专题18.5分式方程（知识点总结+9大题型+解题技巧）易错点重难点培优同步讲义 2025-2026学年人教版八年级上册

本讲义系统梳理分式方程核心知识，从定义识别、解法（去分母-验根）、增根判断，到实际应用（行程、工程问题），再到含参数分析、新定义、规律探究及方案设计，构建从基础巩固到能力提升再到拓展培优的递进学习支架。 资料以核心素养为导向，各题型含易错点警示（如去分母漏乘常数项）和解题技巧（如四步规范法），例题结合《九章算术》、神舟飞船等真实情境，培养数学眼光。新定义题型（如“互动分式”）和规律探究题发展创新意识，课中助力分层教学，课后便于学生查漏补缺，强化应用意识。

18.5分式方程 【基础巩固篇】 【题型1】分式方程的识别 1.核心知识点总结 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 关键特征：①是方程；②分母含未知数；③分子分母为整式。 2.高频考点梳理 判断给定方程是否为分式方程，常以选择题形式考查。 区分分式方程与整式方程（整式方程分母不含未知数）。 3.易错点警示 误将分母含常数的方程当作分式方程，如是整式方程。 忽略方程定义，仅看形式含分式就判定为分式方程。 4.解题技巧拆解 三步识别法：①看是否为方程；②找分母位置；③判断分母是否含未知数。 举例：（是），（否），（是）。 【例题1】．（25-26八年级上·全国·单元测试）下列各式中，不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-1】．（25-26八年级上·湖南常德·期中）有下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨，其中是分式方程的是 ．（填序号） 【变式题1-2】．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列关于x的方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是分式方程的是 ．（请填写序号） 【变式题1-3】．（24-25八年级下·上海·假期作业）已知方程：①，②，③，④，⑤，⑥，其中分式方程有 ． 【题型2】解不含参数的分式方程 1.核心知识点总结 解题基本步骤：去分母→解整式方程→验根→写结论。 去分母依据：等式性质2，两边同乘最简公分母（各分母所有因式的最高次幂）。 2.高频考点梳理 直接求解不含参数的分式方程，常以解答题形式考查。 最简公分母的确定与去分母的运算准确性。 3.易错点警示 去分母时漏乘不含分母的项，如解方程时，漏乘常数项3。 验根步骤缺失，未排除使最简公分母为0的解。 4.解题技巧拆解 四步规范法：①确定最简公分母并因式分解；②两边同乘最简公分母转化为整式方程；③解整式方程；④代入最简公分母验根（不为0则为解，为0则为增根，方程无解）。 【例题2】．（25-26九年级上·黑龙江大庆·月考）解方程：． 【变式题2-1】．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）解方程： (1) (2) 【变式题2-2】．（25-26八年级上·山东泰安·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 【变式题2-3】．（24-25八年级上·河北承德·阶段练习）珍珍解方程的步骤如下： 第一步：方程变形为． 第二步：去分母得…… (1)珍珍在解方程时第一步的变形依据是___________； (2)将珍珍解方程的步骤补全． 【题型3】分式方程增根的判断与求解 1.核心知识点总结 增根定义：去分母后所得整式方程的解，使原分式方程的最简公分母为0，这样的解叫做增根。 增根产生的原因：去分母时扩大了未知数的取值范围。 2.高频考点梳理 求分式方程的增根，或已知增根求相关参数(基础阶段仅判断增根)。 增根与原方程分母的关系(增根是分母为0的解)。 3.易错点警示 混淆增根与无解的概念，增根是整式方程的解但不是原分式方程的解。 求增根时未先化简分母直接令分子为0。 4.解题技巧拆解 两步求增根：①令最简公分母等于0，列方程；②解这个方程得到的解即为增根(需验证是否为整式方程的解)。 【例题3】．（25-26八年级上·山东淄博·月考）若关于x的分式方程 有增根，则m的值为（   ） A．0 B．2 C．3 D．1 【变式题3-1】．（25-26八年级上·山东淄博·月考）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（　　） A．或 B． C． D．或 【变式题3-2】．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）若关于的方程有增根，则的值是（    ） A． B．5 C．和5 D．3 【变式题3-3】．（25-26八年级上·山东威海·期中）已知关于的分式方程．当为何值时此方程无解？ 两位同学对此有不同的看法（如下表）：你认为谁的说法有道理，请说明理由并求出的值． 小临同学 这题很简单，只需要考虑分式方程有增根的情况就可以啦！ 小港同学 你说的不全面！能使方程无解的情况可不能只考虑分式方程解为增根的情况． 【能力提升篇】 【题型4】分式方程的实际应用(行程问题)(提升) 1.核心知识点总结 核心公式：路程，变形为。 常见类型：相遇问题、追及问题、速度变化问题。 2.高频考点梳理 解答题形式考查，结合生活场景(如高铁、自驾、骑行)设计问题。 重点考查路程、速度、时间的关系转化与验根的实际意义。 3.易错点警示 速度单位换算错误，如千米/时与米/秒混淆。 忽略验根的实际意义，如速度为负数或时间不合理未舍去。 4.解题技巧拆解 四步解题法：①设未知速度(通常设较慢速度为)；②用路程公式表示不同路段的时间；③根据时间关系列分式方程；④求解后检验解的合理性。 【例题4】．（25-26八年级上·重庆荣昌·期中）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则所列出的分式方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式题4-1】．（25-26八年级上·全国·课后作业）小红到离家2100米的学校参加联欢会，到学校时发现演出道具忘在家中，于是她马上步行回家取道具，随后骑自行车返回学校，已知小红骑自行车到学校比她从学校步行到家用时少20分钟，且骑自行车的平均速度是步行平均速度的3倍．设小红步行的平均速度为米/分，根据题意可得方程 ． 【变式题4-2】．（25-26八年级上·山东泰安·期中）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到1200里远的城市，所需时间比规定时间多2天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的3倍，求规定时间．设规定时间为y天，则可列出正确的分式方程为 ． 【变式题4-3】．（25-26八年级上·河北邢台·期中）某校为学生制定了篮球训练计划如下：要求每名学生先进行活动一，活动二的训练，再进行活动三． 活动一：篮球单手运球往返跑． 活动二：篮球双手交替运球往返跑． 两项活动规则如下：如图1，从起跑线处开始运球，到达折返线后折返回起跑线，途中篮球掉下时，必须捡起并回到掉球处继续运球跑． 嘉嘉在活动一中速度是在活动二中速度的倍，设嘉嘉在活动二中的速度为米/秒． （1）假设嘉嘉参加两项活动球均未掉落，求嘉嘉单手运球往返跑的时间比双手交替运球往返跑的时间少多少秒？（用含x的式子表示） （2）若嘉嘉在活动一中球未掉落，在进行活动二时，由于双手交替运球不熟练，球掉落，返回到掉球处浪费了4秒，结果进行两项活动共用时28秒，求嘉嘉在活动一中的速度． 活动三：篮球运球绕杆往返跑． 活动规则如下：沿图2规定路线运球绕杆往返跑． （3）若这条路线的总路程为36米，嘉嘉和淇淇依次完成活动三后，嘉嘉说：“咱俩共用时42秒”．淇淇说：“如果我用你跑的那么多时间，我只可以跑20米”．求这两名同学各跑了多少秒？ 【题型5】分式方程的实际应用(工程问题)(提升) 1.核心知识点总结 核心公式：工作量，通常设总工作量为1。 合作效率：总效率=各部分效率之和。 2.高频考点梳理 解答题形式考查，涉及工程队施工、任务完成等场景。 重点考查工作效率与工作时间的关系转化。 3.易错点警示 误将工作时间当作工作效率，如“单独完成需30天”误认为效率为30。 合作时间计算错误，忽略“先单独做再合作”的时间拆分。 4.解题技巧拆解 三步解题法：①设单独完成工作的时间为，表示出工作效率；②根据工作量关系(已完成工作量+剩余工作量=总工作量)列方程；③求解后检验解的实际合理性。 【例题5】．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）神舟二十一号载人飞船的成功发射，离不开高精度电子控制系统的支持，甲乙两组被分配了个飞船专用控制元件的生产任务，甲组独立生产了总量的三分之一后，乙组加入协作生产．已知乙组每天生产的元件数量是甲组的倍，整个生产任务共用天完成，问甲、乙两组每天分别能生产多少个专用控制元件? 【变式题5-1】．（25-26八年级上·云南昆明·期中）某化工厂采用机器人和机器人搬运化工原料，机器人比机器人每小时少搬运10千克，机器人搬运900千克所用时间与机器人搬运1000千克所用时间相等．求机器人，每小时分别搬运多少千克化工原料． 【变式题5-2】．（25-26八年级上·福建福州·期中）列分式方程解应用题：一台插秧机的工作效率相当于一个农民工作效率的120倍，用这台机器插秧8公顷水稻比80个农民人工插秧这些水稻要少用2小时．一个农民每小时插秧多少公顷水稻？ 【变式题5-3】．（25-26八年级上·全国·课后作业）某足球生产厂计划生产4800个足球，在生产完1200个后，采用了新技术，工作效率比原计划提高了，结果共用了21天完成全部任务．设原计划每天生产个足球，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【题型6】含参数分式方程的解的情况分析(提升) 1.核心知识点总结 参数影响：参数的取值决定分式方程解的存在性、正负性、整数性。 关键逻辑：先转化为整式方程，再结合分母不为0的条件分析。 2.高频考点梳理 求参数的取值范围(如解为非负数、正数、整数)。 结合不等式考查参数的整数解，常以填空题或解答题形式出现。 3.易错点警示 忽略“分母不为0”的隐含条件，仅考虑整式方程的解的条件。 解含参数的整式方程时出错，导致参数范围判断错误。 4.解题技巧拆解 四步分析：①去分母转化为整式方程；②解整式方程(用参数表示解)；③列出限制条件(解使原分母不为0+题目要求的解的条件)；④解不等式组求参数范围。 【例题6】．（23-24九年级上·重庆九龙坡·期中）如果关于的不等式组至少有个整数解，且关于的分式方程的解是非负数，则符合条件的所有整数的和是 ． 【变式题6-1】．（25-26八年级上·山东泰安·期中）若实数使关于的不等式组，有解且至多有3个整数解，且使关于的分式方程有整数解，则满足条件的整数的和为（   ） A． B．7 C．12 D． 【变式题6-2】．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）若关于的不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围为 ． 【变式题6-3】．（25-26八年级上·山东烟台·期中）关于的一元一次不等式组的解集为，关于的分式方程解为正数，试求出满足条件的整数的值之和． 【拓展培优篇】 【题型7】分式方程新定义型问题(培优) 1.核心知识点总结 解题关键：理解新定义的运算规则或概念，将其转化为熟悉的分式方程问题。 常见新定义类型：新运算、n阶分式、差分式等。 2.高频考点梳理 创新题型，以解答题形式考查，重点考查知识迁移能力。 结合新定义的规则列分式方程并求解，需检验解的合理性。 3.易错点警示 未能准确理解新定义的规则，导致方程列错。 忽略新定义中隐含的限制条件(如分母不为0、参数为正数)。 4.解题技巧拆解 三步转化：①精读新定义，明确规则(如“n阶分式”指两分式和为n)；②根据规则建立分式方程；③求解并检验(符合新定义限制+分母不为0)。 【例题7】．（24-25七年级下·浙江金华·期末）定义关于☆的一种新运算：（x，y是实数，且），例如． (1)求的值． (2)是否存在x的值，使得成立？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由． 【变式题7-1】．（24-25七年级下·山东济南·期末）当时，定义一种新运算：，例如：，． (1)________． (2)若，求出n的值． 【变式题7-2】．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）新定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“关联数对”．例如：使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“关联数对”． (1)下列数对是关于x的分式方程的“关联数对”有 ．（填字母） A：         B： (2)若数对是关于x的分式方程的“关联数对”，求n的值． (3)若数对（，且）是关于x的分式方程的“关联数对”，且关于x的方程，x有整数解，求整数m的值． 【变式题7-3】．（25-26八年级上·湖南常德·期中）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“互动分式”． (1)判断下列分式是否为分式的“互动分式”（若“是”，填“√”；若“不是”，填“×”． ①，（   ）②（   ） (2)小益在求分式的“互动分式”时，用了以下方法：设的“互动分式”为，则 ，∴，∴．请你仿照小益的方法求分式的“互动分式”； (3)若与是“互动分式”，且关于的方程的解为正整数，为正整数，求代数式的最大值． 【题型8】分式方程规律探究题(培优) 1.核心知识点总结 探究对象：分式方程的结构、解的规律，或解题步骤的规律。 核心方法：归纳法，通过特殊案例推导一般规律。 2.高频考点梳理 中考创新题型，以填空题或解答题形式考查，考查归纳推理能力。 重点考查“观察-猜想-验证”的探究过程。 3.易错点警示 观察不全面，仅根据1-2个例子就得出规律，导致规律错误。 验证规律时未代入原方程检验，导致规律不成立。 4.解题技巧拆解 四步探究：①观察已知方程的结构特征(分子、分母的规律)；②求解已知方程，分析解的规律；③猜想一般形式的方程及解；④代入验证规律的正确性。 【例题8】．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为，；方程的解为，；．．．．．． (1)根据上面的规律，猜想的解为 ； (2)利用（1）中的结论，将方程变形为的形式并求解； (3)解方程：． 【变式题8-1】．（25-26八年级上·山东聊城·期中）关于的方程： 的解为或； 的解为，； 的解为，； … 根据材料解决下列问题： (1)方程的解是 ； (2)猜想方程的解，并将所得的解代入方程中检验； (3)请用这个规律解关于的方程：． 【变式题8-2】．（24-25八年级下·甘肃张掖·期末）我们知道，任意一个正整数k都可以进行这样的分解：（m，n是正整数，且），在k的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称m×n是k的最佳分解，并规定：．例如：18可以分解成，或，因为，所以是18的最佳分解，所以． 【探索规律】 （1）__________；__________； （2）若x是正整数，猜想__________． 【应用规律】 （3）若，其中x是正整数，求x的值； （4）若，其中x是正整数，尝试直接写出所有x的值__________． 【变式题8-3】．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）类比推理是一种推理方法，即根据两种事物在某些特征上的相似，作出它们在其他特征上也可能相似的结论．触类旁通，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题的途径和方法． 观察下列计算过程： 这就是解稍复杂的计算中常用到的裂项相消法，即把每项恰当拆分，使得其中部分分数相互抵消，简化计算． 阅读下面一道例题的解答过程： 因式分解： 解：我们可以将拆成和即原式 在因式分解中，我们有时需要对多项式的某一项拆成两项或多项，其目的是使多项式能进行因式分解，像这样的方法称为拆项法． 请用类比的方法，解决以下问题： (1)①已知，则依据此规律________； ②请你利用拆项法进行因式分解： _______； (2)若a，b满足，求的值； (3)受此启发，解方程． 【题型9】分式方程方案设计问题（培优） 1.核心知识点总结 解题逻辑：先通过分式方程求出基础量（如单价、效率），再根据限制条件设计可行方案。 核心要求：方案需满足实际意义（如数量为正整数、总费用不超标）。 2.高频考点梳理 中考压轴题型，以解答题形式考查，综合考查方程求解、方案设计与最优选择。 重点考查“基础量求解→方案列举→最优方案筛选”的完整逻辑。 3.易错点警示 求出基础量后未检验，导致后续方案设计错误。 列举方案时遗漏可行情况，或未按要求筛选最优方案。 4.解题技巧拆解 六步设计法：①设未知数列分式方程求基础量（如单价、效率）；②检验基础量的合理性；③根据题目限制条件（如总费用、总数量）列出不等式；④求出变量的取值范围；⑤列举所有可行方案；⑥根据题目要求（如费用最低、效率最高）选择最优方案。 【例题9】．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）2025年春晚《秧BOT》节目中的机器人舞蹈，体现了我国人工智能领域的飞速发展．某物流公司采用、型机器人打包物品，某天共有11个机器人运作，型机器人共打包1080件物品，型机器人共打包750件物品，已知型机器人比型机器人每天多打包30件物品． (1)一个、型机器人每天分别打包多少件物品？ (2)“618”期间，物流公司每天使用、型机器人共同完成2460件物品的打包，请你求出所有的安排方案． 【变式题9-1】．（25-26八年级上·山东淄博·期中）根据以下素材，探索完成任务： 如何设计购票方案？ 素材一 某动物园成人票售价比儿童票售价高90元，且花费850元购买的成人票数与花费400元购买的儿童票数相同 素材二 为推广动物园旅游产业发展，动物园管理方决定增加售卖家庭票，其中包含2张成人票和2张儿童票，售价为450元．已知小明旅行团中共有5名成人和6名儿童 问题解决 任务1确定票价 请计算成人票和儿童票的售价 任务2拟定购票方案 根据素材二，请你为小明旅行团设计一种新的购票方案，使得购票总价最低，并计算总票价 【变式题9-2】．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）（1）某校八年级学生周末乘汽车到游览区游览，游览区距学校，一部分学生乘慢车先行，出发后，另一部分学生乘快车前行，结果他们同时到达游览区．已知快车的速度是慢车速度的1.2倍，求慢车的速度； （2）该游览区推出了优惠大酬宾活动，有以下两种优惠方案： 优惠 方案一 可购买100元代金券，每张85元，每次消费时最多可使用2张，未满100元的部分不得使用代金券．例如：某人消费130元，按照该方案使用代金券后，实际消费元． 说明：1．进入游览区领取号码牌，消费时刷号码牌，出游览区送还号码牌，并结算付费； 2．代金券可以用于支付游览区中购物、美食、玩乐等所有项目． 优惠 方案二 消费不满200元不优惠，满200元打九折，不得同时使用代金券． 若某位同学在优惠前的消费总金额为元，请说明该同学选择哪种方案更划算？ 【变式题9-3】．（24-25七年级下·浙江金华·阶段练习）根据素材，完成任务． 如何设计雪花模型材料采购方案？ 素材一 学校组织同学参与甲、乙两款雪花模型的制作．每款雪花模型都需要用到长、短两种管子材料．某同学用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型．已知制作一个甲、乙款雪花模型需要的长、短管子数分别为1：7与1：9． 素材二 某商店的店内广告牌如右所示．5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根． 1．短管子售价：m元/根，长管子售价：2m元/根 2．6月起，购买3根长管子赠送1根短管子． 3．本店库存数量有限，长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根，先到先得! 素材三 6月，学校有活动经费1280元，欲向该商店采购长、短管子各若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料无剩余），且采购经费恰好用完． 问题解决 任务一 分析雪花模型结构 求制作一个甲、乙款雪花模型分别需要长、短管子多少根？ 任务二 确定采购费用 试求m的值． 任务三 拟定采购方案 求出所有满足条件的采购方案． 同步练习 一、单选题 1．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）为贯彻落实健康第一的指导思想，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯．某校第一批为各班用400元购进跳绳，接着又用450元购进第二批跳绳，已知第二批跳绳数是第一批跳绳数的倍，且第二批每根跳绳进价比第一批的进价少5元，求第二批跳绳每根的进价是（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 2．（25-26八年级上·重庆荣昌·期中）已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围为（    ） A． B．且 C． D．且 3．（25-26八年级上·北京延庆·期中）某校八年级学生到距学校的延庆民俗博物馆参观．一部分学生骑自行车先走，出发后，其余学生乘汽车沿相同的路线行进，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车速度的3倍，求自行车的速度．设自行车的速度为．根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·黑龙江七台河·期中）若关于的分式方程无解，则需满足的条件是（  ） A．和 B． C． D．且 5．（25-26八年级上·全国·课后作业）关于的分式方程无解，则实数的取值是（   ） A． B． C．0 D．2 二、填空题 6．（25-26八年级上·山东聊城·期中）已知关于的方程有增根，则 ． 7．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）下列关于x的式子是分式方程的是 ．（请填写序号） ①；②；③；④． 8．（25-26八年级上·山东威海·期中）在某一施工段内，施工队计划在一定时间内完成米的地铁轨道安装工作，安装3天后改进了安装技术，每天比原计划多安装米，结果提前6天完成了安装任务，设施工队原计划每天安装米，根据题意可列方程为 ． 9．（25-26八年级上·上海·期中）已知关于的方程的根是负数，则的取值范围是 ． 10．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，．若，则x的值为 ． 三、解答题 11．（25-26八年级上·湖南株洲·期中）解方程： (1)； (2)． 12．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）下图是学分式方程的应用时，老师板书的问题和两名同学所列方程． 八（1）班、八（2）班两班师生前往某园林参加义务植树活动．已知八（1）班每天比八（2）班多种10棵树．如果分配给八（1）班、八（2）班两班的植树任务分别是150棵和120棵，问两个班每天各植树多少棵，才能同时完成任务？ 欣欣：     兰兰： 根据以上信息，回答下列问题： (1)欣欣同学所列方程中的表示：___________________，它的等量关系是：___________________；兰兰同学所列方程中的表示：___________________，它的等量关系是：___________________； (2)从以上两个同学所列方程中选择一个方程，回答老师提出的问题． 13．（25-26七年级上·上海普陀·月考）某服装店购进一批甲、乙两种款型T恤衫，甲种款型共用了7000元，乙种款型共用了5000元，甲种款型的件数是乙种款型件数的2倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元． (1)甲、乙两种款型的T恤衫分别购进多少件？ (2)甲、乙两种款型T恤衫均按照进价提高标价出售，要使销售完后利润总和等于4800元，求的值． 14．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“m”看不清楚：． (1)她把这个数“m”猜成5，请你帮小华解这个分式方程； (2)小华的妈妈说：“我看到标准答案是：原分式方程无解．”请你求出原分式方程中“m”代表的数是多少． 15．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）“如果你有时间，你一定要来一趟岳阳，吹吹洞庭湖的晚风，逛逛灯火璀璨的汴河街，看看啃笋打盹的熊猫”，节假日里，岳阳这座城市吸引了国内外很多游客，岳阳中华大熊猫苑游客络绎不绝，热闹非凡，附近商店的文创产品也深受游客喜爱．国庆期间，熊猫苑某商店用元购进的款文创产品和用元购进的款文创产品的数量相同，每件款文创产品的进价比款文创产品的进价多元． (1)求，两款文创产品每件的进价； (2)根据市场需求，该商店计划再用不超过元的总费用购进这两款文创产品共件进行销售，求款文创产品最多购进多少件？ 16．（25-26八年级上·北京·期中）观察下列等式：；；…… 根据以上规律，解决下列问题． (1)若为正整数，猜想_____； (2)计算：_____； (3)解关于的分式方程：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 18.5分式方程 【基础巩固篇】 【题型1】分式方程的识别 1.核心知识点总结 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 关键特征：①是方程；②分母含未知数；③分子分母为整式。 2.高频考点梳理 判断给定方程是否为分式方程，常以选择题形式考查。 区分分式方程与整式方程（整式方程分母不含未知数）。 3.易错点警示 误将分母含常数的方程当作分式方程，如是整式方程。 忽略方程定义，仅看形式含分式就判定为分式方程。 4.解题技巧拆解 三步识别法：①看是否为方程；②找分母位置；③判断分母是否含未知数。 举例：（是），（否），（是）。 【例题1】．（25-26八年级上·全国·单元测试）下列各式中，不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的定义，解题的关键是掌握分式方程的定义，根据分式方程的定义对各选项进行分析即可． 【详解】解：A、 B、 C三个方程中的分母均含有未知数，是分式方程，故A、 B、C均不符合题意； D中的式子是方程但分母中不含未知数，不是分式方程，故本选项符合题意． 故选：D． 【变式题1-1】．（25-26八年级上·湖南常德·期中）有下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨，其中是分式方程的是 ．（填序号） 【答案】③④⑤⑨ 【分析】本题考查了分式方程的定义．根据分式方程的定义，分母中含有未知数的方程称为分式方程．逐项判断各方程的分母是否含有未知数即可． 【详解】解：方程①的分母为，是常数，不含未知数，故不是分式方程； 方程②的分母为，是常数，不含未知数，故不是分式方程； 方程③的分母为，含有未知数，故是分式方程； 方程④的分母为，含有未知数，故是分式方程； 方程⑤的分母为，含有未知数，故是分式方程； 方程⑥无分母或分母为常数，故不是分式方程； 方程⑦的分母为和，均为常数，不含未知数，故不是分式方程； 方程⑧不是方程，故不考虑； 方程⑨的分母为和，均含有未知数，故是分式方程． 因此，分式方程为③④⑤⑨． 故答案为：③④⑤⑨． 【变式题1-2】．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列关于x的方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是分式方程的是 ．（请填写序号） 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程是分母中含有未知数的方程这一概念是解题的关键．根据分式方程的定义，判断每个方程是否为分式方程，即方程中是否含有分母且分母里含有未知数． 【详解】解：方程①，分母为，含有未知数，是分式方程； 方程②，分母分别为、、，均不含有未知数，不是分式方程； 方程③，分母为和，含有未知数，是分式方程； 方程④，分母为，含有未知数，是分式方程； 方程⑤，分母为和，是常数，不含有未知数，不是分式方程； 方程⑥，分母为2，不含有未知数，不是分式方程． 故答案为：①③④． 【变式题1-3】．（24-25八年级下·上海·假期作业）已知方程：①，②，③，④，⑤，⑥，其中分式方程有 ． 【答案】③④⑤ 【分析】本题考查分式方程的定义，熟练掌握“分母中含有未知数的方程叫做分式方程”是解题的关键．根据分式方程的定义，逐个判断即可，要注意分式方程中分母是关于未知数的整式． 【详解】解：①②分母中不含未知数，不是分式方程；③④⑤分母中含有未知数，是分式方程；⑥根号下含有未知数，是无理方程，不是分式方程， 故答案为：③④⑤． 【题型2】解不含参数的分式方程 1.核心知识点总结 解题基本步骤：去分母→解整式方程→验根→写结论。 去分母依据：等式性质2，两边同乘最简公分母（各分母所有因式的最高次幂）。 2.高频考点梳理 直接求解不含参数的分式方程，常以解答题形式考查。 最简公分母的确定与去分母的运算准确性。 3.易错点警示 去分母时漏乘不含分母的项，如解方程时，漏乘常数项3。 验根步骤缺失，未排除使最简公分母为0的解。 4.解题技巧拆解 四步规范法：①确定最简公分母并因式分解；②两边同乘最简公分母转化为整式方程；③解整式方程；④代入最简公分母验根（不为0则为解，为0则为增根，方程无解）。 【例题2】．（25-26九年级上·黑龙江大庆·月考）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，注意验根是解题的关键；去分母，转化为整式方程计算即可． 【详解】解： ， 解得：， 检验： 把代入： ， 分母不为0， 所以分式方程的解为． 【变式题2-1】．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1)原方程无解 (2) 【分析】本题考查解分式方程； （1）先移项，然后去分母方程两边乘以，化为一元一次方程求解，最后检验即可； （2）先移项，然后去分母方程两边乘以，化为一元一次方程求解，最后检验即可. 【详解】（1）解： 移项： 两边同乘以： 解得： 检验：当时，， ∴不是原方程的解，原方程无解. （2）解： 移项： 两边同乘以： 解得： 检验：当时，， ∴是原方程的解. 【变式题2-2】．（25-26八年级上·山东泰安·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的方法是解题的关键． （1）先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案； （2）先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【详解】（1）解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， 检验，当时，且， ∴是原方程的解； （2）解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， 检验，当时，， ∴是原方程的解． 【变式题2-3】．（24-25八年级上·河北承德·阶段练习）珍珍解方程的步骤如下： 第一步：方程变形为． 第二步：去分母得…… (1)珍珍在解方程时第一步的变形依据是___________； (2)将珍珍解方程的步骤补全． 【答案】(1)分式的基本性质 (2)见解析 【分析】本题考查分式方程的解法，涉及分式的基本性质、变形及解方程的步骤．需注意分母的符号变化以及检验增根的过程． （1）分式的基本性质是变形的基础，去分母后需仔细化简并验证解的合理性； （2）按照解分式方程的一般步骤进行补全即可，需注意分母的符号变化以及检验增根的过程． 【详解】（1）解：珍珍在解方程时第一步的变形依据是分式的基本性质（或分式的分子和分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值没有发生变化）； 故答案为：分式的基本性质； （2）解方程如下： 方程变形为 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得 经检验是原方程的解． 方程的解为． 【题型3】分式方程增根的判断与求解 1.核心知识点总结 增根定义：去分母后所得整式方程的解，使原分式方程的最简公分母为0，这样的解叫做增根。 增根产生的原因：去分母时扩大了未知数的取值范围。 2.高频考点梳理 求分式方程的增根，或已知增根求相关参数(基础阶段仅判断增根)。 增根与原方程分母的关系(增根是分母为0的解)。 3.易错点警示 混淆增根与无解的概念，增根是整式方程的解但不是原分式方程的解。 求增根时未先化简分母直接令分子为0。 4.解题技巧拆解 两步求增根：①令最简公分母等于0，列方程；②解这个方程得到的解即为增根(需验证是否为整式方程的解)。 【例题3】．（25-26八年级上·山东淄博·月考）若关于x的分式方程 有增根，则m的值为（   ） A．0 B．2 C．3 D．1 【答案】C 【分析】本题主要是考查了分式方程的增根，先将原式去分母整理得到关于x的整式方程，根据方程有增根可得x的值，代入整式方程可得m的值． 【详解】解：方程 两边都乘，得 ∵原方程有增根， ∴最简公分母， 解得， 当时，， 解得：， 故m的值是3． 故选：C． 【变式题3-1】．（25-26八年级上·山东淄博·月考）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（　　） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的增根问题，根据解分式方程的方法去分母，把分式方程化为整式方程；接下来把增根的值代入到整式方程中，就可以求出m的值． 【详解】解：， 去分母，得， ∵关于x的分式方程有增根， ∴是分式方程的增根， 当时，， 解得； 当时，， 解得； ∴或， 故选：A． 【变式题3-2】．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）若关于的方程有增根，则的值是（    ） A． B．5 C．和5 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查分式方程增根的定义，解决本题的关键是要熟练掌握分式方程的解法和增根的定义． 分式方程的增根是使得最简公分母为0的未知数的取值，根据分式方程的增根定义即可求解． 【详解】解：∵有增根， ∴的解为方程的增根， ∴为方程的增根， ∴ ， 将代入得， ， 故选D． 【变式题3-3】．（25-26八年级上·山东威海·期中）已知关于的分式方程．当为何值时此方程无解？ 两位同学对此有不同的看法（如下表）：你认为谁的说法有道理，请说明理由并求出的值． 小临同学 这题很简单，只需要考虑分式方程有增根的情况就可以啦！ 小港同学 你说的不全面！能使方程无解的情况可不能只考虑分式方程解为增根的情况． 【答案】 小港同学的说法有道理，理由见解析；或或 【分析】本题考查了分式方程的无解问题，关键是无解需分情况讨论； 分式方程无解包括有增根和分式方程化成的整式方程无解两种情况，分类讨论即可． 【详解】答：小港同学的说法有道理， ， 整理得：， ， ∵分式方程无解， ∴①分式方程有增根； ∴或 ∴或 当时，，； 当时，，； ②整式方程无解，，， 综上：小港同学的说法有道理，当或或时，此方程无解． 【能力提升篇】 【题型4】分式方程的实际应用(行程问题)(提升) 1.核心知识点总结 核心公式：路程，变形为。 常见类型：相遇问题、追及问题、速度变化问题。 2.高频考点梳理 解答题形式考查，结合生活场景(如高铁、自驾、骑行)设计问题。 重点考查路程、速度、时间的关系转化与验根的实际意义。 3.易错点警示 速度单位换算错误，如千米/时与米/秒混淆。 忽略验根的实际意义，如速度为负数或时间不合理未舍去。 4.解题技巧拆解 四步解题法：①设未知速度(通常设较慢速度为)；②用路程公式表示不同路段的时间；③根据时间关系列分式方程；④求解后检验解的合理性。 【例题4】．（25-26八年级上·重庆荣昌·期中）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则所列出的分式方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，理解题意是解决本题的关键． 设规定时间为x天，根据题意，慢马送信时间为天，速度为；快马送信时间为天，速度为．快马速度是慢马速度的倍，据此列方程即可． 【详解】解：设规定时间为x天， ∵慢马所需时间为天， ∴慢马速度为； ∵快马所需时间为天， ∴快马速度为； ∵快马速度是慢马速度的倍， ∴， 故选A． 【变式题4-1】．（25-26八年级上·全国·课后作业）小红到离家2100米的学校参加联欢会，到学校时发现演出道具忘在家中，于是她马上步行回家取道具，随后骑自行车返回学校，已知小红骑自行车到学校比她从学校步行到家用时少20分钟，且骑自行车的平均速度是步行平均速度的3倍．设小红步行的平均速度为米/分，根据题意可得方程 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设小红步行的平均速度为米/分，则骑自行车的平均速度为米/分，根据骑自行车到学校的时间比步行到家的时间少20分钟，利用速度、时间和路程的关系列出方程即可． 【详解】解：设小红步行的平均速度为米/分，则骑自行车的平均速度为米/分， 由题意得，， 故答案为：． 【变式题4-2】．（25-26八年级上·山东泰安·期中）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到1200里远的城市，所需时间比规定时间多2天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的3倍，求规定时间．设规定时间为y天，则可列出正确的分式方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列分式方程，设规定时间为天，则快马所需时间为天，慢马所需时间为天，再根据快马的速度是慢马的3倍列出方程，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：由题意得，快马速度为里/天，慢马速度为里/天， 由于快马速度是慢马速度的3倍，故有方程：． 故答案为：． 【变式题4-3】．（25-26八年级上·河北邢台·期中）某校为学生制定了篮球训练计划如下：要求每名学生先进行活动一，活动二的训练，再进行活动三． 活动一：篮球单手运球往返跑． 活动二：篮球双手交替运球往返跑． 两项活动规则如下：如图1，从起跑线处开始运球，到达折返线后折返回起跑线，途中篮球掉下时，必须捡起并回到掉球处继续运球跑． 嘉嘉在活动一中速度是在活动二中速度的倍，设嘉嘉在活动二中的速度为米/秒． （1）假设嘉嘉参加两项活动球均未掉落，求嘉嘉单手运球往返跑的时间比双手交替运球往返跑的时间少多少秒？（用含x的式子表示） （2）若嘉嘉在活动一中球未掉落，在进行活动二时，由于双手交替运球不熟练，球掉落，返回到掉球处浪费了4秒，结果进行两项活动共用时28秒，求嘉嘉在活动一中的速度． 活动三：篮球运球绕杆往返跑． 活动规则如下：沿图2规定路线运球绕杆往返跑． （3）若这条路线的总路程为36米，嘉嘉和淇淇依次完成活动三后，嘉嘉说：“咱俩共用时42秒”．淇淇说：“如果我用你跑的那么多时间，我只可以跑20米”．求这两名同学各跑了多少秒？ 【答案】（1）秒；（2）嘉嘉在活动一的速度为4米/秒；（3）嘉嘉同学跑了15秒，淇淇同学跑了27秒 【分析】本题考查分式方程解实际应用题，涉及分式运算、解分式方程等知识，读懂题意，准确列出分式及分式方程，掌握分式方程解法是解决问题的关键． （1）根据题意，得到嘉嘉在两项活动中的用时，作差，利用分式减法运算求解即可得到答案； （2）根据题意，得到嘉嘉在两项活动中的用时，列出分式方程，求解即可得到答案； （3）根据题意，设淇淇跑了秒，则嘉嘉跑了秒，列出分式方程，求解即可得到答案． 【详解】（1）解： （秒）， 答：嘉嘉单手运球往返跑的时间比双手交替运球往返跑的时间少秒； （2）解：， 化简，得， 方程两边同乘，得：， 解得：， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为， ， 答：嘉嘉在活动一的速度为4米/秒； （3）设淇淇跑了秒，则嘉嘉跑了秒， ， 方程两边同乘，得， 解得：， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为， ， 答：嘉嘉同学跑了15秒，淇淇同学跑了27秒． 【题型5】分式方程的实际应用(工程问题)(提升) 1.核心知识点总结 核心公式：工作量，通常设总工作量为1。 合作效率：总效率=各部分效率之和。 2.高频考点梳理 解答题形式考查，涉及工程队施工、任务完成等场景。 重点考查工作效率与工作时间的关系转化。 3.易错点警示 误将工作时间当作工作效率，如“单独完成需30天”误认为效率为30。 合作时间计算错误，忽略“先单独做再合作”的时间拆分。 4.解题技巧拆解 三步解题法：①设单独完成工作的时间为，表示出工作效率；②根据工作量关系(已完成工作量+剩余工作量=总工作量)列方程；③求解后检验解的实际合理性。 【例题5】．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）神舟二十一号载人飞船的成功发射，离不开高精度电子控制系统的支持，甲乙两组被分配了个飞船专用控制元件的生产任务，甲组独立生产了总量的三分之一后，乙组加入协作生产．已知乙组每天生产的元件数量是甲组的倍，整个生产任务共用天完成，问甲、乙两组每天分别能生产多少个专用控制元件? 【答案】甲组每天生产个，乙组每天生产个 【分析】本题考查了分式方程的工程问题，解题关键是找准等量关系． 设甲组每天能生产个专用控制元件，则乙组每天能生产个专用控制元件，根据题中的等量关系列出分式方程求解，进而求得甲组每天生产个，乙组每天生产个． 【详解】解：设甲组每天能生产个专用控制元件， 则乙组每天能生产个专用控制元件， 可列方程为， 解得：， 经检验是所列分式方程的解， 所以乙组每天分别能生产个专用控制元件， 答：甲组每天生产个，乙组每天生产个． 【变式题5-1】．（25-26八年级上·云南昆明·期中）某化工厂采用机器人和机器人搬运化工原料，机器人比机器人每小时少搬运10千克，机器人搬运900千克所用时间与机器人搬运1000千克所用时间相等．求机器人，每小时分别搬运多少千克化工原料． 【答案】机器人A每小时搬运90千克化工原料，机器人B每小时搬运100千克化工原料． 【分析】本题考查分式方程的实际应用，解题的关键是根据“工作时间相等”这一等量关系列出分式方程． 设机器人A每小时搬运的重量为未知数，结合机器人B与A的搬运量关系表示出B的速度，再根据时间相等的条件列方程求解． 【详解】解：设机器人A每小时搬运千克化工原料，则机器人B每小时搬运千克化工原料， ， 解得：， 检验：当时，，所以是原方程的解， 则机器人B每小时搬运：（千克）． 答：机器人A每小时搬运90千克，机器人B每小时搬运100千克． 【变式题5-2】．（25-26八年级上·福建福州·期中）列分式方程解应用题：一台插秧机的工作效率相当于一个农民工作效率的120倍，用这台机器插秧8公顷水稻比80个农民人工插秧这些水稻要少用2小时．一个农民每小时插秧多少公顷水稻？ 【答案】 一个农民每小时插秧公顷 【分析】本题考查分式方程的应用，通过设未知数表示工作效率，根据时间差建立方程求解． 【详解】解：设一个农民每小时插秧公顷，则插秧机每小时插秧公顷， 插秧机插秧8公顷所需时间为小时，80个农民插秧8公顷所需时间为小时， 根据题意，， 化简得， 即， ， 解得． 经检验，是原方程的解， 答：一个农民每小时插秧公顷． 【变式题5-3】．（25-26八年级上·全国·课后作业）某足球生产厂计划生产4800个足球，在生产完1200个后，采用了新技术，工作效率比原计划提高了，结果共用了21天完成全部任务．设原计划每天生产个足球，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设原计划每天生产个足球，则采用新技术后每天生产个足球，采用新技术前，生产时间为天，采用新技术后，生产时间为天，再根据一共用了21天完成任务即可列出对应的方程． 【详解】解：设原计划每天生产个足球，则采用新技术后每天生产个足球， 由题意得，， 故选：B． 【题型6】含参数分式方程的解的情况分析(提升) 1.核心知识点总结 参数影响：参数的取值决定分式方程解的存在性、正负性、整数性。 关键逻辑：先转化为整式方程，再结合分母不为0的条件分析。 2.高频考点梳理 求参数的取值范围(如解为非负数、正数、整数)。 结合不等式考查参数的整数解，常以填空题或解答题形式出现。 3.易错点警示 忽略“分母不为0”的隐含条件，仅考虑整式方程的解的条件。 解含参数的整式方程时出错，导致参数范围判断错误。 4.解题技巧拆解 四步分析：①去分母转化为整式方程；②解整式方程(用参数表示解)；③列出限制条件(解使原分母不为0+题目要求的解的条件)；④解不等式组求参数范围。 【例题6】．（23-24九年级上·重庆九龙坡·期中）如果关于的不等式组至少有个整数解，且关于的分式方程的解是非负数，则符合条件的所有整数的和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了由不等式组的解的情况求参数的取值范围，由分式方程解的情况求参数的取值范围，有理数的加法运算，先求出不等式组的解集，根据解的情况可得，再求出分式方程的解，根据分式方程解的情况可得且，进而得到的取值范围，即可求出符合条件的所有整数的值，最后相加即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：解不等式组，得， ∵不等式组至少有个整数解， ∴， 解分式方程，得， ∵分式方程的解是非负数， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴且， ∴符合条件的整数的值为，，，， ∴符合条件的所有整数的和是， 故答案为：． 【变式题6-1】．（25-26八年级上·山东泰安·期中）若实数使关于的不等式组，有解且至多有3个整数解，且使关于的分式方程有整数解，则满足条件的整数的和为（   ） A． B．7 C．12 D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，一元一次不等式组的整数解，掌握相应的运算法则是关键． 解出不等式组的解集，根据不等式组有解且至多个整数解，求得的取值范围；解分式方程，检验，根据方程有整数解求得的值，最后求和即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∵不等式组有解且至多有个整数解， 所以， 解得：， ， 方程两边同时乘得：， 化简得：， 当时，， ∵是分式方程的增根，此时分式方程无解， ∴，解得：， ∵方程有整数解， ∴或， 解得：或或或， 又∵且，， ∴或或， ∴， 故选：B． 【变式题6-2】．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）若关于的不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围为 ． 【答案】 且 【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组．先解不等式组，根据至少有2个整数解，得到；再解分式方程，得到，由解为非负数且分母不为零，得到且；综合可得的取值范围． 【详解】解不等式组，得， ∵至少有2个整数解， ∴， 解得． 解分式方程，得， ∵解为非负数， ∴， ∴． ∵ ∴， ∴． ∴的取值范围是 且． 故答案为： 且． 【变式题6-3】．（25-26八年级上·山东烟台·期中）关于的一元一次不等式组的解集为，关于的分式方程解为正数，试求出满足条件的整数的值之和． 【答案】11 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，分式方程的解法．先根据不等式组的解集的情况求解的取整范围，再结合分式方程的解为正数进一步求解即可． 【详解】解： 由①得， 由②得， 关于的不等式组的解集为， ， ， 解得， 又， 方程两边同时乘，得， 解得． 关于的分式方程的解为正数， 由③得，由④得， 且． 的取值范围为，且， 满足条件的整数的值为2，4，5 所有满足条件的正数的值之和为． 【拓展培优篇】 【题型7】分式方程新定义型问题(培优) 1.核心知识点总结 解题关键：理解新定义的运算规则或概念，将其转化为熟悉的分式方程问题。 常见新定义类型：新运算、n阶分式、差分式等。 2.高频考点梳理 创新题型，以解答题形式考查，重点考查知识迁移能力。 结合新定义的规则列分式方程并求解，需检验解的合理性。 3.易错点警示 未能准确理解新定义的规则，导致方程列错。 忽略新定义中隐含的限制条件(如分母不为0、参数为正数)。 4.解题技巧拆解 三步转化：①精读新定义，明确规则(如“n阶分式”指两分式和为n)；②根据规则建立分式方程；③求解并检验(符合新定义限制+分母不为0)。 【例题7】．（24-25七年级下·浙江金华·期末）定义关于☆的一种新运算：（x，y是实数，且），例如． (1)求的值． (2)是否存在x的值，使得成立？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)3，见解析 【分析】本题考查了实数的新运算与分式方程的求解，根据新运算的定义正确列出式子是解决本题的关键． （1）根据☆的新运算定义计算即可； （2）根据☆的新运算先表示出与，再由分式方程的解法求解并检验即可． 【详解】（1）解：． （2）解：，， ∵， ∴，即， 即， 去分母，得， 解这个方程，得． 经检验是原方程的解． ∴原方程的解为． 【变式题7-1】．（24-25七年级下·山东济南·期末）当时，定义一种新运算：，例如：，． (1)________． (2)若，求出n的值． 【答案】(1)3 (2)0 【分析】本题主要考查新定义与分式方程的求解，根据题目给定公式代值计算即可，理解题意是解题关键． （1）根据题目所给条件代值进去计算即可求出， （2）根据题意代入解分式方程即可求出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴； 故答案为：3； （2）解：∵， ∴， 解得， 经检验：为原分式方程的解， ∴． 【变式题7-2】．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）新定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“关联数对”．例如：使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“关联数对”． (1)下列数对是关于x的分式方程的“关联数对”有 ．（填字母） A：         B： (2)若数对是关于x的分式方程的“关联数对”，求n的值． (3)若数对（，且）是关于x的分式方程的“关联数对”，且关于x的方程，x有整数解，求整数m的值． 【答案】(1)A (2) (3)1． 【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，读懂题意，准确理解新定义，运用知识的迁移能力求解即可，理解“关联数对”的定义是解题的关键． （1）根据“关联数对”定义逐个计算判断即可得到答案； （2）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解及，列方程求解即可得到答案； （3）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解及，列方程解得，再由关于的方程，有整数解，将代入恒等变形为，解出，进而得到或或或，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，分式方程，解得， ， 是“关联数对”； 当时，分式方程，解得， ， 不是“关联数对”； 故答案为：A； （2）解：是关于x的分式方程的“关联数对”， ， 解得， ， 解得． （3）解：是关于x的分式方程的“关联数对”， ， 解得：， ， 当时，解得， 将化简得， ， 解得， 关于x的方程，x有整数解，且为整数， 或， 即或或或， 解得或或（舍去）或（舍去）， ， ． 【变式题7-3】．（25-26八年级上·湖南常德·期中）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“互动分式”． (1)判断下列分式是否为分式的“互动分式”（若“是”，填“√”；若“不是”，填“×”． ①，（   ）②（   ） (2)小益在求分式的“互动分式”时，用了以下方法：设的“互动分式”为，则 ，∴，∴．请你仿照小益的方法求分式的“互动分式”； (3)若与是“互动分式”，且关于的方程的解为正整数，为正整数，求代数式的最大值． 【答案】(1)①√；②× (2) (3)或 【分析】本题考查了分式的混合运算，分式有意义的条件，理解新定义是解题的关键． （1）根据互动分式的定义进行判断； （2）仿照题目中给到的方法进行求解； （3）根据（2）找规律求出；再根据分式方程解的情况求出，求出代数式，再对代数式配方求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ， ∴， ∴是分式的“互动分式”， ②∵， ， ∴， ∴不是分式的“互动分式”， 故答案为：①√；②×． （2）解：设的“互动分式”为， 则， ∴， 即， ∴． 所以分式的“互动分式”为； （3）解：∵设与为“互动分式”， ∴，或， ∴，或 解得：，或， ∵是的“互动分式”， ∴且，，或且，， ∴，或， 解得，或， ∵关于的方程， 整理得：， ∵解为正整数，为正整数， ∴， 经检验时，， ∴符合意义， 当时， ∴， ∴当时的最大值是7； 当时， ， ∴当时的最大值是． 综上所述：最大值为或． 【题型8】分式方程规律探究题(培优) 1.核心知识点总结 探究对象：分式方程的结构、解的规律，或解题步骤的规律。 核心方法：归纳法，通过特殊案例推导一般规律。 2.高频考点梳理 中考创新题型，以填空题或解答题形式考查，考查归纳推理能力。 重点考查“观察-猜想-验证”的探究过程。 3.易错点警示 观察不全面，仅根据1-2个例子就得出规律，导致规律错误。 验证规律时未代入原方程检验，导致规律不成立。 4.解题技巧拆解 四步探究：①观察已知方程的结构特征(分子、分母的规律)；②求解已知方程，分析解的规律；③猜想一般形式的方程及解；④代入验证规律的正确性。 【例题8】．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为，；方程的解为，；．．．．．． (1)根据上面的规律，猜想的解为 ； (2)利用（1）中的结论，将方程变形为的形式并求解； (3)解方程：． 【答案】(1)，； (2)，， (3)，． 【分析】（1）仿照材料解方程，归纳总结得到结果； （2）先将原方程进行变形可得：，然后利用（1）的结论进行计算，即可解答； （3）先将原方程进行变形可得：，然后利用（1）的结论进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：根据上面的规律，猜想的解为：，． 故答案为：， （2）解：由， 得， ∴， ∴， 由（1）中法规律得方程的解为：， ； （3）解：由， 得， ∴， ∴， ∴， ∴，或， 解得，． 【点睛】本题考查了解分式方程，分式方程的解，规律型：数字的变化类，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【变式题8-1】．（25-26八年级上·山东聊城·期中）关于的方程： 的解为或； 的解为，； 的解为，； … 根据材料解决下列问题： (1)方程的解是 ； (2)猜想方程的解，并将所得的解代入方程中检验； (3)请用这个规律解关于的方程：． 【答案】(1)或 (2)或，过程见解析 (3)或 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是将方程转化为的形式． （1）由可得，根据题意可得； （2）由（1）的形式即可猜想方程的解；代入原方程判断能否是方程两边相等即可； （3）先将原方程转化为的形式，然后得到或，然后解得即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴该方程的解为：或； 故答案为：或； （2）解：方程的解为：或， 检验：当时，左边右边，故是方程的解， 当时，左边右边，故也是方程的解； （3）解：将方程左边整理得： ； 方程右边整理为： ； ∴原方程可化为：， ∴或， 解得，或． 【变式题8-2】．（24-25八年级下·甘肃张掖·期末）我们知道，任意一个正整数k都可以进行这样的分解：（m，n是正整数，且），在k的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称m×n是k的最佳分解，并规定：．例如：18可以分解成，或，因为，所以是18的最佳分解，所以． 【探索规律】 （1）__________；__________； （2）若x是正整数，猜想__________． 【应用规律】 （3）若，其中x是正整数，求x的值； （4）若，其中x是正整数，尝试直接写出所有x的值__________． 【答案】（1）；1；（2）；（3）4042；（4）7或8或13 【分析】（1）理解题意，根据“最佳分解”的定义进行计算即可； （2）由，结合“最佳分解”的定义即可得出答案； （3）结合（2）可得出关于x的分式方程，解出x，再验算即可； （4）根据题意可设，且t为正整数，可得，再由t，x均为正整数，，然后分类建立方程组求解即可． 【详解】解：（1）20可以分解成，或，因为， 所以是20的最佳分解， 所以； 36可以分解成，，，或，因为， 所以是的最佳分解， 所以； 故答案为：；1； （2）∵，且， ∴； 故答案为：； （3）∵ ∴， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意； ∴x的值为4042； （4）∵， ∴可设，且t为正整数， ∴， ∴， ∵t，x均为正整数，， ∴或或或或 ∴（舍去）或或（舍去）或或， ∴所有x的值为7或8或13． 故答案为：7或8或13 【点睛】本题考查用新定义解决数学问题，根据最佳分解，表示出，建立方程是求解本题的关键． 【变式题8-3】．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）类比推理是一种推理方法，即根据两种事物在某些特征上的相似，作出它们在其他特征上也可能相似的结论．触类旁通，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题的途径和方法． 观察下列计算过程： 这就是解稍复杂的计算中常用到的裂项相消法，即把每项恰当拆分，使得其中部分分数相互抵消，简化计算． 阅读下面一道例题的解答过程： 因式分解： 解：我们可以将拆成和即原式 在因式分解中，我们有时需要对多项式的某一项拆成两项或多项，其目的是使多项式能进行因式分解，像这样的方法称为拆项法． 请用类比的方法，解决以下问题： (1)①已知，则依据此规律________； ②请你利用拆项法进行因式分解： _______； (2)若a，b满足，求的值； (3)受此启发，解方程． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算、因式分解与解分式方程，解题的关键是明确题意，理解裂项相消法的应用以及熟练求解分式方程． （1）①类比题材即可得解，②类比题材即可因式分解； （2）根据绝对值和偶次方的非负性得，，然后代入所求式子利用裂项相消法即可求解； （3）利用拆项法因式分解后再利用裂项相消法化简方程，解化简后的分式方程即可． 【详解】（1）解：①∵ ∴类比得． ②． 故答案为：①；②； （2）解：∵，满足，即 ∴，， 解得：，． ； 故答案为：． （3）解：， ， ， ， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为． 【题型9】分式方程方案设计问题（培优） 1.核心知识点总结 解题逻辑：先通过分式方程求出基础量（如单价、效率），再根据限制条件设计可行方案。 核心要求：方案需满足实际意义（如数量为正整数、总费用不超标）。 2.高频考点梳理 中考压轴题型，以解答题形式考查，综合考查方程求解、方案设计与最优选择。 重点考查“基础量求解→方案列举→最优方案筛选”的完整逻辑。 3.易错点警示 求出基础量后未检验，导致后续方案设计错误。 列举方案时遗漏可行情况，或未按要求筛选最优方案。 4.解题技巧拆解 六步设计法：①设未知数列分式方程求基础量（如单价、效率）；②检验基础量的合理性；③根据题目限制条件（如总费用、总数量）列出不等式；④求出变量的取值范围；⑤列举所有可行方案；⑥根据题目要求（如费用最低、效率最高）选择最优方案。 【例题9】．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）2025年春晚《秧BOT》节目中的机器人舞蹈，体现了我国人工智能领域的飞速发展．某物流公司采用、型机器人打包物品，某天共有11个机器人运作，型机器人共打包1080件物品，型机器人共打包750件物品，已知型机器人比型机器人每天多打包30件物品． (1)一个、型机器人每天分别打包多少件物品？ (2)“618”期间，物流公司每天使用、型机器人共同完成2460件物品的打包，请你求出所有的安排方案． 【答案】(1)一个、型机器人每天分别打包180件和150件物品； (2)见解析 【分析】本题考查了分式方程的应用，二元一次方程的应用． （1）设型机器人有个，则型机器人有个，根据“型机器人比型机器人每天多打包30件物品”列分式方程，求解即可； （2）设“618”期间，使用型机器人个，使用型机器人个，根据“共同完成2460件物品的打包”列出二元一次方程，利用和都是正整数，即可求解． 【详解】（1）解：设型机器人有个，则型机器人有个， 依题意有， 整理得， 解得（舍去）或， 经检验，是原方程的解， ∴一个型机器人每天打包件物品， 一个型机器人每天打包件物品； 答：一个、型机器人每天分别打包180件和150件物品； （2）解：设“618”期间，使用型机器人个，使用型机器人个， 依题意有， 整理得， ∵和都是正整数， ∴当时，；时，；时，； 综上，共有三种方案，方案一，使用型机器人2个， 型机器人14个；方案二，使用型机器人7个， 型机器人8个；方案三，使用型机器人12个， 型机器人2个． 【变式题9-1】．（25-26八年级上·山东淄博·期中）根据以下素材，探索完成任务： 如何设计购票方案？ 素材一 某动物园成人票售价比儿童票售价高90元，且花费850元购买的成人票数与花费400元购买的儿童票数相同 素材二 为推广动物园旅游产业发展，动物园管理方决定增加售卖家庭票，其中包含2张成人票和2张儿童票，售价为450元．已知小明旅行团中共有5名成人和6名儿童 问题解决 任务1确定票价 请计算成人票和儿童票的售价 任务2拟定购票方案 根据素材二，请你为小明旅行团设计一种新的购票方案，使得购票总价最低，并计算总票价 【答案】任务1：成人票的售价为170元，儿童票的售价为80元；任务2：购买2张家庭票，再购买1张成人票和2张儿童票，购票总价最低，总票价为1230元 【分析】本题考查了分式方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 任务1：设成人票的售价为x元，则儿童票的售价为元，利用数量=总价÷单价，结合花费850元购买的成人票数与花费400元购买的儿童票数相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即成人票的售价），再将其代入中，即可求出儿童票的售价； 任务2：找出省钱的购票方案，再求出总票价即可． 【详解】解：任务1：设成人票的售价为x元，则儿童票的售价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（元）． 答：成人票的售价为170元，儿童票的售价为80元； 任务2：因为单独购买2张成人票和2张儿童票的价格为 元， 大于家庭票的售价450元， 所以应尽量多购买家庭票， 旅行团中共有5名成人和6名儿童，最多可购买2套家庭票， 故购买2套家庭票、1张成人票和2张儿童票的方案总价最低， （张），（张）． 购买2套家庭票，再买1张成人票，2张儿童票，所需费用为（元）． 答：当购买2套家庭票，1张成人票，2张儿童票时，购票总价最低，最低价为1230元． 【变式题9-2】．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）（1）某校八年级学生周末乘汽车到游览区游览，游览区距学校，一部分学生乘慢车先行，出发后，另一部分学生乘快车前行，结果他们同时到达游览区．已知快车的速度是慢车速度的1.2倍，求慢车的速度； （2）该游览区推出了优惠大酬宾活动，有以下两种优惠方案： 优惠 方案一 可购买100元代金券，每张85元，每次消费时最多可使用2张，未满100元的部分不得使用代金券．例如：某人消费130元，按照该方案使用代金券后，实际消费元． 说明：1．进入游览区领取号码牌，消费时刷号码牌，出游览区送还号码牌，并结算付费； 2．代金券可以用于支付游览区中购物、美食、玩乐等所有项目． 优惠 方案二 消费不满200元不优惠，满200元打九折，不得同时使用代金券． 若某位同学在优惠前的消费总金额为元，请说明该同学选择哪种方案更划算？ 【答案】（1）慢车的速度为（2）当时，按照方案一付费；当时，两种付费方案费用相同；当时，按照方案二付费 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的应用： （1）设慢车的速度的速度为，根据快车的速度是慢车速度的1.2倍，慢车先行，出发后，快车前行，两车同时到达游览区，列出方程进行求解即可； （2）根据两种方案分别列出代数式，进行求解判断即可． 【详解】解：（1）设慢车的速度的速度为，由题意，得： ， 解：， 经检验是原方程的解，且符合题意； 答：慢车的速度为； （2）按照方案一付费：元； 按照方案二付费：； 当，即：时，两种付费方式费用相同； 当，即：时，按照方案二付费更优惠； 当，即：时，按照方案一付费更优惠； 答：当时，按照方案一付费；当时，两种付费方案费用相同；当时，按照方案二付费． 【变式题9-3】．（24-25七年级下·浙江金华·阶段练习）根据素材，完成任务． 如何设计雪花模型材料采购方案？ 素材一 学校组织同学参与甲、乙两款雪花模型的制作．每款雪花模型都需要用到长、短两种管子材料．某同学用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型．已知制作一个甲、乙款雪花模型需要的长、短管子数分别为1：7与1：9． 素材二 某商店的店内广告牌如右所示．5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根． 1．短管子售价：m元/根，长管子售价：2m元/根 2．6月起，购买3根长管子赠送1根短管子． 3．本店库存数量有限，长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根，先到先得! 素材三 6月，学校有活动经费1280元，欲向该商店采购长、短管子各若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料无剩余），且采购经费恰好用完． 问题解决 任务一 分析雪花模型结构 求制作一个甲、乙款雪花模型分别需要长、短管子多少根？ 任务二 确定采购费用 试求m的值． 任务三 拟定采购方案 求出所有满足条件的采购方案． 【答案】任务一：制作一个甲款雪花模型需要长管子3根，则短管子21根，制作一个乙款雪花模型需要长管子3根，则短管子27根；任务二：；任务三：方案①购买258根长管子，2130根短管子；方案②购买267根长管子，2115根短管子 【分析】本题主要考查了二元一次方程组、分式方程和不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系和不等关系列出方程或不等式． 任务一：设制作一个甲款雪花模型需要长管子根，则短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子根，则短管子根，根据用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型，列出方程组，解方程组即可； 任务二：根据题意列出关于m的方程，解方程即可； 任务三：设学校中采购了根长管子，根短管子，根据总费用1280元列出方程，得出，根据商店中长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根，列出不等式组，求出，根据a必须能被3整除，得出，261，264，267，四种情况分别检验，从而得出购买方案． 【详解】解：任务一：设制作一个甲款雪花模型需要长管子根，则短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子根，则短管子根， 由题意得： 解得：， 则，， 答：制作一个甲款雪花模型需要长管子3根，则短管子21根，制作一个乙款雪花模型需要长管子3根，则短管子27根； 任务二：5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根， ， 解得：， 经检验是原方程的根； 任务三：设学校中采购了根长管子，根短管子， 由题意得：， 解得：， 根据商店中长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根可得： 解得：， 必须能被3整除， ，261，264，267， 设可制作甲模型X个，乙模型Y个， 当时，， 此时， 解得：，； 费用为：（元）， 符合题意； 当时，， 此时， 解得：，； 由于甲、乙模型只能取整数，则有材料剩余，不符合题意，舍去； 当时，， 此时， 解得：，； 由于甲、乙模型只能取整数，则有材料剩余，不符合题意，舍去； 当时，， 此时， 解得：，； 费用为：（元）， 符合题意； 综上所述，有以下两种采购方案： 方案①：采购长管258根，短管2130根； 方案②：采购长管267根，短管2115根． 同步练习 一、单选题 1．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）为贯彻落实健康第一的指导思想，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯．某校第一批为各班用400元购进跳绳，接着又用450元购进第二批跳绳，已知第二批跳绳数是第一批跳绳数的倍，且第二批每根跳绳进价比第一批的进价少5元，求第二批跳绳每根的进价是（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的应用．设第二批跳绳每根的进价为x元，则第一批进价为元．根据第二批跳绳数是第一批的1.5倍，列出方程求解． 【详解】设第二批跳绳每根的进价为元，则第一批跳绳每根的进价为元． ∵第一批跳绳数量为根，第二批跳绳数量为根， 且第二批跳绳数是第一批的1.5倍， 根据题意得， 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意． ∴第二批跳绳每根的进价是15元． 故选：B． 2．（25-26八年级上·重庆荣昌·期中）已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围为（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0，表示出分式方程的解是解本题的关键． 先求解分式方程，得到解，根据解为负数且分母不为零的条件，列出不等式和排除条件即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得， ∴分母， ∴， ∵解为负数， ∴，即， 又∵， ∴，即， ∴且． 故选：B． 3．（25-26八年级上·北京延庆·期中）某校八年级学生到距学校的延庆民俗博物馆参观．一部分学生骑自行车先走，出发后，其余学生乘汽车沿相同的路线行进，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车速度的3倍，求自行车的速度．设自行车的速度为．根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据实际问题列分式方程，根据一部分学生骑自行车先走，出发后，其余学生乘汽车沿相同的路线行进，结果他们同时到达，结合时间等于路程除以速度，列出方程即可． 【详解】解：设自行车的速度为，则汽车的速度为，，由题意，得： ； 故选D． 4．（25-26九年级上·黑龙江七台河·期中）若关于的分式方程无解，则需满足的条件是（  ） A．和 B． C． D．且 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程无解的情况，分式方程无解可能由于化简后的整式方程无解，或解为增根（使分母为零）．先简化方程，再讨论参数的取值． 【详解】解：， ， 即 ， ， 整理得， 当，即时，方程左边为，右边为，矛盾， 整式方程无解，原方程无解， 当时，，若此解使分母为零，则原方程无解，当时，即 ， 解得， 当或时，原方程无解， 故选：A． 5．（25-26八年级上·全国·课后作业）关于的分式方程无解，则实数的取值是（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程无解问题，分式方程无解的情况通常包括解为增根（使分母为零）或化简后矛盾． 首先化简方程，解出x关于m的表达式，然后检查x的取值是否使分母为零． 【详解】解：方程两边乘得：， 解得， 由分式方程无解，得到， 解得． 故选：D． 二、填空题 6．（25-26八年级上·山东聊城·期中）已知关于的方程有增根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查分式方程有增根时参数的值．先去分母，将方程化为整式方程，根据方程有增根得到，，即可求解． 【详解】解：， 方程两边同乘，得， 整理，得， ∵原分式方程有增根， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）下列关于x的式子是分式方程的是 ．（请填写序号） ①；②；③；④． 【答案】①④ 【分析】该题考查了分式方程的定义，分式方程是指分母中含有未知数的方程．判断时需满足两个条件：一是方程为等式，二是分母中含有未知数． 【详解】解：方程①的分母中含未知数，故是分式方程；②不是方程，故不是分式方程；方程③的分母是常数，不含未知数，故不是分式方程；方程④的分母中含未知数，故是分式方程． 故答案为：①④． 8．（25-26八年级上·山东威海·期中）在某一施工段内，施工队计划在一定时间内完成米的地铁轨道安装工作，安装3天后改进了安装技术，每天比原计划多安装米，结果提前6天完成了安装任务，设施工队原计划每天安装米，根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列分式方程，找出等量关系，是解题的关键．根据题意，原计划总时间为天，实际前3天安装米，剩余米以每天米的速度安装，剩余时间为天，实际总时间为天，由于提前6天完成，根据原计划时间等于实际时间加提前时间，列出方程即可． 【详解】解：设施工队原计划每天安装米，改进技术后每天安装米，根据题意得： ． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·上海·期中）已知关于的方程的根是负数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查根据分式方程的解情况求参数，将原方程去分母并解得的值，然后根据题意得到关于的不等式，解不等式即可． 【详解】解：原方程去分母并整理得：， 解得： 原方程的根是负数， 且， 解得：且， 故答案为：且． 10．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，．若，则x的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查实数的概念及分式方程的解法，熟练掌握实数的概念及分式方程的解法是解题的关键；根据新运算的定义，将方程转化为分式方程，通过分子为零求解即可． 【详解】解：由定义可知：， ∴， 解得； 经检验，当时，分母， 故是方程的解； 故答案为． 三、解答题 11．（25-26八年级上·湖南株洲·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤，并注意验根是解题的关键． （1）先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解； （2）先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解． 【详解】（1）解： ， 经检验，时，， 那么原方程的根是． （2）解： 经检验，时，， 那么原方程的根是． 12．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）下图是学分式方程的应用时，老师板书的问题和两名同学所列方程． 八（1）班、八（2）班两班师生前往某园林参加义务植树活动．已知八（1）班每天比八（2）班多种10棵树．如果分配给八（1）班、八（2）班两班的植树任务分别是150棵和120棵，问两个班每天各植树多少棵，才能同时完成任务？ 欣欣：     兰兰： 根据以上信息，回答下列问题： (1)欣欣同学所列方程中的表示：___________________，它的等量关系是：___________________；兰兰同学所列方程中的表示：___________________，它的等量关系是：___________________； (2)从以上两个同学所列方程中选择一个方程，回答老师提出的问题． 【答案】(1)八（2）班每天植树的棵树；八（1）班植树所花的天数八（2）班植树所花的天数；八（1）班植树150棵所花的天数；或八（2）班植树120棵所花的天数；八（1）班每天植树的棵数八（2）班每天植树的棵数10 (2)八年级（1）班每天植树50棵，八年级（2）班每天植树40棵，才能同时完成任务 【分析】此题考查了分式方程的应用及解分式方程，理解题意，找出题目中的等量关系是解题关键． （1）结合方程及等量关系即可得出；结合两个方程可分别得出所列方程的等量关系； （2）根据分式方程的解法分别求解两个方程即可得． 【详解】（1）欣欣同学所列方程中的表示：八（2）班每天植树的棵树，它的等量关系是：八（1）班植树所花的天数八（2）班植树所花的天数； 兰兰同学所列方程中的表示：八（1）班植树150棵所花的天数，它的等量关系是：八（1）班每天植树的棵数八（2）班每天植树的棵数 10（棵）； （2）解：选欣欣的方程： 方程两边同时乘以，得， 解方程，得． 经检验，是原分式方程的根． 此时，． 答：八（1）班每天植树50棵，八（2）班每天植树40棵，两个班才能同时完成任务． 选兰兰的方程： 方程两边同时乘以，得， 解方程，得． 经检验，是原分式方程的根． 此时，（棵），（棵）． 答：八（1）班每天植树50棵，八（2）班每天植树40棵，才能同时完成任务． 13．（25-26七年级上·上海普陀·月考）某服装店购进一批甲、乙两种款型T恤衫，甲种款型共用了7000元，乙种款型共用了5000元，甲种款型的件数是乙种款型件数的2倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元． (1)甲、乙两种款型的T恤衫分别购进多少件？ (2)甲、乙两种款型T恤衫均按照进价提高标价出售，要使销售完后利润总和等于4800元，求的值． 【答案】(1) 甲种款型的T恤衫购进100件，乙种款型的T恤衫购进50件 (2) 40 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程求解． （1）设乙种款型的T恤衫购进x件，则甲种购进件，根据甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元，列出方程即可求解； （2）先计算出甲乙两种款型的进价，根据利润公式列出方程即可求解． 【详解】（1）解：设乙种款型的T恤衫购进x件，则甲种购进件， 根据题意，得， 解得， 经检验：是原分式方程的解， （件）， 答：甲种款型的T恤衫购进100件，乙种款型的T恤衫购进50件； （2）解：甲种款型的进价为元，乙种款型的进价为元， 根据题意，得， 解得， 答：要使销售完后利润总和等于4800元，m的值为40． 14．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“m”看不清楚：． (1)她把这个数“m”猜成5，请你帮小华解这个分式方程； (2)小华的妈妈说：“我看到标准答案是：原分式方程无解．”请你求出原分式方程中“m”代表的数是多少． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解分式方程，分式方程无解问题，熟练掌握解分式方程的步骤，是解题的关键： （1）去分母，将方程化为整式方程，求解后，进行检验即可； （2）去分母，将方程化为整式方程，根据方程无解，得到方程有增根，进行求解即可． 【详解】（1）解：， 去分母，得， 解得； 检验：当时，， ∴是原方程的解； （2）， 去分母，得， ∵分式方程无解， ∴分式方程有增根， ∴，解得， 把代入，得，解得． 15．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）“如果你有时间，你一定要来一趟岳阳，吹吹洞庭湖的晚风，逛逛灯火璀璨的汴河街，看看啃笋打盹的熊猫”，节假日里，岳阳这座城市吸引了国内外很多游客，岳阳中华大熊猫苑游客络绎不绝，热闹非凡，附近商店的文创产品也深受游客喜爱．国庆期间，熊猫苑某商店用元购进的款文创产品和用元购进的款文创产品的数量相同，每件款文创产品的进价比款文创产品的进价多元． (1)求，两款文创产品每件的进价； (2)根据市场需求，该商店计划再用不超过元的总费用购进这两款文创产品共件进行销售，求款文创产品最多购进多少件？ 【答案】(1)款文创产品每件的进价是元，款文创产品每件的进价是元 (2)件 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，根据题意列出不等式、分式方程是解题的关键； （1）设款文创产品每件的进价是元，则款文创产品每件的进价是元；根据题意列出分式方程，解方程即可求解； （2）设购进款文创产品件，则购进款文创产品件；根据题意列出不等式，求得整数解，即可求解． 【详解】（1）解：设款文创产品每件的进价是元，则款文创产品每件的进价是元， 由题意得：， 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意 元 答：款文创产品每件的进价是元，款文创产品每件的进价是元 （2）设购进件种文创产品，则购进件种文创产品，由题意得： 解得： 答：最多可以购进件种文创产品． 16．（25-26八年级上·北京·期中）观察下列等式：；；…… 根据以上规律，解决下列问题． (1)若为正整数，猜想_____； (2)计算：_____； (3)解关于的分式方程：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字的变化规律类问题，发现数列规律是解题的关键． （1）根据已知的算式进行归纳即可解答； （2）先根据（1）得出的规律拆项展开，再合并即可解答； （3）先根据（1）得出的规律拆项展开，再合并，最后解方程即可． 【详解】（1）解：； ； ； …… ． 故答案为：． （2）解： ． （3）解： ． 经检验，是原分式方程的解． 学科网（北京）股份有限公司 $