精品解析：天津市南仓中学2025-2026学年高三上学期第一次过程性检测数学试卷

天津市南仓中学2025至2026学年度第一学期 高三年级 过程性检测 （数学学科） 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至1页，第Ⅱ卷2至2页． 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题纸上．答卷时，考生务必将答案涂写在答题纸上，答在试卷上的无效． 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将机读卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共9小题，共45分． 一、选择题（每小题5分，共45分） 1. 若全集，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数中，是偶函数且在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 6. 已知两条不同的直线a，b，两个不同的平面，于是可得到（ ） A. 若，则. B. 若a，b是一对异面直线，且，则. C. 若，则. D. 若，则. 7. 下列说法正确的是（ ） A. 一组数据1，1，2，3，5，8，13，21的第60百分位数为4 B. 设且，则 C. 在回归分析模型中，若决定系数越小，则残差平方和越大，模型的拟合效果越差 D. 两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数越接近于1 8. 已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度可得到函数的图象，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的最大值为 C. 函数是奇函数 D. 函数在区间上单调递增 9. 已知正数满足，则的最小值为（ ） A. 9 B. 12 C. 18 D. 24 第Ⅱ卷 注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题纸上． 2．本卷共11小题，共105分． 二、填空题（每小题5分，共30分） 10. 若，则_________. 11. 在 的展开式中，常数项为________________(用数字作答)． 12. 直线被圆截得的弦长为，则_________. 13. 2025年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，为激发民众的爱国热情和民族自豪感，某地举办相关知识竞答活动.在决赛中，每轮活动由甲、乙各答一个问题，已知甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为.在每轮活动中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则乙在两轮活动中恰好答对一个问题的概率为______；两人在两轮活动中共答对3个问题的概率为______. 14. 在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段CD上靠近C的三等分点，，则__________，F为线段BE上的动点，G为AF中点，则的最小值为______. 15. 已知函数，关于的方程有且只有一个实数根，则实数的取值范围是_____. 三、解答题 16. 在中，角A、B、C所对的边分别为.已知，，，且. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 17. 在中，． （1）求； （2）若，的面积为，求的周长． 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点． （1）证明：平面； （2）求平面和平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 19. 已知等差数列中，，公差;等比数列中，，是和的等差中项，是和的等差中项． （1）求数列，的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）记比较与的大小. 20. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求的单调区间； （3）若，求函数的零点个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市南仓中学2025至2026学年度第一学期 高三年级 过程性检测 （数学学科） 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至1页，第Ⅱ卷2至2页． 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题纸上．答卷时，考生务必将答案涂写在答题纸上，答在试卷上的无效． 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将机读卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共9小题，共45分． 一、选择题（每小题5分，共45分） 1. 若全集，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出，根据交集定义即可得 【详解】由题意得，，所以， 故选：A 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数的性质，不等式的基本性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由，当时，可得； 当，不能得到，所以充分性不成立； 反之：由，可得， 根据不等式的基本性质，可得成立，所以必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B． 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由对数函数和指数函数的性质可得. 【详解】由题可知，故. 故选：D 4. 下列函数中，是偶函数且在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】确定各选项中函数的奇偶性或单调性即可. 【详解】对于A，函数在上单调递减，A不是； 对于B，函数的定义域为，不具奇偶性，B不是； 对于C，函数定义域为R，，不是偶函数，C不是； 对于D，函数定义域为， ，是偶函数； 当时，，函数在上单调递增， 则在上单调递增，D是. 故选：D 5. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断函数的单调性，再结合函数的零点存在定理进行求解． 【详解】函数在区间上单调递增， ， ，得， 所以函数的零点在区间内． 故选：B 6. 已知两条不同的直线a，b，两个不同的平面，于是可得到（ ） A. 若，则. B. 若a，b是一对异面直线，且，则. C. 若，则. D. 若，则. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间中直线与直线，直线与平面的位置关系结合选项逐个判断即可. 【详解】对于A，若，则直线a，b的关系可以平行，相交或异面，A不正确； 对于B，在空间中取一点，不在平面内，过作直线， 因为是异面直线，所以是相交直线，设它们所确定的平面为， 由可得；同理； 又, ，所以；同理可得，故，B正确； 对于C， ，若，此时与不垂直，C不正确； 对于D，，则也可能与平行，D不正确. 故选：B 7. 下列说法正确的是（ ） A. 一组数据1，1，2，3，5，8，13，21的第60百分位数为4 B. 设且，则 C. 在回归分析模型中，若决定系数越小，则残差平方和越大，模型的拟合效果越差 D. 两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数越接近于1 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数的定义可判断A，根据正态分布的对称性求解可判断B，根据决定系数的性质可判断C，根据相关系数的性质可判断D， 【详解】对于A，因为，所以数据的第60百分位数为5，故A错误； 对于B，因为且，则， 所以，故B错误； 对于C，在回归分析模型中，若决定系数越小，则残差平方和越大，模型的拟合效果越差，故C正确． 对于D，两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数的绝对值越接近于1，故D错误； 故选：C 8. 已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度可得到函数的图象，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的最大值为 C. 函数是奇函数 D. 函数在区间上单调递增 【答案】D 【解析】 【分析】应用二倍角余弦公式、辅助角公式化简函数式，结合正弦型函数的性质判断A、B；再由图象平移写出，结合奇函数性质及整体法求区间单调性判断C、D. 【详解】由题意得， 则的最小正周期，最大值为2，故A，B错误； 将函数的图象向右平移个单位长度可得到函数的图象， 所以，定义域为R，但，故C错误； 令，得， 因为，所以函数在区间上单调递增，故D正确， 故选：D 9. 已知正数满足，则的最小值为（ ） A. 9 B. 12 C. 18 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】将根式表示为分数指数幂，得，利用基本不等式求的最小值. 【详解】，所以， 因为a，b为正数， 所以， 当且仅当时，即，时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 第Ⅱ卷 注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题纸上． 2．本卷共11小题，共105分． 二、填空题（每小题5分，共30分） 10. 若，则_________. 【答案】##2.5 【解析】 【分析】先通过复数的除法运算求出，进而求出模即可. 【详解】由， 则， 所以. 故答案为：. 11. 在 的展开式中，常数项为________________(用数字作答)． 【答案】 【解析】 【分析】求出展开式的通项，令通项中的指数为0，从而可得答案. 【详解】展开式的通项为： 令 常数项为 故答案为： 12. 直线被圆截得的弦长为，则_________. 【答案】0或10 【解析】 【分析】由圆方程得出圆心和半径，再由弦长公式以及点到直线距离公式计算可得结果. 【详解】易知圆的圆心为，半径为 设圆心到直线的距离为，由弦长公式可得，解得； 所以圆心到直线的距离， 解得或. 故答案为：0或10 13. 2025年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，为激发民众的爱国热情和民族自豪感，某地举办相关知识竞答活动.在决赛中，每轮活动由甲、乙各答一个问题，已知甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为.在每轮活动中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则乙在两轮活动中恰好答对一个问题的概率为______；两人在两轮活动中共答对3个问题的概率为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设事件甲第轮答对为，事件乙第轮答对为，，设事件乙在两轮活动中恰好答对个问题为，，则，结合互斥事件的概率加法公式和独立事件定义求，设事件甲在两轮活动中恰好答对一个问题为，，根据概率加法公式和独立事件定义求，再求可得结论. 【详解】设事件甲第轮答对为，事件乙第轮答对为，， 则相互独立，且，， ，， 设事件乙在两轮活动中恰好答对个问题为，， 则，其中事件，互斥， 所以， 所以，故乙在两轮活动中恰好答对一个问题的概率为， 设事件甲在两轮活动中恰好答对一个问题为，， 则，其中事件，互斥， 所以， 所以， 则，， 事件两人在两轮活动中共答对3个问题可表示为，其中事件互斥，事件相互独立，事件相互独立， 所以， 所以两人在两轮活动中共答对3个问题的概率为， 故答案为：；. 14. 在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段CD上靠近C的三等分点，，则__________，F为线段BE上的动点，G为AF中点，则的最小值为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由向量对应线段的位置及数量关系用表示出，即可得参数值，令，，根据已知得并应用向量数量积的运算律求最值. 【详解】由题设，则， 所以， ， 令，，则 ， 所以 ， 当时，的最小值为. 故答案为：， 15. 已知函数，关于的方程有且只有一个实数根，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】将条件转化为函数与的图像有且只有一个交点，利用数形结合思想求解. 【详解】方程有且只有一个实数根，等价于有且只有一个实数根， 则，画出与的函数图像如图所示： ①当时： 直线过点、斜率为负值： 当时，，得， 由，得，此时根为，抛物线与直线相切. 当时，，直线，无交点. 故当时，方程仅有一个实根. ②当时，方程为，但，故无解. ③当时： 直线过点、斜率为正值： 当时，直线过点（因），解方程，当时，根为和，故至少2个交点，不符合条件. 当时： 当时，抛物线在上，直线（因为），故无交点. 当：结合图象，与直线只有一个交点. 时,函数在处的切线斜率为， 切线方程为,该切线恰好过点, 所以，当：结合图象直线在上与只有1个交点. 综上，则实数的取值范围为. 故答案为： 三、解答题 16. 在中，角A、B、C所对的边分别为.已知，，，且. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理可得； （2）由正弦定理及平方关系可得； （3）由二倍角公式及两角和与差的公式可得. 【小问1详解】 因为，即， 解得或，因为，所以. 【小问2详解】 因为，由（1）得，且， 因为，所以. 由正弦定理，所以， 因为，所以，，. 【小问3详解】 由（2）得，， 故. 17. 在中，． （1）求； （2）若，的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用商数关系得到，再利用三角形的性质和正弦的和角公式，即可求解； （2）根据条件，利用三角形面积公式，得，再由余弦定理可得，即可求解. 【小问1详解】 由，可得， 整理得． 则， 即， 所以．由，故， 又，所以． 【小问2详解】 设的内角所对的边分别为， 由（1）知，则的面积，得到， 因为，由余弦定理， 得，得到，所以， 所以的周长为． 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点． （1）证明：平面； （2）求平面和平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明：取的中点，连接，如图所示： 在中，因为，分别是为棱，的中点， 所以为中位线， 所以，且， 又，， 所以，且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，利用三角形中位线，平行四边形性质以及线面平行的判定定理即可证明； （2）结合已知条件建立空间直角坐标系，分别写出相应的点坐标，求出平面和平面的法向量，利用向量法求解即可； （3）在（2）的基础上利用向量法求点到面的距离即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 平面，平面， 所以，又， 所以以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 取的中点，连接，如图所示： 因为，，且， 所以四边形是边长为2的正方形， 所以， 因为为棱的中点，所以， 所以， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则， 即平面的一个法向量为， 又平面，平面, 所以，由，且， 所以平面，即平面， 所以为平面的一个法向量， 所以， 所以平面和平面夹角的余弦值为 【小问3详解】 由（2）知，平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为： ， 所以点到平面的距离为. 19. 已知等差数列中，，公差;等比数列中，，是和的等差中项，是和的等差中项． （1）求数列，的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）记比较与的大小. 【答案】（1），； （2）； （3），当时，. 【解析】 【分析】（1）根据题意得到方程组，求出公差和公比，得到通项公式； （2）利用分组求和法进行求解； （3）作差法得到，从而得到，当时，. 【小问1详解】 因为， 依题意， 故，由得， 解得或2， 因为，所以，， 故， 其中，故公比， 所以； 【小问2详解】 ， 故 ； 【小问3详解】 所以 当时，，当时，， 所以，当时，. 20. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求的单调区间； （3）若，求函数的零点个数. 【答案】（1） （2） 当时，在上单调递减，在上单调递增. 当时，在上单调递增. 当时，在上单调递增. （3）两个零点 【解析】 【分析】（1）先求函数在该点的函数值和导数值，再利用导数的几何意义，即可求切线方程. （2）对函数求导，解出临界点，再根据参数的取值分类讨论其单调性，即可得解. （3）将零点问题转化为函数与直线的交点个数问题，结合（2）中得到的函数单调性，分析函数的最小值以及函数在区间端点（极限情况）的函数值，即可判断交点个数，从而得到零点个数. 【小问1详解】 由已知，则，， 所以，， 所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 由已知，且. 令，解得. 当时，在上单调递减，在上单调递增. 当时，，此时在上单调递增. 当时，，此时在上单调递增. 【小问3详解】 要求函数的零点个数，即求函数与直线的交点个数. 由（2）知，当时，在上单调递减，在上单调递增. 若，则在上单调递减，在上单调递增. 所以，又，所以， 又当和时，， 所以函数与直线有两个交点，故函数有两个零点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $