期末复习07 代数式讲义(知识梳理+题型精析+备考通关)2025-2026学年苏科版七年级数学上册

该初中数学代数式复习讲义通过分模块梳理构建知识体系，以“代数式基本概念-整式分类-加减运算-求值应用”为主线，用表格呈现书写规范、易错点等内容，知识框架图清晰展示重难点分布及内在逻辑联系。 讲义亮点在于分层题型设计，每个知识点配套典例与跟踪训练，如“用代数式表示图形规律”题型培养抽象能力，“整体代入法”求值强化运算能力，易错点总结助力学生规避错误，支持教师实施精准分层教学，提升复习效率。

期末复习07 代数式讲义 1.用字母表示数 2.列代数式 3.代数式的概念 4.代数式规范书写方法 5.代数式表示的实际意义 6.已知字母的值,求代数式的值 7.已知式子的值,求代数式的值 8.程序流程图的应用--代数式求值 9.用代数式表示数与图形的规律 【知识点01】代数式的基本概念 1.代数式的定义 用运算符号（包括加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式。 补充说明： *单独的一个数是代数式，因为可看作“数与无运算符号的连接”，本质是代数式的特殊形式； *单独的一个字母也是代数式，代表未知的数，是代数式最简洁的符号表达； *代数式中仅包含“运算符号”和“数/字母”，不含有表示数量关系的等号（=）或不等号（>、<、≥、≤、≠），这是区分代数式与等式、不等式的核心标志。 示例辨析：3x+2（代数式）、3x=2（等式，非代数式）、3x>2（不等式，非代数式） 2.书写规范 规则 示例 数字与字母相乘，数字写在字母前，乘号可省略或用 “・” 表示 3x（不写成x3），a⋅b（或ab） 带分数与字母相乘，带分数化为假分数 1x写成x 除法运算写成分数形式 a÷b写成（b≠0） 字母指数为1时，1省略不写 x1写成x 系数为1或−1时，1省略不写 1x写成x，−1x写成-x 3.列代数式 步骤：理解题意→分析数量关系→选择字母表示未知量→按运算顺序用符号连接（遵循 “先读先写，后读后排”）。 关键：抓住关键词（如 “倍”“差”“和”“平方”“倒数” 等），明确运算顺序。 示例：比a的2倍大3的数表示为2a+3；m与n的差的平方表示为(m−n)2。 【知识点02】整式的分类(单项式与多项式) 1.单项式 *定义：由数或字母的积组成的代数式，单独的数或字母也是单项式（如−5、3xy2）。 *系数：单项式中的数字因数（包括符号）；π是常数，作为系数；系数为1或−1时省略 “1”。示例：−3x2y的系数为−3，πr2的系数为π。 *次数：一个单项式中所有字母的指数的和（常数项次数为0）。示例：2x3y的次数为3+1=4。 2.多项式 *定义：几个单项式的和（或差），其中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。示例：2x2−3x+5是二次三项式，常数项为5。 *次数：多项式中次数最高项的次数。示例：3x3y−2xy+1的次数为4。 3.整式：单项式和多项式统称为整式，分母含有字母的式子不是整式（如不是整式）。 【知识点03】整式的加减运算 1.同类项 *定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项；常数项都是同类项。示例：2x2y与−5x2y是同类项，3与−7是同类项。 *合并法则：同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。示例：3ab−5ab=(3−5)ab=−2ab。 2.去括号法则 *括号前是 “+”，去掉括号及前面的 “+”，括号内各项符号不变：a+(b−c)=a+b−c。 *括号前是 “−”，去掉括号及前面的 “−”，括号内各项符号都改变：a−(b−c)=a−b+c。 *若括号前有系数，先按乘法分配律展开再去括号：2(a−3b)=2a−6b。 3.整式加减的步骤 1.去括号（按法则或分配律）； 2.找同类项（用不同标记区分）； 3.合并同类项（化为最简整式）。 【知识点04】代数式的值 1.定义：用数值代替代数式中的字母，按运算顺序计算得出的结果，随字母取值的变化而变化。 2.求值方法 *直接代入法：直接将字母的值代入，注意负数、分数代入时加括号。 示例：当x=−2时，求3x+1的值，代入得3×(−2)+1=−5。 *整体代入法：当字母值未知或复杂时，将代数式看成整体代入。 示例：已知x+y=5，求2(x+y)+3的值，代入得2×5+3=13。 3.注意事项 *代入前先化简代数式（可简化计算）； *字母取值需使代数式有意义（如分母不为0，偶次根式被开方数非负等）。 易错点与常见误区 1.概念混淆：误将等式（如3x=5）、不等式（如2x>1）当作代数式；混淆单项式次数与多项式次数。 2.书写错误：带分数未化为假分数、除法未写成分数形式、数字与字母位置颠倒。 3.运算错误：去括号时符号出错、合并同类项时系数或指数计算错误、代入负数时未加括号导致符号错误。 4.取值不当：忽略字母的取值范围（如分母为0、偶次根式被开方数为负等）。 【知识点05】典型题型与解题思路 1.代数式书写判断：依据书写规范逐一排查，纠正错误写法。 2.列代数式：抓住关键词，明确运算顺序，必要时添加括号。 3.整式相关概念辨析：判断单项式的系数与次数、多项式的项数与次数，识别同类项。 4.整式加减运算：先去括号，再合并同类项，注意符号与系数计算。 5.代数式求值：根据已知条件选择直接代入或整体代入，先化简再求值可提高效率。 题型1.用字母表示数 【典例】任意三个连续自然数，最小的是，那么最大的数表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用字母表示数，由任意三个连续自然数，最小的是，则最大的数为，从而求解，掌握连续自然数的特征是解题的关键． 【详解】解：由任意三个连续自然数，最小的是，则最大的数为， 故选：． 【跟踪训练1】一支铅笔的价钱是元，一块橡皮的价钱是元，买支铅笔和块橡皮应付( )元． 【答案】/ 【分析】根据总价单价数量，一支铅笔的价钱是元，买支铅笔应付元，一块橡皮的价钱是元，买块橡皮应付元，相加即可． 【详解】解：一支铅笔的价钱是元，一块橡皮的价钱是元，买支铅笔和块橡皮应付元． 故答案为：． 【点睛】本题考查用字母表示数，解决本题的依据是:总价单价数量． 【跟踪训练2】已知是非零自然数，以下四道算式中，结果最大的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了字母表示数，将各选项转化为乘法运算后比较系数大小即可确定结果最大的选项，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、； 、； 、； 、； ∵是非零自然数， ∴， ∴结果最大的是， 故选：． 题型2.列代数式 【典例】六年级参加篮球社团有人，参加足球社团的人数是参加篮球社团人数的倍，那么参加足球社团的人数是 （用含的代数式表示）． 【答案】/ 【分析】本题考查列代数式，根据题意，足球社团人数是篮球社团人数的倍，用乘以即可得到足球社团人数． 【详解】解：参加篮球社团的人数为，足球社团人数是篮球社团人数的倍， 所以，足球社团人数为， 故答案为：． 【跟踪训练1】有一个人患了流感，经过两轮传染后有若干人患了流感．假设在每轮的传染中平均一个人传染了个人，则表示（   ） A．第一轮被传染的人数 B．第一轮后共患流感人数 C．第二轮被传染的人数 D．第二轮后共患流感人数 【答案】B 【分析】本题考查了列代数式，由每轮传染中一人传染的人数，可得出经过一轮传染后有染上流感的人数． 【详解】解：∵在每轮的传染中平均一个人传染了m个人， ∴经过一轮传染后有人染上流感． 故选：B． 【跟踪训练2】健康生活，从我做起．某健身中心为吸引顾客，特展开优惠活动．原价一人报名m元，三人一同报名可以在每人优惠500元的基础上再打9折，小张、小李、小明三人一同报名，则实际需要的费用为（） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式；根据优惠规则，三人一同报名，先每人优惠500元，再打9折，因此总费用为原总价减优惠后打折扣． 【详解】解：∵三人原总价为元， 每人优惠500元， ∴总优惠为元， ∴优惠后价格为元， 再打9折， ∴实际费用为元． 故选：C． 题型3.代数式的概念 【典例】在式子：0，，，，，，中，代数式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】此题考查代数式的定义，代数式是由数字、字母和运算符号（如加、减、乘、除、乘方）组成的数学表达式，不包含等号或不等号，因此，方程和不等式不是代数式，据此判断． 【详解】∵ 代数式需由数字、字母和运算符号组成，且不含等号或不等号， ∴ 0是数字，是代数式； a是字母，是代数式； 含有等号，是方程，不是代数式； 由变量和数字通过减号连接，是代数式； 由数字和字母通过乘法连接，是代数式； 含有不等号，是不等式，不是代数式； 含有不等号，是不等式，不是代数式， ∴ 代数式有0、a、、，共4个， 故选：C 【跟踪训练1】下列各式：①，②，③，④，⑤，⑥．其中属于代数式的有 ．（请填写序号） 【答案】①③⑤ 【分析】本题考查了代数式的，用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子叫作代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式，据此进行判断即可求解，掌握代数式的定义是解题的关键． 【详解】解：下列各式：①，②，③，④，⑤，⑥．其中属于代数式的有①③⑤， 故答案为：①③⑤． 【跟踪训练2】下列说法正确的是（　 ） A．表示和相乘 B．的值一定比的值大 C．的值一定比2大 D．的值随的增大而增大 【答案】D 【分析】利用代数式的意义逐项分析判断即可获得答案． 【详解】解：A. 表示2和相乘，故本选项错误，不符合题意； B. 例如，当时，，故本选项错误，不符合题意； C. 例如，当时，，故本选项错误，不符合题意； D. 的值随的增大而增大，该说法正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了代数式的知识，理解代数式的意义是解题关键． 题型4.代数式规范书写方法 【典例】有下列各式：下列代数式中，（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7），符合代数式书写要求的有 个 【答案】2 【分析】本题考查代数书写方法，解题的关键是掌握代数式的书写规范：（1）数与字母，字母与字母相乘，乘号可以省略，数字与数字相乘，乘号不能省略，数字要写在前面；（2）带分数与字母相乘一定要写成假分数；（3）在含有字母的除法中，一般不用“÷”号，而写成分数的形式；（4）式子后面有单位时，和差形式的代数式要在单位前把代数式括起来．据此依次分析进行判断． 【详解】解：（1）应书写成，书写形式不规范，不符合题意； （2）应书写成，书写形式不规范，不符合题意； （3）书写形式规范，符合题意； （4）书写形式规范，符合题意； （5）应书写成，书写形式不规范，不符合题意； （6）应书写成，书写形式不规范，不符合题意； （7）应书写成，书写形式不规范，不符合题意； ∴符合书写要求的有2个． 故答案为：． 【跟踪训练1】下列说法：①a是代数式，1不是代数式；②表示数a，b，的积的代数式是；③代数式的意义是a与4的差除以b的商；④a，b两数平方的差与两数的积的4倍的和用代数式表示是，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查代数式的定义、书写规范及含义的理解，逐一判断各说法的正确性． 【详解】∵ 代数式是由数字、字母和运算符号组成的式子，单独的数字或字母也是代数式， ∴ 说法①中“a是代数式”正确，但“1不是代数式”错误，故①错误； ∵ 带分数在代数式中应化为假分数，应写为， ∴ 表示a，b，的积的代数式应为，而非，故②错误； ∵ 代数式的运算顺序是先求差再求商， ∴ 其含义是a与4的差除以b的商，故③正确； ∵ “两数平方的差”指，“两数的积的4倍”指， ∴ 它们的和应为，而， 两者不等，故④错误． 故选：A． 【跟踪训练2】将下列各式按照列代数式的规范要求重新书写： （1）a×5，应写成 ；     （2）S÷t应写成 ； （3），应写成 ； （4）, 应写成 . 【答案】 5a 【分析】（1）根据代数式书写规范将数字因数写在代数式前省略乘号即可得到结果． （2）根据代数式书写规范将除法算式写成分数形式即可得到结果． （3）根据代数式书写规范将数字因数写在代数式前省略乘号，同时将相同字母的乘积写成乘方形式即可得到结果． （4）根据代数式书写规范将数字因数的带分数化为假分数即可得到结果． 【详解】解：（1）a×5=5a， 故答案为∶5a； （2）S÷t=， 故答案为∶； （3）， 故答案为∶； （4） 故答案为∶． 【点睛】本题考查代数式书写规范，熟知代数式的书写规范要求是解题关键． 题型5.代数式表示的实际意义 【典例】代数式在数学中可以表示不同的图形或实际问题中的数量关系．下列情境中，能用该代数式表示的是（    ） A．甲、乙两地相距40千米，某人从甲地以每小时千米的速度匀速步行前往乙地，2小时后他距离甲地的路程 B．某商品成本为40元/件，售价为元/件，则销售一件商品的利润 C．一个长方形的周长为40厘米，若其长为厘米，则其宽的长度 D．一项工程需要生产40个零件，每天生产个零件，经过2天生产后，尚未完成的零件数量 【答案】D 【分析】本题考查代数式的实际意义，逐项判断即可得到答案． 代数式表示从40中减去2倍的，逐项分析情境，只有选项D中未完成的零件数量计算为总零件数减去已生产零件数，即，符合代数式的实际意义． 【详解】解：A：由题意，2小时后距离甲地路程为千米，与代数式不匹配，不符合题意； B：由题意，利润为元，与代数式不匹配，不符合题意； C：由题意，宽为厘米，与代数式不匹配，不符合题意； D：由题意，总零件数为40个，每天生产个，则 2天生产了个，从而得到未完成零件数为，与代数式匹配，符合题意； 故选：D． 【跟踪训练1】请你结合生活实际，设计具体情境，解释代数的意义 ． 【答案】已知一个苹果的价格为 元，一个香蕉的价格为 元，则购买2个苹果和3个香蕉共需 元（答案不唯一）． 【分析】此题考查了代数式的实际意义，代数式 表示两个 与三个 的和，其实际意义取决于赋予字母 和 的具体含义．通过设计生活情境，如购物场景，可以解释该代数式表示总费用或总数量等． 【详解】解：例如，设一个苹果的价格为 元，一个香蕉的价格为 元，则购买2个苹果的费用为 元，购买3个香蕉的费用为 元，因此总费用为 元． 故答案为：购买2个苹果和3个香蕉共需 元． 【跟踪训练2】在一次知识竞答中，共有20道题，每道题答对加5分，答错扣2分，不答不加分也不扣分．峰峰在此次竞答中最后得分40分，已知峰峰至少答错了1道题，则峰峰答对了 题． 【答案】10 【分析】本题主要考查了利用方程和代数式解决实际问题，确定变量的取值，解题的关键是理解题意，列出代数式． 设答对了道题目，答错了道题目，根据题意列出方程，用其中一个变量表示出另一个变量，确定其取值即可． 【详解】解：设答对了道题目，答错了道题目，根据题意得， ， 整理得， ∵都取正整数， ∴当时，，，符合题意； 当时，，，不符合题意； 故答案为：10． 题型6.已知字母的值,求代数式的值 【典例】如图，若为最大负整数，则表示的值的点落在（    ） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 【答案】B 【分析】本题考查负整数的慨念及代数式求值，解题的关键是先确定最大负整数的值，再计算代数式的值并判断其所在区间． 先确定最大负整数，再代入计算的值，最后结合数轴区间判断落点． 【详解】解：因为最大的负整数是，所以， ， 观察数轴，0.5位于0.4和1之间，即段②． 故选：B． 【跟踪训练1】当x的值分别为，0，1，2时，代数式的值如下表： x 0 1 2 则代数式中c的值为   ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式的求值，解题的关键是利用时的代数式值直接确定的值． 当时，代入，此时、，代数式的值即为，结合表格中对应的代数式值可得的值． 【详解】解：由表格知，当时，，即． 故答案为：． 【跟踪训练2】已知打开某种密码箱需要输入四位数密码，其中是三个静态密码(是小于10的自然数)，是动态密码，它是利用密钥计算生成的(是不大于5的正整数)，是的个位数字，现在小明打开这个密码箱的密码是2020，则所有符合的密钥的乘积是（   ） A．30 B．60 C．90 D．120 【答案】A 【分析】本题考查了代数式求值．根据密码2020，可得，，，．d是M的个位数字，其中．要求M的个位为0，分别计算至5时M的个位数，找出使个位为0的m值，并求其乘积． 【详解】∵密码为2020， ∴，，，． 要求M的个位数字为0． 当时，，个位为； 当时，，个位为0； 当时，，个位为0； 当时，，个位为； 当时，，个位为0． ∴符合的m为2、3、5，其乘积为． 故选：A． 题型7.已知式子的值,求代数式的值 【典例】若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，由已知可得 ，即得，然后将代入到代数式 中的高次项降幂，进而即可求解，掌握整体代入法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴ ， 故答案为：． 【跟踪训练1】当时，代数式的值是3，则当时，代数式的值是（　　） A．4 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了代数式求值． 通过代入求出的值，然后将代入中，利用关系式计算即可． 【详解】解：∵当时，， ∴， ∴， 当时，， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【跟踪训练2】若，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查代数式化简求值，熟练掌握提公因式法则是解题的关键，通过提取公因式，将所求表达式转化为已知条件的形式，直接代入求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 又 ∵ ， ∴ ， 故选：A． 题型8.程序流程图的应用-代数式求值 【典例】按照如图所示的运算程序，下列输入的数据中，能使输出的结果为8的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查了流程图与有理数的运算，根据a，b的大小分情况代入代数式计算即可得出答案． 【详解】解：．∵，∴，故该选项不符合题意； ．∵，∴，故该选项符合题意； ．∵，∴，故该选项不符合题意； ．∵，∴，故该选项不符合题意； 故选：B． 【跟踪训练1】按如图所示的程序计算，当输入有理数时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的混合运算，代数式求值，根据，的值，列算式并计算即可．理解题意并列得正确的算式是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 故选：A． 【跟踪训练2】小明同学编写了一个加密数据的代码，如图是这个加密代码的运算程序，按照这个运算程序，当原始数据时，加密后输出的数据是 ；若输入的原始数据是正整数，加密后输出的数据是365，那么原始数据的值最多有 个． 【答案】 309 4 【分析】本题考查程序流程图与代数式求值，将代入，按流程图计算可得输出数据；输出的数据是365时，根据流程图反向计算输入数据，直至得出结果不是整数为止． 【详解】解：当原始数据时，，不能输出， 输入153，，可以输出； 输出的数据是365时，， ， ， ， ，不是整数，不合题意， 综上可知，原始数据的值可以是181，89，43，20，共4个， 故答案为：309，4． 题型9.用代数式表示数与图形的规律 【典例】小明用棋子按如图所示的规律摆出图形，按照这种方法摆下去，摆第n个这样的图形需要 枚棋子．（用含n的代数式表示）    【答案】 【分析】本题主要考查了图形的变化规律，通过观察发现出规律是解题的关键． 先列举前几个图形的棋子枚数，然后归纳规律即可解答． 【详解】解：由图可知： 第1个图形中共有枚； 第2个图形中共有枚； 第3个图形中共有枚； …， 则第n个图形共有枚棋子． 故答案为：． 【跟踪训练1】观察下列一组数：，，，，…，它们是按照一定规律排列的，这组数的第n个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数字类变化规律问题． 分符号、分子、分母三部分找出规律，进而作答即可． 【详解】解： ， ， ， ， …， 第n个数是． 故选：B． 【跟踪训练2】按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第2025个单项式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字规律，分部分发现规律是解题的关键． 通过观察单项式的系数符号、分母和字母指数的变化规律，得出第n个单项式的一般表达式，然后将代入计算即可． 【详解】解：给定单项式序列：， ， ， ， ， … 观察可知，第n个单项式的符号为，分母为，字母指数为， 因此第n个单项式为． 代入，符号，分母，字母指数， 故第2025个单项式为． 故答案为． 1．下列各式中，符合代数式书写规则的有（   ）个． ，，，，，，，米 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】依据代数式书写规则，逐一判断每个式子是否符合规范．本题主要考查了代数式的书写规则，熟练掌握“数字与字母相乘省略乘号、除法写成分数形式、带分数化为假分数”是解题的关键． 【详解】解：：符合（数字在前，乘号省略）； ：不符合（含乘号）； ：符合（乘号省略）； ：符合（单独的数是代数式）； ：不符合（带分数未化为假分数）； ：不符合（含除号）； ：符合（除法写成分数形式）； 米：不符合（含单位）． 故符合规则的有4个． 故选：C． 2．如果甲扇形的圆心角是，乙扇形的圆心角是，那么下列说法正确的是（   ） A．甲扇形的弧长是乙扇形弧长的二分之一 B．甲、乙扇形的弧长可以相等 C．甲、乙扇形的弧长一定不相等 D．甲、乙扇形的面积一定不相等 【答案】B 【分析】本题主要考查扇形面积的计算，解题的关键是掌握扇形面积和弧长的计算公式． 结合扇形的弧长公式和面积公式求解可得． 【详解】解：A．因为甲、乙扇形的半径未知，所以不能判断弧长之间的关系，故本选项不符合题意； B．当甲扇形的半径是乙扇形的半径的2倍时，甲、乙扇形的弧长相等，故本选项符合题意； C．甲、乙扇形的弧长可以相等（当甲扇形的半径是乙扇形的半径的2倍时，甲、乙扇形的弧长相等），故本选项不符合题意； D．甲、乙扇形的面积可以相等，故本选项不符合题意； 故选：B． 3．已知，，且，求的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了绝对值的应用和有理数加减运算，运用绝对值和已知条件确定a、b、c的值成为解答本题的关键． 根据绝对值的定义，确定、、的可能值，再结合条件筛选出符合条件的组合，最后计算的值． 【详解】解：∵，，， ∴，，． ∵， ∴，，或． 当，，时，； 当，，时，． 故答案为：或． 4．当时，代数式的值为3，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值问题，将代数式变形后整体代入是关键． 本题是带有参数的代数式求值问题，根据题意可得，然后将变形后用整体代入的方法即可求值． 【详解】解：∵当时，代数式的值为3， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 5．若表示数轴上x与a两数对应的点之间的距离，则当x取任意有理数时，代数式的最小值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，理解绝对值表示的两点之间的距离意义，运用数形结合是解题的关键．根据两点之间的距离可知，当x对应的点在1和7对应的点之间时，的最小值，即可得解． 【详解】解：表示x对应的点到1和7对应的点的距离之和， 则当x对应的点在1和7对应的点之间时，取得最小值，最小值为， 故选：． 6．把一个正三角形分成四个全等的三角形，第一次挖去中间的一个小三角形，对剩下的三个小正三角形再重复以上做法设第99次挖去后剩下的三角形个数为，第100次挖去后剩下的三角形个数为，那么 ；（结果用3为底数的幂表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了图形变化规律，列代数式，有理数的乘方运算，观察出后一个图形剩下的三角形是前一个图形剩下的三角形的3倍是解题的关键，根据挖去的规律，每挖去一次，原来的一个三角形剩下3个，即后一个图形剩下的三角形是前一个图形剩下的三角形的3倍，根据此规律写出第个图形中剩下的三角形的个数，进而即可得解． 【详解】解：第一次挖去后剩下的三角形的个数为：3， 第二次挖去后剩下的三角形的个数为：， 第三次挖去后剩下的三角形的个数为：， 第四次挖去后剩下的三角形的个数为：， ， 第次挖去后剩下的三角形的个数为：， ∴第99次挖去后剩下的三角形个数为，第100次挖去后剩下的，三角形个数为， ∴， 故答案为：． 7．有一快艇从鄂黄长江大桥处顺江逆流而上，途中艇上的一塑料浮标球不慎掉入江中，待有人发现后立即调头追这个浮标球．已知快艇从调头到追上浮标球共用了6分钟，那么快艇调头的时间是在浮标球掉入江中（    ）后．（    ） A．3分钟 B．5分钟 C．6分钟 D．12分钟 【答案】C 【分析】本题考查了代数式的应用，找准等量关系，正确列出代数式是解题的关键． 设快艇在静水中的速度为V，水流速度为U，快艇调头时浮标球已掉落T分钟，根据相对速度关系，从调头到追上的时间等于T列式解答即可． 【详解】解：设快艇在静水中的速度为V，水流速度为U． ∴浮标球掉落瞬间，快艇与浮标球同位置． ∵快艇逆流而上速度为，浮标球顺流而下速度为U， ∴在时间T内，两者距离增加量为相对速度乘以时间， ∴相对速度，距离． ∴快艇调头后顺流而下速度为，浮标球速度仍为U， ∴相对速度（追及速度）为． ∴追及时间相对速度． ∵分钟， ∴分钟． 故快艇调头时间在浮标球掉入江中6分钟后． 故选C． 8．某市将举办“创意与科创成果”主题展览．距离展览开幕还有7天，有四个不同的展区需要布置展品．布置每个展区需要一定数量的志愿者连续合作若干天完成，所需的志愿者人数（单位：人）和天数（单位：天）如下： 展区 A B C D 志愿者人数 3 5 4 2 天数 4 3 2 5 （1）如果开幕前将每个展区都布置完成，主办方至少应招募 名志愿者； （2）每名志愿者的补贴标准为：每天补贴元，天数按照所有展区布置完成的天数计算．若主办方准备的补贴预算不超过元，且要在最短时间内完成工作，请问最少 天布置完成． 【答案】 7 5 【分析】本题考查了逻辑推理、有理数混合运算的应用、代数式的应用，理解题意是解题的关键． （1）设1名志愿者布置1天展区为1个工作量，由题意得所有的工作量，结合距离展览开幕还有7天，计算可得主办方应招募不少于7名志愿者，再验证招募7名志愿者时符合题意，即可得出结论； （2）由题意得，布置D展区需要2名志愿者连续合作5天，分析可知将每个展区都布置完成的时间不少于5天，当主办方需要在5天内完成工作，计算此时需要的志愿者人数，再结合补贴预算不超过元，即可得出结论． 【详解】解：（1）设1名志愿者布置1天展区为1个工作量， 则将每个展区都布置完成的工作量， ∵距离展览开幕还有7天，， ∴主办方应招募不少于7名志愿者， 当主办方招募7名志愿者时，并且给志愿者编号， 编号为的志愿者需工作7天，安排4天布置A展区，3天布置B展区， 编号为的志愿者需工作7天，安排2天布置C展区，5天布置D展区， 编号为的志愿者需工作5天，安排3天布置B展区，2天布置C展区， ∴招募7名志愿者可以在开幕前将每个展区都布置完成，符合题意； ∴主办方至少应招募7名志愿者， 故答案为：7； （2）由题意得，布置D展区需要2名志愿者连续合作5天， ∴将每个展区都布置完成的时间不少于5天， 当主办方需要在5天内完成工作， 招募3名志愿者，安排4天布置A展区； 招募5名志愿者，安排3天布置B展区，其中4名志愿者再安排2天布置C展区； 招募2名志愿者，安排5天布置D展区； 则一共招募了名志愿者， 所以需要提供志愿者补贴为元，符合题意； ∴要在最短时间内完成工作，最少5天布置完成． 故答案为：5． 9．在学习完有理数的混合运算后，小明和同学一起编制了如下一个运算程序：按上述法则继续运算，并不断重复这个运算程序m次，直到运算的结果第一次为1时，终止此程序，我们就称m是自然数n的熵．例如自然数时，则这样经过3次运算后结果第一次为1，则称8的熵．若输入自然数，则自然数3的熵 ；若一个自然数n的熵，则满足条件的所有可能的自然数n的取值之和为 ； 【答案】 7 1572 【分析】本题考查程序流程图与有理数的计算，根据程序流程图代值计算，求出时的熵，根据n为自然数，得到最后结果为1时，一定是，进而推出熵时，输入的所有可能的自然数，再求和即可． 【详解】解：当时， 第一次运算：， 第二次运算：， 第三次运算：， 第四次运算：， 第五次运算， 第六次运算， 第七次运算， 故自然数3的熵； 当时： 第十次运算时输入为：， 第九次运算时输入为：， 第八次运算时输入为：， 第七次运算时输入为：， 第六次运算时输入为：，或， 第五次运算时输入为：或， 第四次运算时输入为：或或或， 第三次运算时输入为：或或或， 第二次运算时输入为：或或或或或， 第一次运算时输入为：或或或或或， ∴当时，满足题意， ∴； 故答案为：7，1572． 10．学校图书馆有一批图书要分发给学生，学生人数和每名学生分得图书数如下表： 每名学生分得的图书数 学生人数 (1)这批图书共有多少本？ (2)若用表示学生人数，表示每名学生分得图书数，则与成什么比例关系． 【答案】(1)600本 (2)n与成反比例关系 【分析】本题主要考查了列代数式，有理数乘法的实际应用： （1）用每名学生分得的图书数乘以对应的人数即可得到答案； （2）由（1）可得，即m与n的乘积一定，据此可得答案． 【详解】（1）解：本， 答：这批图书共有600本； （2）解：由（1）可得，即m与n的乘积一定， ∴n与m成反比例关系． 11．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，，求的值． 【答案】3或 【分析】本题考查了相反数、倒数、绝对值的概念及代数式求值，解题的关键是根据相关概念得出、、的值，再代入计算． 由a，b互为相反数得；由c，d互为倒数得；由得；分和两种情况代入代数式计算即可． 【详解】解：互为相反数， ； 互为倒数， ； ， 或． 当时，原式； 当时，原式． 综上所述，的值为或． 12．如图是一个运算程序： (1)若，，求的值； (2)若，输出结果的值为，求的值． 【答案】(1)； (2)的值为． 【分析】本题主要考查了有理数的运算，绝对值，代数式的求值，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，，得，然后代入即可求解； （）分当时，当时两种情况求解即可． 【详解】（1）解：由，，得， ∴ ； （2）解：当时， ∴， ∴，不符合题意； 当时， ∴， ∴，符合题意； 综上可得的值为． 13．甲、乙两商场分别出售A型、B型两种电暖气，零售价及运费如下表所示： 商场 A型电暖气 B型电暖气 运费 A型电暖气 B型电暖气 甲 200元/台 300元/台 10元/台 10元/台 乙 220元/台 290元/台 免运费 12元/台 某公司计划在甲商场或乙商场选择一家采购两种电暖气共100台，其中A型电暖气需要买x台． (1)请用含x的代数式分别表示：（总费用=购买价+运费）． 甲商场：A型和B型电暖气的购买价为________，总费用为________． 乙商场：A型和B型电暖气的购买价为________，总费用为________． (2)若需购买A型电暖气40台，在哪个商场购买划算？ (3)若需购买A型电暖气40台，且可以同时在两家商场自由选择，还有更优惠的方案吗？请你设计一种方案． 【答案】(1) 元，元；元，元 (2) 在乙商场购买划算 (3) 在甲商场购买A型电暖气40台，在乙商场购买B型电暖气60台，总费用为26520元 【分析】本题主要考查代数式的运用，理解数量关系，正确列式是关键． （1）根据题目中的数量关系列代数即可； （2）把代入（1）中的代数式计算即可求解； （3）根据各自商场的费用，分别计算出购买A型电暖气40台，购买B型电暖气60台的总费用即可求解． 【详解】（1）解：采购两种电暖气共100台，其中A型电暖气需要买x台， ∴B型电暖气有台， ∴甲商场购买价为：（元）， 总费用为：（元）， 乙商场购买价为：（元）， 总费用为：（元）； （2）解：购买A型电暖气40台，即， 由（1）得，甲商场的总费用为：（元）， 乙商场的总费用为：（元）， ∵， ∴在乙商场购买划算； （3）解：由（2）可知，在甲商场购买两种电暖气共100台，费用为元，在乙商场购买两种电暖气共100台，费用为元， ∵， ∴在甲商场购买A型电暖气40台的总费用为（元）， ∵， ∴在乙商场购买B型电暖气60台的总费用为（元）， ∴采购两种电暖气共100台的总费用为：（元）， ∵， ∴更优惠的方案为：在甲商场购买A型电暖气40台，在乙商场购买B型电暖气60台，总费用为26520元． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习07 代数式讲义 1.用字母表示数 2.列代数式 3.代数式的概念 4.代数式规范书写方法 5.代数式表示的实际意义 6.已知字母的值,求代数式的值 7.已知式子的值,求代数式的值 8.程序流程图的应用--代数式求值 9.用代数式表示数与图形的规律 【知识点01】代数式的基本概念 1.代数式的定义 用运算符号（包括加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式。 补充说明： *单独的一个数是代数式，因为可看作“数与无运算符号的连接”，本质是代数式的特殊形式； *单独的一个字母也是代数式，代表未知的数，是代数式最简洁的符号表达； *代数式中仅包含“运算符号”和“数/字母”，不含有表示数量关系的等号（=）或不等号（>、<、≥、≤、≠），这是区分代数式与等式、不等式的核心标志。 示例辨析：3x+2（代数式）、3x=2（等式，非代数式）、3x>2（不等式，非代数式） 2.书写规范 规则 示例 数字与字母相乘，数字写在字母前，乘号可省略或用 “・” 表示 3x（不写成x3），a⋅b（或ab） 带分数与字母相乘，带分数化为假分数 1x写成x 除法运算写成分数形式 a÷b写成（b≠0） 字母指数为1时，1省略不写 x1写成x 系数为1或−1时，1省略不写 1x写成x，−1x写成-x 3.列代数式 步骤：理解题意→分析数量关系→选择字母表示未知量→按运算顺序用符号连接（遵循 “先读先写，后读后排”）。 关键：抓住关键词（如 “倍”“差”“和”“平方”“倒数” 等），明确运算顺序。 示例：比a的2倍大3的数表示为2a+3；m与n的差的平方表示为(m−n)2。 【知识点02】整式的分类(单项式与多项式) 1.单项式 *定义：由数或字母的积组成的代数式，单独的数或字母也是单项式（如−5、3xy2）。 *系数：单项式中的数字因数（包括符号）；π是常数，作为系数；系数为1或−1时省略 “1”。示例：−3x2y的系数为−3，πr2的系数为π。 *次数：一个单项式中所有字母的指数的和（常数项次数为0）。示例：2x3y的次数为3+1=4。 2.多项式 *定义：几个单项式的和（或差），其中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。示例：2x2−3x+5是二次三项式，常数项为5。 *次数：多项式中次数最高项的次数。示例：3x3y−2xy+1的次数为4。 3.整式：单项式和多项式统称为整式，分母含有字母的式子不是整式（如不是整式）。 【知识点03】整式的加减运算 1.同类项 *定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项；常数项都是同类项。示例：2x2y与−5x2y是同类项，3与−7是同类项。 *合并法则：同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。示例：3ab−5ab=(3−5)ab=−2ab。 2.去括号法则 *括号前是 “+”，去掉括号及前面的 “+”，括号内各项符号不变：a+(b−c)=a+b−c。 *括号前是 “−”，去掉括号及前面的 “−”，括号内各项符号都改变：a−(b−c)=a−b+c。 *若括号前有系数，先按乘法分配律展开再去括号：2(a−3b)=2a−6b。 3.整式加减的步骤 1.去括号（按法则或分配律）； 2.找同类项（用不同标记区分）； 3.合并同类项（化为最简整式）。 【知识点04】代数式的值 1.定义：用数值代替代数式中的字母，按运算顺序计算得出的结果，随字母取值的变化而变化。 2.求值方法 *直接代入法：直接将字母的值代入，注意负数、分数代入时加括号。 示例：当x=−2时，求3x+1的值，代入得3×(−2)+1=−5。 *整体代入法：当字母值未知或复杂时，将代数式看成整体代入。 示例：已知x+y=5，求2(x+y)+3的值，代入得2×5+3=13。 3.注意事项 *代入前先化简代数式（可简化计算）； *字母取值需使代数式有意义（如分母不为0，偶次根式被开方数非负等）。 易错点与常见误区 1.概念混淆：误将等式（如3x=5）、不等式（如2x>1）当作代数式；混淆单项式次数与多项式次数。 2.书写错误：带分数未化为假分数、除法未写成分数形式、数字与字母位置颠倒。 3.运算错误：去括号时符号出错、合并同类项时系数或指数计算错误、代入负数时未加括号导致符号错误。 4.取值不当：忽略字母的取值范围（如分母为0、偶次根式被开方数为负等）。 【知识点05】典型题型与解题思路 1.代数式书写判断：依据书写规范逐一排查，纠正错误写法。 2.列代数式：抓住关键词，明确运算顺序，必要时添加括号。 3.整式相关概念辨析：判断单项式的系数与次数、多项式的项数与次数，识别同类项。 4.整式加减运算：先去括号，再合并同类项，注意符号与系数计算。 5.代数式求值：根据已知条件选择直接代入或整体代入，先化简再求值可提高效率。 题型1.用字母表示数 【典例】任意三个连续自然数，最小的是，那么最大的数表示为（　　） A． B． C． D． 【跟踪训练1】一支铅笔的价钱是元，一块橡皮的价钱是元，买支铅笔和块橡皮应付( )元． 【跟踪训练2】已知是非零自然数，以下四道算式中，结果最大的是（   ）． A． B． C． D． 题型2.列代数式 【典例】六年级参加篮球社团有人，参加足球社团的人数是参加篮球社团人数的倍，那么参加足球社团的人数是 （用含的代数式表示）． 【跟踪训练1】有一个人患了流感，经过两轮传染后有若干人患了流感．假设在每轮的传染中平均一个人传染了个人，则表示（   ） A．第一轮被传染的人数 B．第一轮后共患流感人数 C．第二轮被传染的人数 D．第二轮后共患流感人数 【跟踪训练2】健康生活，从我做起．某健身中心为吸引顾客，特展开优惠活动．原价一人报名m元，三人一同报名可以在每人优惠500元的基础上再打9折，小张、小李、小明三人一同报名，则实际需要的费用为（） A．元 B．元 C．元 D．元 题型3.代数式的概念 【典例】在式子：0，，，，，，中，代数式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【跟踪训练1】下列各式：①，②，③，④，⑤，⑥．其中属于代数式的有 ．（请填写序号） 【跟踪训练2】下列说法正确的是（　 ） A．表示和相乘 B．的值一定比的值大 C．的值一定比2大 D．的值随的增大而增大 题型4.代数式规范书写方法 【典例】有下列各式：下列代数式中，（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7），符合代数式书写要求的有 个 【跟踪训练1】下列说法：①a是代数式，1不是代数式；②表示数a，b，的积的代数式是；③代数式的意义是a与4的差除以b的商；④a，b两数平方的差与两数的积的4倍的和用代数式表示是，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪训练2】将下列各式按照列代数式的规范要求重新书写： （1）a×5，应写成 ；     （2）S÷t应写成 ； （3），应写成 ； （4）, 应写成 . 题型5.代数式表示的实际意义 【典例】代数式在数学中可以表示不同的图形或实际问题中的数量关系．下列情境中，能用该代数式表示的是（    ） A．甲、乙两地相距40千米，某人从甲地以每小时千米的速度匀速步行前往乙地，2小时后他距离甲地的路程 B．某商品成本为40元/件，售价为元/件，则销售一件商品的利润 C．一个长方形的周长为40厘米，若其长为厘米，则其宽的长度 D．一项工程需要生产40个零件，每天生产个零件，经过2天生产后，尚未完成的零件数量 【跟踪训练1】请你结合生活实际，设计具体情境，解释代数的意义 ． 【跟踪训练2】在一次知识竞答中，共有20道题，每道题答对加5分，答错扣2分，不答不加分也不扣分．峰峰在此次竞答中最后得分40分，已知峰峰至少答错了1道题，则峰峰答对了 题． 题型6.已知字母的值,求代数式的值 【典例】如图，若为最大负整数，则表示的值的点落在（    ） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 【跟踪训练1】当x的值分别为，0，1，2时，代数式的值如下表： x 0 1 2 则代数式中c的值为   ． 【跟踪训练2】已知打开某种密码箱需要输入四位数密码，其中是三个静态密码(是小于10的自然数)，是动态密码，它是利用密钥计算生成的(是不大于5的正整数)，是的个位数字，现在小明打开这个密码箱的密码是2020，则所有符合的密钥的乘积是（   ） A．30 B．60 C．90 D．120 题型7.已知式子的值,求代数式的值 【典例】若，则的值为 ． 【跟踪训练1】当时，代数式的值是3，则当时，代数式的值是（　　） A．4 B．6 C． D． 【跟踪训练2】若，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 题型8.程序流程图的应用-代数式求值 【典例】按照如图所示的运算程序，下列输入的数据中，能使输出的结果为8的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【跟踪训练1】按如图所示的程序计算，当输入有理数时，的值为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】小明同学编写了一个加密数据的代码，如图是这个加密代码的运算程序，按照这个运算程序，当原始数据时，加密后输出的数据是 ；若输入的原始数据是正整数，加密后输出的数据是365，那么原始数据的值最多有 个． 题型9.用代数式表示数与图形的规律 【典例】小明用棋子按如图所示的规律摆出图形，按照这种方法摆下去，摆第n个这样的图形需要 枚棋子．（用含n的代数式表示）    【跟踪训练1】观察下列一组数：，，，，…，它们是按照一定规律排列的，这组数的第n个数是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第2025个单项式是 ． 1．下列各式中，符合代数式书写规则的有（   ）个． ，，，，，，，米 A．2 B．3 C．4 D．5 2．如果甲扇形的圆心角是，乙扇形的圆心角是，那么下列说法正确的是（   ） A．甲扇形的弧长是乙扇形弧长的二分之一 B．甲、乙扇形的弧长可以相等 C．甲、乙扇形的弧长一定不相等 D．甲、乙扇形的面积一定不相等 3．已知，，且，求的值为 ． 4．当时，代数式的值为3，则的值是 ． 5．若表示数轴上x与a两数对应的点之间的距离，则当x取任意有理数时，代数式的最小值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 6．把一个正三角形分成四个全等的三角形，第一次挖去中间的一个小三角形，对剩下的三个小正三角形再重复以上做法设第99次挖去后剩下的三角形个数为，第100次挖去后剩下的三角形个数为，那么 ；（结果用3为底数的幂表示） 7．有一快艇从鄂黄长江大桥处顺江逆流而上，途中艇上的一塑料浮标球不慎掉入江中，待有人发现后立即调头追这个浮标球．已知快艇从调头到追上浮标球共用了6分钟，那么快艇调头的时间是在浮标球掉入江中（    ）后．（    ） A．3分钟 B．5分钟 C．6分钟 D．12分钟 8．某市将举办“创意与科创成果”主题展览．距离展览开幕还有7天，有四个不同的展区需要布置展品．布置每个展区需要一定数量的志愿者连续合作若干天完成，所需的志愿者人数（单位：人）和天数（单位：天）如下： 展区 A B C D 志愿者人数 3 5 4 2 天数 4 3 2 5 （1）如果开幕前将每个展区都布置完成，主办方至少应招募 名志愿者； （2）每名志愿者的补贴标准为：每天补贴元，天数按照所有展区布置完成的天数计算．若主办方准备的补贴预算不超过元，且要在最短时间内完成工作，请问最少 天布置完成． 9．在学习完有理数的混合运算后，小明和同学一起编制了如下一个运算程序：按上述法则继续运算，并不断重复这个运算程序m次，直到运算的结果第一次为1时，终止此程序，我们就称m是自然数n的熵．例如自然数时，则这样经过3次运算后结果第一次为1，则称8的熵．若输入自然数，则自然数3的熵 ；若一个自然数n的熵，则满足条件的所有可能的自然数n的取值之和为 ； 10．学校图书馆有一批图书要分发给学生，学生人数和每名学生分得图书数如下表： 每名学生分得的图书数 学生人数 (1)这批图书共有多少本？ (2)若用表示学生人数，表示每名学生分得图书数，则与成什么比例关系． 11．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，，求的值． 12．如图是一个运算程序： (1)若，，求的值； (2)若，输出结果的值为，求的值． 13．甲、乙两商场分别出售A型、B型两种电暖气，零售价及运费如下表所示： 商场 A型电暖气 B型电暖气 运费 A型电暖气 B型电暖气 甲 200元/台 300元/台 10元/台 10元/台 乙 220元/台 290元/台 免运费 12元/台 某公司计划在甲商场或乙商场选择一家采购两种电暖气共100台，其中A型电暖气需要买x台． (1)请用含x的代数式分别表示：（总费用=购买价+运费）． 甲商场：A型和B型电暖气的购买价为________，总费用为________． 乙商场：A型和B型电暖气的购买价为________，总费用为________． (2)若需购买A型电暖气40台，在哪个商场购买划算？ (3)若需购买A型电暖气40台，且可以同时在两家商场自由选择，还有更优惠的方案吗？请你设计一种方案． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $