精品解析：福建省长乐第五中学2025-2026学年高二上学期期中数学试题

长乐五中2025-2026学年度第一学期期中质量检测高二年级数学试卷 （卷面分值：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1．本试卷为问答分离式试卷，共8页，其中问卷4页，答卷4页.答题前，请考生务必将自己的学校、姓名、座位号、准考证号等信息填写在机读卡上及答卷的密封区内. 2．作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答卷的指定位置上，作答选择题必须用2B铅笔在机读卡上将对应题目的选项涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持机读卡卡面清洁和答题纸清洁，不折叠、不破损. 3．考试结束后，请将答题纸和机读卡交回. 第I卷（选择题共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题列出的四个备选项，只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分．） 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 不存在 【答案】B 【解析】 【分析】由直线倾斜角的定义，即可得到结果． 【详解】∵直线与x轴垂直，∴的倾斜角为． 故选：B 2. 已知点，，则线段的中点关于平面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出的中点的坐标，再求出关于平面对称的点的坐标即可． 【详解】因为点， 所以的中点， 所以关于平面对称的点的坐标为， 故选：C． 3. 如图，四面体中，点为中点，为中点，为中点，设，，，若可用，，表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算计算即可. 【详解】由题意可得， 而 . 故选：B 4. 若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆的一般方程及点与圆的位置关系可得不等式，解不等式即可． 【详解】由已知圆，则， 又点在圆外，则， 即， 解得， 故选：B． 5. 若直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出曲线的图象，数形结合可得解． 【详解】直线恒过定点， 由，得到， 所以曲线表示以点为圆心，半径为，且位于直线右侧的半圆（包括点，）， 如下图所示： 当直线经过点时，与曲线有两个交点，此时， 当与半圆相切时，由，得， 由图可知，当时，与曲线有两个公共点， 故选：D 6. 已知圆与圆相交于点，，则四边形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的几何性质可知，，再根据四边形的面积公式，分别求出，即可求出． 【详解】由圆－圆可得，直线，即，所以，而，所以四边形的面积是． 故选：C． 7. 已知直线过点，且与圆交于，两点，当面积最大时，的方程为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】如图，易知点在圆内，设，利用基本不等式确定的最大值，求出此时的，结合点线距计算即可求解． 【详解】依题意，圆的圆心，半径， 显然，即点在圆内，设的中点为，连接， 设，则， 面积， 当且仅当即时，等号成立， 此时，圆心到直线的距离， 故过点的直线斜率一定存在， 设其方程为， 即 由，解得或， 此时直线方程为或． 故选：B. 8. 如图，在棱长为1的正方体中，P为棱的中点，Q为正方形内一动点（含边界），则下列说法中不正确的是（　　） A. 若平面，则动点Q的轨迹是一条线段 B. 存在Q点，使得平面 C. 当且仅当Q点落在棱上某点处时，三棱锥的体积最大 D. 若，那么Q点的轨迹长度为 【答案】B 【解析】 【分析】取中点，证明平面，得动点轨迹判断A，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，由与此法向量平行确定点位置，判断B，利用空间向量法求得到到平面距离的最大值，确定点位置判断C，利用勾股定理确定点轨迹，得轨迹长度判断D． 【详解】选项A，分别取中点，连接，，由与，平行且相等得平行四边形，所以， 平面，平面，所以平面， 连接，，，所以，同理平面， ，平面，所以平面平面， 当时，平面，所以平面，即点轨迹是线段，A正确； 选项B，以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，设（）， ，，， 设是平面的一个法向量， 则，取，则， 若平面，则，所以存在，使得， ，解得，因此正方形内（含边界）不存在点，使得平面，B错； 选项C，面积为定值，当且仅当点到平面的距离最大时，三棱锥的体积最大，， 到平面的距离为，， 时，，当时，d有最大值1， 时，，时，d有最大值， 综上，时，d取得最大值1，故与重合时，d取得最大值，三棱锥的体积最大，C正确； 选项D，平面，平面，， 所以，所以点轨迹是以为圆心，为半径的圆弧，圆心角是，轨迹长度为，D正确． 故选：B． 【点睛】关键点点睛：本题考查空间点的轨迹问题，解题关键是勾画出过且与平面平行的平面，由体积公式，在正方形内的点到平面的距离最大，则三棱锥体积最大． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 若，则 B. 直线恒过定点 C. 直线l经过点，则到的距离为 D. 若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 【答案】AC 【解析】 【分析】利用共线向量的意义判断A；求出直线所过定点判断B；利用空间向量求出距离判断C；利用空间基底的定义判断D. 【详解】对于A，当时，满足，而与不一定共线，A错误； 对于B，直线，令，解得，直线过定点，B正确； 对于C，依题意，，则， 因此点到的距离为，C错误； 对于D，假设向量共面，则， 即，而是空间的一组基底， 则，无解，即不共面，也是空间的一组基底，D正确. 故选：AC 10. 在正三棱柱中，D为BC的中点，则（ ） A. B. 平面 C. D. 平面 【答案】BD 【解析】 【分析】法一：对于A，利用空间向量的线性运算与数量积运算即可判断；对于B，利用线面垂直的判定与性质定理即可判断；对于D，利用线面平行的判定定理即可判断；对于C，利用反证法即可判断；法二：根据题意建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐一分析判断各选项即可得解. 【详解】法一：对于A，在正三棱柱中，平面， 又平面，则，则， 因为是正三角形，为中点，则，则 又， 所以， 则不成立，故A错误； 对于B，因为在正三棱柱中，平面， 又平面，则， 因为是正三角形，为中点，则，， 又平面， 所以平面，故B正确； 对于D，因为在正三棱柱中， 又平面平面，所以平面，故D正确； 对于C，因为在正三棱柱中，， 假设，则，这与矛盾， 所以不成立，故C错误； 故选：BD. 法二：如图，建立空间直角坐标系，设该正三棱柱的底边为，高为， 则， 对于A，， 则， 则不成立，故A错误； 对于BD，， 设平面的法向量为， 则，得，令，则， 所以，， 则平面，平面，故BD正确； 对于C，， 则，显然不成立，故C错误； 故选：BD. 11. 如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60°，则（ ） A. B. C. 四边形的面积为 D. 平行六面体的体积为 【答案】BD 【解析】 【分析】A、B选项通过空间向量的模长及数量积进行判断即可；C选项通过空间向量求出，进而求出面积即可；D选项作出平行六面体的高，求出相关边长，即可求出体积． 【详解】因为， 则 ，故，A错误； ，， ，故，B正确； 连接， 则， ， 即，同理，故四边形为矩形， 面积为，C错误； 过作面，在直线上，过作于，连接， 由平面，得平面，平面，得， 故，，， 故平行六面体的体积为，D正确． 故选：BD． 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线与垂直，则______． 【答案】12 【解析】 【分析】利用两条直线垂直的性质，即可求出的值. 【详解】因为直线与垂直， 所以，解得， 故． 故答案为：12 13. 已用，，则在方向上的投影向量为__________． 【答案】 【解析】 【分析】用在方向上的投影乘以与同向的单位向量可得结果. 【详解】在方向上的投影向量为. 故答案为： 14. 若圆和圆相切，则r=___. 【答案】 【解析】 【分析】圆的圆心在圆的内部，所以两圆内切，即圆心距等于半径之差，列出方程即可求解. 【详解】由已知两圆相内切，，所以，即 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，． （1）当时，若向量与垂直，求实数和的值； （2）若向量与向量，共面，求实数的值． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）由空间向量的模长公式求出，然后根据空间向量垂直的坐标公式即可求解； （2）根据空间向量共面的条件即可求解. 【小问1详解】 因为，所以 且 因为向量与垂直， 所以，即或， 解得或，所以或. 【小问2详解】 因为向量与向量，共面，所以设， 因为， 即，解得， 所以实数的值为. 16. 如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，E为棱上的点，且. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）求点E到平面的距离. 【答案】（1）证明： 因为平面，平面， 所以，而，因此可以建立如下图所示的空间直角坐标系， 则有， ，，， 因为， 所以，而平面， 所以平面； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的运算性质，结合线面垂直的判定定理进行计算证明即可； （2）利用空间向量夹角公式进行求解即可； （3）利用空间向量夹角公式，结合锐角三角函数定义进行求解即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 设平面的法向量为， ， 则有， 由（1）可知平面的法向量为， 所以有， 由图知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为； 【小问3详解】 由（2）可知：平面的法向量为， ，所以可得： ， 所以点E到平面的距离为. 17. 已知圆的圆心在轴上，并且过，两点． （1）求圆的方程； （2）若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹． 【答案】（1） （2）以为圆心，为半径的圆 【解析】 【分析】（1）从A，两点坐标可看出线段平行于轴，则它的垂直平分线垂直于轴，所以线段的垂直平分线与轴的交点为圆心,圆心到点的距离为半径，从而得到求圆C的方程． （2）设,,将向量式进行坐标表示，得到与，与的关系，因为点为圆上任意一点，所以利用圆的方程(即与关系)，进而得到与的关系(即点Q的轨迹方程)，从而得到点Q的轨迹. 【小问1详解】 因为圆过A,B两点,所以圆心C在线段的垂直平分线上. 因为,所以线段的中点为,直线AB的斜率， 所以线段的垂直平分线斜率不存在,方程为:. 因为圆C的圆心在轴上,所以线段的垂直平分线与轴的交点为圆心,所以圆心为. 又半径，所以圆的方程为:． 【小问2详解】 设，．由，得, 所以即 因为点在圆上，所以，所以， 化简整理得的轨迹方程为:， 所以点的轨迹是:以为圆心，为半径的圆． 18. （1）求过点且与直线垂直的直线l的方程； （2）求过点且在x轴和y轴上的截距相等的直线l的方程． （3）已知圆，其圆心在直线上，若过点的直线与圆相切，求直线的方程． 【答案】（1）；（2）或；（3）或 【解析】 【分析】（1）由垂直关系设直线方程，代点坐标求出直线方程； （2）若直线过原点直接得到直线方程，直线不过原点设截距式方程，代点坐标解得直线方程； （3）整理一般方程得到圆心坐标，代入直线方程求得圆的方程.若直线斜率不存在，写出直线方程验证是否与圆相切，若斜率存在设直线方程，由直线与圆相切建立方程后解得直线方程. 【详解】（1）设l的方程为， 代入得 ∴直线l的方程为 （2）当直线l过原点时，直线l的方程是，即； 当直线l不过原点时，设直线l的方程是， 将点A坐标代入，得，解得， 此时直线l的方程是 综上所述，所求直线l的方程是或． （3）圆的标准方程为：， 所以，圆心为 由圆心在直线上，得． 所以，圆的方程为： 当直线的斜率不存在，即，显然与圆不相切. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，即， 由于直线和圆相切，得 解得： 所以，直线方程为：或 19. 已知圆的圆心在轴上，半径为2，直线被圆截得的弦长为，且圆心在直线的上方． （1）求圆的方程； （2）设，，若圆是△ABC的内切圆，求，边所在直线的斜率（用表示）； （3）在（2）的条件下求的面积S的最大值及对应的值． 【答案】（1） （2）， （3）最大值为24，或. 【解析】 【分析】（1）设圆心坐标，由圆心到直线的距离为等量关系建立方程，解得圆心坐标，然后写出圆的方程； （2）设直线，的直线方程，由直线与圆相切建立等量关系，然后表示出两直线的斜率； （3）联立直线，的直线方程，解得交点横坐标，求，从而得到面积S的关系式，由（2）中结果结合题意求得面积的最大值及此时的值. 【小问1详解】 设圆心， 由已知得到的距离，即， 又∵在l的上方，∴， ∴，∴， 故圆的方程为. 【小问2详解】 设斜率为，斜率为， 则直线的方程为，直线的方程为 由于圆与相切，所以，∴； 同理，，∴； 【小问3详解】 联立两条直线与得， 点的横坐标为， ∵， 由（2）得：， ∵，由二次函数的性质得， ，，， ∴，此时，∴或． 综上：的面积S的最大值为24，此时或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长乐五中2025-2026学年度第一学期期中质量检测高二年级数学试卷 （卷面分值：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1．本试卷为问答分离式试卷，共8页，其中问卷4页，答卷4页.答题前，请考生务必将自己的学校、姓名、座位号、准考证号等信息填写在机读卡上及答卷的密封区内. 2．作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答卷的指定位置上，作答选择题必须用2B铅笔在机读卡上将对应题目的选项涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持机读卡卡面清洁和答题纸清洁，不折叠、不破损. 3．考试结束后，请将答题纸和机读卡交回. 第I卷（选择题共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题列出的四个备选项，只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分．） 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 不存在 2. 已知点，，则线段的中点关于平面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，四面体中，点为中点，为中点，为中点，设，，，若可用，，表示为（ ） A. B. C. D. 4. 若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 若直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆与圆相交于点，，则四边形的面积是（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线过点，且与圆交于，两点，当面积最大时，的方程为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 8. 如图，在棱长为1的正方体中，P为棱的中点，Q为正方形内一动点（含边界），则下列说法中不正确的是（　　） A. 若平面，则动点Q的轨迹是一条线段 B. 存在Q点，使得平面 C. 当且仅当Q点落在棱上某点处时，三棱锥的体积最大 D. 若，那么Q点的轨迹长度为 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 若，则 B. 直线恒过定点 C. 直线l经过点，则到的距离为 D. 若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 10. 在正三棱柱中，D为BC的中点，则（ ） A. B. 平面 C. D. 平面 11. 如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60°，则（ ） A. B. C. 四边形的面积为 D. 平行六面体的体积为 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线与垂直，则______． 13. 已用，，则在方向上的投影向量为__________． 14. 若圆和圆相切，则r=___. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，． （1）当时，若向量与垂直，求实数和的值； （2）若向量与向量，共面，求实数的值． 16. 如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，E为棱上的点，且. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）求点E到平面的距离. 17. 已知圆的圆心在轴上，并且过，两点． （1）求圆的方程； （2）若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹． 18. （1）求过点且与直线垂直的直线l的方程； （2）求过点且在x轴和y轴上的截距相等的直线l的方程． （3）已知圆，其圆心在直线上，若过点的直线与圆相切，求直线的方程． 19. 已知圆的圆心在轴上，半径为2，直线被圆截得的弦长为，且圆心在直线的上方． （1）求圆的方程； （2）设，，若圆是△ABC的内切圆，求，边所在直线的斜率（用表示）； （3）在（2）的条件下求的面积S的最大值及对应的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $