河南省郑州市第四中学2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷

郑州四中2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1．若8，15，a是一组勾股数，则a的值为（　　） A．10 B． C．17 D．17或 2．如图，《周髀算经》中的“弦图”是由4个相同的直角三角形拼接而成的，每个直角三角形两条直角边长度的比是1：2，小正方形的面积与大正方形面积比是（　　） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5 3．下列二次根式运算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．点A（a﹣8，3），点B（2，b+3）关于x轴对称，则a+b的平方根为（　　） A．1 B．2 C．±2 D．±1 5．已知方程kx+b＝0的解是x＝3，则函数y＝kx+b的图象可能是（　　） A． B． C． D． 6．已知点A（1，y1），B（3，y2）在一次函数y＝﹣6x+m的图象上，则y1，y2的大小关系为（　　） A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．与m有关，无法确定 7．在同一坐标系中，正比例函数y＝kx与一次函数y＝x﹣k的图象大致应为（　　） A． B． C． D． 8．若是二元一次方程组的解，则6m+n的值是（　　） A．18 B．20 C．22 D．25 9．小星利用平面直角坐标系绘制了如图的风车图形，他先将△OAB固定在坐标系中，其中A（2，4），B（2，0），接着他将△OBA逆时针转动90°（∠AOA1＝∠BOB1＝90°）至△OB1A1称为第一次转动，然后进行第二次转动将△OB1A1逆时针转动90°至△OB2A2…，那么按照这种转动方式，转动2023次后，点A的坐标为（　　） A．（4，﹣2） B． C． D．（﹣2，﹣4） 10．在平面直角坐标系中，第一象限内的点P（x，y）和在第四象限内的Q（x，y1），若满足：，那么称点Q为点P的“影像点”，例如：点（1，2）的影像点为点（1，﹣2），点（4，2）的影像点为点（4，﹣6），如图，若点P（m，n）在直线y＝2x﹣1上，当a＜m＜b时，存在点P的影像点Q，则b﹣a的最大值为（　　） A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 二、填空题（每题3分，共15分） 11．若，则a+b的立方根为：　 　 ． 12．满分均为100分．编号为①，②，③的三名应聘者的成绩如下： ① ② ③ 笔试成绩 85 92 90 面试成绩 90 85 90 根据该公司规定，笔试成绩和面试成绩分别按80%和20%的比例折合成综合成绩，那么这三名应聘者中第一名的成绩是　 　 分． 13．木工师傅进行木工作业时，会利用较大的直角三角尺，为了方便三角尺的携带和使三角尺耐用，木工师傅常在直尺直角顶点与斜边之间加一根小木条，如图所示，若∠BAC＝90°，AB＝7cm，AC＝24cm，则小木条AD的最短长度为　 　 ． 14．共享电动车是一种新理念下的交通工具，现有A，B两种品牌的共享电动车，图象反映了收费y（元）与骑行时间x（分钟）的关系，其中A品牌共享电动车的收费方式对应y1，B品牌共享电动车的收费方式对应y2，当x＝　 　 分钟时，两种品牌共享电动车收费相差4元． 15．如图，射线BM外有一点A，且AB＝10，A到射线BM的距离为6，若点P是射线BM上的一个动点，则当线段AP与射线BM所夹锐角是∠ABP的二倍时，BP的长为　 　 ．（温馨提示：在同一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等） 三、解答题（55分） 16．（9分）计算： （1）（3）； （2）（2）（2）﹣（）2； （3）（π﹣2）0﹣（）2． 17．（7分）省射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩如下表（单位：环）： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 甲 10 8 9 8 10 9 乙 10 7 10 10 9 8 （1）根据表格中的数据，计算出甲的平均成绩是 　 　 环，乙的平均成绩是 　 　 环； （2）分别计算甲、乙六次测试成绩的方差； （3）根据（1）、（2）计算的结果，你认为推荐谁参加全国比赛更合适，请说明理由． 18．（6分）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1），B（2，0），C（4，3）． （1）在平面直角坐标系中画出△ABC；再画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）在x轴上找一点Q，则△QAC的最小周长为　 　 ，此时Q的坐标为　 　 ． 19．（6分）观察：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为.请你观察上述的规律后试解下面的问题： （1）如果的整数部分为a，小数部分为b，求a﹣b的值； （2）已知a是的整数部分，b是的小数部分，求（﹣a）3+（b+4）2的平方根． 20．（8分）昭通苹果色泽鲜艳，肉质细脆、甜酸适度，汁液丰富，风味浓郁，多次获省优质水果称号及全国第二届农业博览会银奖．请阅读以下材料，完成学习任务： 材料一：昭阳区某批发经销商计划运输一批苹果到大关出售，现有A，B两种型号的货车，已知用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨. 材料二：A型车每辆需租金1000元/次，B型车每辆需租金1200元/次. 请同学们根据材料一、材料二提供的信息完成2个任务： （1）1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ （2）若该经销商现有34吨苹果，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．请你帮该经销商设计租车方案，选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 21．（7分）如图，正比例函数与一次函数y＝2x+b相交于点A（﹣2，4），点B在一次函数图象上且在点A的左下方，AC平分∠BAO交x轴于C，C（﹣2，0）． （1）求一次函数表达式； （2）如图，作AC的垂直平分线交AO于D，作直线CD，直线AB是否能通过平移得到直线CD？若能，给出原因并说明平移方式，若不能，说明理由． 22．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点C在x轴的正半轴上，若将△CAB沿直线BC折叠，点A恰好落在y轴正半轴上的点D处． （1）如图1，求点A、B两点的坐标； （2）如图2，求直线CD的表达式； （3）点M是y轴上一动点，若，求点M的坐标； （4）连接AD，在第一象限内是否存在点P，使△PAB为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2025-2026学年上学期八年级期中数学参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C C C A B D A A 一、选择题（每题3分，共30分） 1．若8，15，a是一组勾股数，则a的值为（　　） A．10 B． C．17 D．17或 【解答】解：当a为直角边时，，不是正整数，不符合题意； 当a为斜边时，，是正整数，符合题意； 综上，若8，15，a是一组勾股数，则a的值为17． 故选：C． 2．如图，《周髀算经》中的“弦图”是由4个相同的直角三角形拼接而成的，每个直角三角形两条直角边长度的比是1：2，小正方形的面积与大正方形面积比是（　　） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5 【解答】解：由题意可设每个直角三角形的两条直角边长分别为k，2k， ∴该直角三角形的斜边长为，小正方形的边长为2k﹣k＝k， ∴大正方形的面积为，小正方形的面积为k2， ∴它们的面积比为k2：5k2＝1：5； 故选：D． 3．下列二次根式运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：与不是同类二次根式，不可以合并， ，故A不符合题意； ，故B不符合题意； ，故C符合题意； ，故D不符合题意． 故选：C． 4．点A（a﹣8，3），点B（2，b+3）关于x轴对称，则a+b的平方根为（　　） A．1 B．2 C．±2 D．±1 【解答】解：由题意，得a﹣8＝2，b+3＝﹣3， 解得a＝10，b＝﹣6， 则a+b＝10﹣6＝4，a+b的平方根为±2． 故选：C． 5．已知方程kx+b＝0的解是x＝3，则函数y＝kx+b的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵方程kx+b＝0的解是x＝3， ∴y＝kx+b经过点（3，0）． 故选：C． 6．已知点A（1，y1），B（3，y2）在一次函数y＝﹣6x+m的图象上，则y1，y2的大小关系为（　　） A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．与m有关，无法确定 【解答】解：∵一次函数表达式为y＝﹣6x+m， ∴k＝﹣6＜0， ∴y随x的增大而减小． 又∵点A（1，y1），B（3，y2）在该一次函数的图象上，且1＜3， ∴y1＞y2． 故选：A． 7．在同一坐标系中，正比例函数y＝kx与一次函数y＝x﹣k的图象大致应为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据图象知： A、k＜0，﹣k＜0．解集没有公共部分，所以不可能； B、k＜0，﹣k＞0．解集有公共部分，所以有可能； C、k＞0，﹣k＞0．解集没有公共部分，所以不可能； D、正比例函数的图象不对，所以不可能． 故选：B． 8．若是二元一次方程组的解，则6m+n的值是（　　） A．18 B．20 C．22 D．25 【解答】解：∵是二元一次方程组的解， ∴， ∴， ∴6m+n， 故选：D． 9．小星利用平面直角坐标系绘制了如图的风车图形，他先将△OAB固定在坐标系中，其中A（2，4），B（2，0），接着他将△OBA逆时针转动90°（∠AOA1＝∠BOB1＝90°）至△OB1A1称为第一次转动，然后进行第二次转动将△OB1A1逆时针转动90°至△OB2A2…，那么按照这种转动方式，转动2023次后，点A的坐标为（　　） A．（4，﹣2） B． C． D．（﹣2，﹣4） 【解答】解：∵△OBA绕原点O逆时针转动90°至△OB1A1， 而A（2，4）， ∴A1（﹣4，2）， ∵△OB1A1绕原点O逆时针转动90°至△OB2A2， ∴A2（﹣2，﹣4）， ∵△OB2A2绕原点O逆时针转动90°至△OB3A3， ∴A3（4，﹣2）， ∵△OB3A3绕原点O逆时针转动90°至△OB4A4， ∴A4（2，4）， 即点A4与点A重合， ∴点A每旋转4次一个循环， ∵2023＝4×505+3， ∴在转动2023次后，点A在点A3的位置，此时点A的坐标为（4，﹣2）． 故选：A． 10．在平面直角坐标系中，第一象限内的点P（x，y）和在第四象限内的Q（x，y1），若满足：，那么称点Q为点P的“影像点”，例如：点（1，2）的影像点为点（1，﹣2），点（4，2）的影像点为点（4，﹣6），如图，若点P（m，n）在直线y＝2x﹣1上，当a＜m＜b时，存在点P的影像点Q，则b﹣a的最大值为（　　） A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 【解答】解：由“影像点”可知，当0＜x≤2时，P（x，y）、Q（x，y1）关于x轴对称，当x＞2时，P（x，y）向下平移8个单位得到Q（x，y1）， 当y＝0时，y＝2x﹣1＝0， 解得， 当y＝8时，2x﹣1＝8， 解得， ∴当时，存在点P的影像点Q， ∵a＜m＜b， ∴b﹣a的最大值为， 故选：A． 二、填空题（每题3分，共15分） 11．若，则a+b的立方根为：　2　 ． 【解答】解：∵， ∴a﹣2＝0，b﹣6＝0， 解得a＝2，b＝6， ∴a+b＝8， ∴8的立方根为2． 故答案为：2． 12．满分均为100分．编号为①，②，③的三名应聘者的成绩如下： ① ② ③ 笔试成绩 85 92 90 面试成绩 90 85 90 根据该公司规定，笔试成绩和面试成绩分别按80%和20%的比例折合成综合成绩，那么这三名应聘者中第一名的成绩是　90.6　 分． 【解答】解：根据题意，编号为①的应聘者的成绩为：85×80%+90×20%＝86， 编号为②的应聘者的成绩为：92×80%+85×20%＝90.6， 编号为③的应聘者的成绩为：90×80%+90×20%＝90， ∴这三名应聘者中第一名的成绩是90． 故答案为：90.6． 13．木工师傅进行木工作业时，会利用较大的直角三角尺，为了方便三角尺的携带和使三角尺耐用，木工师傅常在直尺直角顶点与斜边之间加一根小木条，如图所示，若∠BAC＝90°，AB＝7cm，AC＝24cm，则小木条AD的最短长度为　cm ． 【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝7cm，AC＝24cm， ∴BC25（cm）， 当AD⊥BC时，AD最短， 此时，S△ABCBC•ADAB•AC， 则AD（cm）， 即小木条AD的最短长度为cm， 故答案为：cm． 14．共享电动车是一种新理念下的交通工具，现有A，B两种品牌的共享电动车，图象反映了收费y（元）与骑行时间x（分钟）的关系，其中A品牌共享电动车的收费方式对应y1，B品牌共享电动车的收费方式对应y2，当x＝　5或40　 分钟时，两种品牌共享电动车收费相差4元． 【解答】解：设y1＝k1x+b1（x＞10），y2＝k2x，将（6，10），（8，20）分别代入得： ，8＝20k2， 解得：，k2＝0.4， ∴y1＝0.2x+4（x＞10），y2＝0.4x， ∴， ①当0≤x≤10时， 依题意得：6﹣0.4x＝4， 解得：x＝5； ②当10＜x≤20时， 依题意得：0.2x+4﹣0.4x＝4， 解得：x＝0（不合题意，舍去）； ③当x＞20时， 依题意得：0.4x﹣（0.2x+4）＝4， 解得：x＝40； 综上所述，x＝5或40分钟时，两种品牌共享电动车收费相差4元， 故答案为：5或40． 15．如图，射线BM外有一点A，且AB＝10，A到射线BM的距离为6，若点P是射线BM上的一个动点，则当线段AP与射线BM所夹锐角是∠ABP的二倍时，BP的长为　或　 ．（温馨提示：在同一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等） 【解答】解：如图，过A作AC⊥BM，则AC＝6， 在Rt△ABC中，BC8， 当点P在点C右侧时，即∠APB＝2∠ABP， 如图，在BP上截取BQ＝AQ， 此时∠ABP＝∠BAQ， ∴∠AQP＝2∠ABP＝∠APB， ∴AQ＝QP， ∴CQ＝CP， 设CQ＝QP＝x，则BQ＝AQ＝8﹣x， 在Rt△ACQ中，AC2+CQ2＝AQ2， ∴36+x2＝（8﹣x）2， 解得x， ∴BP＝BC+CP＝8； 当点P在点C左侧，即∠APM＝2∠ABP， 此时点P与上种情况的点Q重合， ∴BP＝BC﹣CP＝8； 综上，BP的长为或； 故答案为：或； 三、解答题（55分） 16．（9分）计算： （1）（3）； （2）（2）（2）﹣（）2； （3）（π﹣2）0﹣（）2． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ＝20﹣3﹣（12） ＝17﹣12 ＝5； （3）原式＝1﹣3+6+5﹣1 ＝8． 17．（7分）省射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩如下表（单位：环）： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 甲 10 8 9 8 10 9 乙 10 7 10 10 9 8 （1）根据表格中的数据，计算出甲的平均成绩是 　9　 环，乙的平均成绩是 　9　 环； （2）分别计算甲、乙六次测试成绩的方差； （3）根据（1）、（2）计算的结果，你认为推荐谁参加全国比赛更合适，请说明理由． 【解答】解：（1）甲：（10+8+9+8+10+9）÷6＝9， 乙：（10+7+10+10+9+8）÷6＝9； 故答案为：9；9； （2）s2甲[（10﹣9）2+（8﹣9）2+（9﹣9）2+（8﹣9）2+（10﹣9）2+（9﹣9）2]（1+1+0+1+1+0）； s2乙[（10﹣9）2+（7﹣9）2+（10﹣9）2+（10﹣9）2+（9﹣9）2+（8﹣9）2]（1+4+1+1+0+1）； （3）推荐甲参加全国比赛更合适，理由如下：两人的平均成绩相等，说明实力相当；但甲的六次测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥较为稳定，故推荐甲参加比赛更合适． 18．（6分）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1），B（2，0），C（4，3）． （1）在平面直角坐标系中画出△ABC；再画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）在x轴上找一点Q，则△QAC的最小周长为　24　 ，此时Q的坐标为　（1，0）　 ． 【解答】解：（1）如图，△ABC，△A1B1C1即为所求； （2）如图，点Q即为所求，AC2，CA′4， ∴△QAC的周长的最小值为24，此时Q（1，0）． 故答案为：24，（1，0）． 19．（6分）观察：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为.请你观察上述的规律后试解下面的问题： （1）如果的整数部分为a，小数部分为b，求a﹣b的值； （2）已知a是的整数部分，b是的小数部分，求（﹣a）3+（b+4）2的平方根． 【解答】解：（1）∵12， ∴的整数部分为a＝1，小数部分为b1， ∴a﹣b＝11＝2； （2）∵45， ∴13＜2， ∴的整数部分a＝1，的小数部分b3﹣14， ∴（﹣a）3+（b+4）2＝（﹣1）3+（4+4）2＝16， ∴（﹣a）3+（b+4）2的平方根为±4． 20．（8分）昭通苹果色泽鲜艳，肉质细脆、甜酸适度，汁液丰富，风味浓郁，多次获省优质水果称号及全国第二届农业博览会银奖．请阅读以下材料，完成学习任务： 材料一：昭阳区某批发经销商计划运输一批苹果到大关出售，现有A，B两种型号的货车，已知用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨. 材料二：A型车每辆需租金1000元/次，B型车每辆需租金1200元/次. 请同学们根据材料一、材料二提供的信息完成2个任务： （1）1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ （2）若该经销商现有34吨苹果，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．请你帮该经销商设计租车方案，选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【解答】解：（1）设1辆A型车载满货物一次可运货x吨，1辆B型车载满货物一次可运货y吨， 由题意得：， 解得：， 答：1辆A型车载满货物一次可运货3吨，1辆B型车载满货物一次可运货4吨． （2）∵该经销商现有34吨苹果，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物， ∴3a+4b＝34， ∴， ∵a，b都是正整数， ∴34﹣4b必须是3的倍数， ∴有三种方案：①当b＝1时，，此时租车费为1000×10+1200×1＝11200（元）； ②当b＝4时，，此时租车费为1000×6+1200×4＝10800（元）； ③当b＝7时，，此时租车费为1000×2+1200×7＝10400（元）； ∵10400＜10800＜11200， ∴租用A型车2辆，B型车7辆最省钱，最少租车费为10400元． 答：共有三种租车方案：①租用A型车10辆，B型车1辆；②租用A型车6辆，B型车4辆；③租用A型车2辆，B型车7辆；方案③最省钱，最少租车费为10400元． 21．（7分）如图，正比例函数与一次函数y＝2x+b相交于点A（﹣2，4），点B在一次函数图象上且在点A的左下方，AC平分∠BAO交x轴于C，C（﹣2，0）． （1）求一次函数表达式； （2）如图，作AC的垂直平分线交AO于D，作直线CD，直线AB是否能通过平移得到直线CD？若能，给出原因并说明平移方式，若不能，说明理由． 【解答】解：（1）将点A（﹣2，4）代入y＝2x+b得， 2×（﹣2）+b＝4， 解得b＝8， 所以一次函数表达式为y＝2x+8； （2）能，将直线AB沿y轴向下平移4个单位可得直线CD（答案不唯一）． 令正比例函数表达式为y＝ax， 将点A（﹣2，4）代入y＝ax得， ﹣2a＝4， a＝﹣2， 所以正比例函数表达式为y＝﹣2x． 因为点A坐标为（﹣2，4），点C坐标为（﹣2，0）， 所以AC⊥x轴． 因为点D在AC的垂直平分线上， 所以yD＝2． 由﹣2x＝2得， x＝﹣1， 所以点D坐标为（﹣1，2）． 令直线CD的函数表达式为y＝mx+n， 则， 解得， 所以直线CD的函数表达式为y＝2x+4． 因为直线AB的函数表达式为y＝2x+8，且8﹣4＝4， 所以将直线AB沿y轴向下平移4个单位可得直线CD（答案不唯一）． 22．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点C在x轴的正半轴上，若将△CAB沿直线BC折叠，点A恰好落在y轴正半轴上的点D处． （1）如图1，求点A、B两点的坐标； （2）如图2，求直线CD的表达式； （3）点M是y轴上一动点，若，求点M的坐标； （4）连接AD，在第一象限内是否存在点P，使△PAB为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）在yx﹣6中，令x＝0得y＝﹣6，令y＝0得x＝8， ∴A（8，0），B（0，﹣6）； （2）∵A（8，0），B（0，﹣6）， ∴AB10， ∵将△CAB沿直线BC折叠，点A恰好落在y轴正半轴上的点D处， ∴BD＝AB＝10，AC＝CD， ∴OD＝BD﹣OB＝10﹣6＝4， ∴D（0，4）， 设C（m，0），则OC＝m，AC＝CD＝8﹣m， 在Rt△COD中，OC2+OD2＝CD2， ∴m2+42＝（8﹣m）2， 解得m＝3， ∴C（3，0）， 设直线CD的表达式为y＝kx+b， 把C（3，0），D（0，4）代入得：， 解得， ∴直线CD的表达式为yx+4； （3）∵A（8，0），C（3，0）， ∴AC＝8﹣3＝5， ∵B（0，﹣6）， ∴S△ABC5×6＝15， 设M（0，t），则DM＝|t﹣4|， ∵S△CDMS△ABC， ∴|t﹣4|×315， 解得t＝9或t＝﹣1， ∴M的坐标为（0，9）或（0，﹣1）； （4）在第一象限内存在点P，使△PAB为等腰直角三角形，理由如下： 设P（p，q）， 当A为直角顶点时，过A作KT∥y轴，过P作PK⊥KT于K，过B作BT⊥KT于T，如图： ∵△PAB为等腰直角三角形， ∴PA＝AB，∠PAB＝90°， ∴∠BAT＝90°﹣∠PAK＝∠APK， ∵∠K＝90°＝∠T， ∴△ABT≌△PAK（AAS）， ∴AT＝PK，BT＝AK， ∴， 解得， ∴P（2，8）； 当P为直角顶点时，过P作HG⊥y轴于H，过A作AG⊥HG于G，如图： 同理可得△BPH≌△PAG（AAS）， ∴HP＝AG，BH＝PG， ∴， 解得， ∴P（1，1）； 综上所述，P的坐标为（2，8）或（1，1）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $