2026年中考数学一轮复习 分类训练12 二次函数的图象与性质

分类训练12二次函数的图象与性质热考考点基础练 考点 1 二次函数的基本性质 1.(2024广州)函数 与 的图象如图所示，当y₁,y₂均随着x的增大而减小时，x的取值范围是 ( ) A. x<-1 B.-1<x<0 C.0<x<2 D. x>1 2.(2025威海)已知点(-2,y₁),(3,y₂),(7,y₃)都在二次函数y= 的图象上，则y₁，y₂，y₃的大小关系是 ( ) 3.(2024 眉山)定义运算:a⊗b=(a+2b)(a-b),例如4⊗3=(4+2×3)×(4-3),则函数y=(x+1)⊗2 的最小值为 ( ) A.-21 B.-9 C.-7 D.-5 4.(2024 赤峰)如图,正方形ABCD 的顶点A,C在抛物线 上,点D 在y轴上.若A,C 两点的横坐标分别为m,n(m>n>0),则下列结论正确的是 ( ) A. m+n=1 B. m-n=1 C. m=1 5.(2024贵州)如图,二次函数 的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是-3，顶点坐标为(-1，4)，则下列说法正确的是 ( ) A.二次函数图象的对称轴是直线x=1 B.二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C.当x<-1时，y随x的增大而减小 D.二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 6.(2025 广州)在平面直角坐标系中，两点 在抛物线 上，则下列结论中正确的是 ( ) A.当 且 时， B.当 且 时， C.当 时， D.当 时， 7.(2025福建)已知点A(-2,y₁),B(1,y₂)在抛物线 1上，若3<b<4，则下列判断正确的是 ( ) 8.(2024 宁夏)若二次函数 的图象与x轴有交点，则m的取值范围是 . 9.(2025 广东)已知二次函数 的图象经过点(c，0)，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是 .(写出一个即可) 10.(2024辽宁)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴相交于点A，B,点B 的坐标为(3,0),若点 C(2,3)在抛物线上，则AB的长为 11.(2025 广州)若抛物线 的顶点在直线y=x+2上，则m的值为 . 12.(2025连云港)已知二次函数 为常数. (1)若该二次函数的图象与直线 有两个交点，求a的取值范围； (2)若该二次函数的图象与x轴有交点，求a的值； (3)求证：该二次函数的图象不经过原点. 考点 2 二次函数图象的平移 13.(2025 上海)将函数 的图象向下平移2个单位长度后，得到的新函数的图象对应的解析式为 . 14.(2024滨州)将抛物线 先向右平移1个单位长度，再向上平移2 个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为 15.(2024济宁)将抛物线 向下平移k个单位长度.若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是 16.(2024 内江)已知二次函数 的图象向左平移2个单位长度得到抛物线C，点. )在抛物线C上，则 (填“>”或“<”). 考点 3 二次函数图象与系数a，b，c的关系 17.(2024自贡)一次函数y=x-2n+4,二次函数 3，反比例函数 在同一直角坐标系中的图象如图所示，则n的取值范围是 ( ) A.n>-1 B. n>2 C.-1<n<1 D.1<n<2 18.(2025安徽)已知二次函数 的图象如图所示，则 ( ) A. abc<0 B.2a+b<0 C.2b-c<0 D. a-b+c<0 19.(2025 广安)如图,二次函数 (a,b,c为常数,a≠0)的图象交x轴于A,B 两点,点A 的坐标是( - 1,0),点 B 的坐标是(n,0),有下列结论:①abc<0;②4a+c>2b;③关于x的方程 的解是 其中正确的有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 20.(2025 乐山)已知二次函数 的图象经过A(x₁，y₁),B(x₂,y₂)两点,有下列结论: ①二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x=-2； ②当m<4时，二次函数的图象与x轴有两个交点； ③若 则 ④当x≥-2时，若二次函数的图象与一次函数y=2x-1的图象有两个交点,则-1≤m<0. 其中，正确的结论有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 21.(2025 泸州)已知抛物线 的对称轴为直线x=1，与y轴的交点位于x轴下方，且x=-1时，y>0，下列结论正确的是 ( ) A.2a=b C. a-2b+4c<0 D.8a+c>0 综合能力强化练 22.(2025 陕西)在平面直角坐标系中，二次函数 3(a≠0)的图象与x轴有两个交点，且这两个交点分别位于y轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是 ( ) A.图象的开口向下 B.当x>0时，y的值随x值的增大而增大 C.函数的最小值小于-3 D.当x=2时,y<0 23.(2025南充)已知某函数图象关于y轴对称,当0≤x≤2时,y= 当x>2时,y=2x-4.若直线y=x+b与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数b的范围是 ( ) 或b>0 24.(2025烟台)如图,二次函数 的部分图象与x轴的一个交点A 位于(-2,0)和(-1,0)之间，顶点 P 的坐标为(1,n).下列结论:(①abc<0;；②对于任意实数m，都有 bm-a-b>0;③3b<2c;④若该二次函数的图象与x轴的另一个交点为B，且 是等边三角形，则 其中所有正确结论的序号是 ( ) A.①② B.①③ C.①④ D.①③④ 25.(2025 宜宾)如图，O是坐标原点，已知二次函数 c(a≠0)的图象与x轴交于A，C两点，与y轴交于B点，顶点为D,对称轴为直线x= - 2,其中A(2,0),B(0,c),且-3<c<-2.有以下结论：(①abc>0; ③△ACD 是钝角三角形；④若方程 的两根为 则 其中正确结论有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 26.(2025武汉)已知二次函数 (a为常数，且a≠0).下列五个结论： ①该函数图象经过点(-1，0)； ②若a=-1,则当x>-1时,y随x的增大而减小; ③该函数图象与x轴有两个不同的公共点； ④若a>2，则关于x的方程 有一个根大于0且小于1； ⑤若a>2，则关于x的方程 的正数根只有一个. 其中正确的是 (填写序号). 27.(2025 北京)在平面直角坐标系xOy 中,抛物线 c(a≠0)经过点O 和点A(3,3a). (1)求c的值，并用含a的式子表示b. (2)过点P(t，0)作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线y=ax于点 N. ①若a=1,t=4,求MN的长； ②已知在点 P从点O 运动到点 B(2a,0)的过程中,MN的长随OP的长的增大而增大，求a的取值范围.25.(2025资益)已知抛物线 (0光常数)经过点(1,0). (1)求m的值. (2)过点 HCOtl)与a翻评行的直线交抛物线于正/C两点，且点E为线段HC的中点，求v的包 (3)设m<3<n抛物线的一段 贝右两东型与a制平行的直线l， 之间.若直线h，儿之间的脚鹰黄116,求n-m的最大值.n-m 29.(2024 临资)在平面直角坐解是 abp中,点P(2,-5)在二次品数 的图象上 记第二汽涵数图象的对称教为直线.x=m (1)求m 的值. (2)若点Q(m,-4)在 的图象上，将掖二次说数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图象巧 时，求新的二次函数前最大值与最小值的和. (3)设 牛数=3的图象与+轴的变点为(x,,0):(x₂,0) 若 求a的取值范围. 35.(2025 青岛)痛二次函数 的图象在p轴下方的部分以x轴为相称独翻折到x轴上方；得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是 ( ) A.图象与y轴的交点坐标是((0,-3) B.当x=1时，函数振段最大值 C.图象与x细两个交点之间的距离为4 D.当x>1时，y的值随s值的墙大面增大 31.需要测试商用探究表题(2024 广西)渠业五；数学老师Ⅱ织同学们圆绕关于x的二次函数 的磨底问题展开探究. 【经典回顾】二次函数求最强的方法. (Ⅰ)老师给出(a=-4,求二次函数 的最5倍 ①请你写出对应的函数解析式； ②求班v取向值时，函数y取最小值，并写出此时间y值 【举一反三】老顺给出更多a的值，同学们求出对应的函数由a取何值时，y的最小值.记录银票，并要测成下表： 位：+为②的计算记录 【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察盖游、淡淡你的发现“ 甲同学：“我发现，老师约了a值后，我们则易取x=-ω，重重混同y的最小值.” 乙同学；“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由于策大时，y的最小值充增大后减小，所以我斿想y的最小值中存在最大值.“ (2)请信合函数解析式 解释半同学往说监是否合理? (3)你认为乙同学的猜想是否正确?若正确，请求自此蕨天量；否不正确，说明理由. 分类训练⑫ 二次函数的图象与性质 1 D 2 C ∵ 二次函数的表达式为 .二次函数 的图象开口向下，对称轴为直线n=2，∴在抛物线上离对称轴越近的点，其对应的函数值越大，∴y₂>):>y₃.故选C. B 由题意得y=(x+1)⊗2=(x+1+2×2)(x+1-2)= .当x=-2时,函.数y=(x+1)⊗2取得最小值-9.故选B. 4 B 如图，分别过点A，C作y轴的垂线，垂足分别为点M，N，易知 易证△CDN≌△DAM,∴DM=CN=n,DN=AM =m,∴ MN=DM+DN =m+n.又MN=NO- 即(m+n)(m-n)=m+n.∵m>n>0,∴m+n≠0,∴m-n=1. 5 D ∵二次函数 图象的顶点坐标为(-1，4)，∴二次函数图象的对称轴是直线x=-1,i故A 错误.设二次函数 的图象与x轴的另一个交点的横坐标是m,则 ，故B 错误.观察函数图象可知当x<-1时，y随x的增大而增大，故C错误.设二次函数的解析式为 ,把(-3,0)代入,得 4，解得 当x=0时,y=-(0+ .二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3.故选D. 6 A 易知抛物线的对称轴为直线 抛物线经过原点O，∴抛物线经过点(2，0).抛物线的大致图象如图所示.当a₁<0时,结合图象可知y₂>0.若 则y₁<0,结合图象可知( 若 则y₂>0，结合图象可知x₂>2或x₂<0.若 ,则y₁>y₂.若: 则7:>3: 7 A 易知抛物线 过点(0，1)，对称轴为直线x= 点A 在对称轴左侧，点(0，1)，B在对称轴右侧，∴点A关于直线 对称的点的横坐标为 ∴抛物线开口向上，∴在抛物线对称轴右侧，y随x的增大而增大，故 8. 9.答案不唯一，满足(c≠0,c=b+1即可) 【解析】将(c,0)代入 得 ，整理,得c(c-b-1)=0.∵三次函数 的图象不经过原点,∴c≠0,∴c-b-1=0,∴c=b+1. 104 【解析】把(3,0),(2,3)分别代入 得 解得令y=0,得 解得x=-1或x=3,∴A(-1,0),;AB=3-(-1)=4. 111或 【解析】抛物线的表达式可化为 3，∴抛物线的顶点坐标为 ∵抛物线的顶点在直线y=x+2上,. 解得 12 (1)由二次函数的图象与直线 有两个交点，知函数的最小值小于2a²，二次函数的最小值为 4a+2, 即 解得 (2)因为二次函数的图象与x轴有交点， 所以 所以 又因为 所以 解得a=1. (3)证明:当x=0时 所以二次函数的图象不经过原点. 13 13 (1,2) 【解析】将抛物线 先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后抛物线的表达式为 2，∴平移后抛物线的顶点坐标为(1，2)、 15 h≥3 16 < 17 由图象可得 解得-1<n<1,∴n的取值范围是-1<n<1,故选 C. 18 C 根据抛物线开口方向和对称轴位置可知，a>0，b<0(°识：左同右升)；根据抛物线与y轴交于负半轴可知，c<0，∴abo>0，故A中结论错误.设抛物线与x轴负半轴的交点坐标为(m，0)，则对称轴为直线 即 (关税点：根据物物民身x和交点的交标、判断 的取值范围)，由此可得a<₁-b<2a,∴a+b<0①,2a+b>0,故B 中结论错误.根据函数图象可知当x= - 1时,y>0,∴a-b+c>0,故D中结论错误,-a+b-c<0②.①+②得,2b-c<0,故C 中结论正确.故选C. 19 C ∵抛物线的开口向下,交y轴于正半轴,∴a<0,a>0.∵抛物线的对称轴在y轴右侧、 故结论①正确;由抛物线可得;当x=-2时,y<0,即4a-2b+a<0,即4a+c<2b,故结论②错误.∵抛物线与x轴交于点A(-1,0),B(n,0),∴关于x的方程 的解是 故结论③④正确.故选 C. 20 C 易知抛物线的开口向上，对称轴为直线 -2,故①正确.令 则Δ=16-4×1×m=16-4m.又m<4,∴△=16-4m>0,∴抛物线与x轴有两个交点,故②正确.∵抛物线的开口向上、∴抛物线上的点到对称轴的距离越小，其纵坐标越小又yᵢ<y₂，∴点A到对称轴的距离小于点 B 到对称轴的距离， 故③错误.设当x≥-2时，二次函数的图象为图象 G.当抛物线与直线y=2x-1有且只有一个交点时，如图(1)，则关于x的方程 即 有两个相等的实数根,∴4-4(m+1)=0,解得m=0.当直线y=2x-1经过抛物线的顶点(-2,m-4)时,如图(2),此时图象 G与直线y=2x-1有两个交点,m-4 = - 4-1,解得m=-1.分析可知,当-1≤m<0时,图象G与直线y=2x-1有两个交点,故④正确. 21 1 D ∵该抛物线的对称轴为直线 -b.放A 错误.根据抛物线与y轴的交点位于x轴下方可得，当x=0时,y<0.∵当x=-1时,y>0、∴抛物线与x轴的一个交点一定在直线x=-1和y轴之间，∴抛物线与x轴的另一个交点一定在直线x=2和直线x=3之间，∴抛物线与x轴有两个不同的交点，..关于x的一元二次方程 c=0有两个不相等的实数根，∴ 故 B 错误.当 时 、抛物线与x轴的一个交点一定在直线x=-1和y轴之间，∴不能判断当 时，对应的函数图象上的点在x轴的上方还是下方.故C不一定正确.分析可知a>0.∵b= - 2a,∴当x=4时,y=16a+4b+c=8a+c.∵抛物线与x轴的另一个交点一定在直线x=2和直线x=3之间，∴当x=4时，对应的函数图象上的点一定在x轴上方，即8a+c>0.故D正确.故选 D. 22 D 由题意可得，方程 有2个不相等的实数根，∴ ，抛物线开口向上，A中结论错误.抛物线 的对称轴为直线 当x>0时，y的值随x值的增大先减小，后增大，B中结论错误.将x=1代入 3，得y=-3，∴函数的最小值为-3，C中结论错误.画出抛物线的大致图象如图所示，根据函数对称性可知，x=2与x=0时的函数值相等，故当x=2时，y<0，D中结论正确. 23 A 该函数图象如图所示.易求OA 段抛物线的解析式为y= .当直线y=x+b经过点O 时,b=0,此时直线y=x与函数图象有三个不同的交点.当直线y=x+b在直线y=x下方与OA段的抛物线有且只有一个交点时，关于x的方程 有两个相等的实数根，整理，得 x-b=0,∴△=1+4b=0,解得 分析可知，当直线y=x+b在直线y=x和直线 之间时，其与函数图象有四个不同的交点， 24 D 25 C 由题中图象可知，抛物线开口向上，∴a>0.∵对称轴为直线x=-b/2a=-2,∴b=4a>0.∵-3<c<-2,∴abc<0.故结论①错误.∵抛物线与x轴的一个交点为A(2，0)，∴4a+2b+c=0,即b+2b+c=0,∴c=-3b.又∵-3<c<-2, .故结论②正确.设抛物线的对称轴与x轴的交点为M,当x=-2时,y=4a-2b+c.又∵b=4a,c= - 3b,∴y=b-2b-3b= - 4b,即 DM =4b.∵AM=AO+OM=2+2=4,∴tan∠CAD=DMM=4b/4=b<1.∴∠ACD=∠CAD<45°,∴ ∠ADC >90°,∴△ACD 是钝角三角形.故结论③正确. 当 时， 方程 转化为 解得 或 当b=1时,a= 方程 转化为 解得x=-2或x=6.∵方程 c=0的两个根为 故结论④正确.故选C. 26① 27 (1)将(0,0)代入. 得c=0. 将(3,3a)代入 得9a+3b=3a,∴b=-2a. (2)①当a=1时，抛物线及直线的解析式分别为 y=x. 由题意可知 把x=4代入 得y=8, 把x=4代入y=x,得y=4, ∴MN=8-4=4. ②当a>0时，如图(1)，结合图象分析可知，若要满足题意，则 yw> yx, 其对应图象的对称轴为直线 ∵在0≤t≤2a的范围内，MN随t的增大而增大， 当a<0时，如图(2)，此时由图易知点 P 从点 O 运动到点B(2a,0)的过程中,MN的长随OP 的长的增大而增大,∴a<0符合题意. 综上,a<0或 28(1)把(1,0)代入 得1-a+5=0,解得a=6. (2)由(1)知二次函数的表达式为 抛物线的对称轴为直线x=3. 因为点A 的坐标为(0，t)，且点B为线段AC的中点，设点B(s,t),则点 C(2s,t). 如图(1)，由对称性可得 解得s=2,当s=2时, (3)如图(2),因为 所以抛物线的顶点坐标为(3，-4). 因为抛物线的一段 夹在平行线l₁，l₂之间，且m<3<n, 所以下方的直线不能在顶点(3，-4)上方. 因为直线l₁，l₂之间的距离为16， 所以要使n-m最大,则l₁经过顶点(3,-4), 此时l₂为直线y=12. 当y=12时, 解得 所以n-m的最大值为7-(-1)=8. 29(1)方法一：由题意得，二次函数 的图象与y轴的交点坐标为(0，-3). 又∵点P(2,-3)在函数图象上, 方法二:∵点 P(2,-3)在二次函数 的图象上， ∴4a+2b-3=-3,∴b=-2a, ∴抛物线的对称轴为直线 ∴m=1. (2)将P(2,-3),Q(1,-4)分别代入 得 解得 ∴平移后新的二次函数的解析式为 其对称轴为直线 ∵0≤x≤4, ∴当x=1时，函数取最小值，最小值为 当x=4时，函数取最大值；最大值为 ∴当0≤x≤4时，新的二次函数的最大值与最小值的和为10+1=11. 的图象与x轴的交点为(x₁,0),(x₂,0) (点拨：根与系数的关系为x₁+ 解得 30C 31 ∵1>0，∴抛物线开口向上， ∴当x=4时,y取最小值,最小值为-23. ∵1>0，∴抛物线开口向上， ∴当x=-a时,y取最小值. ∴甲同学的说法合理. (3)乙同学的猜想正确. 当x=-a时,y取最小值, 此时 ∵-1<0,∴抛物线开口向下, ∴当 时, ym小m取最大值，最大值为 学科网（北京）股份有限公司 $