精品解析：福建省莆田市城厢区南门学校2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试卷

2025-2026学年南门中学八年级上学期期中考试卷 数学试题 一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 近年来，中国在全球新能汽车领域占据着重要地位，已连续多年成为全球最大的新能源汽车市场，以下几个新能源汽车车标中，轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 现有两根长度分别为和的木条，要选择第三根木条，把它们钉成一个三角形木架，则第三根木条的长度可以是（   ） A. B. C. D. 3. 在中，若，那么的形状为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 4. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，是角平分线，，则P到的距离是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 如图，，点在上，点在上，若添加一个条件可使，则添加的这个条件不可以是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，过等边的顶点、、依次作、、的垂线、、，三条垂线围成，若，则的周长为（ ） A. 12 B. 18 C. 20 D. 24 9. 小明用两个全等的三角形设计了一个“燕尾”的平面图案，如图，，连接并延长，的延长线与交于点，则下列推断错误的是（　　　） A. 平分 B. C. 是的中点 D. 10. 东湖高新区为打造成“向往之城”，正建设一批精品口袋公园．如图所示，是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路、的距离相等，且使得，则凉亭H是（　　） A. 的角平分线与边上中线的交点 B. 的角平分线与边上中线的交点 C. 的角平分线与边上中线的交点 D. 的角平分线与边上中线的交点 二．填空题（每题4分，共24分） 11. 如图，，，则 ________． 12. 如图，，，垂足分别为点C、E．若，，，则________． 13. 如图，在中，，D是的中点，，则的大小为_______． 14. 计算：=________． 15. 如图，已知，，若和分别垂直平分和，则_______． 16. 如图，在锐角中，，于点，，，，其中，、、分别为线段、、上的点（均不与点，、重合），对于每一个确定的点，将周长的最小值记为．给出下列三个结论： ①过点向、作垂线、垂足分别为、，此时的周长即为； ②在点从点向点运动过程中，的最小值为； ③当时，点能在两个不同的位置取到相同的值． 其中所有正确结论的序号是________． 三、解答题（共9题，86分．） 17. 计算： （1）； （2） 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 已知：如图，与交于点O，，． 求证：． 20. 求证：全等三角形的对应边上的中线相等．请补充完成余下的证明过程． 已知：如图，， ． 求证： ． 证明： 21. 如图，中，，，垂足为D．求作的平分线，分别交于P，Q两点；并证明．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 22. 如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC，AE⊥BC，垂足分别为D、E，AE、BD相交于点O，连接DE． （1）判断△CDE的形状，并说明理由． （2）若AO=12，求OE的长． 23. 小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当或时，多项式的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点． （1）已知多项式，则此多项式的零点为______． （2）已知多项式有一个零点为2，求多项式B的另一个零点； （3）小聪继续研究，及等，发现在x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线对称，他把这些多项式称为“3—系多项式”．若多项式是“3—系多项式”，求a与c的值． 24. 等腰三角形中，，，点在边上，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接与相交于点． （1）如图1，，垂足为，当时 ①图中与相等的角是______． ②求证：； （2）如图2，当时，请用等式表示和的数量关系，并证明． 25. 数学课上，陈老师出示了如下方框中的题目： 原题：如右图，，点B，C分别是射线，上的动点，以为腰在的外侧作等腰，使，过点D作于点E，交射线于点F，过点D作交于点G，探究线段与的数量关系． 小辰与同桌小馨讨论后，仍不得其解，陈老师提示道：“数学中常通过把一个问题特殊化来找到解题思路”，两人茅塞顿开，于是进行了如下解答： （1）【特殊情况，探索结论】 ①如图2，当点G与点A重合时，点D与点E重合，则线段与的数量关系为____________． ②如图3，当点G与点C重合时，小辰想在上截取，连接，继而探究线段与的数量关系．请你根据小辰的思路或者按照自己的思路，探究线段与的数量关系； （2）【特例启发，解答题目】请你根据（1）中的探究过程，完成方框内的题目解答； （3）【拓展结论·设计新题】经过以上的解答，小馨对题目进行一般化探索，发现：当和满足数量关系_______________时，线段与的数量关系仍然成立．（请你在横线上直接写出和满足的数量关系，无需证明） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年南门中学八年级上学期期中考试卷 数学试题 一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 近年来，中国在全球新能汽车领域占据着重要地位，已连续多年成为全球最大的新能源汽车市场，以下几个新能源汽车车标中，轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，故不符合题意； B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，故不符合题意； C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，故符合题意； D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，故不符合题意； 故选：C． 2. 现有两根长度分别为和的木条，要选择第三根木条，把它们钉成一个三角形木架，则第三根木条的长度可以是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．三角形的两边之差小于第三边． 首先设第三根木条的长度为，根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边，可得，再解即可． 【详解】解：设第三根木条的长度为，根据三角形的三边关系可得： ， 即：， 只有选项B符合要求， 故选：B． 3. 在中，若，那么的形状为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的应用和三角形形状的判定，根据题意求出，是解题的关键．根据和三角形内角和求出∠A的度数，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴是直角三角形． 故选：B． 4. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查幂的运算性质，包括幂的乘方、同底数幂相乘、合并同类项及积的乘方，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、与的指数不同，不是同类项，无法直接相加合并，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：A 5. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查点的对称性，掌握平面直角坐标系中点的对称性知识是解题的关键．点关于轴对称的点的坐标的特点是横坐标不变，纵坐标变为相反数，由此即可求解． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是． 故选：C． 6. 如图，在中，是角平分线，，则P到的距离是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】过P作于D，根据角平分线的性质得到，即可求出点P到边的距离． 【详解】解：过P作于D， ∵， ∴， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴点P到边的距离是2， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解决问题的关键． 7. 如图，，点在上，点在上，若添加一个条件可使，则添加的这个条件不可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形全等的判定定理，逐一验证即可． 本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A.添加， 在中 ∵ ∴， 故此选项正确，不符合题意； B.添加， 在中 ∵ ∴， 故此选项正确，不符合题意； C.添加 在中 ∵ ∴， 故此选项正确，不符合题意； D.添加，不符合任何一定判定定理， 无法证明， 故此选项错误，不合题意； 故选：D． 8. 如图，过等边的顶点、、依次作、、的垂线、、，三条垂线围成，若，则的周长为（ ） A. 12 B. 18 C. 20 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了等边三角形的判定与性质，所对的直角边等于斜边的一半，全等三角形的判定与性质． 先由是等边三角形，推出，由此可以证明是等边三角形．接着在中，由“所对的直角边等于斜边的一半”求出，再用证明，得到，最后即可求出的周长． 【详解】解：， ， 是等边三角形， ，， ， ∵， ， 同理：， 是等边三角形． ． 在中，， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， 的周长为． 故选：B． 9. 小明用两个全等的三角形设计了一个“燕尾”的平面图案，如图，，连接并延长，的延长线与交于点，则下列推断错误的是（　　　） A. 平分 B. C. 是的中点 D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题重点考查全等三角形的性质、等角的补角相等、等腰三角形的“三线合一”等知识，推导出，且是解题的关键． 由全等三角形的性质得，，则，可判断A不符合题意；由，平分，得，，则，D是的中点，可判断B不符合题意，C不符合题意；假设成立，则是等边三角形，则，推导出，与已知条件不符，可知不成立，可判断D符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：， ，， ， ， 平分， 故A不符合题意； ，平分， ，， ，D是的中点， 故B不符合题意，C不符合题意； 假设成立，则， ， ， ，与已知条件不符， 不成立， 故D符合题意． 故选：D． 10. 东湖高新区为打造成“向往之城”，正建设一批精品口袋公园．如图所示，是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路、的距离相等，且使得，则凉亭H是（　　） A. 的角平分线与边上中线的交点 B. 的角平分线与边上中线的交点 C. 的角平分线与边上中线的交点 D. 的角平分线与边上中线的交点 【答案】A 【解析】 【分析】题考查了角平分线的性质，根据角平分线的性质定理可得点H在的角平分线上，再根据三角形的中线性质可得，，然后利用等式的性质可得，即可解答． 【详解】解：如图： ∵平分，点H在上， ∴点H到、的距离相等， ∵是边上的中线， ∴，， ∴， ∴， ∴凉亭H是的角平分线与边上中线的交点， 故选：A． 二．填空题（每题4分，共24分） 11. 如图，，，则 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查三角形外角的性质，根据可解答． 【详解】解：∵是的外角， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 12. 如图，，，垂足分别为点C、E．若，，，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等得到，，然后进行线段的和与差即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴． 故答案为：3． 13. 如图，在中，，D是的中点，，则的大小为_______． 【答案】##20度 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三线合一性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质得，，再根据三角形内角和定理，计算即可． 【详解】解：∵，是的中点，， ∴，， ∴， 故答案为：． 14. 计算：=________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂乘法和积的乘方的逆用，熟练掌握同底数幂乘法法则，积的乘方的法则，是解决问题的关键． 逆用同底数幂乘法法则，积的乘方法则，进行计算即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：4． 15. 如图，已知，，若和分别垂直平分和，则_______． 【答案】##90度 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．先由和分别垂直平分和得到，进而得出，即可解答． 【详解】解：如图： ∵和分别垂直平分和， ， ， ， ， 故答案为：． 16. 如图，在锐角中，，于点，，，，其中，、、分别为线段、、上的点（均不与点，、重合），对于每一个确定的点，将周长的最小值记为．给出下列三个结论： ①过点向、作垂线、垂足分别为、，此时的周长即为； ②在点从点向点运动过程中，的最小值为； ③当时，点能在两个不同的位置取到相同的值． 其中所有正确结论的序号是________． 【答案】②③##③② 【解析】 【分析】作点关于的对称点，点关于的对称点，交于，交于，连接，交于，交于，连接，，，由两点之间线段最短可判断①；根据轴对称的性质证明，是等边三角形，由垂线段最短可判断②、③，进而得结论． 【详解】解：作点关于的对称点， 点关于的对称点，交于，交于， 连接，交于，交于， 连接，，，， 根据轴对称的性质可得：，， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 的周长， 的周长， ， ， 与重合时，，即最小，故①错误；故②正确； 当时，点能在两个不同的位置取到相同的值， 分别在点两侧且关于点对称，故③正确， 故答案为：②③． 【点睛】本题考查三角形中的动点问题、轴对称的性质、垂线段最短、等腰三角形的性质，等边三角形的性质及判定，熟知相关性质，做到数形结合是正确解决本题的关键． 三、解答题（共9题，86分．） 17. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查整式的乘法，涉及幂的乘方、合并同类项，熟练掌握相关运算法则是解答的关键． （1）先运算单项式乘单项式和幂的乘方，再合并同类项即可求解； （2）利用单项式乘多项式运算法则求解即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握整式乘法的计算法则是解题的关键，根据整式乘法法则进行计算，然后合并同类项，最后将代入化简结果进行计算即可求解． 【详解】解： 将代入得 19. 已知：如图，与交于点O，，． 求证：． 【答案】 证明：在和中， ∵ ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】证明，得到即可得证． 本题考查了三角形全等的判定和性质，平行线的判定，熟练掌握判定是解题的关键． 【详解】略 20. 求证：全等三角形的对应边上的中线相等．请补充完成余下的证明过程． 已知：如图，， ． 求证： ． 证明： 【答案】 已知：如图，，,分别是，上的中线， 求证：． 证明：， ． 分别是和的中线， ， ． 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，命题的题设和结论，掌握相关知识是解决问题的关键．由可证，进而得出，可证． 【详解】略 21. 如图，中，，，垂足为D．求作的平分线，分别交于P，Q两点；并证明．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 就是所求的的平分线,就是所求作的点. 【解析】 【分析】根据角平分线的性质作出即可.先根据垂直的定义得出, 故.再根据余角的定义得出, 根据角平分线的性质得出,再由可知，据此可得出结论. 【详解】就是所求的的平分线,就是所求作的点. 证明: ∴, ∴. ∵, ∴. ∵, ∴. ∵, ∴, ∴. 【点睛】本题考查的是作图-基本作图，熟知角平分线的作法和性质是解答此题的关键. 22. 如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC，AE⊥BC，垂足分别为D、E，AE、BD相交于点O，连接DE． （1）判断△CDE的形状，并说明理由． （2）若AO=12，求OE的长． 【答案】 （1）△CDE是等边三角形，理由如下， ∵等边， ∴， ∵BD⊥AC，AE⊥BC， ∴， ∴， ∴△CDE是等边三角形 （2）6． 【解析】 【详解】试题分析：（1）△CDE是等边三角形，根据已知条件易证∠C=60°，CD=CE，即可判定△CDE是等边三角形；（2）根据等腰三角形三线合一的性质可得，所以OA=OB=12，再根据直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半即可得OE的长． 试题解析：（1）略 （2） 考点：等边三角形的判定及性质；直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半． 23. 小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当或时，多项式的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点． （1）已知多项式，则此多项式的零点为______． （2）已知多项式有一个零点为2，求多项式B的另一个零点； （3）小聪继续研究，及等，发现在x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线对称，他把这些多项式称为“3—系多项式”．若多项式是“3—系多项式”，求a与c的值． 【答案】（1）或 （2） （3）， 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式的运算，正确理解题意是解题的关键； （1）根据题意，令，解方程得出的值，即可得出答案； （2）根据题意，把代入多项式，得，然后解关于的方程即可得出的值，再把的值代入，进而得出答案； （3）根据题意，由“—系多项式”定义，进而得出答案． 【小问1详解】 解：根据题意，令， 或， 解得：或， 故答案为：或； 【小问2详解】 根据题意，把代入，得， 解得：， 把代入，得， 令， 解得：， 多项式的另一个零点是； 【小问3详解】 ， 的两个零点分别是或， 根据“系多项式”的定义，有， ∴ 把代入， 得 ， ， 故答案为：，． 24. 等腰三角形中，，，点在边上，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接与相交于点． （1）如图1，，垂足为，当时 ①图中与相等的角是______． ②求证：； （2）如图2，当时，请用等式表示和的数量关系，并证明． 【答案】（1）①； ②证明：，， ， 又，， 在和中，， ， 又，， 在和中，， ， ； （2）， 证明：如下图所示，在上截取，连接，分别过点，作，，垂足分别为，， ，， ， 又，， 在和中，， ， ，， 在与中， ， ， 在和中，， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形． （1）①根据旋转的性质可知，利用同角的余角相等可证； ②由旋转的性质可证，利用可证，根据全等三角形的性质可知，从而可证，根据全等三角形的对应边相等可证结论成立； （2）在上截取，连接，分别过点，作，，垂足分别为，，可证，进而可证，利用全等三角形对应边相等可证结论成立． 【小问1详解】 ①解：当时，旋转角， ， ，， ； 故答案为：； 略 ② 【小问2详解】 略 25. 数学课上，陈老师出示了如下方框中的题目： 原题：如右图，，点B，C分别是射线，上的动点，以为腰在的外侧作等腰，使，过点D作于点E，交射线于点F，过点D作交于点G，探究线段与的数量关系． 小辰与同桌小馨讨论后，仍不得其解，陈老师提示道：“数学中常通过把一个问题特殊化来找到解题思路”，两人茅塞顿开，于是进行了如下解答： （1）【特殊情况，探索结论】 ①如图2，当点G与点A重合时，点D与点E重合，则线段与的数量关系为____________． ②如图3，当点G与点C重合时，小辰想在上截取，连接，继而探究线段与的数量关系．请你根据小辰的思路或者按照自己的思路，探究线段与的数量关系； （2）【特例启发，解答题目】请你根据（1）中的探究过程，完成方框内的题目解答； （3）【拓展结论·设计新题】经过以上的解答，小馨对题目进行一般化探索，发现：当和满足数量关系_______________时，线段与的数量关系仍然成立．（请你在横线上直接写出和满足的数量关系，无需证明） 【答案】（1）①；② （2） 解：，证明如下： 在上取点H，使得，连接．过点D作，交于点I，连接，．在上取点J，K，使得，连接，． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 连接， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，三角形的内角和定理，构造“一线三等角”模型是解题的关键． （1）①由等腰求出底角， 因此，得到．求出，得到，从而，根据线段的和差即可得到； ②先证明得到，再证得到，从而，因此，证明，得到，因此，根据线段的和差即可得出． （2）在上取点H，使得，连接．过点D作，交于点I，连接，．在上取点J，K，使得，连接，．证明，得到，．由得到，从而可求出，得出，进而得出，从而在等腰中求出．连接，证明，得到，再证，得到，从而，即得到，证明，得到，从而，根据线段的和差即可得到． （3）当和满足时，仍然成立．设，则，同（2）思路即可解答． 【小问1详解】 解：①∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 故答案为：． ②，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当和满足时，仍然成立．理由如下： 设，则． 在上取点H，使得，连接．过点D作，交于点I，连接，．在上取点J，K，使得，连接，． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 连接， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $