3.1代数式（综合提升练习） 2025--2026学年北师大版七年级数学上册

3.1代数式（综合提升练习） 北师大版（2024）七年级数学上册 说明：本试题具有一定综合性与难度，旨在全面巩固本节核心知识点。题目可能涵盖本学期多章节内容，均选自近年校内考试真题，可助力提升综合解题能力。 一、单选题 1．（25-26七年级上·辽宁鞍山·月考）关于整式的概念，下列说法正确的是（   ） A．0是单项式 B．的次数是6 C．的系数是 D．是五次三项式 2．（25-26七年级上·山东日照·期中）若，则多项式的值为（    ） A． B．5 C． D． 3．（25-26七年级上·广东深圳·期中）下列判断中错误的是（   ） A．中，系数是 B．是单项式 C．是多项式 D．是二次三项式 4．（25-26七年级上·山东聊城·期中）如图1，长方形的长为，宽为，用剪刀沿图中虚线剪成六个相同的小长方形，然后按照图2的方式拼成一个新的长方形，则下列代数式不能表示图中阴影部分面积的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·北京西城·期中）如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第幅图形中“●”的个数为，第幅图形中“●”的个数为，第幅图形中“●”的个数为，…，依次类推，则的值为（    ） A．， B． C． D． 6．（25-26七年级上·重庆·期中）已知关于，的多项式（，为正整数且的指数不相同）是按的降幂排列的五次四项式，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级上·四川成都·期中）如果 A、B 都是关于 x 的次数不同的单项式（ A，B 都不是常数项），且 是一个八次单项式，则下列说法中正确的是（ ） ①可能是一个单项式；②可能是七次二项式；③的项数与 的项数一定相同； ④的次数与 的次数不一定相同． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 8．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）已知打开某种密码箱需要输入四位数密码，其中是三个静态密码(是小于10的自然数)，是动态密码，它是利用密钥计算生成的(是不大于5的正整数)，是的个位数字，现在小明打开这个密码箱的密码是2020，则所有符合的密钥的乘积是（   ） A．30 B．60 C．90 D．120 9．（24-25九年级上·重庆·期末）将正整数1，2，3，…，n按顺时针方向依次排在一个圆上，然后从1开始，按顺时针方向，每个数删除一个数，直至剩余一个数为止，最终剩余的一个数记为．例如：若，，依次删除2，4，1，5，则；若，，依次删除3，6，4，2，5，则；下列说法中正确的个数是（   ） ①； ②当时，； ③当时，或． A．0 B．1 C．2 D．3 10．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）如图，将同样大小的铜币有规律地摆放为以下四个图案，则第九个图案需要铜币（   ） A．29个 B．32个 C．37个 D．46个 二、填空题 11．（25-26七年级上·重庆·开学考试）在一次知识竞答中，共有20道题，每道题答对加5分，答错扣2分，不答不加分也不扣分．峰峰在此次竞答中最后得分40分，已知峰峰至少答错了1道题，则峰峰答对了 题． 12．（23-24七年级上·云南德宏·期末）写出系数为，含有字母，的三次单项式 ． 13．（25-26七年级上·河北廊坊·期中）已知a与的差是M． （1） （用含a，b的代数式表示）； （2）若，则的值是 ． 14．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）当x的值分别为，0，1，2时，代数式的值如下表： x 0 1 2 则代数式中c的值为   ． 15．（25-26七年级上·四川成都·期中）有一个数值转换器，原理如图所示，若开始输入的值是3，第1次输出的结果是16，第2次输出的结果是8，第3次输出的结果是4，依次继续下去，第2024次输出的结果是 ． 三、解答题 16．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）（1）已知和互为相反数，和互为倒数，是绝对值最小的有理数，求代数式的值． （2）当时，，求当时，的值． 17．（25-26七年级上·吉林松原·期中）商场销售某种品牌的洗衣机和净水器，洗衣机每台定价1000元，净水器每台定价300元，商场决定开展促销活动，现有两种优惠方案如下： 方案一：买一台洗衣机送一台净水器； 方案二：洗衣机和净水器都按定价的付款． 现某客户要到该商场购买洗衣机9台，净水器x台（）． (1)若该客户按方案一购买，需付款 元；若该客户按方案二购买，需付款 元（用含x的代数式表示）； (2)若，通过计算说明此时按方案一、二中的哪一个方案购买较为合算？ (3)若两种优惠方案可同时使用，当时，你能给出一种更为省钱的购买方法吗？试写出你的购买方法，并计算需付款多少元？ 18．（25-26七年级上·山西运城·期中）综合与探究 数轴的概念最早由法国数学家勒内·笛卡尔在其对数学的研究中系统引入．在此之前，数学家们对“数”的理解多停留在抽象的运算层面，缺乏直观的几何表示数轴的出现，将数与几何图形（直线上的点）紧密结合，开创了“数形结合”的数学思想方法． 如图所示数轴上，点A，B，C分别表示的数字为，4，1． 【知识应用】（1）若数轴上有一点，满足到，两点距离相等，则点表示的数是____； 【初步分析】（2）将数轴折叠后，点与点重合，点与点重合，则点表示的数是______； 【深入探究】（3）①当对折点为点时，与点重合的点表示的数为______； 此时，对折点左侧一个点表示的数为，则与它重合的点表示的数为______；（用代数式表示） ②当对折点为之间任意一点，且它表示的数为时，左侧表示数的点与右侧表示数_____的点重合．（用代数式表示） 19．（25-26七年级上·江苏常州·期中）在数轴上，点M和点N分别表示数和，可以用绝对值表示点M、N两点间的距离，即． (1)在数轴上，点A、B、C分别表示数、3、x，解答下列问题： ① ； ②若，则x的值为； ③若，且x为整数，则x的取值有 个； (2)在数轴上，点D、E、F分别表示数、4、6．动点P沿数轴从点D开始运动，到达F点后立刻返回，再回到D点时停止运动．在此过程中，点P的运动速度始终保持，每秒2个单位长度，设点P的运动时间为t秒， ①当 时，； ②在整个运动过程中，用含t的代数式表示． 则：当时， ； 当时， ． 20．（25-26七年级上·广东深圳·期中）在一次综合与实践活动中，同学们开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，知识准备：下列图形中，不是无盖正方体的表面展开图的是______；（填序号） 下表是活动的相关信息． 使用材料 制作目标 操作方法 示意图 边长为的正方形纸板 制作一个无盖的长方体纸盒 先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来 制作一个有盖的长方体纸盒 先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的长方形，再沿虚线折合起来 解答下列问题： (1)用含a和b的代数式表示无盖的长方体纸盒的底面积，并求当，时，这个长方体纸盒的底面积； (2)细心的同学发现，制作的有盖的长方体纸盒的长是宽的2倍，若要求这个长方体纸盒的宽是高的3倍少，试探究a和b应满足的等量关系（结果用含b的代数式表示a）； (3)受这次活动的启发，小刚想用一张长为，宽为的长方形纸板，制作一个高为的有盖的长方体纸盒（如图），请你用含m，n，h的代数式表示这个长方体纸盒的体积． 若已知，，，求制作的长方体纸盒的体积？ 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A A C B C C A D D 1．A 【分析】本题考查单项式和多项式的定义、系数和次数的概念．根据相关定义，逐项判断正误即可． 【详解】解：∵单项式是数字或字母的积，0是单独的数字， ∴ 0是单项式，选项A正确，符合题意； ∵，次数为字母指数和：， ∴选项B错误，不符合题意； ∵的系数是，不是， ∴选项C错误，不符合题意； ∵中，各项次数分别为：次数为3，次数为2，常数项次数为0，最高次为3，是三次三项式， ∴ 选项D错误，不符合题意． 故选：A． 2．A 【分析】本题考查了绝对值的非负性，求代数式的值，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键．根据得，求得，代入代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 3．A 【分析】本题考查单项式、多项式的相关概念，涉及知识点：单项式的系数、单项式的定义、多项式的次数与项数．解题方法是逐一分析选项，根据单项式、多项式的定义判断；解题关键是明确单项式（数或字母的积）、多项式（几个单项式的和）的概念，易错点是混淆单项式的系数、多项式的次数．解题思路：分别判断每个选项中代数式的类型、系数、次数，找出错误选项． 【详解】∵ 单项式的数字因数是，∴ 系数是，而不是，故A错误． 其他选项：B中是单项式，正确；C中是多项式，正确；D中是二次三项式，正确． 故选A． 4．C 【分析】此题考查了列代数式，根据图形列出代数式是解题的关键． 用多种方法表示阴影部分的面积，即可求解． 【详解】解：阴影部分是一个长方形，长方形的长为，宽为， ∴阴影部分的面积＝． 对应A选项，故A选项不符合题意． 如图，阴影部分的面积正方形的面积个长方形的面积， ∴阴影部分的面积＝． 对应B选项，故B选项不符合题意． 阴影部分的面积大长方形的面积个小长方形的面积， ∴阴影部分的面积＝． 对应D选项，故D选项不符合题意． 如图，阴影部分的面积长方形的面积个小长方形的面积， 长方形的面积=， 但是右下角两个小长方形的面积不等于， 故C选项不能表示阴影部分面积． 故选：C． 5．B 【分析】本题考查了数字与图形的变化规律、有理数的混合运算，首先根据图形的变化规律得到的变化规律，再用裂项相消的方法进行计算． 【详解】解：第幅图形中“●”的个数为， 第幅图形中“●”的个数为， 第幅图形中“●”的个数为， ， 第幅图形中“●”的个数为， ． 故选：B． 6．C 【分析】本题主要考查了多项式的概念，熟知多项式的项和次数是解题的关键． 多项式是五次四项式且按降幂排列，因此最高次项为第一项，其次数为，即；同时各项系数非零以保证四项存在，故；指数递减要求，结合，为正整数，解得，，代入计算即可． 【详解】解：∵ 多项式为五次四项式，且按降幂排列， ∴，，， ∵ ，为正整数， ∴，， ∴． 故选：C． 7．C 【分析】本题考查了单项式的次数．熟练掌握单项式的次数是解题的关键． 由于和是关于的次数不同的单项式，且是八次单项式，设的次数为，的次数为，则且．和均因次数不同而无法合并，故均为二项式。通过具体例子验证各说法正误． 【详解】解：∵和是次数不同的单项式，且是八次单项式， ∴ 设的次数为，的次数为，则且． 对于说法①：可能是一个单项式。但由于，和不是同类项，无法合并，故总是二项式，不可能为单项式．①错误． 对于说法②：可能是七次二项式．若，，则的次数为7，且为二项式，例如，，则（八次），（七次二项式）．②正确． 对于说法③：的项数与的项数一定相同。由于，和均为二项式，项数均为2．③正确。 对于说法④：的次数与的次数不一定相同． ∵和的次数均为，且， ∴ 次数一定相同。④错误． 综上，②和③正确， 故选C． 8．A 【分析】本题考查了代数式求值．根据密码2020，可得，，，．d是M的个位数字，其中．要求M的个位为0，分别计算至5时M的个位数，找出使个位为0的m值，并求其乘积． 【详解】∵密码为2020， ∴，，，． 要求M的个位数字为0． 当时，，个位为； 当时，，个位为0； 当时，，个位为0； 当时，，个位为； 当时，，个位为0． ∴符合的m为2、3、5，其乘积为． 故选：A． 9．D 【分析】本题考查了新定义，涉及代数式求值，难度较大，正确理解题意是解题的关键． 对于①表示这8个数每2个数删除1个数，则依次删除，还剩下1，故；对于②，分别把代入，发现均成立；对于③，分别把代入，计算出结果，进行验证即可． 【详解】解：①表示这8个数每2个数删除1个数， ∴依次删除，还剩下1， ∴，够①正确，符合题意； ②当时，，由上知，符合； ∴当时，，则表示这9个数每2个数删除1个数， ∴依次删除，还剩下3， ∴，符合； 同理可求：当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 代入计算发现均，故②正确，符合题意； ③当时，同理可求：，，符合； 当时，同理可求：，，符合； 当时，同理可求：，，符合； 当时，同理可求：，，符合； 当时，同理可求：，，符合； 当时，同理可求：，，符合， ∴③正确，符合题意， ∴正确的有①②③， 故选：D． 10．D 【分析】本题主要考查了图形的变化规律，根据图形变化找出规律是解题关键．分别计算四个图案需要的铜币数量，进而得到第n个图案需要个；把代入即可求解． 【详解】解：第1个图案需要铜币个； 第2个图案需要铜币个； 第3个图案需要铜币个； 第4个图案需要铜币个； ……， 所以第n个图案需要个； 当时，． 故选：D 11．10 【分析】本题主要考查了利用方程和代数式解决实际问题，确定变量的取值，解题的关键是理解题意，列出代数式． 设答对了道题目，答错了道题目，根据题意列出方程，用其中一个变量表示出另一个变量，确定其取值即可． 【详解】解：设答对了道题目，答错了道题目，根据题意得， ， 整理得， ∵都取正整数， ∴当时，，，符合题意； 当时，，，不符合题意； 故答案为：10． 12．（答案不唯一） 【分析】本题考查单项式的定义，由数或字母的乘积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式，单项式中数字因数叫做单项式的系数（当系数为1或时，1可以省略不写）．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：系数为，含有字母，的三次单项式： 故答案为：（答案不唯一） 13． 2 【分析】本题主要考查列代数式和求代数式的值，运用整体代入法进行计算是解答本题的关键． （1）根据题意列式即可； （2）由（1）知，将变形为，再整体代入计算即可． 【详解】解：（1）∵a与的差是M， ∴， 故答案为：； （2）由（1）得， ∴ ． 故答案为：2． 14． 【分析】本题考查了代数式的求值，解题的关键是利用时的代数式值直接确定的值． 当时，代入，此时、，代数式的值即为，结合表格中对应的代数式值可得的值． 【详解】解：由表格知，当时，，即． 故答案为：． 15．16 【分析】本题考查了有理数的混合运算和找规律．写出输出序列，找到循环周期是解题的关键． 先根据转换器规则，依次计算输出结果得到序列16、8、4、2、1、6、3，确定循环周期为7，用总次数2024除以周期7得到余数1，对应周期内第一个结果，即可得出答案． 【详解】解：第一次，输出； 第二次，输出； 第三次，输出； 第四次，输出； 第五次，输出； 第六次，输出； 第七次，输出； 第八次，输出； 所以循环周期为7， 计算， 对应周期内第一个结果，即16， 故答案为16． 16．（1）； （2） 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，相反数和倒数的定义，代数式求值，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）互为相反数的两个数的和为0，乘积为1的两个数互为倒数，绝对值最小的有理数是0，据此可得，，，再代值计算即可； （2）先根据题意得，再将代入得，然后整体代入求值即可． 【详解】解：（1）根据条件可知：，，， ∴； （2）∵当时，， ∴，即， ∴当时， ． 17．(1)； (2)第一种方案较为合算，见解析 (3)先按方案一购买9台洗衣机，送9台净水器，再按方案二购买4台净水器，需付款9960元 【分析】本题主要考查了方案问题，列代数式，求代数式的值，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题目提供的两种不同的付款方式，列出有关费用的代数式； （2）将代入求得的代数式中得到费用，然后比较两个费用的大小，得到选择哪种方案更合算； （3）先按方案一购买9台洗衣机，送9台净水器，再按方案二购买4台净水器，求出各自所需要的费用，再相加得到总费用即可． 【详解】（1）解：由题意得： 方案一：元 方案二：元 故答案为：；； （2）解：当时，（元）， 当时，（元）， ， 第一种方案较为合算； （3）解：（元）， 即先按方案一购买9台洗衣机，送9台净水器，再按方案二购买4台净水器，需付款9960元． 18．（1） （2） （3）①8；；② 【分析】本题主要考查列代数式，数轴上两点距离及数轴上折叠问题、有理数的运算，熟练掌握数轴上两点距离及数轴上折叠问题、有理数的运算是解题的关键． （1）根据数轴上的两点距离可进行求解． （2）①由点与点重合可知折叠点表示的数为； ②设点表示的数是，由题意得，进而问题可求解； （3）①设与点重合的点表示的数为，由题意得，即可求解；设与它重合的点表示的数为，由题意得，据此求解即可； ②设左侧表示数的点与右侧表示数为，由题意得，即可求解． 【详解】解：（1）∵点到，两点距离相等， ∴点表示的数是， 故答案为：； （2）∵将数轴折叠后，点与点重合， ∴折叠点表示的数为， 设点表示的数是， 由题意得，解得， ∴点表示的数是， 故答案为：； （3）①设与点重合的点表示的数为， 由题意得，解得， ∴与点重合的点表示的数为， 对折点左侧一个点表示的数为，则设与它重合的点表示的数为， 由题意得，解得， ∴对折点左侧一个点表示的数为，则与它重合的点表示的数为， 故答案为：；； ②设左侧表示数的点与右侧表示数为， 由题意得，解得， 故答案为：． 19．(1)①7；②或；③8 (2)①2.5或5.5；②； 【分析】本题考查两点间的距离公式，列代数式，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键： （1）①根据两点间的距离公式进行计算即可；②根据两点间的距离公式，列出方程进行求解即可；③根据两点间的距离公式，列出方程进行求解即可； （2）①根据，分2种情况进行讨论求解即可；②根据两点间的距离公式，列出代数式即可． 【详解】（1）解：①； ②由题意，，即：到的距离为2， ∴或； ③由题意，， 故表示数的点在之间，包括两点， ∵x为整数， ∴x的取值有共8个； （2）①由题意，点在点的右侧， ∴当时，点表示的数为， ∴或； ②当时，点表示的数为， ∴； 当时，点表示的数为， ∴． 20．(1)②，， (2) (3)， 【分析】（1）根据无盖正方体纸盒的面数和构成求解；根据题意求出长方体纸盒的底面积即可； （2）根据制作的有盖的长方体纸盒的长是宽的2倍，若要求这个长方体纸盒的宽是高的3倍少，列方程求解即可； （3）分别用含m，n，h的代数式，表示长方体边长，进而可以列式得解，结合所得代数式，进而代入计算可以得解． 【详解】（1）解：②不能折成一个无盖正方体纸盒，①③④能折成一个无盖正方体纸盒． 故答案为：②． 由图可得，无盖的长方体纸盒的底面为正方形，边长为， ∴底面积为． 当，时， ． ∴这个长方体纸盒的底面积为． （2）解：根据题意得，有盖的长方体纸盒的长为，高为， ∵这个长方体纸盒的宽是高的3倍少， 宽为． ∵长是宽的2倍， ，． （3）解：根据题意得，长方体纸盒的长为，宽为，高为， ∴长方体纸盒的体积为． 当，，时， 长方体纸盒的体积为． 学科网（北京）股份有限公司 $