2026年中考数学复习分类训练16三角形热考考点基础练

分类训练16三角形热考考点基础练 考点 1 三角形及边角关系 考向1 三角形的三边关系 1.(2025连云港)下列长度(单位： cm)的3根小木棒能搭成三角形的是 ( ) A.1,2,3 B.2,3,4 C.3,5,8 D.4,5,10 2.(新课标|开放性试题(2025河北)平行四边形的一组邻边长分别为3，4，一条对角线长为 n.若n为整数，则 n的值可以为 .(写出一个即可) 考向2 三角形的内角及内外角关系 3.(2025南充)如图，把含有60°的直角三角板斜边放在直线l上，则∠α的度数是 ( ) A.120° B.130° C.140° D.150° 4.(2025 齐齐哈尔)将一个含30°角的三角尺和直尺按如图摆放，若∠1=50°，则∠2的度数是 ( ) A.50° B.60° C.70° D.80° 5.(2024 凉山州)如图，△ABC中，∠BCD=30°，∠ACB=80°，CD是边 AB 上的高，AE 是 ∠CAB 的平分线，则∠AEB 的度数是 ( ) 考点2 与三角形有关的重要线段 6.(2025 河南)如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在网格线的交点上，点 D,E分别是边 BA，CA 与网格线的交点，连接 DE，则DE 的长为 ( ) A.1 B.1 C. √2 D. √3 7.(2025连云港)如图，在△ABC中，BC=7，AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E，AC的垂直平分线分别交AC,BC于点 F,G，则△AEG的周长为 ( ) A.5 B.6 C.7 D.8 8.(2025广东)如图,D,E,F分别是△ABC各边上的中点,若. 70°,则∠EDF= ( ) A.20° B.40° C.70° D.110° 9.(2025 辽宁)如图,在△ABC中,AB=16,BC=12,CA =10,∠ABC的平分线 BP 与AC 相交于点 D.在线段AD 上取一点 K，以点 C为圆心，CK长为半径作弧，与射线 BP 相交于点M 和点 N，再分别以点M 和点N为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于点Q，作射线CQ，与AB相交于点E，连接DE，则△DAE的周长为 ( ) A.12 B.14 C.16 D.18 10.(2025成都)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB =1,BC=2.以点A 为圆心，以AB长为半径作弧；再以点 C 为圆心，以BC长为半径作弧，两弧在AC 上方交于点 D，连接 BD，则BD 的长为 考点 3等腰三角形 11.(2025 扬州)在如图的房屋人字梁架中,AB=AC,点D在BC上,下列条件不能说明AD⊥BC的是 ( ) A.∠ADB=∠ADC B.∠B=∠C C. BD=CD D. AD平分∠BAC 12.(2025安徽)如图,在△ABC中,∠A=120°,AB =AC,边AC的中点为D,边BC上的点E满足ED⊥AC.若. 则AC的长是( ) B.6 D.3 13.(2024内江)如图,在△ABC中,∠DCE=40°,AE=AC,BC=BD,则∠ACB 的度数为 . 14.(2025 长沙)如图,在△ABC中, ，以点 C为圆心，适当长为半径作弧，交CA 于点 M，交CB 于点 N，再分别以点M，N为圆心，大于 的长度为半径作弧，两弧相交于点P,作射线CP交AB 于点 D. (1)求 的度数； (2)若BC=2.5,求AD 的长. 考点4 等边三角形 15.(2025 资阳)如图,在四边形ABCD中, 点 E 在线段AB上, 若使 成为等边三角形，可增加的一个条件是 . 16.(2025 南充)如图, ，在射线OB 上取一点 C，以点O为圆心，OC长为半径画弧；再以点 C 为圆心，OC 长为半径画弧，两弧在 的内部相交于点 D，连接并延长CD 交射线OA 于点 E.设OC=1,则OE的长是 . 17.(2025 广西)如图,点A,D 在 BC同侧,AB=BC=CA=2,BD= 则 18.(2025 福建)如图, 是等边三角形，D是AB 的中点，( BC,垂足为 C,EF 是由 CD 沿CE方向平移得到的.已知 EF 过点A,BE交CD于点 G. (1)求 的大小； (2)求证: 是等边三角形. 考点 5直角三角形 考向1 勾股定理及其应用 19.(2025 连云港)如图，长为3 m 的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.8m，则梯子顶端的高度h为 m. 考向2 直角三角形的性质及相关计算 20.(2025 陕西)如图，在△ABC 中，∠ACB=90°,∠A=20°,CD 为AB边上的中线，DE⊥AC 于点 E，则图中与∠A 互余的角共有( ) A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5个 21.(2025 扬州)如图，在△ABC 中，D，E分别是边AB，BC的中点，点F 在线段 DE 的延长线上，且∠BFC=90°.若AC=4，BC=8，则DF 的长是 . 22.(2024 达州)如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°,点 D 在线段 BC上，∠BAD=45°.若 AC=4，CD=1，则 △ABC 的面积是 考点6 等腰直角三角形 23.(2024 广州)如图，在△ABC 中，∠A=90°,AB=AC=6，D 为边BC 的中点，点 E，F 分别在边 AB，AC 上，AE=CF，则四边形AEDF 的面积为 ( ) A.18 B.9√2 C.9 D.6√2 24.(2025 广安)如图，在等腰直角三角形 ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=4，D 是 BC边上的一个动点，连接 AD，则 AD 的最小值为 . 25.(2024 成都)如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AD是 的一条角平分线,E 为 AD 中点,连接 BE.若BE=BC,CD=2,则BD= . 26.(2025山西)如图,在四边形ABCD 中,AD∥BC,∠B=90°,AB=8,BC=4,点E在边AB上,AE=3,连接CE,且∠DCE=∠BCE.点 F在BC 的延长线上,连接DF.若 DF =DC,则线段 CF 的长为 27.新课标|项目式学习(2025 苏州)综合与实践 小明同学用一副三角板进行自主探究.如图，△ABC中，∠ACB =90°,CA = CB,△CDE 中,∠DCE =90°,∠E =30°,AB = CE =12 cm. 【观察感知】 (1)如图(1)，将这副三角板的直角顶点和两条直角边分别重合,AB,DE交于点 F,求∠AFD 的度数和线段AD 的长.(结果保留根号) 【探索发现】 (2)在图(1)的基础上,保持△CDE不动,把△ABC绕点 C 按逆时针方向旋转一定的角度使得点A 落在边 DE 上(如图(2)). ①求线段AD 的长；(结果保留根号) ②判断AB 与DE 的位置关系，并说明理由. 28.新考法结合函数(2025 吉林)如图，在 中， と 动点P从点A 出发，沿边AC 以每秒1个单位长度的速度向终点C匀速运动，当点 P 出发后，以AP 为边作正方形APDE，使点 D 和点 B 始终在边AC 同侧.设点 P 的运动时间为x(s)(x>0),正方形 APDE与 重叠部分图形的面积为y(平方单位). (1)AC的长为 . (2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围. (3)当正方形APDE 的对称中心与点 B 重合时，直接写出y的值. 29.新考法代数推理(2025 广东)《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义.若直角三角形的三边长a，b，c都是正整数，则a，b，c为一组“勾股数”.下表中的每一组数都是勾股数. 3,4,5 7,24,25 11,60,61 15,112,113 19,180,181 4,3,5 8,15,17 12,35,37 16,63,65 20,21,29 5,12,13 9,12,15 13,84,85 17,144,145 21,28,35 6,8,10 10, ,26 14,48,50 18,80,82 22,120,122 (1)请补全上表中的勾股数. (2)根据上表中数据规律，用含字母(均为正整数)的代数式分别表示a，b，c，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明. (3)某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成的.种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为1m.如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花? 1.B 1+2=3;3-2<4<3+2;3+5=8;4+5<10.根据三角形三边关系可知选B. 2.2(答案不唯一,2,3,4,5,6均可) 【解析】由题意知4-3<n<4+3,即1<n<7.∵n为整数,∴n可以是2,3,4,5,6. 3 D 4 C 5 100° 6B 由网格线的特点可知，点 D，E 分别是AB，AC 的中点，∴DE是△ABC的中位线,∵ 7 C 由垂直平分线可知AE=BE,AG=GC,∴AE+AG+EG=BE+GC+EG=BC,即△AEG的周长为7.故选C. 8 C ∵D,E,F 分别是BC,AB,AC的中点,∴DE∥AC,DF∥AB(依据：中位线定理)，∴四边形 AEDF 是平行四边形，∴∠EDF=∠A=70°. 9 B 如图,设CE,BD 交于点O.∵ BP 平分∠ABC,∴∠1=∠2.由作图可知,CE ⊥BD,∴ ∠BOC = ∠BOE = 90°.又∵BO=BO,∴ △BOC≌△BOE(ASA),∴ BE = BC =12,OC=OE,∴AE=16-12=4,BD 是CE 的垂直平分线,∴DE=DC,∴△DAE 的周长为AD+DE +AE =AD+DC+AE =AC+AE=10+4=14. 10 如图,连接AD,CD,设AC,BD 交于点 O.由作图可知,AD=AB,CD=CB,∴AC垂直平分BD(依据:到线段西端距离相等的点在线段的垂直平分线上).∵∠ABC=90°,AB=1,BC=2, (点放：利用“等面积法”列方程),、 11 B 12 B ∵∠A=120°,AB=AC,∴∠C=30°.又∵ED⊥AC,DE= 13 100° 14(1)∵AB=AC,∠B=72°, ∴∠ACB=∠B=72°. 由作图可知，CD是∠ACB的平分线， (2)在△BCD 中,由三角形内角和定理得∠BDC =180°-∠B-∠BCD=180°-72°-36°=72°, ∴∠BDC=∠B,∴CD=CB. 在△ACD中,∠BDC=∠A+∠ACD,∠ACD=36°, ∴∠A=∠BDC-∠ACD=72°-36°=36°, ∴∠A=∠ACD,∴AD=CD,∴AD=BC. ∵BC=2.5,∴AD=2.5. 15.∠B=60°(答案不唯一) 16 【解析】如图,连接 OD,由作图可知,OD = CD = OC,∴△OCD是等边三角形,∴∠OCD=60°,∴OE= OC= 17 【解析】∵ DB=CD,AB=CA,∴点A,D 在线段BC 的垂直平分线上(依据：到线段两熔点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上).如图,延长AD 交 BC 于点 E,则AE⊥BC, : 18 (1)∵△ABC 是等边三角形,∴∠ACB=60°. ∵D是AB的中点, ∵CE⊥BC,∴∠BCE=90°, ∴∠DCE=∠BCE-∠DCB=60°. (2)证明:由平移可知CD∥EF, ∴∠EAC=∠DCA=30°. 又∵∠ECA=∠BCE-∠ACB=30°, ∴∠EAC=∠ECA, ∴AE=CE,∠AEC=120°. 又∵AB=CB,∴BE垂直平分AC, 由(1)知,∠GCE=60°, ∴∠EGC=60°, ∴∠GEC=∠GCE=∠EGC, ∴△CEG是等边三角形. 192.4 20 C ∵在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=20°,DE⊥AC,∴∠B=∠ADE=70°.∵ CD 为 AB 边上的中线,∴ CD =AD = BD,∴∠DCA=∠A =20°,∠DCB =∠B =70°,∠CDB =2∠A =40°,∴∠CDE =70°.综上可知,题图中与∠A 互余的角是∠B,∠DCB,∠CDE,∠ADE,共有4个.故选C. 216 【解析】∵ D,E分别是边AB,BC的中点,∴ DE是△ABC的中位线，. (依据：三角形中位线定理).~~~~~~~~~~∵E是Rt△BCF的斜边 BC 的中点, (依据：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)， EF=6. 22403 【解析】如图,过点D作DE⊥AD交AB 于点E,过点E作EF⊥BC 于点 F.易证△ACD≌△DFE(点拨: “一线三垂直”全等模型),∴DF=AC=4,FE=CD=1.由EF∥AC,可得△EBF∽ 貝 23 C 如图,连接AD.∵∠BAC=90°,AB=AC,D为边 BC的中点,∴∠B=∠C=∠BAD=45°,AD =DC=BD.又∵AE=CF,∴ △DAE≌△DCF,∴ S△AEO = S△CFD,∴ S四边形AEDF = S△AEO + 24.2 学科网（北京）股份有限公司 25 【解析】如图,连接CE.∵点E为Rt△ACD 斜边AD 的中点,∴CE=AE=DE.过点E作EH⊥CD 于点H,则CH=HD=1,∠CED=2∠1,∴AC=2EH(依据: 三角形中位线定理).设EH=m,BD=x,则HB=1+x,BE=BC=2+x.由勾股定理,得 AC,∴∠2=∠1,∴∠CAB =2∠2=2∠1 =∠CED.∵BE =BC,∴∠BEC =∠3.∵EC =ED,∴ ∠3 =∠4,∴∠EBC=∠CED=∠CAB.又∠BHE=∠ACB=90°,∴△BHE∽△ACB, 即 得 ，联立①②,得2(2x+3)=(1+x)(2+x),解得 负值已舍去)，∴ 巧作辅助线：遇直角三角形，连斜边中线 26. 【解析】在Rt△BCE中,( 如图，分别延长CE，DA，两线交于点Q.∵AD∥BC,∴∠QAE=∠B=90°,∠Q=∠ECB,∴ sin Q= ∠DCQ,∴DQ=DC.过点D作DG⊥QC于点G,则QG=GC= 过点 D 作DH⊥CF 于点H.∵DC=DF,∴CH=FH.易得四边形ABHD 是矩形,∴ 巧作辅助线：逗等腰三角形，想“三线合一” 方法一:如图(1),分别延长CE,DA,两线交于点 Q、∵AD∥BC,∴ ∠Q = ∠ECB. 又∵ ∠QBA = ∠CEB,∴ △EAQ∽△EBC(点拨: “8”字型相似), ∵∠DCE=∠BCE,∴∠Q=∠DCE,∴DQ=DC (点放: 角平分线+平行→等腰三角形).过点D作DH⊥CF于点 H，则四边形ABHD 为矩形,∴AD =BH=CH+4,DH =AB =8.∵DC=DF,∴CH =FH.设 CH =HF =m,则DC=DQ =m+ 在 Rt△DCH中, ,即(m+ 解得 方法二:如图(2),过点 D 作 DH⊥CF 于点H,则 CH=FH.易证四边形ABHD 是矩形,∴DH=AB =8.过点 D 作 EC 的平行线交 BF 的延长线于点 J,则∠CDJ=∠DCE,∠J =∠ECB.∵ ∠BCE = ∠DCE,∴ ∠CD] = ∠J,∴ CD = CJ.在 Rt△EBC中,EB=5,BC=4,∴tan∠ECB= ,∴tan J= 设(CH=m,在Rt△DCH中, 即 解得 方法三:如图(3),过点 D 作 DH⊥CF 于点 H,则 CH=FH.易证四边形ABHD 是矩形,则 DH =AB =8.在Rt△EBC中,∠EBC=90°,EB=5,BC=4,∴EC= 设点 M 为 EC 的中点，连接BM，则 ∴∠BME=2∠ECB. 过点 B 作 BN⊥EC 于点 N,则 BN= 点拨：利用斜边上的中线构造“二倍角” 27 (1)根据题意,可得∠CDE=60°,∠A=45°. ∵∠CDE=∠AFD+∠A, ∴∠AFD=∠CDE-∠A=60°-45°=15°. ∵△ABC中,∠ACB=90°,AB=12,∠A=45°,∴CA=6 ∵△CDE中,∠DCE=90°,CE=12,∠E=30°,∴CD=4 (2)①方法一:如图(1),过点C作CG⊥DE,垂足为G. ∵△CDG中,∠CGD=90°,∠CDE=60°,CD=4 ∴DG=2 ,CG=6. ∵△CGA中,∠CGA=90°,CA=6 ,CG=6,∴AG=6, ∴AD=AG+DG=(6+2 ) cm. 方法二:如图(2),过点A作AH⊥CD,垂足为H. 设DH=x,则( ∵△ADH中,∠AHD=90°,∠CDE=60°,DH=x, …△ACH中,∠CHA=90°, 即 (点校：设况利用匀层定理列方程求线限长)， 解得 或 (舍去). ∴AD=2x=(6+2 ) cm. 理由:如图(1),∵CG⊥DE,GC=GA=6, ∴∠CAG=∠GCA=45°. 又∵∠CAB=45°, ∴∠DAB=∠CAG+∠CAB=45°+45°=90°, ∴AB⊥DE. 28(1)7 解法提示:如图(1),过点B作BF⊥AC 于点F,则△AFB是等腰直角三角形.又∵AB=3 ,∴BF=AF=3.又∵BC=5,∴FC=4,∴AC=AF+FC=7. (2)当0≤x≤3时,点D在AB边上,此时 当3<x≤7时,点D在AB的延长线上,如图(2),记PD与BC的交点为G， 则 由(1)可知 综上可知 (3)y的值为 解法提示：正方形的对称中心是其对角线的交点，故当正方形APDE的对称中心与点 B 重合时，点 B 为AD 的中点，如图(3). 连接BD,则A,B,D三点共线,且. ∴AP=6. 将x=6代入 得 29(1)24 (2)①根据表中数据(3,4,5),(4,3,5),(5,12,13),(7,24,25),(8,15,17),(11,60,61),(12,35,37),(13,84,85),(15,112,113),(16,63,65),(17,144,145),(19,180,181),(20,21,29)的规律能用含字母n,m(m>n,且n,m均为正整数)的代数式表示三角形的三边.设为 证明：∵ 根据勾股定理的逆定理，得 能够成为直角三角形的三边长. ②根据表中数据可知(6,8,10),(9,12,15),(21,28,35)分别是(3,4,5)的2倍,3倍,7倍;(10,24,26)、(14,48,50),(18,80,82),(22,120,122)分别是(5,12,13),(7,24,25),(9,40,41),(11、60,61)的2倍,经验算(9,40,41)满足nm²-n²,2mn, ∴表中数据能用含字母n,m,k(m>n,且n,m、k均为正整数)的代数式表示三角形的三边.设为 证明： 根据勾股定理的逆定理，得( 能够成为直角三角形的三边长，∴利用 能够表示出表中所有勾股数组. (3)设三角形三边长分别为a,b,c(a<b<c),由题意知a=20，且b，c均为正整数.由勾股定理可得 则有 ,即(c+b)·(c-b)=400.下面分4种情况讨论. 解得 ∵a<b, ∴b=15(舍去). 解得 ∴所需花为4×120=480(株). 解得 ∴所需花为4×220=880(株). 解得 ∴所需花为4×70=280(株). 答：这块绿地最少需要种植280株花. 学科网（北京）股份有限公司 $