2026年中考数学复习分类训练13二次函数的实际应用

分类训练13二次函数的实际应用 考向1抛物线形问题 1.(2025甘肃)如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM.喷头M 向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是 则水流喷出的最大高度是 ( ) A.3m B.2.75m C.2m D.1.75m 2.(2025连云港)如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y=a(x- 运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度.若铅球掷出时离地面的高度OA 为1.6m，则铅球掷出的水平距离OB 为 m. 3.(2024甘肃)如图(1)为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作抛物线的一部分，如图(2)是棚顶的竖直高度y(单位：m)与距离停车棚支柱AO 的水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y= 的图象，点B(6，2.68)在图象上.若一辆厢式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长CD =4m，高 DE=1.8m的矩形，则可判定货车 完全停到车棚内(填“能”或“不能”). 4.(2025 广东)如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长1.7 km，主塔高0.27 km,主缆可视为抛物线,主缆垂度0.1785 km,主缆最低处距离桥面0.001 5 km,桥面距离海平面约0.09 km.请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式. 5.(2025 陕西)某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部L₁，左、右门洞L₂，L₃均呈抛物线型，水平横梁 的最高点B到AC 的距离BO =4m ,L₂,L₃关于BO 所在直线对称.MN,MP,NQ 为框架,点M,N在L₁ 上,点 P,Q 分别在L₂,L₃上,MN∥AC,MP⊥AC,NQ⊥AC.以O为原点,以AC 所在直线为x轴，以BO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系. (1)求抛物线L₁的函数表达式； (2)已知抛物线L₃的函数表达式为 求MN的长. 6.(2025 新疆)天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展.如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作抛物线的一部分.若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系. (1)求抛物线的函数解析式. (2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米(中心线宽度不计).若宽3米、高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过?请说明理由. 7.(2024江西)如图，一小球从斜坡点O以一定的方向弹出，球的飞行路线可以用二次函数 刻画，斜坡可以用一次函数 刻画，小球飞行的水平距离x(米)与小球飞行的高度y(米)的变化规律如下表： x 0 1 2 m 4 5 6 7 ● y 0 6 8 n ②小球的落点是A，求点A 的坐标. (2)小球飞行高度y(米)与飞行时间t(秒)满足关系 ①小球飞行的最大高度为 米； ②求v的值. 8.新课标项目式学习(2025 辽宁)为方便悬挂电子屏幕，学校需要在校门上方的抛物线形框架结构上增加立柱.为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 活动主题 为校门上方的抛物线形框架结构增加立柱 活动准备 1.去学校档案馆查阅框架结构的图纸； 2.准备皮尺等测量工具 采集数据 如图(1)是校门及上方抛物线形框架结构的平面示意图，信息如下： 1.大门形状为矩形(矩形ABCD)； 2.底部跨度(AD 的长)为8m; 3.立柱OE的长为2m ,且 OE⊥AD,垂足为点O,AO=OD. 设计方案 考虑实用和美观等因素，在A，D间增加两根与 AD 垂直的立柱，垂足分别为点 M₁，M₂，立柱的另一端点N₁、N₂在抛物线形框架结构上，其中 确定思路 小组成员经过讨论，确定以点 O为坐标原点，线段 AD 所在直线为x轴，建立如图(2)所示的平面直角坐标系.点E的坐标为(0，2)，设抛物线的表达式为 分析数据得到点A或点 D 的坐标，进而求出抛物线的表达式，再利用表达式求出增加立柱的长度，从而解决问题. 根据以上信息，解决下列问题： (1)求抛物线的表达式； (2)现有一根长度为2m 的材料，如果用它制作这两根立柱，请你通过计算，判断这根材料是否够用(因施工产生的材料长度变化忽略不计). 考向 2 面积问题 9.(2024泰安)如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形菜园.已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是 平方米. 10.(2024湖北)如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42 m.栅栏在安装过程中不重叠、无损耗.设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位：m)，与墙平行的一边长为y(单位：m)，面积为S(单位：m²). (1)直接写出y与x，S与x之间的函数解析式(不要求写x的取值范围). (2)矩形实验田的面积S能达到750 m²吗?如果能，求x的值；如果不能，请说明理由. (3)当x的值是多少时，矩形实验田的面积S 最大?最大面积是多少? 考向3销售、利润问题 11.新考法结合阅读材料(2025 南充)学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题. 材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A 型客车比每辆B 型客车多载客15 人；用A 型客车载客600人与用B型客车载客450 人的车辆数相同. 材料二 A 型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3 000元/辆、 优惠方案:租用A 型客车m辆,租车费用(3 200-50m)元/辆；租用B 型客车，租车费用打八折. 材料三 租车公司最多提供8辆A型客车； 学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10 辆. (1)A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少? (2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少? 12.(2025大庆)为推进大庆市“红色研学”文化旅游发展，大庆博物馆新推出A，B两种文创纪念品.已知2个A纪念品和3个B纪念品的成本和是155元；4个A 纪念品和1 个B 纪念品的成本和是135元.一套纪念品由一个A 纪念品和一个B 纪念品组成.规定：每套纪念品的售价不低于65 元且不高于72元(每套售价为整数).如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套.经调查发现，每套纪念品的售价每降低1元，其销售量相应增加10套.设每天的利润为 W(元)，每套纪念品的售价为a元(65≤a≤72且a为整数). (1)分别求出每个 A 纪念品和每个B 纪念品的成本； (2)求当a为何值时，每天的利润W最大. 13.(2024南充)2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售 A，B两类特产. A类特产进价50 元/件，B类特产进价60元/件.已知购买1件A 类特产和1件B类特产需132元，购买3件A 类特产和5件B类特产需540元. (1)求A 类特产和B类特产每件的售价各是多少元. (2)A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件.市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件(每件售价不低于进价).设每件A 类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围. (3)在(2)的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完.设该店每天销售这两类特产的总利润为v₀元，求w与x的函数关系式，并求出每件A 类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元?(利润=售价-进价) 考向4其他类型 14.新课标跨学科试题(2025 山东)在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度y(厘米/天)和光照强度x(勒克斯)之间存在一定关系.在低光照强度范围((200≤x<1000)内,y与x近似成一次函数关系；在中高光照强度范围((x≥1000)内，y与x近似成二次函数关系.其部分图象如图所示.根据图象，下列结论正确的是 ( ) A.当x≥1000时，y随x的增大而减小 B.当x=2000时，y有最大值 C.当y≥0.6时，x≥1000 D.当y=0.4时，x=600 15.(2024河南)从地面竖直向上发射的物体离地面的高度h(m)满足关系式 其中t(s)是物体运动的时间， s)是物体被发射时的速度.社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球. (1)小球被发射后 s时离地面的高度最大(用含 v₀的式子表示). (2)若小球离地面的最大高度为20m，求小球被发射时的速度. (3)按(2)中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同.小明说：“这两次间隔的时间为3s .”已知实验楼高15 m，请判断他的说法是否正确，并说明理由. 16.新课标项目式学习(2025 兰州)综合与实践 在学校项目化学习中，某研究小组开展主题为“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的研究.请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题. 【研究背景】已知一定浓度的生长素既能促进种子发芽，也会因浓度过高抑制种子发芽.探索生长素使用的适宜浓度等最优化问题，可以借助数学模型进行解决. 【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素，以生长素浓度x(标准单位)为自变量，种子的发芽率y(%)为因变量，进行“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的实验，获得相关数据： 生长素浓度x| (标准单位) 0 0.6 1 1.7 2 2.5 2.7 3 3.3 4 4.2 发芽率y(%) 35.00 49.28 56.00 62.37 63.00 61.25 59.57 56.00 51.17 35.00 29.12 【数据分析】如图，小组成员以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点. 说明：①当生长素浓度x=0时，种子的发芽率为自然发芽率； ②当发芽率大于等于零且小于自然发芽率时，该生长素抑制种子发芽； ③当生长素抑制种子发芽，使得发芽率减小到0时，停止实验. 【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题： (1)观察各点的分布规律，判断y关于x的函数类型，并求出该函数的表达式； (2)请计算抑制种子发芽时的生长素浓度范围. 分类训练13 二次函数的实际应用 1B 抛物线的顶 点坐标为(1,2.75),∴水流喷出的最大高度是2.75 m. 2 8 【解析】由题意可知A(0,1.6),将(0,1.6)代入: 2.5,得9a+2.5=1.6,解得a=-0.1.令- 解得x₁ =-2,x₂=8,∴B(8,0),∴OB=8m. 3能 【解析】假设 DE 刚好在点 B 的正下方,∵ CD =4,B(6,2.68),∴OC=6-4=2.对于 当x=2时,y=2.12,∵2.12>1.8,∴货车能完全停到车棚内. 4 建立如图所示的平面直角坐标系. 易得点(0,0.0015),(0.85,0.18)在抛物线上. 设抛物线的表达式为 将(0,0.0015),(0.85,0.18)代入, 得 解得 5(1)∵BO=4m, ∴ 抛物线L₁的顶点B 的坐标为(0,4), 由此可设抛物线L₁的函数表达式为 由题可知AC=16 m,结合二次函数的对称性得A(-8,0), C(8,0),将(8,0)代入 得0=64a+4,解得 故抛物线L₁的函数表达式为 (2)设 则由NQ⊥AC,可知 4)²). 整理得， 即 ∴MN=2×6=12(m). 6(1)由题意得，抛物线的顶点坐标为( ,8),即(6,8). 设抛物线的函数解析式为 将(0,0)代入,得( 解得 ∴抛物线的函数解析式为 (2)能安全通过. 理由如下：当两车间隔2米，且两车距离中心线的距离相等时，甲车左侧到点O的距离是6-1-3=2(米). 将x=2代入 得 故能安全通过. 7(1)①3 6 ②方法一：把 分别代入 得 解得 令 解得 (舍) 将 代入 得 ∴点A 的坐标是 方法二：设 将(2,6)代入,得 解得 即 令 解得 (舍), 将 代入 得 ∴点A 的坐标是( (2)①8(填“ ”亦可) ②方法一：∵ 图象的对称轴为直线 ∴v>0, (答案写“4 米/秒”亦可) 方法二：∵ 图象的顶点纵坐标为8， 当 时 ∵t≥0, ∴y≤0, 不成立， (答案写 米/秒”亦可) 8(1)由题意,得AD=8,OA=OD=4, ∴A(-4,0). 把A(-4,0)的坐标代入 得0=16a+2, 解得 (2)由题意，可知 ∴点N₁,N₂关于y轴对称. 将x=3代人 得 结合抛物线的对称性可知， 这根材料够用. 9.450 【解析】设垂直于墙的边长为x米，菜园的面积为y平方米，则平行于墙的边长为(60-2x)米，∴ ∵墙长40米,∴0<60~2x≤40,∴10≤x<30，故当x=15时，可围成的菜园的面积最大，最大面积是450平方米. 10 解法提示:由题意,得x+y+x=80, ∴y=80-2x, (2)矩形实验田的面积S能达到750 m². 令S=750,则 整理，得 解得 ∵墙长为42m(易错点：易忽略给长这一条件)， ∴0<y≤42, ∴0<80-2x≤42, 解得19≤x<40, ∴x=25. ∵-2<0,19≤x<40, ∴当x=20时,S取得最大值,此时S=800, 即当x=20时,S最大,最大面积是800 m². 11 (1)设A 型客车每辆载客量为x人，则B型客车每辆载客量为(x-15)人, 由题意得 解得x=60, 经检验，x=60是方程的根. 60-15=45. 答：A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人. (2)由题意知，租A型客车m辆，则租B型客车(10-m)辆，设租车总费用为w元， 则60m+45(10-m)≥530, 解得 to=(3200-50m)m+3000×0.8×(10-m) ∵对称轴为直线 ∴当m≤8时，to随着m的增大而增大. ∵m取正整数，且 当m=6时，w取得最小值，最小值为27000, ∴本次研学活动学校的最少租车费用为27 000元. 12 (1)设每个A 纪念品的成本为x元，每个B纪念品的成本为y元, 由题意，得 解得 答：每个A 纪念品的成本为25 元，每个 B 纪念品的成本为35元. (2)由题意，得W=[a-(25+35)][80+10(72-a)]=-10a²+1400a-48000=-10(a-70)²+1000. ∵-10<0,∴函数图象开口向下. 又65≤a≤72且a为整数, ∴当a=70时,W的值最大. 13 (1)设每件A 类特产的售价为m元，则每件B类特产的售价为(132-m)元. 根据题意得3m+5(132-m)=540, 解得m=60. 每件B类特产的售价为132-60=72(元). 答：A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件. (2)由题意得y=10x+60(0≤x≤10). (3)ω =(60-50-x)(10x+60)+100×(72-60) ∵-10<0,∴当x=2时,v₀有最大值1840. ∴A类特产每件降价2元时，总利润最大，最大总利润为1840元. 14 B 当x≥1000时,y随x的增大先增大、后减小,故A 错误.由题中函数图象可知，抛物线的对称轴为直线 x = 即当x=2000时,y有最大值,故B正确.由题中函数图象可知,当y≥0.6时,1000≤x≤3 000,故C错误.当y=0.4时，由题中图象知，x对应的值有两个，故D错误.故选 B. 15(1) (2)根据题意，得当 时,h=20, ，即小球被发射时的速度为20 m/s. (3)小明的说法不正确. 理由如下： 由(2),得 当h=15时, 解得 ∵3-1=2(s), ∴小明的说法不正确. 16(1)y是关于x的二次函数. 由表格可知图象过点(1,56),(3,56), ∴该二次函数图象的对称轴为直线x=2，I顶点为(2,63), ∴可设该函数的表达式为 将(0,35)代入,得4a+63=35,解得(a=-7, (2)由表格可知,当x=4时,y=35. 令 解得 (舍去), 分析可知，当生长素浓度满足4<x≤5时，抑制种子发芽. 学科网（北京）股份有限公司 $