直线向下平移5个单位，与交x轴和y轴分别相交D，C两点，过点D向以P为圆心，2为半径的作右侧作切线，切点为E．则四边形面积的最小值为______． （4）在平面直角坐标系中，的半径为2，，过直线上一点P，作的切线，切点为E，最小面积为S．若．请直接写出k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期中考试 九年级数学试题 温馨提示： 1．本试卷共6页，27题．全卷满分150分，考试时间为100分钟． 2．请在答题纸规定的区域内作答，在其它位置作答一律无效． 3．作答前，请考生务必将自己的姓名、考试号和座位号用0.5毫米黑色签字笔填写在答题纸及试题指定的位置． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：A、是一元二次方程，符合题意； B、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意； D、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：A． 2. 老师出示问题：“解方程，”四位同学给出了以下答案： 甲；乙；丙；丁，． 下列判断正确的是（ ） A. 甲正确 B. 乙正确 C. 丙正确 D. 丁正确 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 利用直接开方法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， 解得：，， ∴丁同学计算正确， 故选：D． 3. 若的半径为，，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在外 B. 点P在上 C. 点P在内 D. 点P在内或上 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系：当点到圆心距离小于半径时，点在圆内；当点到圆心距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心距离大于半径时，点在圆外．根据点到圆心的距离与半径比较即可得出答案． 【详解】解：∵的半径为，，， ∴点P在内， 故选：C． 4. 下列说法：①三点确定一个圆；②圆的直径是圆的对称轴；③三角形的外心到三个顶点的距离相等．其中正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的外心，圆的性质，确定圆的条件；①根据确定一个圆的条件即可判断．②根据对称轴为直线即可判断；③根据三角形外心的性质即可判断． 【详解】解：①不共线三点确定一个圆，故该选项不正确，不符合题意； ②圆的直径所在直线是圆的对称轴，故该选项不正确，不符合题意； ③三角形的外心到三个顶点的距离相等，故该选项正确，符合题意， ∴正确的有1个， 故选：B． 5. 如图，是弧所在圆的圆心．已知点B、C将弧AD三等分，那么下列四个选项中不正确的是（ ） A. B. C. D. ． 【答案】B 【解析】 【分析】利用三等分点得到，由此判断A；根据AB=BC=CD，得到AB+BC>AC，由此判断B；根据即可判断C；根据，得到，由此判断D． 【详解】解：连接AB、BC，OB， ∵点B、C将弧AD三等分， ∴， ∴，故A选项正确； ∵， ∴AB=BC=CD， ∵AB+BC>AC， ∴AC<2CD，故B选项错误； ∵， ∴，故C选项正确； ∵， ∴∠AOB=∠BOC=∠COD， ∴， ∴，故D选项正确； 故选：B． 【点睛】此题考查了圆心角、弧、弦定理：在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦中有一个量相等，另两个量也对应相等． 6. 数学期中考试，齐思所在班级的平均分是112分，苗想所在班级的平均分是122分，这次齐思的数学成绩与苗想相比（ ） A. 齐思分数高 B. 苗想分数高 C. 他们分数一样 D. 以上三种都有可能 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平均数的认识：平均数反映的是一组数据的特征，不是其中每一个数据的特征，所以齐思和苗想所在班级的平均分不能代表他们的成绩，他们的成绩可能高于平均分，也可能低于平均分，也可能等于平均分． 【详解】解：齐思所在班级的平均分是112分，齐思的数学成绩可能低于112分，也可能高于112分，也可能正好是112分；苗想所在班级的平均分是122分，苗想的数学成绩可能低于122分，也可能高于122分，也可能正好是122分；所以齐思的成绩与苗想的成绩无法确定高低， 故选：D． 7. 定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据方程有两个相等的实数根得到，再将带入即可得到，从而得到答案． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 故先：A． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟知当时方程有两个相等的实数根． 8. 如图．在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点A的坐标为，弧是以点B为圆心，为半径的圆弧；弧是以点O为圆心，为半径的圆弧；弧是以点C为圆心，为半径的圆弧；弧是以点A为圆心，为半径的圆弧．继续以点B，O，C，A为圆心按上述作法得到的曲线…称为正方形的“渐开线”，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标规律．解题的关键是罗列出部分点的坐标找出规律．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合画弧的方法以及部分点的坐标寻找出来点的排布规律是关键．根据画弧的方法以及罗列部分点的坐标发现规律：点的横坐标分别为；点的纵坐标分别为：；根据这一规律即可得出点的坐标． 【详解】解：依题意，观察 ，，，，，，，， ∴点的横坐标分别为； 点的纵坐标分别为：； ∵， ∴的坐标为， 故选：A． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 9. 方程的根是____________． 【答案】1和2 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题关键．利用因式分解法解一元二次方程即可得． 【详解】解：， 或， ， 所以方程的根是1和2， 故答案为：1和2． 10. 一组数据：3，4，x，4，5的平均数是4，则x的值是_______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了平均数的定义，解题的关键是根据平均数的定义构建方程解决问题，属于中考基础题．根据平均数的定义计算即可． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故答案为：4． 11. 关于 x 的一元二次方程有一根为，则 n 的值为____________． 【答案】4 【解析】 【分析】把代入原方程，解关于n的一元一次方程即可． 【详解】解：∵关于 x 的一元二次方程有一根为， ∴， 解得， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义即使得一元二次方程左右两边相等的未知数的值，正确理解定义，灵活代入计算是解题的关键． 12. 如图，已知A，B，C是上三点，，则的度数为________． 【答案】40° 【解析】 【分析】根据圆周角定理即可推出∠AOB=40°， 【详解】解：∵∠C=20°， ∴∠AOB=40° 故答案为：40°． 【点睛】本题主要考查圆周角定理，关键在于熟练掌握圆周角定理． 13. 如图，将长为的铁丝首尾相接围成半径为的扇形．则________． 【答案】4 【解析】 【分析】由题意求出扇形的弧长，然后根据扇形面积公式求出扇形面积即可． 【详解】∵扇形周长等于铁丝的长为8 cm，扇形的半径是2 cm， ∴扇形弧长是4 cm， ∴. 故答案为：4． 【点睛】此题考查了扇形弧长和面积的求法，解题的关键是熟练掌握扇形弧长和面积公式． 14. 如图，根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直上拋，那么物体经过离地面的高度（单位：m）为．根据物理学规律，物体经过__________s落回地面．（结果保留小数后两位） 【答案】2.04 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际运用，列出一元二次方程并求解是解题的关键． 根据物体回落到地面，即，求解即可． 【详解】解：根据物体落回地面，可得， 解得：（舍），， 因此物体经过2.04s落回地面． 故答案为：2.04． 15. 为筹备学校秋季运动会，小明制作了如图所示的宣传牌，在正五边形和正方形中，，的延长线分别交，于点M，N，则的度数是______°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和，熟练掌握多边形的内角和与外角和的计算是解题的关键，由城五边形是正五边形，，再根据四边形为正方形，得到，，从而推出，，进而得到． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ， ∴． 故答案为：99 16. 如图，直线与相切于点，直线与相交于点，连接．若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，如图，先利用切线的性质得到，则根据三角形内角和得到，再根据圆周角定理得到，加上，所以，从而可求出的度数，然后利用三角形外角性质可计算出的度数．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理． 【详解】解：连接，如图， 直线与相切于点， ， ， ， ，， ， 解得， ， ． 故答案为：． 17. 如图所示，的三个顶点的坐标分别为，，，则外接圆半径的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，坐标与图形性质，勾股定理，能够根据三角形外心的性质来判断出外心的位置是解答此题的关键． 三角形的外心是三边中垂线的交点，由B、C的坐标知：圆心M（设的外心为M）必在直线上，由图知：的垂直平分线正好经过，由此可得到，连接，过M作作于点，由勾股定理即可求得M的半径长． 【详解】解：设的外心为， ∵，， ∴在直线上， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴由图可知的垂直平分线经过点， ∴， 过点作于点，连接， ∵在中，， ∴由勾股定理得：， ∴外接圆半径的长为， 故答案为：． 18. 如图，等边三角形的边长为6，经过点A且与边相切的动圆与边分别相交于点D，E，则线段长度的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设切点为，圆心为，连接，过点作于点，由圆周角定理得，则，故，因此当最小时，最小，由于，那么当点共线，且时，半径最小，再解直角三角形即可． 【详解】解：如图，设切点为，圆心为，连接，过点作于点， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，经过圆心， ∴， ∴当最小时，最小， ∵， ∴当点共线，且时，半径最小，如图： 此时， ∴， ∴， ∴线段长度的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，圆周角定理，垂径定理，解直角三角形的相关运算，等边三角形的性质等知识点，运用转化的思想是解题的关键． 三、解答题（本题共9小题，共96分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解下列方程； （1）；（用配方法） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）先移项，等号两边同时加上一次项系数一半的平方，再利用直接开平方法求解； （2）先移项，再提取公因式进行求解． 【小问1详解】 解： ， 解得：； 【小问2详解】 解： 或 解得：． 20. 小明在解方程的过程中出现了错误，其解答如下： 解：，，，第一步 ，第二步 ，第三步 ，．第四步 （1）问：小明的解答是从第______ 步开始出错的； （2）请写出本题正确的解答． 【答案】（1）一； （2）正确的解答见解析． 【解析】 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键． （1）先把方程化为一般式，再确定a、b、c的值，从而可判断小明的解答从第一步开始出错了； （2）方程化为一般式得到，，，再计算根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解． 【小问1详解】 小明的解答是从第一步开始出错的， 故答案为：一； 【小问2详解】 解：方程化为一般式为， ，，， ， ， ，． 21. 已知关于x的方程（m为常数）． （1）求证：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根是，求的值． 【答案】（1） 证明：∵关于x的方程为（m为常数）． ∴，即， ∴不论为何值，该方程都有两个不相等的实数根； （2）2027 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的运用，以及一元二次方程的解的定义，求代数式的值，熟练掌握一元二次方程根的判别式和一元二次方程的解的概念是解答此题的关键． （1）根据，一元二次方程有两个不相等的实数根直接进行求解； （2）将方程的根代入方程中，再进行移项即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程有一个根是， ， ， ∴． 22. 已知：如图，、是圆的两条弦，且．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了弦与弧的关系，根据题意可得，则，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∴, 即， ∴ 23. 某公司要在甲、乙两人中招聘一名职员，对两人的学历、能力、经验这三项进行了测试，各项满分均为10分，成绩高者被录用．图1是甲、乙测试成绩的条形统计图． （1）分别求出甲、乙三项成绩之和，并指出会录用谁； （2）若将甲、乙的三项测试成绩，按照扇形统计图（图2）各项所占之比，分别计算两人各自的综合成绩，并判断是否会改变（1）的录用结果． 【答案】（1）甲 （2）乙 【解析】 【分析】（1）根据条形统计图数据求解即可； （2）根据“能力”、“学历”、“经验”所占比进行加权再求总分即可． 【小问1详解】 解：甲三项成绩之和为：9+5+9=23； 乙三项成绩之和为：8+9+5=22； ∴23>22 录取规则是分高者录取，所以会录用甲． 【小问2详解】 “能力”所占比例为：； “学历”所占比例为：； “经验”所占比例为：； ∴“能力”、“学历”、“经验”的比为3：2：1； 甲三项成绩加权平均为：； 乙三项成绩加权平均为：； ∴8>7 所以会录用乙． ∴会改变录用结果 【点睛】本题主要考查条形统计图和扇形统计图，根据图表信息进行求解是解题的关键． 24. 如图，在中． （1）尺规作图：以边上一点O为圆心，线段的长为半径作，使得与边相切于点D；（保留作图痕迹，不写作法．） （2）在（1）的条件下，记与边的另一交点为E，，．求的半径． 【答案】（1）如图： （2） 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—作角平分线，切线的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． （）作的角平分线，交边于点，以为圆心，线段的长为半径作，则与边相切于点； （）设，根据（）的条件知，在中，由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：如图，作的角平分线，交边于点，以为圆心，线段的长为半径作，则与边相切于点； 【小问2详解】 解：如图所示，设， 由（）可知， ∵，， 在中，，， ∴， 即， 解得：， ∴的半径为． 25. 某品牌服装店以900元/件的价格销售一款服装；“双11”期间，服装店连续两次下调销售价格后，最终以729元/件的价格销售该款服装． （1）求平均每次下调的百分率； （2）小明给服装店提出如下建议：先公布下调，再下调，这样更有吸引力，请问小明建议的方案对购买者是否更优惠？为什么？ 【答案】（1） （2）小明的建议的方案对购买者更优惠，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设平均每次下调的百分率为x，根据服装店连续两次下调销售价格后，最终以729元/件的价格销售该款服装，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）求出小明建议的方案价格，再比较即可． 【小问1详解】 解：设平均每次下调的百分率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍）， 答：平均每次下调的百分率为； 【小问2详解】 解：小明的建议的方案对购买者更优惠，理由如下： 由题意得：， ∵， ∴小明建议的方案对购买者更优惠． 26. 如图1，在矩形中，，，点P以的速度从点B向点A运动，点Q以的速度从点B向点C运动，点P、Q同时出发，运动时间为t秒，是的外接圆，连接． （1）当时，与直线的位置关系是______； （2）求当t为值时，恰好与直线相切； （3）连接，交于点E，连接，如图2，在P、Q两点的运动中，若，请直接写出此时点Q到直线的距离． 【答案】（1）相离 （2） （3） 【解析】 【分析】（1），由勾股定理得，过点作于点，延长交于点，则四边形为矩形，，由求得，则，即可判断与的大小关系； （2）由题意得，，则，由切线得性质证明，根据相似三角形的性质求解； （3）连接，则，即为点Q到直线的距离，可得点四点共圆，证明，那么，此时，，，由勾股定理得：，由即可求解． 【小问1详解】 解：当时，， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， 由题意得：是直径 ∴半径为， 过点作于点，延长交于点，如图： ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，与直线相离， 故答案为：相离； 【小问2详解】 解：由题意得，，则， ∵恰好与直线相切， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍）， 经检验，是方程的解 ∴当时，恰好与直线相切； 【小问3详解】 解：连接， ∵为直径， ∴， ∴， 即为点Q到直线的距离， ∵， ∴， ∴点四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴此时， ∴， ∴， ∴由勾股定理得：， ∵ 又∵， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，直线与圆的位置关系，矩形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识点，难度较大，熟练掌握各知识点是解题的关键． 27. 【问题提出】（1）小明通过“直线与圆的位置关系”的学习，已经知道过圆外一点可以作圆的两条切线．在对这一知识的学习过程进行反思时，小明突发奇想：如图1，直线l与相离，点P在直线l上运动，过点P作的切线，切点为A，则的长是否存在最小值？ 小明探究后发现，当直线l时，的长最小． 请帮小明证明该结论： 【理解内化】（2）如图2，正方形的边长为4，以D为圆心，2为半径作圆．点P是边上动点，过点P作的切线，切点为E，则的取值范围为______． 【拓展应用】（3）如图3，直线与x轴和y轴分别相交于A，B两点，P是该直线上的任一点．将直线向下平移5个单位，与交x轴和y轴分别相交D，C两点，过点D向以P为圆心，2为半径的作右侧作切线，切点为E．则四边形面积的最小值为______． （4）在平面直角坐标系中，的半径为2，，过直线上一点P，作的切线，切点为E，最小面积为S．若．请直接写出k的取值范围． 【答案】（1）存在最小值，证明见解析；（2）；（3）；（4）或 【解析】 【分析】（1）由，其中为常数，即可求解； （2）当点P和点C重合时，为最小，此时，，当点P和点B重合时，为最大，此时，为最大，即可求解； （3）由四边形面积最小值，即可求解； （4）由面积，即，而，，，则，即可求解． 【详解】解：（1）存在最小值，理由： 证明：连接，如图1： ∵是的切线， ∴， ∴，其中为常数， 故当直线l时，最小，此时最小； （2）连接，如图： 由（1）知，， ∴当最小时，取得最小值， ∴当点P和点C重合时，为最小，此时， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴当点P和点B重合时，为最大，此时，为最大， 故 故答案为：； （3）直线向下平移5个单位得到直线， 当，当，， 解得：， ∴点C、D的坐标分别为：， ∴， 设直线和的距离为h，过点B作于点M，连接， ∴， ∴， 对于直线，当， ∴， ∴， ∴， 而的最小值， ∴同上可得：， ∵四边形面积最小值， 故答案为：； （4）设直线和x轴正方向的夹角为， 设点，过点作于点， ∴， 则， 如图，过点A作直线l， ∴ ∴， ∵为的切线， ∴， ∴面积， ∵ ∴， ∴， ∴当最小时，最小， 当直线l时，即点P、N重合时，最小， 此时， ∵，， ∴， 即， 解得：或． 【点睛】本题为圆的综合题，切线的性质，勾股定理，涉及到解不等式、解直角三角形、一次函数与几何综合，正方形的性质等，按照题目顺序逐次求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $