精品解析：江苏省海安高级中学2025-2026学年高一上学期期中数学试卷

海安中学2025-2026学年度第一学期期中考试 高一数学 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A B. C. D. 3. 已知，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各组函数表示同一函数的是（ ） A. ， B. C. D. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 7. 已知命题为假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. . C. D. 8. 定义函数为实数的小数部分，为不超过的最大整数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为0，最大值为1 B. 在为增函数 C. 为奇函数 D. 满足 二､多项选择题：本题共6小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得相应部分分，有选错的得0分. 9. 已知均为实数，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D 若，则 10. 已知函数的图象经过点，，则（ ） A. B. C. 曲线关于轴对称 D. 不等式的解集为 11. 已知，，则下列正确的是（ ） A. B. 的最小值为2 C. 的最小值为 D. 的最小值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数是幂函数，且，则______． 13. 给定函数，，若，则值域为______． 14. 已知函数． （1）若，则定义域是___________； （2）若在区间上是减函数，则实数a的取值范围是___________． 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）； （2）. 16. 已知非空集合，，全集. （1）当时，求； （2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 17. 已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，． （1）求的解析式； （2）证明：函数在上单调递增． 18. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，已知函数，其中． （1）证明：若函数为奇函数，则实数和均为定值； （2）当，，，时， （ⅰ）求函数图象的对称中心； （ⅱ）求的值． 19. 已知函数，． （1）若对任意，不等式恒成立，求m的取值范围； （2）设，求关于x的不等式的解集； （3）若，对任意，总存在，使得不等式成立，求实数k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海安中学2025-2026学年度第一学期期中考试 高一数学 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的并集的定义，将两个集合的范围合并即可得解. 【详解】因为，所以. 故选：A. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定规则，改量词否结论，即可判断. 【详解】命题“”的否定是“”. 故选：A. 3. 已知，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求得的定义域，进而求得的定义域. 【详解】对于， 由解得， 所以的定义域为. 对于有， 解得，所以的定义域是. 故选：C 4. 下列各组函数表示同一函数的是（ ） A. ， B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同一函数的定义判断即可； 【详解】解：对于A：定义域为，，故A错误； 对于B：与定义域相同都为，且函数解析式相同，故是同一函数，故B正确； 对于C：定义域为，定义域为，定义域不相同，故不是同一函数，故C错误； 对于D：定义域为，定义域为，定义域不相同，故不是同一函数，故D错误； 故选：B 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和函数的极限即可判断. 【详解】的定义域为，因为，所以为奇函数，排除BD； 当时，，排除C，故A正确. 故选：A 6. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复合函数的单调性求解即可. 【详解】令，则在上单调递增； ，因式分解得，解得定义域为或，即. 是开口向上的二次函数，对称轴为， 因此，在上单调递减；在上单调递增. 结合复合函数的单调性可得函数的单调递增区间为. 故选：B 7. 已知命题为假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. . C D. 【答案】B 【解析】 【分析】由一元二次不等式恒成立，借助判别式即可求解. 【详解】因为命题为假命题， 所以为真命题， 若，则不等式等价为，对于不恒成立， 若，则，解得：， 所以实数的取值范围为； 故选：B 8. 定义函数为实数的小数部分，为不超过的最大整数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为0，最大值为1 B. 在为增函数 C. 为奇函数 D. 满足 【答案】D 【解析】 【分析】首先，使得，结合函数新定义得出，依次根据定义代入判断最值和奇偶性与单调性，再进行代入分析即可判断D选项正确. 【详解】，使得，此时，则，所以最小值为0，无最大值，故A选项错误； ，， ， 所以不是奇函数，故C选项错误 ，则，故D正确； 由上面分析可知：，在，故B错误； 故选：D 二､多项选择题：本题共6小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得相应部分分，有选错的得0分. 9. 已知均为实数，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】举例说明判断A；利用不等式的性质推理判断BCD. 【详解】对于A，取，满足，而，A错误； 对于B，由，得，B正确； 对于C，由，得，则，C正确； 对于D，由，得，D错误. 故选：BC 10. 已知函数的图象经过点，，则（ ） A. B. C. 曲线关于轴对称 D. 不等式的解集为 【答案】AC 【解析】 【分析】代入点坐标，解方程组可得函数解析式，再利用定义法可判断函数的奇偶性，再根据复合函数单调性的判断方式可判断函数单调性，进而可判断各选项. 【详解】由题意可得，，解得，故选项A正确，选项B错误； 由前面计算可知，其定义域为关于原点对称， 且， 为偶函数，即曲线关于轴对称，故选项C正确； 由复合函数单调性可知在区间上单调递减，且为偶函数， 故等价于， 两边平方可得，解得，故选项D错误； 故选：AC. 11. 已知，，则下列正确的是（ ） A. B. 的最小值为2 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对进行变形，结合基本不等式逐项进行分析. 【详解】选项A：由得，， 又，，所以， 所以， 因为，所以，所以.故选项A正确. 选项B：由得，， 则， 又，所以，当且仅当即时，等号成立.故选项B错误. 选项C：， 又，所以，当且仅当即时，等号成立. 故选项C正确. 选项D：由得，， 所以， 由选项C知，当时，取得最小值， 故的最小值为.故选项D正确. 故选：ACD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数是幂函数，且，则______． 【答案】64 【解析】 【分析】由题意求得，代入即可得解. 【详解】设，由，得，解得，所以，所以． 故答案为：64. 13. 给定函数，，若，则的值域为______． 【答案】 【解析】 【分析】作出的图象，即可得到的图象，结合函数图象即可求解. 【详解】令，即，解得或， 令，解得， 当时，； 当时，； 当时，． 综上，. 作出函数的图象如图所示，则的值域为． 故答案为：. 14. 已知函数． （1）若，则的定义域是___________； （2）若在区间上是减函数，则实数a的取值范围是___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）利用具体函数定义域求法即可得到的定义域； （2）分类讨论与两种情况，结合的取值范围与单调性即可得解. 【详解】（1）因为，，所以，即，故， 所以的定义域为； （2）当，即时，要使在区间上是减函数，需要在上是减函数，同时恒成立，即， 因为，即，所以在上是减函数显然成立，此时，则，得，故； 当，即时，要使在区间上是减函数，需要在上是增函数，同时恒成立， 所以，即，此时显然成立； 综上：或，即. 故答案为：；. 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）； （2）. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据指数与分数指数幂化简以及运算法则计算可得结果； （2）利用对数运算法则计算可得结果. 【详解】（1） ； （2） . 16. 已知非空集合，，全集. （1）当时，求； （2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据的值确定集合，再求出集合在全集下的补集，最后再求交集. （2）“”是“”的必要条件得出集合和集合的包含关系，再结合集合非空列出不等式组求解. 【小问1详解】 当时，， 因为，所以或， 又，所以 【小问2详解】 因为“”是“”的必要条件，所以. 又集合为非空集合，所以，解得. 实数的取值范围为. 17. 已知函数是定义在R上偶函数，且当时，． （1）求的解析式； （2）证明：函数在上单调递增． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用偶函数的性质可求出当时，，从而可求解； （2）利用函数单调性证明的定义法可得，从而可求解证明. 【小问1详解】 当时，， 因当时，，得． 因为是偶函数，所以当时，． 故． 【小问2详解】 证明：由（1）可知，当时，． 任取，，令， 则， 因为，所以，，，则， 则，即， 从而可证在上单调递增． 18. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，已知函数，其中． （1）证明：若函数为奇函数，则实数和均为定值； （2）当，，，时， （ⅰ）求函数图象的对称中心； （ⅱ）求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义，求证即可； （2）（ⅰ）法一：设函数图象的对称中心为，设，根据（1）的结论即可求得，，进而得解； 法二：设，通过计算可得，根据为奇函数即可求解； （ⅱ）根据与关于对称即可求解. 小问1详解】 证明：因为为奇函数，并且定义域为R， 所以，所以，则， 而，则， 所以，所以， 因为，所以， 综上若函数为奇函数，则实数d和f为定值，均为0． 【小问2详解】 （ⅰ）（法一）因为，，，， 所以， 设函数图象的对称中心为， 设，由题可知函数为奇函数， 因为 ， 若为奇函数，由（1）可得，解得，， 则函数图象的对称中心为． （法二）因为，，，，所以， 设， 所以 ， 因为的定义域为R，并且， 所以为奇函数，根据题可得函数的图象关于中心对称． （ⅱ）因为， 所以与关于对称， 所以． 19. 已知函数，． （1）若对任意，不等式恒成立，求m取值范围； （2）设，求关于x的不等式的解集； （3）若，对任意，总存在，使得不等式成立，求实数k的取值范围． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得对任意恒成立，结合判别式即可求得答案； （2）由题意可得的表达式，利用分类讨论的方法，即可求得不等式解集； （3）由题意可得，结合，设，则，由此求出，即可得答案. 【小问1详解】 由题意得对任意，恒成立， 得对任意恒成立， 即，解得，即． 【小问2详解】 因为， 令，则，， ①当时，，则； ②当时，若，则或； ③当时，若，则或， 综上，若，的解集为； 若，的解集为； 若，的解集为． 【小问3详解】 由题意得对任意，总存在，使得不等式成立， 令，由题意得， 而， 设，则， 而， 易得，故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $