福建省厦门第一中学2024-2025学年高三下学期数学周测12

高三数学试题 （试卷满分：150分；考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则复数的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 2 3. 已知平面向量满足，，且．则向量与向量的夹角是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 12 5. 已知一个正四棱柱和某正四棱锥的底面边长相等，侧面积相等，且它们的高均为，则此正四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知等差数列和等比数列的前项和分别为和，且，则（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 7. 将函数的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像，再将的图像上各点的纵坐标不变、横坐标变为原来的（）倍，得到函数的图像，且在区间上恰有两个极值点、两个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 8. 若随机变量，随机变量，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数，则（ ） A. 是的极大值点 B. 的图象关于点对称 C. 有2个零点 D. 当时， 10. 双纽线是卡西尼卵形线的一类分支，在数学曲线领域占有至关重要的地位，同时也具有特殊的有价值的艺术美．它既是形成其它一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术家设计作品的主要几何元素．双纽线的图形轮廓像阿拉伯数字中的“8”，如图，曲线：是双纽线，下列说法正确的是（ ） A. 曲线的图象关于原点对称 B. 曲线经过3个整点（横、纵坐标均为整数的点） C. 曲线上存在点到坐标原点的距离超过3 D. 若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 11. 若展开式中各项系数之和为64，则该展开式中含的项的系数为______． 12. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则实数__________. 13. 在正八面体中，任取四个顶点，则这四点共面的概率为______；任取两个面，则所成二面角为钝角的概率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．. （1）求A； （2）若，求的值. 15. 已知椭圆：的左右焦点分别是和，离心率为，点在椭圆上，且的面积的最大值为． （1）求椭圆的方程； （2）直线过椭圆右焦点，交该椭圆于、两点，AB中点为，射线OQ交椭圆于，记的面积为，的面积为，若，求直线的方程． 16. 如图，四棱锥中，底面，，，． （1）若，证明：平面； （2）若，且二面角的正弦值为，求． 17. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）证明：方程在上有且只有一个解； （3）设点，，，若对任意，，都有经过，的直线斜率大于，求实数的取值范围． 18. 已知数列一共有项，成公差不为的等差数列，对任意的成等差数列，且对于不同的，其公差为同一个非零常数． （1）若，求数列的各项之和； （2）证明：成等差数列； （3）从中任取三个数，记成等差数列且也成等差数列的概率为，证明：． 高三数学试题 （试卷满分：150分；考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【8题答案】 【答案】AC 【9题答案】 【答案】ABC 【10题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【11题答案】 【答案】27 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 ①. ## ②. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【14题答案】 【答案】（1） （2） 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） 证明：因为平面，而平面，所以， 又，，平面，所以， 而平面，所以． 因为，所以， 又平面，故， 又平面，平面，所以平面． （2） 【17题答案】 【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减 （2） 证明：由化简得， 令， 要证方程在上有且只有一个解， 即证方程在上有且只有一个解， 又，所以当时，当时， 当时， 所以在，上单调递减，在上单调递增， 所以当时， 所以在上不存在满足， 又，，所以有且只有一个，满足， 所以在上有且只有一个解. （3） 【18题答案】 【答案】（1）45 （2）证明： … … … … … … … … … … … … … … 如数表所示，即证明左上至右下的对角线上的数成等差数列， 由数列的定义可知，该数表每行均为等差数列且公差相同，设公差为， 每列也为等差数列且公差相同，设公差为， 那么， 那么数列是以为首项，为公差的等差数列． （3）证明：不妨将数表中的每个数看作一个点，若三点共线，且关于中间的一点中心对称，则显然这三个点对应的数构成等差数列． 在该数表中，只需要横行投影成等差数列，且纵列投影成等差数列即可， 先对横行进行分析，在个数中取三个数得到不相同的等差数列的方法数， ①若为偶数，则公差为的等差数列的个数为，公差为的个数为，公差为的个数为2，共有个等差数列， 此时成等差数列且也成等差数列的总取法数为， 则； ②若为奇数，由上分析，同理可得每横行可以产生个等差数列， 此时成等差数列且也成等差数列的总取法数为， 则． 综上所述：成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $