精品解析：内蒙古包头市第八十一中学2025-2026学年高三上学期数学周测（12.9）

高三数学周测1209 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知a，b为非零实数，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量与的夹角为，且，，则（ ）． A. B. C. 4 D. 2 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 若函数在单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若从正方体八个顶点中任取四个顶点分别记为A、B、C、D，则直线AB与CD所成角的大小不可能为（ ） A. B. C. D. 8. 定义在上的函数满足且，函数为偶函数，则下列说法不正确的是（ ） A. 的图象关于对称 B. 的图象关于对称 C. 4是的一个周期 D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若的最小正周期是，则 B. 当时，图象的对称中心的坐标为 C. 当时， D. 若在区间上单调递增，则 10. 如图，平面图形是等腰直角和直角组成，，分别是和边的中点，现将沿着折起，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 若平面平面，则 C. D. 当三棱锥体积最大时，三棱锥的外接球半径为 11. 设函数，则（ ） A. 函数的单调递增区间为 B. 函数有极小值且极小值为 C. 若方程有两个不等实根，则实数的取值范围为 D. 经过坐标原点的曲线的切线方程为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是虚数单位，是纯虚数，则实数的值为__________. 13. 两个篮球运动员甲和乙罚球时命中的概率分别是0.7和0.6，两人各投一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的，则至少一人命中的概率是______. 14. 已知函数．若有两个零点和，则 ___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在锐角三角形中，设角所对的边分别为，已知且． （1）求角的大小； （2）求的取值范围． 16. 已知数列和满足，，，. （1）证明：是等差数列，是等比数列； （2）求数列的前项和. 17. 如图，在三棱柱中，，四边形为菱形，，. （1）证明：. （2）已知平面平面，求二面角的正弦值. 18. 已知椭圆，四点，，，中恰有三个点在椭圆上，左、右焦点分别为、． （1）求椭圆的方程； （2）过左焦点且不与坐标轴平行的直线交椭圆于、两点，若线段的垂直平分线交轴于点，求的最小值． 19. 已知函数. （1）直线是在处的切线，求直线在轴上的截距； （2）求函数的值域； （3）当时，求方程的实根个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学周测1209 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由集合的交集运算求解． 【详解】， 则， 故选：D 2. 已知命题，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】含有量词的命题的否定，只需要改量词，否定结论即可. 【详解】命题，的否定为，， 故选：D． 3. 已知a，b为非零实数，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对ABD举反例即可判断，对C利用作差法即可判断. 【详解】对A，当时，不等式不成立，所以A不正确； 对B，当时，满足，但，所以B不正确； 对C，因为，因为，且，可得，所以，所以C正确； 对D，举例，则，则，所以D不正确. 故选：C. 4. 已知向量与的夹角为，且，，则（ ）． A. B. C. 4 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据的坐标求出它的模，利用数量积运算求出所求向量的模． 【详解】由得，， 又，则． 故选：D. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令 ，联立，解出的值，再利用诱导公式以及倍角公式即得. 【详解】令 ，则 ， 由 ，可得 ，进而 ， 因此，， 利用诱导公式，， 联立 ，解得： 或. 当时， ， ， 则， 代入得； 当时， ， ， . 故选：B 6. 若函数在单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先对函数求导，根据导数的函数性质结合零点取值得出已知条件恒成立时需满足的条件，再讨论的符号得出的取值范围． 【详解】函数，求导得， 当时，，在R上单调递增，不合题意； 令，解得或， 若函数在单调递减，则在恒成立， 当时，，， 当时，，， 的取值范围为. 故选：C． 7. 若从正方体八个顶点中任取四个顶点分别记为A、B、C、D，则直线AB与CD所成角的大小不可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意作图，根据正方体的几何性质，利用异面直线的夹角的定义，可得答案. 【详解】①由题意作图如下： 由图易知为等腰直角三角形，则直线与的夹角为； ②由题意作图如下： 由图易知为等边三角形，则直线与的夹角为； ③由题意作图如下： 由图易知，因为，则直线与的夹角为. 而不管怎么找顶点，都无法得到直线AB与CD所成角为. 故选：A. 8. 定义在上的函数满足且，函数为偶函数，则下列说法不正确的是（ ） A. 的图象关于对称 B. 的图象关于对称 C. 4是的一个周期 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由偶函数可得，由可得，再由这两个关于的恒等式可得到周期性，最后利用函数的性质进行判断即可. 【详解】由，把换成可得：， 两式相加得：，故关于点对称，故A正确； 再由为偶函数可得，， 可知：关于直线对称，故B正确； 再由上面关于两式可得：， 即有，可知：4是的一个周期，故C正确； 令，有，， 又因为，所以， 则，故D不正确； 故选：D. 【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论： （1）关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立； （2）关于周期：若，或，或，可知函数的周期为. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若的最小正周期是，则 B. 当时，图象的对称中心的坐标为 C. 当时， D. 若在区间上单调递增，则 【答案】AB 【解析】 【分析】A选项根据周期公式求解，B选项根据正切函数的对称中心坐标公式求解，C选项直接代入求解，D选项根据正切函数的单调区间代入求解. 【详解】A选项，当的最小正周期是时，，则,故正确 B选项，当时，，所以令， 解得，所以函数图象的对称中心的坐标为，故正确. C选项，当时，，，故错误. D选项， 令，解得， 所以函数的单调递增区间为， 因为在区间上单调递增，所以， 解得， 另一方面，即，所以， 又因为，所以由，得，由，得， 所以的取值范围是，故错误. 故选：AB 10. 如图，平面图形是等腰直角和直角组成，，分别是和边的中点，现将沿着折起，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 若平面平面，则 C. D. 当三棱锥体积最大时，三棱锥的外接球半径为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据勾股定理可判断A；利用面面垂直的性质定理及勾股定理可判断B；根据线面垂直的判定定理及性质定理可判断C；当三棱锥体积最大时，，利用线面垂直的判定定理及外接球半径的求法可判断D. 【详解】对于A：由题可知，在等腰直角三角形中，，故A错误. 对于B：由题可知， 若平面平面，又平面平面，平面，， 所以面，又平面，所以， 所以，得到，故B正确. 对于C：因为为的中点，，所以. 又是的中点，所以， 由，可得.又平面， 所以平面，又平面， 所以，故C正确. 对于D：当三棱锥体积最大时，，即， 又平面，所以.又平面， 所以平面.又是以为斜边的直角三角形， 所以三棱锥外接球的球心在过点且与平面垂直的直线上， 设球心到点的距离为，外接球半径为，则， 所以，解得， 则三棱锥外接球的半径为1，故D错误. 故选：BC. 11. 设函数，则（ ） A. 函数的单调递增区间为 B. 函数有极小值且极小值为 C. 若方程有两个不等实根，则实数的取值范围为 D. 经过坐标原点的曲线的切线方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用导数研究函数的单调性，结合极值、方程的根与函数图象交点个数之间的关系和导数的几何意义，依次判断选项即可. 【详解】对A：由题意可知的定义域为， ，令，解得， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，故A正确； 对B：当时，取得极大值为，故B错误； 对C：由上分析可作出的图象，要使方程有两个不等实根， 只需要与有两个交点，由图可知，， 所以实数的取值范围为，故C正确. 对D：设曲线在处的切线经过坐标原点， 则切线斜率，得，解得， 所以切线斜率，所以切线方程为，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是虚数单位，是纯虚数，则实数的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算和复数分类即可得到答案. 【详解】， 因为其为纯虚数，则且，解得. 故答案为：. 13. 两个篮球运动员甲和乙罚球时命中的概率分别是0.7和0.6，两人各投一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的，则至少一人命中的概率是______. 【答案】 【解析】 【分析】正难则反，先求其对立事件的概率，即两人都未命中的概率即可. 【详解】记事件“甲和乙至少一人命中”，则其对立事件为“甲和乙两人都未命中”， 由相互独立事件同时发生的概率乘法公式得， ， 所以. 故答案为：. 14. 已知函数．若有两个零点和，则 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用和差化积公式得，再结合正弦函数性质即可求出的值，代入可得，并求出，从而得到答案. 【详解】根据和差化积公式得， 令， 当时，，则，此时无解， 当时，，则，则或，解得或， ， ， 设，即，两边取余弦，得 ， 其中 ， 所以， 整理方程，得， 故， ， ，，， ，解得， ，， . 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在锐角三角形中，设角所对的边分别为，已知且． （1）求角的大小； （2）求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由正弦定理求得，再由余弦定理，求得，即可求解； （2）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，根据为锐角三角形，求得，得到，结合三角函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理，可得，即， 又由余弦定理，可得， 又因为，所以． 【小问2详解】 由正弦定理，可得， 由（1）知，可得， 得， 因为为锐角三角形，可得 ，即，解得， 所以，可得，所以 即，所以的取值范围为． 16. 已知数列和满足，，，. （1）证明：是等差数列，是等比数列； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）由，， 则， 故，又，故， 有， 故数列是等差数列； ， 则，又， 故数列是以为公比，为首项的等比数列； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意计算后结合等差数列定义与等比数列定义即可得证； （2）计算出后，利用等差数列求和公式与等比数列求和公式分组求和即可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由数列是以为公比，为首项的等比数列，则， 又，则， 则. 17. 如图，在三棱柱中，，四边形为菱形，，. （1）证明：. （2）已知平面平面，求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明如下： 设为的中点，连接，，，， 因为，所以， 因为四边形为菱形，，所以为等边三角形，则， 又平面，平面，，所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面，平面， ，所以平面， 因为平面，所以，所以四边形为菱形，即. （2）. 【解析】 【分析】（1）通过线面、面面的位置关系证平行四边形为菱形即可； （2）先证平面，根据题意建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面平面，且平面平面，，平面， 所以平面； 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，设. 则，，，，， 可得，，. 设平面的法向量为，则 令，则，，可得. 设平面的法向量为，则 令，则，，可得. ，故二面角的正弦值为. 18. 已知椭圆，四点，，，中恰有三个点在椭圆上，左、右焦点分别为、． （1）求椭圆的方程； （2）过左焦点且不与坐标轴平行的直线交椭圆于、两点，若线段的垂直平分线交轴于点，求的最小值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的对称性确定在椭圆上的三点，由椭圆的上顶点可求出a，点或的坐标代入椭圆求出b，即可写出椭圆的方程；（2）联立直线的方程与椭圆方程得关于x的一元二次方程，利用韦达定理求出两根之和与两根之积，即可利用弦长公式求出，求出点N的坐标即可写出直线的垂直平分线的方程，令求出，代入得到关于k的分式，利用基本不等式可求得最小值. 【详解】（1）易知，关于轴对称，一定都在椭圆上，所以一定不在椭圆上，根据题意也在椭圆上，则， 将代入椭圆方程得， 所以椭圆方程为. （2）由知椭圆的左焦点, 设直线的方程为（），，，的中点为. 联立，可得， 则，， 所以，， 点， ， 垂直平分线方程为：， 令，求得，则， 所以，当且仅当即时取等号， 因此，当，取最小值. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程及几何性质、直线与椭圆的综合应用，涉及弦长公式、基本不等式求和的最小值，属于较难题. 19. 已知函数. （1）直线是在处的切线，求直线在轴上的截距； （2）求函数的值域； （3）当时，求方程的实根个数. 【答案】（1）； （2）； （3）2. 【解析】 【分析】（1）求导数，求得及，由点斜式写出切线方程，然后得到其横截距； （2）设，求其导数.然后得到函数的单调区间，从而求得的最大值，再计算函数在端点处的函数值，从而得到函数的值域. （3）设，求其导数，则，由（2）可知的单调区间，从而知道的正负，由零点存在性定理得到的零点，从而得到函数的单调区间，再得到与0的大小关系，由零点存在性定理得到函数的零点个数. 【小问1详解】 由， ， 当时，，故切线方程， 当时，可知直线在轴上的截距为. 【小问2详解】 设，则. 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 则函数的最大值为. 又， 所以函数的最小值为. 的值域为. 【小问3详解】 设， ，则， 由（2）可知在上单调递增，在上单调递减. . 当时，. 故存在，使， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 又. 由零点的存在性定理可知在上有一个零点， 所以函数在上的零点个数为2. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $