精品解析：广东省深圳市南山区深圳湾学校2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年深圳湾学校九年级上数学期中试卷 一、选择题（共8小题） 1. 月饼是中秋节的美食代表，承载着深厚的中华文化底蕴．如图所示是一个月饼盒，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查简单几何体的俯视图．理解三视图的意义是正确判断的前提． 根据俯视图是从物体的上面看得到的图形，可得答案． 【详解】解：该几何体的主视图是： 故选：C． 2. 如图，，，，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，找准线段的对应关系是解决本题的关键． 根据得到，再代入数据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 3. 地面上铺满了正方形的地砖，现在向这一地面上抛掷半径为5cm的圆碟．为了估计圆碟与地砖间的间隙相交的概率，数学兴趣小组进行试验，得到了数据： 抛掷总次数 50 100 300 500 800 1000 圆碟与地砖间的间隙相交的次数 29 45 133 219 353 440 圆碟与地砖间的间隙相交的频率 由此可估计圆碟与地砖间的间隙相交的概率大约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，熟练掌握根据频率估计概率的方法是解题的关键，根据频率估计概率即可． 【详解】解：根据试验数据得：当试验次数逐渐增大时，圆碟与地砖间的间隙相交的频率在左右， 可估计圆碟与地砖间的间隙相交的概率大约为 故选：B 4. 小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象．两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．已知与交于点O，．若点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，得，得到，代入计算解答即可． 本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰的高度是， ∴， ∴， 解得， 故选：C． 5. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可以是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式，当判别式大于0时，方程有两个不相等的实数根．将方程化为标准形式后，计算判别式并解不等式即可确定a的取值范围．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解：对于方程 ，其判别式为 ， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴ ， 即， 解得． 故选：D． 6. 大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比（黄金分割比约为0.618）．如图，点为的黄金分割点（），若cm，则约为（ ） A. 42cm B. 38cm C. 62cm D. 70cm 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查黄金分割．根据黄金分割点的定义，列出比例式进行求解即可．熟练掌握黄金分割中的比例关系，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：，cm， ∴， ∴； 故选B． 7. 某中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，该中学计划在这块空地上划出三分之二的区域种花，设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空白区域的面积=矩形空地的面积可得． 【详解】解：设花带的宽度为xm，则可列方程为， 故选：B． 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是根据图形得出面积的相等关系． 8. 如图，正方形由四个全等的直角三角形拼接而成，连接相交于点．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，相似三角形的判定和性质等，过点作交于点，设交于点，设，由全等三角形的性质得，即得，进而可得，再分别由、可得，，最后根据即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作交于点，设交于点， ∵正方形由四个全等的直角三角形拼接而成， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题（共5小题） 9. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，将所求分式拆分为1减去已知分式，然后代入已知值计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 10. 已知a是方程的一个根，则代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，巧用整体思想是解题的关键． 将代入方程，再结合整体思想即可解决问题． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴ 故答案为： 11. 在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，．以原点为位似中心，把线段放大，得到线段，点的对应点的坐标是，则点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查位似图形，根据，可得，从而可得结论． 【详解】解：因为，，所以，所以的坐标是，即． 故答案为：． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数（k为常数，且，）的图象上，轴于点B，点C在x轴负半轴上，且，连接、，若的面积为3，则k的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】考查了反比例函数与几何图形的关系，解题的关键是利用线段的长度表示出关键点的坐标． 设点P的坐标并表示相关线段长度，根据三角形面积公式求出的值，根据反比例函数性质求出k的值即可； 【详解】设， ∵轴于点， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵的面积为， ∴． 即， 化简得， ． ∵点在反比例函数的图象上， ∴ ∴． 故答案为：4． 13. 在菱形中，，在上分别有一点，连接交于点，若，，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】解法一：连接交于点K，过点K作于点H，设，则，，结合菱形的性质可得均为等边三角形，从而得到，根据，可得，设，从而得到，，再由直角三角形的性质，可得，，从而得到，然后在中，利用勾股定理可得，根据，可得，再证明，可得到，从而得到，即可求解． 解法二：由解法一可得：，，可得，，可得，进一步可得答案. 【详解】解法一：如图，连接交于点K，过点K作于点H， ∵， ∴可设，则， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴均为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 解法二：由解法一可得：，， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质；理解菱形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 三、解答题（共7小题） 14. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键在于正确掌握因式分解法． （1）利用因式分解法解一元二次方程，即可解题； （2）利用因式分解法解一元二次方程，即可解题． 【小问1详解】 解： 则或， 解得； 【小问2详解】 解： 则或， 解得． 15. 早茶作为广东餐饮文化的重要组成部分，以其小吃精美、种类繁多、口味独特、价格实惠而闻名．张帆在广州旅游期间，决定在“．虾饺，．干蒸烧卖，．艇仔粥，．蜜汁叉烧包”四种茶点中选择喜欢的进行品尝．（选到每种茶点的可能性相同） （1）如果只选其中一种茶点品尝，张帆选到“蜜汁叉烧包”的概率是___________． （2）如果选择两种茶点品尝，请用画树状图或列表的方法求张帆选到“虾饺”和“艇仔粥”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）根据概率计算公式求解即可； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到张帆选到“虾饺”和“艇仔粥”的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有4种茶点，每种茶点被选到的概率相同， ∴只选其中一种茶点品尝，张帆选到“蜜汁叉烧包”的概率是； 【小问2详解】 解：画树状图如图所示： 由树状图知，共有12种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性相等，其中选到“虾饺”和“艇仔粥”的结果有2种， ∴（张帆选到“虾饺”和“艇仔粥”）． 16. 光照强度是指单位面积上所接受可见光的光通量，简称照度，智能玻璃可以通过自动调节其透明度而使室内达到合适的照度．学习小组通过查阅资料，发现照度是透明度的反比例函数，其图象如图所示． （1）求出y与x之间的函数表达式； （2）君子兰承载着传统文化中的高贵典雅、温和有礼等寓意．它适宜在照度至的室内生长，那么智能玻璃的透明度x应控制在什么范围内？请说明理由． 【答案】（1）； （2） 智能玻璃的透明度x应控制在范围内， 理由：把和3000分别代入得， ，， 智能玻璃的透明度x应控制在范围内． 【解析】 【分析】设y与x之间的函数表达式为，把代入即可得到结论； 把和3000分别代入得，即可得到结论． 本题考查了反比例函数的应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数表达式为， 把代入得，， 与x之间的函数表达式为； 【小问2详解】 略 17. 体育是学生综合素质发展的重要组成部分，跳绳和排球垫球是体育中考中学生选择较多的两个考试项目，跳绳和排球也成为学生必备的中考体育用品，某体育用品商店为满足学生需求，销售一种跳绳和排球套装，每套进货价为35元，销售价为58元．经统计，4月份的销售量为256套，6月份的销售量为400套． （1）求这种跳绳和排球套装4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）经市场预测，7月份的销售量将与6月份持平，商店为了减少库存，采用降价促销方式调查发现，每套的销售价每降低1元时，月销售量就会增加20套，该商店要想使月销售利润达到8400元，这种跳绳和排球套装每套的销售价应为多少元？ 【答案】（1） （2）跳绳和排球套装售价为50元时，月销售利润达8400元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设该款跳绳和排球套装4月份到6月份销售量的月平均增长率为，拿4月份的销售量乘以等于6月份的销售量建立方程求解； （2）设该款跳绳和排球套装售价为元，则每件的销售利润为元，根据每件利润乘以数量得到总利润建立方程求解． 【小问1详解】 解：设该款跳绳和排球套装4月份到6月份销售量的月平均增长率为． 根据题意，得 解得，（不合题意，舍去） 答：该款跳绳和排球套装4月份到6月份销售量的月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设该款跳绳和排球套装售价为元，则每件的销售利润为元． 根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去） 答：该款跳绳和排球套装售价为50元时，月销售利润达8400元． 18. 如图，在中，，为的外角的平分线，，垂足为，点为上一点，连接，交于点． （1）在不添加新的线的前提下，请增加一个条件：______，使得四边形为矩形，并说明理由； （2）若四边形为矩形，请用尺规作图的方法作一个菱形，使为菱形的一条对角线．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）（答案不唯一） 理由：， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形； （2） 四边形即为所求． 【解析】 【分析】添加：(答案不唯一)，根据等腰三角形的性质可证，根据平行线的性质可证，根据有三个角是直角的四边形是矩形，可证四边形为矩形； 延长到，使得，连接，，根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可知四边形是菱形且为菱形的一条对角线． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查作图-复杂作图，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，菱形的判定等知识，解决本题的关键是熟练的掌握矩形和菱形的判定定理，依据判定定理添加条件． 19. 阅读材料：各类方程的解法 求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想――转化，把未知转化为已知． 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解． （1）问题：方程的解是______； （2）拓展：用“转化”思想求方程的解； （3）应用：如图，已知矩形草坪的长，宽，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿走到点P处，把长绳段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求的长． 【答案】（1），， （2）； （3）AP的长为4m 【解析】 【分析】（1）先将该方程转化成，然后再求解即可； （2）由可得且，然后解出x即可； （3）设，则，然后根据勾股定理求得和，然后再根据列方程求出x即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 所以或或， ，，； 【小问2详解】 解：， 方程的两边平方，得， 即， ， 或， ，， 当时，， 所以不是原方程的解． 所以方程的解是； 【小问3详解】 解：因为四边形是矩形， 所以， 设，则， 因为， ，， ∴， ∴， 两边平方，得， 整理，得， 两边平方并整理，得；即， 所以． 经检验，是方程的解． 答：AP的长为4m． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用以及转换法的应用，掌握转换法是解答本题的关键． 20. 定义：菱形一边的中点与它所在边的对边的两个端点连线所形成的折线，叫做菱形的折中线．例如，如图 1，在菱形中，是的中点，连接，，则折线叫做菱形的折中线，折线的长叫做折中线的长． 已知，在菱形中，，是的中点，连接，． （1）如图 1，若，，求折中线的长； （2）如图 2，若，请探究折中线的长与菱形的边长之间满足的等量关系式，并说明理由； （3）若，且折中线中的或与菱形的一条对角线相等，求折中线的长． 【答案】（1） （2） 解：折中线的长等于，理由如下： ∵在菱形中，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴折中线的长等于． （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质与菱形的性质是解题的关键． （1）如图：连接，根据题意证得为等边三角形，利用勾股定理求出，即可解答； （2）证明，列出比例式，求出代入比例式求解即可； （3）当时，过点E作交的延长线于点F，过点B作于点G，利用勾股定理即可解答；当时，过点C作交的延长线于点F，证明，再，求出，即可解答． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵在菱形中，，， ∴为等边三角形， ∵点E为的中点， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在中，， ∴折中线的长为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由已知得折中线中的或只能与菱形中较短的对角线相等， 当时，如图，过点E作交的延长线于点F，过点B作于点G， ∴， 在中，， 在中，， ∵，， 在中，， ∴， 当时，如图，设相交于点，过点C作交的延长线于点F， ∴四边形是平行四边形． ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上，折中线的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年深圳湾学校九年级上数学期中试卷 一、选择题（共8小题） 1. 月饼是中秋节的美食代表，承载着深厚的中华文化底蕴．如图所示是一个月饼盒，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，，，，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 3. 地面上铺满了正方形的地砖，现在向这一地面上抛掷半径为5cm的圆碟．为了估计圆碟与地砖间的间隙相交的概率，数学兴趣小组进行试验，得到了数据： 抛掷总次数 50 100 300 500 800 1000 圆碟与地砖间的间隙相交的次数 29 45 133 219 353 440 圆碟与地砖间的间隙相交的频率 由此可估计圆碟与地砖间的间隙相交的概率大约为（ ） A. B. C. D. 4. 小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象．两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．已知与交于点O，．若点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可以是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 6. 大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比（黄金分割比约为0.618）．如图，点为的黄金分割点（），若cm，则约为（ ） A. 42cm B. 38cm C. 62cm D. 70cm 7. 某中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，该中学计划在这块空地上划出三分之二的区域种花，设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方形由四个全等的直角三角形拼接而成，连接相交于点．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题） 9. 若，则______． 10. 已知a是方程的一个根，则代数式的值为______． 11. 在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，．以原点为位似中心，把线段放大，得到线段，点的对应点的坐标是，则点的坐标是________． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数（k为常数，且，）的图象上，轴于点B，点C在x轴负半轴上，且，连接、，若的面积为3，则k的值为______． 13. 在菱形中，，在上分别有一点，连接交于点，若，，则的值为___________． 三、解答题（共7小题） 14. 解下列方程： （1）； （2）． 15. 早茶作为广东餐饮文化的重要组成部分，以其小吃精美、种类繁多、口味独特、价格实惠而闻名．张帆在广州旅游期间，决定在“．虾饺，．干蒸烧卖，．艇仔粥，．蜜汁叉烧包”四种茶点中选择喜欢的进行品尝．（选到每种茶点的可能性相同） （1）如果只选其中一种茶点品尝，张帆选到“蜜汁叉烧包”的概率是___________． （2）如果选择两种茶点品尝，请用画树状图或列表的方法求张帆选到“虾饺”和“艇仔粥”的概率． 16. 光照强度是指单位面积上所接受可见光的光通量，简称照度，智能玻璃可以通过自动调节其透明度而使室内达到合适的照度．学习小组通过查阅资料，发现照度是透明度的反比例函数，其图象如图所示． （1）求出y与x之间的函数表达式； （2）君子兰承载着传统文化中的高贵典雅、温和有礼等寓意．它适宜在照度至的室内生长，那么智能玻璃的透明度x应控制在什么范围内？请说明理由． 17. 体育是学生综合素质发展的重要组成部分，跳绳和排球垫球是体育中考中学生选择较多的两个考试项目，跳绳和排球也成为学生必备的中考体育用品，某体育用品商店为满足学生需求，销售一种跳绳和排球套装，每套进货价为35元，销售价为58元．经统计，4月份的销售量为256套，6月份的销售量为400套． （1）求这种跳绳和排球套装4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）经市场预测，7月份的销售量将与6月份持平，商店为了减少库存，采用降价促销方式调查发现，每套的销售价每降低1元时，月销售量就会增加20套，该商店要想使月销售利润达到8400元，这种跳绳和排球套装每套的销售价应为多少元？ 18. 如图，在中，，为的外角的平分线，，垂足为，点为上一点，连接，交于点． （1）在不添加新的线的前提下，请增加一个条件：______，使得四边形为矩形，并说明理由； （2）若四边形为矩形，请用尺规作图的方法作一个菱形，使为菱形的一条对角线．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 阅读材料：各类方程的解法 求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想――转化，把未知转化为已知． 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解． （1）问题：方程的解是______； （2）拓展：用“转化”思想求方程的解； （3）应用：如图，已知矩形草坪的长，宽，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿走到点P处，把长绳段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求的长． 20. 定义：菱形一边的中点与它所在边的对边的两个端点连线所形成的折线，叫做菱形的折中线．例如，如图 1，在菱形中，是的中点，连接，，则折线叫做菱形的折中线，折线的长叫做折中线的长． 已知，在菱形中，，是的中点，连接，． （1）如图 1，若，，求折中线的长； （2）如图 2，若，请探究折中线的长与菱形的边长之间满足的等量关系式，并说明理由； （3）若，且折中线中的或与菱形的一条对角线相等，求折中线的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $