精品解析：安徽省六安市汇文中学2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

汇文学校2025~2026学年度第一学期九年级期中素质评估 数学·试题卷 注意事项： 1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 如图，中，，则的正弦值可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个角的正弦值，直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该锐角所对的边的长与斜边的长的比值，据此可得答案． 【详解】解：∵中，， ∴， 故选：B． 2. 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据题意可得，据此把代入所求式子中计算求解即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故选：C． 3. 已知抛物线，下列结论错误的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴为直线 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 抛物线的顶点坐标为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，先将配方成顶点式，再根据二次函数的图象与性质判断即可． 【详解】解：，， ∴对称轴为直线，抛物线开口向上，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大， ∴A、B、D正确，不符合题意；C错误，符合题意； 故选：C． 4. 如图，在中，点D在边上，点E在的延长线上，添加下列条件不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定定理并应用解决问题是解题关键． 根据已知条件可知，再利用相似三角形的判定定理依次判断即可得到答案． 【详解】解：A、，即，又，可根据两边对应成比例，夹角相等证明，不符合题意； B、，不能证明，符合题意； C、，，可根据两角对应相等证明，不符合题意； D、，，可根据两角对应相等证明，不符合题意； 故选：B． 5. 已知在中，，，，则的值是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数，根据直角三角形中正切的定义，等于的对边与邻边的比值． 【详解】∵ 在中，， ∴ ， ∵ ， ∴ = ， 故选：A． 6. 如图，在平行四边形中，为上一点，连接，，且，相交于点，则(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，，得到，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】四边形是平行四边形， ，， ∴， ∴， ， ∵ ∴， 故选：D． 7. 在锐角中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数，非负数的性质，三角形内角和等知识，根据非负数的性质、特殊角三角函数求得是解题的关键；由非负数的性质及特殊角三角函数求得，再由三角形内角和即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 8. 通过查阅资料，发现近视眼镜的度数（度）是关于镜片焦距（米）的反比例函数，其函数图象如图所示，已知500度近视眼镜的镜片焦距为米．若小明同学眼睛的近视度数不超过200度，则下列说法正确的是（ ） A. 小明同学的近视眼镜的镜片焦距应不小于米 B. 小明同学的近视眼镜的镜片焦距应不小于2米 C. 小明同学的近视眼镜的镜片焦距应不大于米 D. 小明同学的近视眼镜的镜片焦距应大于米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用． 先求出函数解析式，再将代入求出的值，进而判断即可． 【详解】∵近视眼镜的度数（度）是关于镜片焦距（米）的反比例函数， ∴设， 将代入得：， 解得：， 即， 当时，， 由图可知，若小明同学眼睛的近视度数不超过200度，则小明同学的近视眼镜的镜片焦距应不小于米， 故选：A． 9. 如图，在中，，，的垂直平分线交于D，连接，若，则的长是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，中垂线的性质，根据，得到，设，中垂线的性质，得到，根据，求出的值，再利用勾股定理，求出的长． 【详解】解：∵， ∴， 设， ∵的垂直平分线交于D， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴； 故选A． 10. 已知抛物线上有点两点，对于任意实数m，若，，都有，则a的值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据解析式可得对称轴和开口方向，则可得到增减性，求出点A关于对称轴的对称点的坐标为，可得，则可推出，进而得到当时，，据此求解即可． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线，且函数开口向上， ∴在对称轴右侧，y随x增大而增大，点A关于对称轴的对称点坐标为 ∵，， ∴， ∴点B和点都在对称轴右侧， ∴， ∵， ∴ ∵对于任意的m都满足，即， ∴当时，， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 如图，四边形四边形，已知，，，则______． 【答案】##93度 【解析】 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质．根据四边形内角和定理可求出，再由相似多边形的性质解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵四边形四边形， ∴． 故答案为： 12. 如图，将放在每个小正方形的边长为的网格中，点，，均在格点上，则的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用，在直角三角形中锐角的正切为对边比邻边，构造直角三角形是本题的关键． 根据题意构造直角三角形如图所示，点D在格点上，从而可以求出的值． 【详解】解：构造直角三角形如图所示，点D在格点上， 由图可得， 故答案为：． 13. 函数与的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④当时，．其中正确的是______． 【答案】③④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数图象综合，根据抛物线与轴没有交点即可判断①；由图象可得，当时，，即可判断②；由图象可得，当时，，即可判断③；由图象可得，当时，，即可判断④，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵抛物线与轴没有交点， ∴，故①错误； 由图象可得，当时，，故，故②错误； 由图象可得，当时，，故，故③正确； 由图象可得，当时，，即，故④正确； 综上所述，正确的是③④， 故答案为：③④． 14. 如图，在中，，，，，垂足为D，点E是线段上一点（不与点C、D重合），连接并延长交于点F． （1）的长为______； （2）若点F是的中点，则的值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】1）由勾股定理可得，再由三角形面积公式计算即可得解； （2）过点作于点，则，证明是的中位线，得出，证明，求出，从而可得，再由正切的定义即可得解． 【详解】解：（1）∵在中，，，， ∴由勾股定理可得：， ∵， ∴， ∴； 故答案为： （2）如图，过点作于点， ， ∵， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 求值：cos245°﹣sin30°tan60°+sin60° 【答案】． 【解析】 【分析】把特殊角的三角函数值代入运算即可． 【详解】解：原式 ． 16. 如图，在平面直角坐标系中，给出了格点（顶点均在正方形网格的格点上），已知点的坐标为． （1）以点为位似中心，在给定的网格中画，使与位似，且点的坐标为． （2）与的相似比是______． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了位似变换的作图，根据坐标确定位似比是解答此题的关键． （1）根据题意画出位似图形，即可求解； （2）根据相似比等于位似等于相应线段之比，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，为所求． 【小问2详解】 解：∵A的坐标为．点的坐标为， ∴与的相似比是位似比为， 故答案为：． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 小海和小亮两人相约一起去参观革命烈士纪念馆．已知小海家B在小亮家A的北偏西方向上，．两人到达革命烈士纪念馆C处后，发现小亮家A在革命烈士纪念馆C的南偏西方向上，小海家B在革命烈士纪念馆C的南偏西方向上．求小亮家A到革命烈士纪念馆C的距离．（结果保留1位小数；参考数据：） 【答案】小亮家A到革命烈士纪念馆C的距离约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是作辅助线构建直角三角形，解直角三角形求解． 过点作，先解求出，再解求出，最后由即可求解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为. 由题意，得， . 在中，， ∴， . 在中，， ∴. 答：小亮家A到革命烈士纪念馆C的距离约为． 18. 安徽某校球员从球门正前方8米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线形．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求该抛物线的函数表达式． （2）已知球门高为2.7米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． 【答案】（1） （2）球能射进球门 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是求得二次函数表达式； （1）由题意可设该抛物线的函数表达式为，然后根据待定系数法可求解函数关系式； （2）由（1）可令，然后问题可求解． 【小问1详解】 解：由图象可知抛物线的顶点坐标为． 设该抛物线的函数表达式为． 把点代入，得， 解得， 该抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：当时，， 球能射进球门． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，已知在梯形中，，对角线与交于点，点是边边上的中点，连接交于点，并满足． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：∵点是边上的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明是解题的关键． （1）由，且，得，则，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明，则； （2）先证明，得，则，由，得，所以，则根据相似三角形的性质可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，矩形的两边的长分别为3，8．边落在x轴上，E是的中点，连接，反比例函数的图象经过点E，与交于点F． （1）若，求F点坐标； （2）若，求反比例函数的解析式． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质，矩形的性质等知识，数形结合是解题的关键． （1）求出,由反比例函数的图象经过点E即可求出答案； （2）求出F点坐标为，由反比例函数的图象与交于点F即可求出答案． 【小问1详解】 解：∵E是的中点， 的长分别为8． ∴， ∵, ∴, ∵反比例函数的图象经过点E， ∴，解得， ∴， ∵， ∴， 把代入得到， ∴F点坐标为； 【小问2详解】 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴F点坐标为； ∵反比例函数的图象与交于点F． ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式为． 六、（本题满分12分） 21. 如图是一个广场的改造平面示意图，已知斜坡长，坡角为，，现计划在斜坡中点处挖去部分，修建一个平行于水平地面的平台和一条新的斜坡．（，结果精确到） （1）若改造后的新的斜坡的坡比为，求平台的长是多少米？ （2）一幢建筑物距离点远（即），小亮在点测得建筑物顶部的仰角为．点，，，，，，在同一个平面内，点，，在同一条直线上，且，问建筑物高为多少米？ 【答案】（1）平台的长是米． （2）建筑物高为米． 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，以及解直角三角形的应用一坡度坡角问题，注意根据题意构造直角三角形，并解直角三角形． （1）由三角函数的定义，即可求得与的长，又由坡度的定义，即可求得的长，继而求得平台的长． （2）首先设米，根据矩形的判定和性质，用x表示出的长，在中由三角函数的定义，即可求得x的值，进而得到的长． 【小问1详解】 解：， ． 斜坡长，斜坡中点为， ． ． 新的斜坡的坡比为 ． 解得． ． 答∶ 平台的长是米． 【小问2详解】 解：设米， ，斜坡中点为， ． 则(米)． 如图，作于． ，， 四边形为矩形． ，． ， ． 在，，即 解得∶． 答∶ 建筑物高为米． 七、（本题满分12分） 22. 如图，在中，，，D为的中点，是射线上的一点，连接，，F是上一点，且满足，． （1）求证：A； （2）试分析：之间的数量关系； （3）若，求的值． 【答案】（1） 证明：，，D为的中点， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； 即； （2） 解：，理由如下： ，，D为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ，， ， ； （3） 【解析】 【分析】本题涉及几何综合题，涉及三角形相似、等腰直角三角形、全等三角形、线段关系等知识点，解题的关键是灵活运用相关知识； （1）可通过证明三角形全等，得到角的关系，，进而推出垂直； （2）分析之间的数量关系，需要结合等腰直角三角形的边长关系，再通过构造相似三角形，利用相似的性质求解即可； （3）首先证明出，利用性质进一步证明，得出，进一步证明，得出为的黄金分割点，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， ， ，， ， ， ， 由（1）知， ， ， ， ， ，， ， 又， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， 即为的黄金分割点， ． 八、（本题满分14分） 23. 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线经过B，C两点． （1）求该二次函数的表达式； （2）已知P为线段上一点，设其横坐标为t，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图象相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点N． ①当的长度随t的增大而增大时，求t的取值范围； ②当时，求点P的横坐标． 【答案】（1） （2）①；②或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据一次函数解析式求出点B和点C的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）①根据（1）所求可得点P和点M的坐标，进而可用含t的式子表示出的长度，再根据二次函数的增减性求解即可；②根据题意可推出点M和点N关于对称轴对称，则可求出点N的坐标，进而表示出线段的长度，再根据建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：在中，当时，，当时，， ∴， ∵二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C， ∴， ∴， ∴二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：①由题意得，，， ∴ ， ∵点P在线段上， ∴， ∵， ∴当时，的长度随t的增大而增大； ②∵轴， ∴轴， 又∵点M和点N都在二次函数的图象上， ∴点M和点N关于对称轴对称， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，则，解得或（舍去）； 当时，则，解得或（舍去）； 综上所述，或， ∴点P的横坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 汇文学校2025~2026学年度第一学期九年级期中素质评估 数学·试题卷 注意事项： 1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 如图，中，，则的正弦值可以表示为（ ） A. B. C. D. 2. 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 3. 已知抛物线，下列结论错误的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴为直线 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 抛物线的顶点坐标为 4. 如图，在中，点D在边上，点E在的延长线上，添加下列条件不能判定的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知在中，，，，则的值是（ ） A. B. 2 C. D. 6. 如图，在平行四边形中，为上一点，连接，，且，相交于点，则(　　) A. B. C. D. 7. 在锐角中，，则（ ） A. B. C. D. 8. 通过查阅资料，发现近视眼镜的度数（度）是关于镜片焦距（米）的反比例函数，其函数图象如图所示，已知500度近视眼镜的镜片焦距为米．若小明同学眼睛的近视度数不超过200度，则下列说法正确的是（ ） A. 小明同学的近视眼镜的镜片焦距应不小于米 B. 小明同学的近视眼镜的镜片焦距应不小于2米 C. 小明同学的近视眼镜的镜片焦距应不大于米 D. 小明同学的近视眼镜的镜片焦距应大于米 9. 如图，在中，，，的垂直平分线交于D，连接，若，则的长是（ ）． A. B. C. D. 10. 已知抛物线上有点两点，对于任意实数m，若，，都有，则a的值为（ ） A. B. C. D. 3 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 如图，四边形四边形，已知，，，则______． 12. 如图，将放在每个小正方形的边长为的网格中，点，，均在格点上，则的值是_______． 13. 函数与的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④当时，．其中正确的是______． 14. 如图，在中，，，，，垂足为D，点E是线段上一点（不与点C、D重合），连接并延长交于点F． （1）的长为______； （2）若点F是的中点，则的值为______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 求值：cos245°﹣sin30°tan60°+sin60° 16. 如图，在平面直角坐标系中，给出了格点（顶点均在正方形网格的格点上），已知点的坐标为． （1）以点为位似中心，在给定的网格中画，使与位似，且点的坐标为． （2）与的相似比是______． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 小海和小亮两人相约一起去参观革命烈士纪念馆．已知小海家B在小亮家A的北偏西方向上，．两人到达革命烈士纪念馆C处后，发现小亮家A在革命烈士纪念馆C的南偏西方向上，小海家B在革命烈士纪念馆C的南偏西方向上．求小亮家A到革命烈士纪念馆C的距离．（结果保留1位小数；参考数据：） 18. 安徽某校球员从球门正前方8米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线形．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求该抛物线的函数表达式． （2）已知球门高为2.7米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，已知在梯形中，，对角线与交于点，点是边边上的中点，连接交于点，并满足． （1）求证：； （2）求证：． 20. 如图，矩形的两边的长分别为3，8．边落在x轴上，E是的中点，连接，反比例函数的图象经过点E，与交于点F． （1）若，求F点坐标； （2）若，求反比例函数的解析式． 六、（本题满分12分） 21. 如图是一个广场的改造平面示意图，已知斜坡长，坡角为，，现计划在斜坡中点处挖去部分，修建一个平行于水平地面的平台和一条新的斜坡．（，结果精确到） （1）若改造后的新的斜坡的坡比为，求平台的长是多少米？ （2）一幢建筑物距离点远（即），小亮在点测得建筑物顶部的仰角为．点，，，，，，在同一个平面内，点，，在同一条直线上，且，问建筑物高为多少米？ 七、（本题满分12分） 22. 如图，在中，，，D为的中点，是射线上的一点，连接，，F是上一点，且满足，． （1）求证：A； （2）试分析：之间的数量关系； （3）若，求的值． 八、（本题满分14分） 23. 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线经过B，C两点． （1）求该二次函数的表达式； （2）已知P为线段上一点，设其横坐标为t，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图象相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点N． ①当的长度随t的增大而增大时，求t的取值范围； ②当时，求点P的横坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $