第五章二元一次方程组单元测试2025-2026学年北师大版八年级数学上册

北师大版八年级上数学 第五章二元一次方程组 一．选择题（共10小题） 1．下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 2．用代入法解方程组时，用①代入②得（　　） A．2﹣x（x﹣7）＝1 B．2x﹣1﹣7＝1 C．2x﹣3（x﹣7）＝1 D．2x﹣3x﹣7＝1 3．方程组的解也是方程3x+ky＝10的解，则k的值是（　　） A．4 B．10 C．9 D． 4．若方程mx+ny＝6的两个解是，，则m，n的值为（　　） A．2，4 B．4，2 C．﹣4，﹣2 D．﹣2，﹣4 5．已知m、n满足方程组，则（m+n）（m﹣n）的值为（　　） A．3 B．4 C．12 D．﹣12 6．某校课外小组的学生分组做课外活动，若每组7人，则余下3人；若每组8人，则少5人．设课外小组的人数为x，应分成的组数为y，可列方程组（　　） A． B． C． D． 7．如果有理数x，y满足方程组那么x2﹣y2的值是（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4 8．已知某座桥长800米，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全通过共用了1分钟，这列火车完全在桥上的时间为40秒，则火车的速度是（　　） A．20米/秒 B．18米/秒 C．16米/秒 D．15米/秒 9．我们定义一种新运算“※”，规定：x※y＝ax+by，其中a，b为常数，等式的右边是通常的加法和乘法运算，若5※2＝7，3※（﹣4）＝12，则4※3的值为（　　） A．﹣12 B． C． D． 10．甲、乙两车同时从A地出发，以各自的速度匀速向B地行驶，甲车先到达B地后，立即按原路以相同速度匀速返回（停留时间不作考虑），直到两车相遇，若甲、乙两车之间的距离y（千米）与两车行驶的时间x（小时）之间的函数图象如图，则A、B两地之间的距离为（　　）千米． A．150 B．300 C．350 D．450 二．填空题（共6小题） 11．已知方程，用含x的式子表示y，则y＝　 　 ． 12．已知，a，b满足方程组，则a+b的值为　 　 ． 13．在同一平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与y＝2x+m相交于点A（3，n），则关于x，y的方程组的解是 　 　 ． 14．小颖家离学校1200米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．她去学校共用了16分钟，已知小颖上坡路的平均速度是3千米/时，下坡路的平均速度是5千米/时，去时上坡路和下坡路分别是多少千米？设去时上坡路x千米，下坡路y千米，则可列方程组：　 　 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，图案由全等的4个长方形纸片摆成的．若点A（﹣3，7），则点B的坐标为 　 　 ． 16．若关于x，y的方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是 　 　 ． 三．解答题（共7小题） 17．用合适的方法解二元一次方程组 （1）； （2）． 18．已知关于x、y的方程组和的解相同． （1）求m、n的值． （2）求m+36n的平方根． 19．甲、乙两人共同解关于x，y的方程组，甲同学正确解得，而乙同学粗心看错了方程②中的系数c，解得，试计算（a+b+c）2的值． 20．[阅读理解]我们把四个数a、b、c、d排成两行两列，记为，称为二阶行列式，规定它的运算法则为． 小李同学在学习二元一次方程组的解法时，发现可以利用二阶行列式求解．例如：求二元一次方程组的解． 解：记， ， ， 则原方程组的解为． [类比应用] （1）若二阶行列式，求x的值． （2）已知方程组，利用二阶行列式求得D＝﹣11，请求出Dx、Dy，并写出该方程组的解． 21．当a，b都是实数，且满足2a﹣b＝6，就称点为完美点． （1）判断点A（2，3）是否为完美点，并说明理由． （2）已知关于x，y的方程组，当m为何值时，以方程组的解为坐标的点B（x，y）是完美点，请说明理由． 22．如图，一次函数的图象l1：yx+5分别与x轴，y轴交于A、B两点，正比例函数的图象l2与l1交于点C（m，）． （1）求m的值及l2的关系式； （2）方程组的解为 　 　 ； （3）求S△AOC﹣S△BOC的值． 23．如图，平面直角坐标系中，直线AB：交y轴于点A（0，1），交x轴于点B．直线x＝1交AB于点D，交x轴于点E，P是直线x＝1上一动点，且在点D的上方，设P（1，n）． （1）求直线AB的解析式和点B的坐标； （2）求△ABP的面积（用含n的代数式表示）； （3）当S△ABP＝2时，以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC，求点C的坐标． 北师大版八年级上数学 第五章二元一次方程组 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C A B C B B C B D 一．选择题（共10小题） 1．下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【分析】含有两个未知数，并且未知数的次数为1的方程组，据此逐项分析判断，即可作答． 【解答】解：A．第一个方程未知数x的次数为2，故不是二元一次方程组，不符合题意； B．含有三个未知数，故不是二元一次方程组，不符合题意； C．第二个方程含未知数的项的最高次数是2，故不是二元一次方程组，不符合题意； D．满足含有两个未知数，并且未知数的次数为1的方程组，故该选项是正确的，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了二元一次方程的定义，关键是二元一次方程定义的熟练掌握． 2．用代入法解方程组时，用①代入②得（　　） A．2﹣x（x﹣7）＝1 B．2x﹣1﹣7＝1 C．2x﹣3（x﹣7）＝1 D．2x﹣3x﹣7＝1 【分析】根据代入法的思想，把②中的y换为（x﹣7）即可． 【解答】解：①代入②得2x﹣3（x﹣7）＝1． 故选：C． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，主要考查了代入法的思想，比较简单． 3．方程组的解也是方程3x+ky＝10的解，则k的值是（　　） A．4 B．10 C．9 D． 【分析】解方程组求出x、y的值，再代入方程得出关于k的方程，解之可得． 【解答】解：解方程组，得：， 代入方程3x+ky＝10得6+k＝10， 解得k＝4， 故选：A． 【点评】此题考查二元一次方程解的定义和解法，解二元一次方程首先要消元，然后再求解，同时也考查的方程的同解，比较简单． 4．若方程mx+ny＝6的两个解是，，则m，n的值为（　　） A．2，4 B．4，2 C．﹣4，﹣2 D．﹣2，﹣4 【分析】把和代入方程mx+ny＝6得出方程组，再求出方程组的解即可． 【解答】解：把和代入方程mx+ny＝6，得 ， 解得：， 故选：B． 【点评】本题考查了二元一次方程的解，能根据二元一次方程的解得出关于m、n的方程组是解此题的关键． 5．已知m、n满足方程组，则（m+n）（m﹣n）的值为（　　） A．3 B．4 C．12 D．﹣12 【分析】利用（①+②）÷4，可求出m+n的值，利用（②﹣①）÷2，可求出m﹣n的值，再将其代入（m+n）（m﹣n）中，即可求出结论． 【解答】解：， （①+②）÷4得：m+n＝4； （②﹣①）÷2得：m﹣n＝3， ∴（m+n）（m﹣n）＝4×3＝12． 故选：C． 【点评】本题考查了解二元一次方程组以及代数式求值，通过解方程组，求出（m+n）及（m﹣n）的值是解题的关键． 6．某校课外小组的学生分组做课外活动，若每组7人，则余下3人；若每组8人，则少5人．设课外小组的人数为x，应分成的组数为y，可列方程组（　　） A． B． C． D． 【分析】此题中的等量关系有：①若每组7人，则余下3人；②若每组8人，则少5人．据此可列方程组． 【解答】解：若设课外小组的人数为x，应分成的组数为y， 由题意，可列方程组， 故选：B． 【点评】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组． 7．如果有理数x，y满足方程组那么x2﹣y2的值是（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4 【分析】先由2x﹣2y＝1，可得x﹣y，再应用平方差公式x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），再把x﹣y，x+y＝4代入即可得出答案． 【解答】解：由2x﹣2y＝1，可得x﹣y， x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝42． 故选：B． 【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解及平方差公式，熟练应用平方差公式及整体代入思想进行计算是解决本题的关键． 8．已知某座桥长800米，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全通过共用了1分钟，这列火车完全在桥上的时间为40秒，则火车的速度是（　　） A．20米/秒 B．18米/秒 C．16米/秒 D．15米/秒 【分析】设火车的速度是x米/秒，根据“已知某座桥长800米，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全通过共用了1分钟，这列火车完全在桥上的时间为40秒”，列出关于x的一元一次方程，解之，即可得到火车的速度． 【解答】解：设火车的速度是x米/秒， 根据题意得：800﹣40x＝60x﹣800， 解得：x＝16， ∴火车的速度是16米/秒． 故选：C． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元一次方程，是解题的关键． 9．我们定义一种新运算“※”，规定：x※y＝ax+by，其中a，b为常数，等式的右边是通常的加法和乘法运算，若5※2＝7，3※（﹣4）＝12，则4※3的值为（　　） A．﹣12 B． C． D． 【分析】根据新定义，得出方程组，利用加减消元法解方程组求出a，b的值，然后再根据新定义得出：4a+3b，把a，b代入进行计算即可． 【解答】解：∵5※2＝7，3※（﹣4）＝12， ∴得方程组， ①×2，得10a+4b＝14③， ②+③，得13a＝26， 解得：a＝2， 把a＝2代入①，得5×2+2b＝7， 解得：， ∴4※3＝4a+3b ＝8 ． 故选：B． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，有理数的混合运算，理解新定义，掌握解二元一次方程组的方法，有理数的混合运算法则是解题的关键． 10．甲、乙两车同时从A地出发，以各自的速度匀速向B地行驶，甲车先到达B地后，立即按原路以相同速度匀速返回（停留时间不作考虑），直到两车相遇，若甲、乙两车之间的距离y（千米）与两车行驶的时间x（小时）之间的函数图象如图，则A、B两地之间的距离为（　　）千米． A．150 B．300 C．350 D．450 【分析】设甲乙两车的速度分别为x千米/时、y千米/时，然后根据5小时时甲车到达B地，返回时相遇两个等量关系列出方程组求解，再根据5小时甲车到达B地列式计算即可得解． 【解答】解：设甲乙两车的速度分别为x千米/时、y千米/时， 由题意得，， 解方程组得， 所以，A、B两地之间的距离＝90×5＝450千米． 故选：D． 【点评】本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息并仔细观察图形列出方程组求出两车的速度是解题的关键． 二．填空题（共6小题） 11．已知方程，用含x的式子表示y，则y＝　　 ． 【分析】依次去分母，移项，系数化为1．即可得到答案． 【解答】解：方程两边同时乘以10得：6x﹣5y＝10， 移项得：﹣5y＝10﹣6x， 系数化为1得：y， 故答案为： 【点评】本题考查了解二元一次方程，正确掌握解二元一次方程的步骤是解题的关键． 12．已知，a，b满足方程组，则a+b的值为　　 ． 【分析】方程组两方程相加即可求出a+b的值． 【解答】解：， ①+②得：3（a+b）＝8， 则a+b， 故答案为：． 【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 13．在同一平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与y＝2x+m相交于点A（3，n），则关于x，y的方程组的解是 　　 ． 【分析】先将点P（3，n）代入y＝﹣x+4，求出n，即可确定方程组的解． 【解答】解：将点P（3，n）代入y＝﹣x+4， 得n＝﹣3+4＝1， ∴P（3，1）， ∴原方程组的解为． 故答案为：． 【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，求出两直线的交点坐标是解题的关键． 14．小颖家离学校1200米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．她去学校共用了16分钟，已知小颖上坡路的平均速度是3千米/时，下坡路的平均速度是5千米/时，去时上坡路和下坡路分别是多少千米？设去时上坡路x千米，下坡路y千米，则可列方程组：　　 ． 【分析】两个等量关系为：上坡用的时间+下坡用的时间＝16；上坡用的时间×上坡的速度+下坡用的时间×下坡速度＝1200，把相关数值代入即可求解． 【解答】解：可根据所用时间和所走的路程和得到相应的方程组为：， 故答案为：． 【点评】本题考查用二元一次方程组解决行程问题；得到走不同路段所用时间及所走的路程之和的等量关系是解决本题的关键．解题的关键是统一单位． 15．如图，在平面直角坐标系中，图案由全等的4个长方形纸片摆成的．若点A（﹣3，7），则点B的坐标为 　（7，2）　 ． 【分析】设小长方形纸片的长为x，宽为y，根据点A的坐标，列出二元一次方程组，解之得出x、y的值，结合点B所在的象限，即可得出结论． 【解答】解：设小长方形纸片的长为x，宽为y， 依题意得：， 解得：， ∵点B在第一象限， ∴点B的坐标为（7，2）， 故答案为：（7，2）． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 16．若关于x，y的方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是 　　 ． 【分析】把x﹣1，﹣y看作整体，则，从而得到方程组的解． 【解答】解：根据题意得：， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，运用整体思想解二元一次方程组是解题的关键． 三．解答题（共7小题） 17．用合适的方法解二元一次方程组 （1）； （2）． 【分析】（1）（2）采用适当的方法解二元一次方程组即可． 【解答】解：（1）， 把②代入①，得2x+2+x＝17， 解得x＝5③， 把③代入②，得y＝2+5＝7， ∴原方程组的解是． （2）， ②×2﹣①×3，得y＝3③， 把③代入①，得2x﹣9＝1， 解得x＝5， ∴原方程组的解是． 【点评】本题考查解二元一次方程组，掌握其解法是解题的关键． 18．已知关于x、y的方程组和的解相同． （1）求m、n的值． （2）求m+36n的平方根． 【分析】（1）把不含有m，n的两个二元一次方程联立成方程组，解方程组求出x，y，再把x，y的值代入含有m，n的方程，联立成方程组，解方程组求出m，n即可； （2）把（1）中所求的m，n代入m+36n进行计算，然后求出其平方根即可． 【解答】解：（1）根据题意得： ， ①×2得：4x+10y＝﹣52③， ②×5得：15x﹣10y＝90④， ③+④得：19x＝38， x＝2， 把x＝2代入①得：y＝﹣6， 把x＝2，y＝﹣6分别代入mx﹣ny＝﹣4和mx+ny＝﹣8得： ， ①+②得：m＝﹣3， 把m＝﹣3代入①得：， ∴； （2）由（1）可知：m＝﹣3，， ∴， ∴9的平方根为±3， 答：m+36n的平方根为±3． 【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握利用加减消元法解二元一次方程组． 19．甲、乙两人共同解关于x，y的方程组，甲同学正确解得，而乙同学粗心看错了方程②中的系数c，解得，试计算（a+b+c）2的值． 【分析】根据题意可：把代入②中得：6﹣c＝2，从而可得：c＝4，然后再根据题意得：把代入①中得：2a﹣b＝5③，把代入①中得：3a+b＝5④，从而进行计算可求出a和b的值，最后把a，b，c的值代入化简后的式子进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得：把代入②中得：6﹣c＝2， 解得：c＝4， 由题意得：把代入①中得：2a﹣b＝5③， 由题意得：把代入①中得：3a+b＝5④， ③+④得：5a＝10， 解得：a＝2， 把a＝2代入③中得；4﹣b＝5， 解得：b＝﹣1， ∴（a+b+c）2＝（2﹣1+4）2＝52＝25． 【点评】本题考查了二元一次方程的解，解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键． 20．[阅读理解]我们把四个数a、b、c、d排成两行两列，记为，称为二阶行列式，规定它的运算法则为． 小李同学在学习二元一次方程组的解法时，发现可以利用二阶行列式求解．例如：求二元一次方程组的解． 解：记， ， ， 则原方程组的解为． [类比应用] （1）若二阶行列式，求x的值． （2）已知方程组，利用二阶行列式求得D＝﹣11，请求出Dx、Dy，并写出该方程组的解． 【分析】（1）根据二阶行列式的运算法则，得到关于x的方程，再求出x的值． （2）根据用二阶行列式求解方程组的方法，求出Dx、Dy的值，再可以求出方程组的解． 【解答】解：（1）根据二阶行列式的运算法则可得， ∴x﹣2（x+1）＝1， 解得x＝﹣3． （2）根据题意得Dx，Dy， 则原方程组的解为． 【点评】本题考查了与二阶行列式相关的方程求解以及用二阶行列式的解方程组的相关知识，读懂材料中的运算法则及解方程组的方法是解题的关键． 21．当a，b都是实数，且满足2a﹣b＝6，就称点为完美点． （1）判断点A（2，3）是否为完美点，并说明理由． （2）已知关于x，y的方程组，当m为何值时，以方程组的解为坐标的点B（x，y）是完美点，请说明理由． 【分析】（1）根据完美点的定义判定即可； （2）用m表示a、b，构建方程即可解决问题； 【解答】解：（1）a﹣1＝2，可得a＝3，1＝3，可得b＝4， ∵2a﹣b≠6， ∴A（2，3）不是完美点． （2）∵， ∴， 2+m＝a﹣1，可得a＝m+3， 2﹣m1，可得b＝2﹣2m， ∵2a﹣b＝6， ∴2m+6﹣2+2m＝6， ∴m， ∴当m时，点B（x，y）是完美点． 【点评】本题考查二元方程组，点的坐标等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，属于创新题目． 22．如图，一次函数的图象l1：yx+5分别与x轴，y轴交于A、B两点，正比例函数的图象l2与l1交于点C（m，）． （1）求m的值及l2的关系式； （2）方程组的解为 　　 ； （3）求S△AOC﹣S△BOC的值． 【分析】（1）先求得点C的坐标，再运用待定系数法即可得到l2的解析式； （2）根据C点的坐标即可求解； （3）过C作CD⊥AO于D，CE⊥BO于E，则CD，CE，再根据A（10，0），B（0，5），可得AO＝10，BO＝5，进而得出S△AOC﹣S△BOC的值； 【解答】解：（1）把C（m，）代入一次函数yx+5， 可得，m+5，解得m， ∴C（，）． 设l2的解析式为y＝ax， 将点C（，）代入， 得a，解得a， ∴l2的解析式为yx； （2）∵正比例函数的图象l2与l1交于点C（，）， ∴方程组的解为， 故答案为：； （3）如图，过C作CD⊥AO于D，CE⊥BO于E，则CD，CE， 在yx+5中，令x＝0，则y＝5；令y＝0，则x＝10， ∴A（10，0），B（0，5）， ∴AO＝10，BO＝5， ∴S△AOC﹣S△BOC． 【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式，一次函数与二元一次方程组，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，利用了数形结合的思想． 23．如图，平面直角坐标系中，直线AB：交y轴于点A（0，1），交x轴于点B．直线x＝1交AB于点D，交x轴于点E，P是直线x＝1上一动点，且在点D的上方，设P（1，n）． （1）求直线AB的解析式和点B的坐标； （2）求△ABP的面积（用含n的代数式表示）； （3）当S△ABP＝2时，以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC，求点C的坐标． 【分析】（1）把A的坐标代入直线AB的解析式，即可求得b的值，然后在解析式中，令y＝0，求得x的值，即可求得B的坐标； （2）过点A作AM⊥PD，垂足为M，求得AM的长，即可求得△BPD和△PAB的面积，二者的和即可求得； （3）当S△ABP＝2时，，解得n＝2，则∠OBP＝45°，然后分A、B、P分别是直角顶点求解． 【解答】解：（1）∵经过A（0，1）， ∴b＝1， ∴直线AB的解析式是． 当y＝0时，，解得x＝3， ∴点B（3，0）． （2）过点A作AM⊥PD，垂足为M，则有AM＝1， ∵x＝1时，，P在点D的上方， ∴PD＝n， 由点B（3，0），可知点B到直线x＝1的距离为2，即△BDP的边PD上的高长为2， ∴， ∴； （3）当S△ABP＝2时，，解得n＝2， ∴点P（1，2）． ∵E（1，0）， ∴PE＝BE＝2， ∴∠EPB＝∠EBP＝45°． 第1种情况，如图1，∠CPB＝90°，BP＝PC， 过点C作CN⊥直线x＝1于点N． ∵∠CPB＝90°，∠EPB＝45°， ∴∠NPC＝∠EPB＝45°． 又∵∠CNP＝∠PEB＝90°，BP＝PC， ∴△CNP≌△BEP（AAS）， ∴PN＝NC＝EB＝PE＝2， ∴NE＝NP+PE＝2+2＝4， ∴C（3，4）． 第2种情况，如图2∠PBC＝90°，BP＝BC， 过点C作CF⊥x轴于点F． ∵∠PBC＝90°，∠EBP＝45°， ∴∠CBF＝∠PBE＝45°． 又∵∠CFB＝∠PEB＝90°，BC＝BP， ∴△CBF≌△PBE． ∴BF＝CF＝PE＝EB＝2， ∴OF＝OB+BF＝3+2＝5， ∴C（5，2）． 第3种情况，如图3，∠PCB＝90°，CP＝CB， ∴∠CPB＝∠EBP＝45°， 在△PCB和△PEB中， ， ∴△PCB≌△PEB（SAS）， ∴PC＝CB＝PE＝EB＝2， ∴C（3，2）． ∴以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC，点C的坐标是（3，4）或（5，2）或（3，2）． 【点评】本题是待定系数法求函数的解析式，以及等腰直角三角形的性质的综合应用，正确求得n的值，判断∠OBP＝45°是关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/11 21:43:55；用户：姚怀洪；邮箱：13927028828；学号：38450005 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $