专题18.2分式的乘法与除法（知识点总结+10大题型+解题技巧）易错点重难点培优同步讲义2025-2026学年人教版数学八年级上册

本讲义聚焦分式的乘法与除法核心知识点，系统梳理分式乘法法则（分子分母积为积的分子分母）、除法法则（除式颠倒后相乘）、乘方运算（分子分母分别乘方）及混合运算顺序，形成从基础到提升（化简求值、实际应用）的学习支架。 资料以“知识点-考点-易错点-技巧”分层设计题型，如实际应用题型通过单位产量问题培养数学眼光，规律探究题型结合符号与指数规律发展数学思维，同步练习助力课中教学与课后查漏补缺，提升运算能力与应用意识。

18.2分式的乘法与除法 【题型1】分式的乘法 1.核心知识点总结 法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，公式表示为：（，）。 关键步骤：先判断符号，再约分，最后计算。 2.高频考点梳理 单项式型分式乘法（如），直接应用法则约分。 多项式型分式乘法（如），需先对多项式因式分解（平方差、完全平方公式）再约分。 3.易错点警示 符号错误：忽略负号个数，奇数个负号结果为负，偶数个为正。 约分不彻底：未分解多项式或遗漏相同因式（如误算为，正确结果为）。 4.解题技巧拆解 步骤：①定符号→②因式分解（多项式）→③交叉约分（分子分母公因式）→④分子乘分子、分母乘分母→⑤化简为最简分式。 【例题1】．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）计算的结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式乘法运算，熟练掌握分式乘法运算法则，是解题的关键．根据分式乘法运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 故选：A． 【变式题1-1】．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查分式的乘法，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）约分化为最简分式即可； （2）约分化为最简分式即可； （3）先分子、分母因式分解，再约分为最简分式即可； （4）先分子、分母因式分解，再约分为最简分式即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ， ； （3）解：， ， ； （4）解：， ， ． 【变式题1-2】．（2025·四川攀枝花·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘法，熟练掌握分式的乘法运算法则是解题的关键． 根据分式的乘法运算法则计算即可． 【详解】解： ． 【变式题1-3】．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的乘法，根据分式的乘法运算法则逐项判断即可求解，掌握分式的乘法运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项计算正确，不符合题意； 、，该选项计算错误，符合题意； 、，该选项计算正确，不符合题意； 、，该选项计算正确，不符合题意； 故选：． 【题型2】分式的除法 1.核心知识点总结 法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，公式表示为：（，，）。 整式除法：整式看作分母为的分式（如）。 2.高频考点梳理 分式除以单项式（如），颠倒除式后按乘法计算。 分式除以多项式（如），多项式因式分解后颠倒（或写成分母形式）。 3.易错点警示 未颠倒除式直接相乘（如误算为）。 整式除法遗漏分母（如误算为，正确为）。 4.解题技巧拆解 步骤：①转化（除法变乘法，颠倒除式分子分母）→②后续同分式乘法步骤。 【例题2】．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的除法计算，先把除法变成乘法，再约分即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：D． 【变式题2-1】．（2025·辽宁·一模）化简： 【答案】 【分析】本题考查了分式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键．先把除法化为乘法，再进行化简，即可作答． 【详解】解： ． 【变式题2-2】．（25-26八年级上·山东泰安·期中）在下列四个算式中： ①；②；③；④；最后计算结果是分式的是（    ） A．①④ B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】A 【分析】本题考查了分式的运算，以及分式的判断． 计算每个算式化简后的结果，判断是否为分式（分母中含有字母）．①和④的结果分母含字母，是分式；②和③的结果为常数，不是分式． 【详解】解：①，分母含字母，是分式； ②，结果为常数，不是分式； ③，结果为常数，不是分式； ④，分母含字母，是分式； 故选：A． 【变式题2-3】．（25-26八年级上·山东·课后作业）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的乘除运算，熟练掌握分式的乘除运算是解题的关键． （1）分式乘以分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，据此即可求解； （2）分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，据此即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【题型3】分式的乘方 1.核心知识点总结 法则：分式乘方，把分子、分母分别乘方，公式表示为：（为正整数，）。 符号规则：与有理数乘方一致，负数的偶次幂为正，奇次幂为负。 2.高频考点梳理 基础乘方（如），直接应用法则。 混合乘方（如），注意符号与分子分母的积乘方。 3.易错点警示 漏乘方：仅分子乘方或分母乘方（如误算为）。 符号错误：负号未参与乘方（如误算为，正确为）。 4.解题技巧拆解 步骤：①定符号（根据的奇偶性）→②分子乘方→③分母乘方→④化简（若有公因式）。 【例题3】．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的乘方运算；将分式的分子、分母分别乘方，并注意负数的奇次幂为负． 【详解】解：， 故选：B． 【变式题3-1】．（25-26八年级上·北京平谷·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算． 先计算乘方，再计算乘除即可． 【详解】解： ． 【变式题3-2】．（24-25八年级上·山东潍坊·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查分式的乘除，分式的乘方，掌握相关运算法则是解题关键．根据分式的运算法则，先算乘方，再算乘除即可解答． 【详解】解： ． 【变式题3-3】．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查分式的乘方运算，解题时利用 “分式乘方要把分子、分母分别乘方” 的法则，结合幂的乘方、积的乘方性质计算，关键是正确处理分子分母的乘方及符号，易错点是漏乘方或符号错误； （1）对每个分式的分子、分母分别进行乘方运算，再结合幂的运算性质化简； （2）对每个分式的分子、分母分别进行乘方运算，再结合幂的运算性质化简； （3）对每个分式的分子、分母分别进行乘方运算，再结合幂的运算性质化简； （4）对每个分式的分子、分母分别进行乘方运算，再结合幂的运算性质化简． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【题型4】分式乘除混合运算 1.核心知识点总结 运算顺序：从左到右依次计算，有括号先算括号内的。 统一法则：将除法全部转化为乘法后，按乘法规则计算。 2.高频考点梳理 无括号混合运算（如），依次转化乘法。 有括号混合运算（如），先算括号内再算括号外。 3.易错点警示 运算顺序颠倒：误将算为。 约分混乱：未统一乘法就交叉约分，导致漏约或错约。 4.解题技巧拆解 步骤：①去括号（若有）→②全转化为乘法（颠倒所有除式）→③因式分解→④整体约分→⑤计算结果。 【例题4】．（25-26八年级上·江苏南通·期中）计算： (1) (2)化简： 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算和单项式乘以多项式运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据分式的乘除混合运算法则计算； （2）根据单项式乘以多项式运算法则展开，再进行合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式题4-1】．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了分式的乘除运算，熟练掌握因式分解和分式乘除运算法则是解题的关键． （1）先对分子分母进行因式分解，再将除法转化为乘法，通过约分计算． （2）先利用平方差公式对因式分解，再将除法转化为乘法，通过约分计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式题4-2】．（2025八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查含乘方的分式的乘除混合运算，因式分解，掌握相关知识点是解题的关键． （1）将除法转化为乘法，再约分化简即可； （2）将各分式的分子，分母因式分解，将除法转化为乘法，再约分化简即可； （3）将各分式的分子，分母因式分解，将除法转化为乘法，再约分化简即可． 【详解】（1）解： ． （2） ． （3） ． 【变式题4-3】．（25-26八年级上·辽宁盘锦·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的混合运算，分式的混合运算，注意完全平方公式和平方差公式的应用． （1）先计算积的乘方和同底数幂的乘除法可以解答本题； （2）根据分式的乘方，再计算分式的乘除可以解答本题； （3）根据完全平方公式和平方差公式将式子展开，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【题型5】分式化简求值（提升） 1.核心知识点总结 本质：先通过乘除运算化简分式，再代入使分式有意义的数值计算。 有意义条件：分母不为，除式不为。 2.高频考点梳理 直接代入型：化简后代入给定数值（如)。 条件代入型：已知等条件，化简后凑条件整体代入。 3.易错点警示 代入使分母为的数值(如化简后，误代入)。 未化简直接代入：计算复杂且易出错。 4.解题技巧拆解 步骤：①化简分式(因式分解→乘除运算→最简形式)→②筛选有意义的代入值→③代入计算。 【例题5】．（25-26九年级上·重庆·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】． 【分析】本题考查了分式的化简求值及二次根式的计算，解题关键是先根据分式的运算法则（因式分解、通分、约分等）将原式化简，再代入给定的值计算． 先对原式中的各项分别进行因式分解，再按照分式的乘除、加减运算法则逐步化简，最后将代入化简后的式子求值． 【详解】 ， ， ， ， ． 当时， 原式 ． 【变式题5-1】．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）先化简：，再从1，2，3中选择一个恰当的数作为x的值代入求值． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键，最后在选择一个恰当的数作为x的值时，要保证选取的x不能使分母为0．先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的x的值代入进行计算即可． 【详解】原式， 要使分式有意义，，且， 所以且， 所以只能取， 当时，原式． 【变式题5-2】．（25-26八年级上·全国·课后作业）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，正确化简对应的分式是解题的关键． （1）先把对应分式的分子和分母分解因式，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可； （2）先把对应分式的分子和分母分解因式，再计算乘方，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可． 【详解】（1）解： ， 当时，原式； （2）解： ， 当时，原式． 【变式题5-3】．（24-25九年级上·贵州遵义·月考）从①，②，③中选择两个式子进行相乘并化简，再从、0、1、2中选择合适的值代入求值． 【答案】见解析 【分析】此题考查了分式的化简求值，先求出所选式子的乘积的化简结果，再根据分式有意义的条件选取合适的值代入计算即可． 【详解】解：选择①②； ， ∵，， ∴，， 当时，原式； 当时，原式； 选择①③； ， ∵，， ∴，， 当时，原式； 当时，原式； 选择②③； ∵，， ∴，， 当时，原式； 当时，原式． 【题型6】整体代入求值(提升) 1.核心知识点总结 核心思想：不直接求字母值，通过化简分式，将已知条件(如)作为整体代入。 2.高频考点梳理 已知代数式的值(如，求)。 已知比例关系(如，求)。 3.易错点警示 硬算字母值：忽略整体关系，强行求解字母导致计算复杂。 化简不彻底：未将分式化为含已知条件的形式。 4.解题技巧拆解 步骤：①化简分式→②变形已知条件→③整体代入。 【例题6】．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）若等于它的倒数，则分式的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查分式的除法运算及倒数，熟练掌握运算法则是解题关键．先根据分式除法法则化简得出最简结果，根据等于它的倒数得出，代入求值即可得答案． 【详解】解： ， ∵等于它的倒数， ∴， 当时，原式， 当时，原式． 故答案为：或． 【变式题6-1】．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）若为整数，则能使分式的值为整数的为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的除法，分式的值，根据分式的除法进行计算，进而根据分式的值以及为整数，即可求解． 【详解】解： ∵分式的值为整数即为整数，为整数， 又∵， ∴，， ∴． 故答案为：． 【变式题6-2】．（24-25八年级下·全国·单元测试）当、时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先根据分式的运算法则把所给分式化简，再把、代入计算． 【详解】解： ， 当、时， 原式． 故答案为：． 【变式题6-3】．（24-25八年级上·四川内江·期中）已知，则的值为 ． 【答案】119 【分析】本题考查了分式的混合运算、完全平方公式，解答本题的关键是明确题意，求出所求式子的值．根据，通过变形可以求得所求式子的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：119． 【题型7】实际应用(培优) 1.核心知识点总结 常见场景：单位面积产量、速度、浓度等实际问题，转化为分式乘除运算。 关键：根据题意列出分式表达式，再按法则计算。 2.高频考点梳理 面积相关(如两块试验田的单位产量比较)。 速度相关(如骑自行车与驾车的速度倍数关系)。 3.易错点警示 数量关系混淆：误将“路程÷时间”写成“时间÷路程”。 单位不统一：忽略长度、时间等单位换算。 4.解题技巧拆解 步骤：①审题列表达式→②转化为分式乘除→③化简计算→④对比结果(如比较大小、求倍数)。 【例题7】．（24-25八年级下·全国·课后作业）填空： （）①小明走了的路，则小明走路的速度是 ； ②某食堂有大米，原计划每天用米，现因部分员工外派每天少用，这批大米可比原计划多用 天． （）将写成分式为 ，当时，该分式的值为 ；当 时，该分式的值为． 【答案】 【分析】（）根据题意列出分式即可； （）根据题意列出分式即可； （）根据题意写出分式，再把代入分式可求出该分式的值；根据分式的值为可得分子的值为可求出的值； 本题考查了分式的除法，分式的减法，分式的求值等，理解题意是解题的关键． 【详解】解：（）小明走了的路，则小明走路的速度是， 故答案为：； （）某食堂有大米，原计划每天用米，现因部分员工外派每天少用，这批大米可比原计划多用天， 故答案为：； （）将写成分式为，当时，该分式的值为；当时，该分式的值为， 故答案为：，，． 【变式题7-1】．（24-25九年级下·江苏苏州·自主招生）学校医务室给学生准备中药，一碗中药原来的高度是碗的，静置一会高度变成碗的（只计水的蒸发），则中药的浓度变为原来的（　　）倍． A．1.7 B．1.4 C．1.3 D．1.2 【答案】D 【分析】本题考查了浓度，分式的除法等知识，设原溶质质量为m，原溶液的体积为（S为碗的横截面积），蒸发后的体积为，根据浓度=溶质质量÷溶液体积可得出原浓度，新浓度为，然后发局分式的除法法则计算即可． 【详解】解：设原溶质质量为m，原溶液的体积为（S为碗的横截面积），蒸发后的体积为， 则原浓度，新浓度为， ∴浓度变化的倍数为， 即中药的浓度变为原来的1.2倍， 故选：D． 【变式题7-2】．（24-25八年级下·河北保定·期末）嘉琪利用长方形纸片做拼接游戏． (1)如图1，将长方形纸片沿着裁剪后拼成不规则图形．正方形的边长为． ①请将长方形纸片的面积因式分解长方形的面积，． ②的值为__________． (2)如图2，长方形的面积，在（1）的条件下，化简，并根据化简结果确定与之间的大小关系． 【答案】(1)①；②2 (2)， 【分析】本题考查因式分解的应用，分式运算的应用； （1）①，再利用平方差公式分解即可； ②由长方形的面积 ，得到长方形的宽，长，由不规则图形可得，，据此求解即可； （2）把和代入计算即可． 【详解】（1）解：① ． ②∵长方形的面积 ， ∴长方形的宽，长， 由不规则图形可得，， ∴， 故答案为：； （2）解： ； ， ， ． 【变式题7-3】．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）一张如图1的长方形铁皮，四个角都剪去边长为30厘米的正方形，再四周折起，做成一个有底无盖的铁盒如图2，铁盒底面长方形的长是，宽是，这个无盖铁盒各个面的面积之和称为铁盒的全面积． (1)请用的代数式表示图1中原长方形铁皮的面积； (2)若要在铁盒的各个外表面漆上某种油漆，每50元钱可漆的面积为，则油漆这个铁盒需要多少钱（用的代数式表示）？ (3)是否存在一个正整数，使得铁盒的全面积是底面积的正整数倍？若存在，请求出这个，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)元； (3)存在，或7或5或1． 【分析】此题考查整式的混合运算，掌握长方体的全面积与底面积的计算方法是解决问题的关键． （1）根据图形表示出原长方形铁皮的面积即可； （2）根据原长方形铁皮的面积剪去四个小正方形的面积，求出铁盒的表面积，乘以单价即可得到结果； （3）假设存在，列出铁盒的全面积和底面积的公式，求整数倍数即可． 【详解】（1）解：原铁皮的面积是； （2）油漆这个铁盒的表面积是：， 则油漆这个铁盒需要的钱数是： 元； （3）铁盒的全面积是， 底面积是， 假设存在正整数n，使， 则， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 所以存在铁盒的全面积是底面积的正整数倍，这时或7或5或1． 【题型8】规律探究(培优) 1.核心知识点总结 探究对象：分式序列的符号、分子、分母的规律，通过乘除运算验证规律。 2.高频考点梳理 符号规律：交替出现(如、、、，用表示)。 指数规律：分子分母的字母指数随序号递增(如分子、、，指数为)。 3.易错点警示 漏找符号规律：仅关注分子分母，忽略正负交替。 指数规律错误：误将递增指数算为，未结合序号推导。 4.解题技巧拆解 步骤：①分拆(符号、分子、分母分开找规律)→②归纳表达式→③验证(用后项除以前项)。 【例题8】．（25-26八年级上·贵州铜仁·月考）淇淇利用计算机设计了一个循环程序如下，输入一个式子经过运算后会在显示屏上显示结果，并将本次显示结果作为输入的式子再次输入程序中，已知淇淇最初输入，则第1次显示结果为，第2次显示结果为，…，若将第2024次显示结果记为M，2025次显示结果记为N，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了程序流程图、分式的混合运算，能通过计算发现从第1次显示的结果开始按循环是解题的关键．根据题意，依次求出每次显示的结果，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知，因为最初输入， 所以第1次显示结果为； 第2次显示结果为； 第3次显示结果为； 第4次显示结果为； ， 由此可见，从第1次显示的结果开始按循环． 又因为，， 所以，， 则． 故选：B． 【变式题8-1】．（2025八年级下·全国·专题练习）给定一列分式：，，，，…（其中，），那么第n个分式是 ，这列分式中第n个分式除以第个分式的商是 ． 【答案】 ； 【分析】本题侧重考查知识分式的定义，掌握分式的化简是解题的关键．观察这组分式，可知分子为x的奇次幂，分母为乘以y的n次幂，据此得到第n个分式；用第二个分式除以第一个分式，第三个分数除以第二个分式，…，你能发现规律不难得到相除所得的商相等，至此问题便可迎刃而解了． 【详解】解：观察这组分式，可知分子为x的奇次幂，分母为乘以y的n次幂， ∴第n个分式为； ， ， …… 综上可知规律是：任意一个分式除以前面一个分式，商都为； 故这列分式中第n个分式除以第个分式的商是． 故答案为：；． 【变式题8-2】．（23-24八年级下·福建漳州·期中）定义：若分式A与分式B的和等于它们的积，即，则称分式A与分式B互为“等和积分式”，如与，因为所以与互为“等和积分式”，其中一个分式是另外一个分式的“等和积分式”． (1)分式与分式________“等和积分式”（填“是”或“不是”）； (2)①若分式的“等和积分式”为A，求A的值； ②观察①的结果，寻找规律，求分式的“等和积分式． 【答案】(1)是 (2)①；②分式的“等和积分式”为 【分析】本题考查分式的运算，掌握“等和积分式”的定义，是解题的关键； （1）求出两个分式的和以及两个分式的积，进行判断即可； （2）①根据“等和积分式”的定义，列出方程进行求解即可；②同①进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ； ∴分式与分式是“等和积分式”； 故答案为：是； （2）①分式的“等和积分式”为，则， ， ； ②分式的“等和积分式”为，理由如下： 设分式的“等和积分式”为，则， ， ， 分式的“等和积分式”为． 即． 【变式题8-3】．（23-24七年级下·全国·单元测试）观察下列等式的规律，并回答下列问题： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； (1)请写出第个等式：__________________； (2)请你写出第个等式，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查数字的变化规律，分式的化简，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律． （1）根据前4个等式即可得出答案； （2）根据（1）中得出规律，进行通分证明等式的左边等于右边即可． 【详解】（1）解：因为第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 所以 ， 故答案为：； （2）解：由（1）得出规律为： 第个式子为， 等式左边为， 等式右边为， 因为等式左边等式右边， 所以此等式成立． 【题型9】新定义运算(培优) 1.核心知识点总结 本质：根据新定义的规则(如“美妙分式”“和谐分式”)，转化为分式乘除运算。 2.高频考点梳理 自定义法则(如规定，求)。 极限定义(如，根据分子分母次数判断结果)。 3.易错点警示 理解规则错误：混淆新定义中的运算顺序或符号要求。 转化不彻底：未将新定义完全转化为常规乘除运算。 4.解题技巧拆解 步骤：①翻译新定义(转化为分式运算)→②按常规法则计算→③结合定义条件(如“整式结果”“符号要求”)。 【例题9】．（23-24七年级上·上海奉贤·期末）定义：如果分式A与分式B的和等于它们的积，即．，那么就称分式A与分式B“互为关联分式”，其中分式A是分式B的“关联分式”． 例如：分式与分式，因为， ，所以，所以分式与分式“互为关联分式” (1)判断分式与分式________“互为关联分式”（选填“是”或“不是”）请通过计算说明： (2)小明在研究“互为关联分式”时发现：因为，又因为A，B都不为0，所以所以，也就是“互为关联分式”的两个分式，将它们各自分子分母颠倒位置后相加，和为1．请你根据小明发现的“互为关联分式”的这个特征，求分式的“关联分式” 【答案】(1)不是 (2) 【分析】本题主要考查了新定义下的分式运算，涉及分式的加减计算，分式的乘除法， （1）根据关联分式的定义判断即可； （2）根据“互为关联分式”的特征，假设其“关联分式”通过分式的运算即可求得答案． 【详解】（1）解： ． ． 所以． 所以分式与分式不是“互为关联分式”． 故答案为：不是； （2）设分式的“关联分式”为． 那么．所以． 所以． 即分式的“关联分式”为． 【变式题9-1】．（24-25七年级上·上海·期末）定义：如果两个代数式的和与这两个代数式的积相等，那么称这两个代数式互为“关联式”． (1)判断与是否互为“关联式”，并说明理由； (2)求与互为“关联式”的代数式； (3)填空：已知一个整式与一个最简分式互为“关联式”，请写出一组符合该条件的代数式可以是_____与______．（只要写一组即可） 【答案】(1)不是，理由见解析 (2) (3)， 【分析】本题考查的是新定义的含义，分式的加减运算，乘法运算，分式方程的解法； （1）根据新定义列式计算，再判断即可． （2）设的关联式为，可得，再进一步解答即可． （3）由一个整式与一个最简分式互为“关联式”，当这个整式为，设的关联式为，可得，再进一步解答即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴， ∴与不互为“关联式”． （2）解：设的关联式为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵一个整式与一个最简分式互为“关联式”， 当这个整式为，设的关联式为， ∴， ∴， ∴， ∴整式为，最简分式为． 【变式题9-2】．（2024八年级上·全国·专题练习）定义两种运算：，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的乘除运算．熟练掌握新定义运算，分式的乘除运算法则，是解题的关键． 先根据题意得出与的表达式，再根据分式混合运算的法则进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式题9-3】．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积．即，则称分式B是分式A的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”． (1)填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”） (2)已知分式是分式A的“友好分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值； (3)若关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”，求的最小值． 【答案】(1)是 (2)①；②A的值为1或3或4 (3) 【分析】（1）根据“友好分式”的定义进行判断即可； （2）①根据分式是分式A的“友好分式”，得出，利用分式混合运算法则求出A即可； ②根据整除的定义进行求解即可； （3）设关于的分式的“友好分式”为M，求出，根据关于的分式是关于的分式的“友好分式”，得出，求出，代入，求出分式的最小值即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴， ∴分式是分式的“友好分式”； 故答案为：不是． （2）解：①∵分式是分式A的“友好分式”， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ． ②∵， ∵整数x使得分式A的值是正整数， ∴，，2， 当时，， 当时，， 当时，， 综上分析可知：A的值为1或3或4． （3）解：设M是关于的分式的“友好分式”，则： ， ∴ ， ∵关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”， ∴， 整理得：， 解得：， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴ 即的最小值为． 【点睛】本题主要考查了分式混合运算的应用，新定义运算，解方程组，代数式求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． 【题型10】最值问题(培优) 1.核心知识点总结 方法：将分式转化为“整式常数”形式，结合字母取值范围求最值。 2.高频考点梳理 二次分式最值(如)。 含整数条件的最值(如为正整数，求的最大值)。 3.易错点警示 配方错误：二次分式转化时配方失误，导致最值判断错误。 忽略取值范围：未考虑字母使分式有意义的条件。 4.解题技巧拆解 步骤：①配方(分子分母同次时，分离常数)→②分析变量取值范围→③求最值。 【例题10】．（24-25八年级下·河南信阳·期末）阅读材料：在不等式领域，有一个叫基本不等式的工具，表述如下：对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．例如：在的条件下，，当且仅当时，即时等号成立，从而有最小值2． (1)若为正数，则的最小值为 ，此时， ； (2)若为正数，求的最小值，并指出取得最小值时对应的的值 【答案】(1)6，3 (2)，最小值 【分析】本题考查了分式的化简求值、二次根式的应用，熟练掌握运算法则，理解题干所给例子是解此题的关键． （1）由题意可得的最小值为，此时，计算即可得解； （2）由题意可得的最小值为，此时，计算即可得解； 【详解】（1）解：∵， ∴， 当，即（不合题意，舍去）时，有最小值为6． 故答案为：6，3． （2）解：∵对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立， ∴x为正数，则的最小值为，此时， 解得：或（不符合题意，舍去）； 即时，原式有最小值． 【变式题10-1】．（24-25八年级下·重庆·期中）如果一个四位正整数A与另一个四位正整数B相加得到四位正整数C，且C的四个数位上的数字相同，我们就称A与B互为“如影随形数”．一个四位正整数M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，将M的千位数字与个位数字交换，百位数字与十位数字交换，得到一个新的四位正整数，当M与互为“如影随形数”时，记 ．若为整数，是5的倍数，则 ；满足条件的M的最大值与最小值的和为 ． 【答案】 7 【分析】本题考查了数字规律，新定义，分式的运算，根据“如影随形数”的定义，得，整理，结合为整数，故为整数，所以，因此，因为是5的倍数，所以是5的倍数，当要取M的最大值，即要求千位数最大，且，当时，，因为满足是5的倍数，则或，即或（舍去），同理要取M的最小值，即要求千位数最小，且，当时， ，则或，即可作答． 【详解】解：∵一个四位正整数M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，将M的千位数字与个位数字交换，百位数字与十位数字交换，得到一个新的四位正整数， ∴ ∵一个四位正整数A与另一个四位正整数B相加得到四位正整数C，且C的四个数位上的数字相同，我们就称A与B互为“如影随形数”．且M与互为“如影随形数”， ∴， ∵仍是一个四位正整数， ∴， ∵ ∴， ∵为整数， ∴为整数， ∵为正整数，且， ∴， 即， ∴， ∵ ∴ ， ∵是5的倍数， ∴是5的倍数， ∵要取M的最大值，即要求千位数最大，且， ∴当时， ， 若要满足是5的倍数，则或，即或， ∵要取M的最大值，， ∴（舍去） 则M的最大值为， ∵要取M的最小值，即要求千位数最小，且， ∴当时， ， 若要满足是5的倍数，则或，即或或或， 则M的最小值为， ∴ 故答案为：7，． 【变式题10-2】．（24-25八年级下·广东惠州·阶段练习）【阅读材料】我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现： 当，时： ∵， ∴． ∴，当且仅当时取等号，即当时，有最小值为． 【学以致用】根据上面材料回答下列问题： (1)______（用>或<填空）；式子的最小值为______； (2)求分式的最小值 (3)应用：小明同学要做一个面积为1250平方厘米，对角线互相垂直的四边形风筝（如图所示），则用来做对角线（，）的竹条至少要多长？ 【答案】(1)； (2)6 (3)用来做对角线的竹条至少要100厘米长 【分析】本题考查了二次根式的运算，分式的乘法，理解题意是解题的关键． （1）根据题意即可解答； （2）将化为根据题意即可解答； （3）得到，在根据题中公式即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可得； ， 故式子的最小值为， 故答案为：；； （2）解：， ∴的最小值为6； （3）解：四边形的面积； ∴， ∴， 答：用来做对角线的竹条至少要100厘米长． 【变式题10-3】．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）若一个多项式的值恒为非负数，我们则称这个多项式为“和美多项式”．例如多项式可做如下变形： ， ， ， 即的值恒为非负数，且当时，多项式有最小值，最小值是2． 根据以上阅读材料，完成下列问题： (1)下列多项式是“和美多项式”的是________； （1）；（2）；（3）． (2)试证明多项式是“和美多项式”，并求出它的最小值； (3)已知“和美多项式”，，求的最小值． 【答案】(1)（1）（3） (2)证明见解析，最小值8 (3)1 【分析】（1）根据和美多项式的定义逐一化简判断即可求解； （2）将多项式化为，再根据和美多项式的定义进行判断即可求解 （3）将化为，再参照（2）的解法，即可求解； 【详解】（1）解： ， ， （1）是和美多项式； ， ， （2）不是和美多项式； ， （3）是和美多项式； 故答案：（1）（3）． （2）解： ， ，， 原式， 即原式为“和美多项式”， 当，时有最小值8． （3）解： ， 当时， 有最小值4， 此时取得最大值7， 的最小值为1， 即的最小值为1． 【点睛】本题考查了新定义“和美多项式”，配方法，理解“和美多项式”， 能利用配方法将多项式变形进行求解是解题的关键． 同步练习 一、单选题 1．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）计算的正确结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题重点考查​分式乘除运算顺序​，​熟练掌握同级运算从左到右的规则和分式乘除法的运算法则是解题的关键． 根据分式的乘除法运算计算即可． 【详解】解：原式 ． 故选：C． 2．（25-26八年级上·山东济宁·阶段练习）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式乘除法的法则和分式的基本性质，熟练掌握分式乘除法的法则和分式的基本性质是解题的关键．根据分式乘除法的法则和分式的基本性质解答即可． 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C错误； D、，故D正确， 故选：D． 3．（25-26八年级上·山东泰安·期中）下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的乘方运算，熟练掌握分式的乘方运算法则是解题的关键． 根据分式的乘方运算法则，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、，故此选项式子不成立，不符合题意； B、，故此选项式子不成立，不符合题意； C、，故此选项式子成立，符合题意； D、，故此选项式子不成立，不符合题意； 故选：C． 4．（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）化简的结果为整式，其中是含有的一次二项式，则不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的除法，化简原式，利用平方差公式分解分子和分母，约分后得到表达式 ．要求结果为整式，则必须能被分子中的某个因子约掉，即 必须是、 或之一进行判断即可． 【详解】解：原式 ， ∵结果为整式， ∴必为分子因子之一，即、 或． ∵不是分子因子， 故不可能是； 故选A． 5．（24-25八年级上·山东烟台·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的混合运算．先运算乘方，然后把除法转化为乘法，再约分即可解题． 【详解】解：， 故选：C． 二、填空题 6．（25-26八年级上·河北唐山·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】此题考查了分式的乘方，根据分式的乘方法则：把分式的分子和分母分别乘方即可． 【详解】解：， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·北京延庆·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查分式的乘法运算，根据乘法法则进行计算，约分化简即可． 【详解】解：． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·全国·单元测试） ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查分式的乘方与除法运算，原式先计算分式的乘方，再计算分式的除法即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·北京昌平·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的乘除法，掌握分式的乘除法法则是解题的关键．先把除法化为乘法，再根据分式的乘法法则计算． 【详解】解：原式 ． 10．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图①，“惠民1号”玉米试验田是半径为的圆去掉宽为的出水沟剩下的部分；如图②，“惠民2号”玉米试验田是半径为的圆中间去掉半径为的圆剩下的部分，两块试验田都收获了的玉米．“惠民1号”玉米试验田的单位面积产量是“惠民2号”玉米试验田的 倍． 【答案】 【分析】本题考查了圆的面积公式以及分式的运算相关知识点，掌握圆的面积公式以及分式的除法运算是解题的关键． 本题根据圆的面积公式分别得出两个试验田的面积；再结合“单位面积产量 = 总产量面积”，得出两个试验田的单位面积产量；最后通过分式除法运算即可解决倍数的问题． 【详解】解：“惠民1号”试验田的面积： ， “惠民2号”试验田的面积： ， ∵两块试验田都收获了kg玉米， ∴“惠民1号”试验田的单位面积产量： ， “惠民2号”试验田的单位面积产量： ， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的乘法计算，熟知分式的乘法计算法则是解题的关键． （1）先把乘号后面的分式的分母分解因式，再约分即可得到答案； （2）先把乘号后面的分式的分子分解因式，再约分即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查分式的乘除，熟练掌握分式的乘除运算法则是解答的关键． （1）按照分式乘除混合运算法则进行计算即可； （2）按照分式乘除运算法则，结合因式分解进行计算即可； （3）先乘方运算，再按照分式乘除混合运算法则进行计算即可； （4）先乘方运算，再按照分式乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 13．（25-26八年级上·全国·课后作业）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，正确化简对应的分式是解题的关键． （1）先把对应分式的分子和分母分解因式，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可； （2）先把对应分式的分子和分母分解因式，再计算乘方，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可． 【详解】（1）解： ， 当时，原式； （2）解： ， 当时，原式． 14．（25-26八年级上·全国·课后作业）有甲、乙两筐水果，甲筐水果的质量为，乙筐水果的质量为（其中）．售完后，两筐水果都卖了150元．甲的单价是乙的单价的多少倍？ 【答案】倍 【分析】此题考查了分式除法运算的应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 用甲筐水果的单价除以乙筐水果的单价，再进行整理即可得出答案； 【详解】解：根据题意得： ， 甲的单价是乙的单价的倍． 15．（2025八年级上·全国·专题练习）计算：． 某同学给出了如下解答过程： 解：． 该同学的解答过程是否正确？如有错误，请指出来，并写出正确的解答过程． 【答案】该同学的解答过程不正确，分式乘除混合运算的顺序为从左到右，正确解答过程见解析 【分析】本题考查了分式的乘除，熟练掌握分式乘除法运算法则是解题的关键．先判断分式乘除法混合运算的运算顺序是否正确，再按照从左到右的顺序依次进行运算． 【详解】该同学的解答过程不正确，分式乘除混合运算的顺序为从左到右． 正确的解答过程如下： ． 16．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，有甲、乙两个花坛（阴影部分），分别在这两个花坛中均匀播种颗花种，哪一个花坛的撒播密度大（）？ 【答案】乙花坛的撒播密度大 【分析】本题考查分式除法的应用，列代数式，根据正方形和圆的面积公式分别表示出甲、乙两个花坛（阴影部分）的种花面积，再根据“”得到它们的撒播密度，然后计算它们的撒播密度比，即可求解．掌握分式的除法法则是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴甲花坛的撒播密度为：， 乙花坛的撒播密度为：， ∵， ∴乙花坛的撒播密度大． 学科网（北京）股份有限公司 $ 18.2分式的乘法与除法 【题型1】分式的乘法 1.核心知识点总结 法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，公式表示为：（，）。 关键步骤：先判断符号，再约分，最后计算。 2.高频考点梳理 单项式型分式乘法（如），直接应用法则约分。 多项式型分式乘法（如），需先对多项式因式分解（平方差、完全平方公式）再约分。 3.易错点警示 符号错误：忽略负号个数，奇数个负号结果为负，偶数个为正。 约分不彻底：未分解多项式或遗漏相同因式（如误算为，正确结果为）。 4.解题技巧拆解 步骤：①定符号→②因式分解（多项式）→③交叉约分（分子分母公因式）→④分子乘分子、分母乘分母→⑤化简为最简分式。 【例题1】．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）计算的结果是（  ） A． B． C． D． 【变式题1-1】．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式题1-2】．（2025·四川攀枝花·中考真题）计算：． 【变式题1-3】．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【题型2】分式的除法 1.核心知识点总结 法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，公式表示为：（，，）。 整式除法：整式看作分母为的分式（如）。 2.高频考点梳理 分式除以单项式（如），颠倒除式后按乘法计算。 分式除以多项式（如），多项式因式分解后颠倒（或写成分母形式）。 3.易错点警示 未颠倒除式直接相乘（如误算为）。 整式除法遗漏分母（如误算为，正确为）。 4.解题技巧拆解 步骤：①转化（除法变乘法，颠倒除式分子分母）→②后续同分式乘法步骤。 【例题2】．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：（   ） A．1 B． C． D． 【变式题2-1】．（2025·辽宁·一模）化简： 【变式题2-2】．（25-26八年级上·山东泰安·期中）在下列四个算式中： ①；②；③；④；最后计算结果是分式的是（    ） A．①④ B．①③ C．②④ D．③④ 【变式题2-3】．（25-26八年级上·山东·课后作业）计算： (1)； (2)； 【题型3】分式的乘方 1.核心知识点总结 法则：分式乘方，把分子、分母分别乘方，公式表示为：（为正整数，）。 符号规则：与有理数乘方一致，负数的偶次幂为正，奇次幂为负。 2.高频考点梳理 基础乘方（如），直接应用法则。 混合乘方（如），注意符号与分子分母的积乘方。 3.易错点警示 漏乘方：仅分子乘方或分母乘方（如误算为）。 符号错误：负号未参与乘方（如误算为，正确为）。 4.解题技巧拆解 步骤：①定符号（根据的奇偶性）→②分子乘方→③分母乘方→④化简（若有公因式）。 【例题3】．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式题3-1】．（25-26八年级上·北京平谷·期中）计算： 【变式题3-2】．（24-25八年级上·山东潍坊·阶段练习）计算： ． 【变式题3-3】．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型4】分式乘除混合运算 1.核心知识点总结 运算顺序：从左到右依次计算，有括号先算括号内的。 统一法则：将除法全部转化为乘法后，按乘法规则计算。 2.高频考点梳理 无括号混合运算（如），依次转化乘法。 有括号混合运算（如），先算括号内再算括号外。 3.易错点警示 运算顺序颠倒：误将算为。 约分混乱：未统一乘法就交叉约分，导致漏约或错约。 4.解题技巧拆解 步骤：①去括号（若有）→②全转化为乘法（颠倒所有除式）→③因式分解→④整体约分→⑤计算结果。 【例题4】．（25-26八年级上·江苏南通·期中）计算： (1) (2)化简： 【变式题4-1】．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【变式题4-2】．（2025八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； 【变式题4-3】．（25-26八年级上·辽宁盘锦·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【题型5】分式化简求值（提升） 1.核心知识点总结 本质：先通过乘除运算化简分式，再代入使分式有意义的数值计算。 有意义条件：分母不为，除式不为。 2.高频考点梳理 直接代入型：化简后代入给定数值（如)。 条件代入型：已知等条件，化简后凑条件整体代入。 3.易错点警示 代入使分母为的数值(如化简后，误代入)。 未化简直接代入：计算复杂且易出错。 4.解题技巧拆解 步骤：①化简分式(因式分解→乘除运算→最简形式)→②筛选有意义的代入值→③代入计算。 【例题5】．（25-26九年级上·重庆·期中）先化简，再求值：，其中． 【变式题5-1】．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）先化简：，再从1，2，3中选择一个恰当的数作为x的值代入求值． 【变式题5-2】．（25-26八年级上·全国·课后作业）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 【变式题5-3】．（24-25九年级上·贵州遵义·月考）从①，②，③中选择两个式子进行相乘并化简，再从、0、1、2中选择合适的值代入求值． 【题型6】整体代入求值(提升) 1.核心知识点总结 核心思想：不直接求字母值，通过化简分式，将已知条件(如)作为整体代入。 2.高频考点梳理 已知代数式的值(如，求)。 已知比例关系(如，求)。 3.易错点警示 硬算字母值：忽略整体关系，强行求解字母导致计算复杂。 化简不彻底：未将分式化为含已知条件的形式。 4.解题技巧拆解 步骤：①化简分式→②变形已知条件→③整体代入。 【例题6】．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）若等于它的倒数，则分式的值为 ． 【变式题6-1】．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）若为整数，则能使分式的值为整数的为 ． 【变式题6-2】．（24-25八年级下·全国·单元测试）当、时，的值为 ． 【变式题6-3】．（24-25八年级上·四川内江·期中）已知，则的值为 ． 【题型7】实际应用(提升) 1.核心知识点总结 常见场景：单位面积产量、速度、浓度等实际问题，转化为分式乘除运算。 关键：根据题意列出分式表达式，再按法则计算。 2.高频考点梳理 面积相关(如两块试验田的单位产量比较)。 速度相关(如骑自行车与驾车的速度倍数关系)。 3.易错点警示 数量关系混淆：误将“路程÷时间”写成“时间÷路程”。 单位不统一：忽略长度、时间等单位换算。 4.解题技巧拆解 步骤：①审题列表达式→②转化为分式乘除→③化简计算→④对比结果(如比较大小、求倍数)。 【例题7】．（24-25八年级下·全国·课后作业）填空： （）①小明走了的路，则小明走路的速度是 ； ②某食堂有大米，原计划每天用米，现因部分员工外派每天少用，这批大米可比原计划多用 天． （）将写成分式为 ，当时，该分式的值为 ；当 时，该分式的值为． 【变式题7-1】．（24-25九年级下·江苏苏州·自主招生）学校医务室给学生准备中药，一碗中药原来的高度是碗的，静置一会高度变成碗的（只计水的蒸发），则中药的浓度变为原来的（　　）倍． A．1.7 B．1.4 C．1.3 D．1.2 【变式题7-2】．（24-25八年级下·河北保定·期末）嘉琪利用长方形纸片做拼接游戏． (1)如图1，将长方形纸片沿着裁剪后拼成不规则图形．正方形的边长为． ①请将长方形纸片的面积因式分解长方形的面积，． ②的值为__________． (2)如图2，长方形的面积，在（1）的条件下，化简，并根据化简结果确定与之间的大小关系． 【变式题7-3】．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）一张如图1的长方形铁皮，四个角都剪去边长为30厘米的正方形，再四周折起，做成一个有底无盖的铁盒如图2，铁盒底面长方形的长是，宽是，这个无盖铁盒各个面的面积之和称为铁盒的全面积． (1)请用的代数式表示图1中原长方形铁皮的面积； (2)若要在铁盒的各个外表面漆上某种油漆，每50元钱可漆的面积为，则油漆这个铁盒需要多少钱（用的代数式表示）？ (3)是否存在一个正整数，使得铁盒的全面积是底面积的正整数倍？若存在，请求出这个，若不存在，请说明理由． 【题型8】规律探究(培优) 1.核心知识点总结 探究对象：分式序列的符号、分子、分母的规律，通过乘除运算验证规律。 2.高频考点梳理 符号规律：交替出现(如、、、，用表示)。 指数规律：分子分母的字母指数随序号递增(如分子、、，指数为)。 3.易错点警示 漏找符号规律：仅关注分子分母，忽略正负交替。 指数规律错误：误将递增指数算为，未结合序号推导。 4.解题技巧拆解 步骤：①分拆(符号、分子、分母分开找规律)→②归纳表达式→③验证(用后项除以前项)。 【例题8】．（25-26八年级上·贵州铜仁·月考）淇淇利用计算机设计了一个循环程序如下，输入一个式子经过运算后会在显示屏上显示结果，并将本次显示结果作为输入的式子再次输入程序中，已知淇淇最初输入，则第1次显示结果为，第2次显示结果为，…，若将第2024次显示结果记为M，2025次显示结果记为N，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式题8-1】．（2025八年级下·全国·专题练习）给定一列分式：，，，，…（其中，），那么第n个分式是 ，这列分式中第n个分式除以第个分式的商是 ． 【变式题8-2】．（23-24八年级下·福建漳州·期中）定义：若分式A与分式B的和等于它们的积，即，则称分式A与分式B互为“等和积分式”，如与，因为所以与互为“等和积分式”，其中一个分式是另外一个分式的“等和积分式”． (1)分式与分式________“等和积分式”（填“是”或“不是”）； (2)①若分式的“等和积分式”为A，求A的值； ②观察①的结果，寻找规律，求分式的“等和积分式． 【变式题8-3】．（23-24七年级下·全国·单元测试）观察下列等式的规律，并回答下列问题： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； (1)请写出第个等式：__________________； (2)请你写出第个等式，并证明． 【题型9】新定义运算(培优) 1.核心知识点总结 本质：根据新定义的规则(如“美妙分式”“和谐分式”)，转化为分式乘除运算。 2.高频考点梳理 自定义法则(如规定，求)。 极限定义(如，根据分子分母次数判断结果)。 3.易错点警示 理解规则错误：混淆新定义中的运算顺序或符号要求。 转化不彻底：未将新定义完全转化为常规乘除运算。 4.解题技巧拆解 步骤：①翻译新定义(转化为分式运算)→②按常规法则计算→③结合定义条件(如“整式结果”“符号要求”)。 【例题9】．（23-24七年级上·上海奉贤·期末）定义：如果分式A与分式B的和等于它们的积，即．，那么就称分式A与分式B“互为关联分式”，其中分式A是分式B的“关联分式”． 例如：分式与分式，因为， ，所以，所以分式与分式“互为关联分式” (1)判断分式与分式________“互为关联分式”（选填“是”或“不是”）请通过计算说明： (2)小明在研究“互为关联分式”时发现：因为，又因为A，B都不为0，所以所以，也就是“互为关联分式”的两个分式，将它们各自分子分母颠倒位置后相加，和为1．请你根据小明发现的“互为关联分式”的这个特征，求分式的“关联分式” 【变式题9-1】．（24-25七年级上·上海·期末）定义：如果两个代数式的和与这两个代数式的积相等，那么称这两个代数式互为“关联式”． (1)判断与是否互为“关联式”，并说明理由； (2)求与互为“关联式”的代数式； (3)填空：已知一个整式与一个最简分式互为“关联式”，请写出一组符合该条件的代数式可以是_____与______．（只要写一组即可） 【变式题9-2】．（2024八年级上·全国·专题练习）定义两种运算：，，则 ． 【变式题9-3】．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积．即，则称分式B是分式A的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”． (1)填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”） (2)已知分式是分式A的“友好分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值； (3)若关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”，求的最小值． 【题型10】最值问题(培优) 1.核心知识点总结 方法：将分式转化为“整式常数”形式，结合字母取值范围求最值。 2.高频考点梳理 二次分式最值(如)。 含整数条件的最值(如为正整数，求的最大值)。 3.易错点警示 配方错误：二次分式转化时配方失误，导致最值判断错误。 忽略取值范围：未考虑字母使分式有意义的条件。 4.解题技巧拆解 步骤：①配方(分子分母同次时，分离常数)→②分析变量取值范围→③求最值。 【例题10】．（24-25八年级下·河南信阳·期末）阅读材料：在不等式领域，有一个叫基本不等式的工具，表述如下：对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．例如：在的条件下，，当且仅当时，即时等号成立，从而有最小值2． (1)若为正数，则的最小值为 ，此时， ； (2)若为正数，求的最小值，并指出取得最小值时对应的的值 【变式题10-1】．（24-25八年级下·重庆·期中）如果一个四位正整数A与另一个四位正整数B相加得到四位正整数C，且C的四个数位上的数字相同，我们就称A与B互为“如影随形数”．一个四位正整数M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，将M的千位数字与个位数字交换，百位数字与十位数字交换，得到一个新的四位正整数，当M与互为“如影随形数”时，记 ．若为整数，是5的倍数，则 ；满足条件的M的最大值与最小值的和为 ． 【变式题10-2】．（24-25八年级下·广东惠州·阶段练习）【阅读材料】我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现： 当，时： ∵， ∴． ∴，当且仅当时取等号，即当时，有最小值为． 【学以致用】根据上面材料回答下列问题： (1)______（用>或<填空）；式子的最小值为______； (2)求分式的最小值 (3)应用：小明同学要做一个面积为1250平方厘米，对角线互相垂直的四边形风筝（如图所示），则用来做对角线（，）的竹条至少要多长？ 【变式题10-3】．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）若一个多项式的值恒为非负数，我们则称这个多项式为“和美多项式”．例如多项式可做如下变形： ， ， ， 即的值恒为非负数，且当时，多项式有最小值，最小值是2． 根据以上阅读材料，完成下列问题： (1)下列多项式是“和美多项式”的是________； （1）；（2）；（3）． (2)试证明多项式是“和美多项式”，并求出它的最小值； (3)已知“和美多项式”，，求的最小值． 同步练习 一、单选题 1．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）计算的正确结果是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山东济宁·阶段练习）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·山东泰安·期中）下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）化简的结果为整式，其中是含有的一次二项式，则不可能是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·山东烟台·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26八年级上·河北唐山·阶段练习）计算： ． 7．（25-26八年级上·北京延庆·期中）计算： ． 8．（25-26八年级上·全国·单元测试） ． 9．（25-26八年级上·北京昌平·期中）计算： ． 10．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图①，“惠民1号”玉米试验田是半径为的圆去掉宽为的出水沟剩下的部分；如图②，“惠民2号”玉米试验田是半径为的圆中间去掉半径为的圆剩下的部分，两块试验田都收获了的玉米．“惠民1号”玉米试验田的单位面积产量是“惠民2号”玉米试验田的 倍． 三、解答题 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 13．（25-26八年级上·全国·课后作业）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 14．（25-26八年级上·全国·课后作业）有甲、乙两筐水果，甲筐水果的质量为，乙筐水果的质量为（其中）．售完后，两筐水果都卖了150元．甲的单价是乙的单价的多少倍？ 15．（2025八年级上·全国·专题练习）计算：． 某同学给出了如下解答过程： 解：． 该同学的解答过程是否正确？如有错误，请指出来，并写出正确的解答过程． 16．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，有甲、乙两个花坛（阴影部分），分别在这两个花坛中均匀播种颗花种，哪一个花坛的撒播密度大（）？ 学科网（北京）股份有限公司 $