精品解析：浙江省杭州市滨江区滨和中学八年级2025-2026学年上学期期中考试数学试卷

2025学年第一学期期中考试 八年级数学试题卷 温馨提示： 1．全卷共三大题，24小题，满分为120分．考试时间为120分钟，本次考试采用闭卷形式． 2．请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上先填写姓名和准考证号． 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列图形是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，掌握概念是解题的关键． 轴对称图形指的是一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合的图形，按照概念进行判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. 以下各组线段为边，能成三角形的是（ ） A. 1cm，3cm，1cm B. 1cm，3cm，2cm C. 3cm，4.5cm，8cm D. 1cm，cm，2cm 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，逐一判断各选项即可． 【详解】解： 对于选项A：，则不能组成三角形； 对于选项B：，则不能组成三角形； 对于选项C：，则不能组成三角形； 对于选项D：，，则能组成三角形， 故选：D． 3. 下列选项中，的值可以作为命题“若，则”是假命题的反例的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据要证明一个命题结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题． 【详解】解：用来证明命题“，则”是假命题的反例可以是：， ∵ ，但是， ∴C正确； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了利用举例法证明一个命题错误，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可． 4. 如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是三角形外角性质，灵活运用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”是解题的关键．根据三角板的角度特征得到，进而求出式子的值． 【详解】解：如图， ， ． 故选：． 5. 已知，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是不等式的性质，解题关键是熟练掌握不等式的性质． 根据不等式的性质对选项进行逐一判断即可得解． 【详解】解：、，，则不成立，不符合题意，选项错误； 、∵，∴，符合题意，选项正确； 、，若，则；若，则，即不一定成立，选项错误； 、，，，则不成立，不符合题意，选项错误． 故选：． 6. 如果的三个顶点A，B，C所对的边分别为a，b，c．那么下列条件中能判断是直角三角形的是（ ） A. ，， B. ， C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理和勾股定理逆定理的应用．通过计算角度是否为或边长是否满足勾股定理来判断三角形是否为直角三角形． 【详解】解：A项：∵，，， ∴，， ∴，故是直角三角形，符合题意； B项：∵，， ∴，故不是直角三角形，不符合题意； C项：∵，且， ∴设，，，则，解得， ∴，故不是直角三角形，不符合题意； D项：∵， 设，，， 则，， ∴，不满足勾股定理，且，不满足三角形三边关系，故不能构成三角形，不符合题意， 故选：A． 7. 将空调安装在墙上时，采用如图所示的方法固定，这种做法的依据是（ ） A. 垂线段最短 B. 两点之间，线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 三角形具有稳定性 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的稳定性的应用，掌握三角形具有稳定性的特征是解题关键． 根据三角形具有稳定性可得答案． 【详解】解：空调安装在墙上时，采用如图所示的三角形支架方法固定， 这种方法应用的几何原理：三角形具有稳定性． 故选：D． 8. 某社区招募了成年志愿者和青少年志愿者共80人参与垃圾分类宣传活动．成年志愿者平均每人向25位居民宣传垃圾分类知识，青少年志愿者平均每人向10位居民宣传垃圾分类知识．为了保证向1200位居民宣传垃圾分类知识，至少需要成年志愿者多少人？设需要成年志愿者人，则根据题意所列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列不等式． 设成年志愿者有人，则青少年志愿者为人，根据宣传总人数至少为1200，建立不等式即可． 【详解】解：设成年志愿者有人， ∵成年志愿者和青少年志愿者共80人， ∴青少年志愿者为人， ∵成年志愿者平均每人向25位居民宣传垃圾分类知识，青少年志愿者平均每人向10位居民宣传垃圾分类知识 ∴成年志愿者和青少年志愿者共向位居民宣传垃圾分类知识， ∵保证向1200位居民宣传垃圾分类知识， ∴， 故选B． 9. 如图，在中，，平分，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了含角平分线的三角形内角和定理问题，牢记三角形内角和是是解题的关键． 首先根据三角形内角和定理得到，然后由角平分线的概念得到，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∵平分， ∴ ∴． 故选：B． 10. 如图，中，交于，平分交于，为的延长线上一点，交的延长线于，的延长线交于，连接，下列结论： ①②；③④若为直角，则．其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①③ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】如图，①根据三角形的内角和即可得到；②根据角平分线的定义，三角形的内角和定理，变形可得结论；③根据三角形的面积公式即可得到；④根据三角形的内角和和外角的性质即可得到． 本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，角的平分线性质及其意义，三角形面积性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键． 【详解】解：设与的延长线交于点M，如下图所示： ，， ， 又， 故， ； 故①正确， ， 过点E作于点P，作于点Q， 平分， ， ， ， 故②正确； ， ， ， ， 平分， ； 故③正确， 延长二线交于点N， 平分， ， ， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∴， 无法证明， 故④错误， 故选：A． 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 用不等式表示“的3倍减去1是负数”：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列一元一次不等式，根据已知条件列出不等式是解题的关键． 根据题意列出不等式即可． 【详解】解“x的3倍”表示为，“减去1”表示为，因此表达式为；“是负数”表示该表达式小于0，故不等式为， 故答案为：． 12. 如图，在中，，分别是边，的垂直平分线，，则的周长___________．     【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质的应用，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质，可得，即可求解． 【详解】解：∵，分别是边，的垂直平分线， ∴， ∴的周长为， ∵， ∴的周长为8． 故答案为：8 13. 如图，这是王彬同学设计的一个计算机程序，规定从“输入一个值到判断“结果是否”为一次运行过程，如果程序运行两次就停止，那么的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据程序运行两次就停止，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围． 【详解】解：依题意得：， 解得：1≤x＜5， ∴x的取值范围是1≤x＜5． 故答案为：1≤x＜5． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 14. 如图，有一架秋千，当他静止时，踏板离地的垂直高度，将他往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，绳索的长度为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，利用勾股定理构造方程是解题关键． 秋千在运动过程中，长度固定不变，可得．两次的高度分别为和，因此．设，则，直角三角形的三边满足勾股定理，解出即可． 【详解】解：设， ∵绳索长度不变， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在直角三角形中，，代入得， ， 解得，， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，则___________． 【答案】##110度 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理．利用数形结合的思想是解答本题的关键． 由等边对等角可知，．由三角形外角性质可得出，从而可得出．在中，由三角形内角和定理可得出，即，再次根据三角形外角性质，即得出，将代入整理，即得出的值． 【详解】解：∵， ∴，． ∵，， ∴． ∵在中，， ∴， ∵， ∴， 整理得：． ∵， ∴． 故答案为：． 16. 已知关于的不等式组下面四个结论：①若它的解集是，则；②当时，不等式组有解；③若它的整数解仅有3个，则；④若它有解，则．其中正确的结论序号是_____________． 【答案】①④##④① 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键．先利用含的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于的不等式组，从而求出的范围． 【详解】解：， 解不等式①，得． 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． ①若它的解集是，则， 解得，故结论正确； ②当时，． 不等式组无解，故结论不正确； ③若它的整数解仅有3个，则，解得． 则的取值范围是，故结论不正确； ④若它有解，． 解得，故结论正确． 综上可知，正确的有①④． 故答案为：①④． 三、解答题（共72分） 17. 解下列不等式(组)，并把解集在数轴上表示出来． （1）解不等式：． （2）解不等式组：． 【答案】（1）， 在数轴上表示为： ； （2）， 在数轴上表示为： ． 【解析】 【分析】（1）先根据不等式的性质求出不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集即可； （2）先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可． 【小问1详解】 解：（1）， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式或不等式组的解集，能求出不等式或不等式组的解集是解此题的关键． 18. 如图，点，，，在同一条直线上，，，． （1）求证：． （2）若与交于点，过点作．求证：． 【答案】（1） 证明：， ，即， 在和中， ， ； （2） 与交于点，过点作，如下图所示， 由（1）可知：， ， ， ， ， 在和中， ， ； ． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）根据已知条件可得到，再利用证明即可； （2）由（1）可知，进而得到，利用证明，进而求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，点，，都在网格的格点上，每小方格是边长为1个单位长度的正方形．利用格点和直尺画图并填空： （1）画出关于直线轴对称的； （2）直线上是否存在一点，使的值最小，若存在，请求出的最小值． 【答案】（1） 解：如图，即为所求． （2）存在，的最小值为． 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的画法，最短路线的求法，能够正确作图是解题关键． （1）利用网格特点和对称的性质画出A、B、C的对称点即可； （2）直接利用轴对称求最短路线的方法，直接画出点即可，并结合勾股定理计算最短路径长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，与得交点，即为点． 直线是的垂直平分线， ， ， 根据“两点之间，线段最短”，当为与的交点时，， 此时取得最小值，即的长度， 通过网格可知，到的水平距离为5个单位长度，垂直距离为4个单位长度，由勾股定理得：， 故的最小值为． 20. 已知：如图，锐角的两条高相交于点，且 （1）求证：是等腰三角形； （2）判断点是否在的角平分线上，并说明由． 【答案】 （1）证明：是的高， ， ， 又是公共边， 即是等腰三角形． （2）解：点在的角平分线上． 理由如下： ， ， ， ， 又， 点在的角平分线上． 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角先求出，再证明即可解决问题． （2）先由（1）的全等得到，再得到，即可得到点在角平分线上． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，以及等腰三角形的性质和判定，解决此题的关键是找到 21. 在中，，，，垂足为G，且，，其两边分别交边于点E，F． （1）求证：是等边三角形； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ， 是等边三角形； （2） 证明：是等边三角形， ， ， ， ， 在与中， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）由等腰三角形的性质和已知条件得出，再由，即可得出是等边三角形； （2）由是等边三角形，得出，证出，由证明可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 我校即将进行秋季实践活动，计划租用A、B两种型号的大巴车，已知租用3辆A型大巴车和2辆台B型大巴车，共需费用2100元；4辆台A型大巴车比5辆B型大巴车的费用多500元． （1）求A型大巴车和B型大巴车每辆俩各需多少元； （2）若计划租用A、B两种型号大巴车共30辆，且A型大巴车的辆数不少于B型大巴车的一半，两种型号大巴车的租用采购总费用不超过11500元，共有哪几种采购方案？ （3）在（2）的条件下，直接写出采用哪一种租用方案可使总费用最低，最低费用是多少元？ 【答案】（1）每辆型大巴车需500元，每辆型大巴车需300元 （2）该校共有3种租车方案，方案1：租用10辆型大巴车，20辆型大巴车；方案2：租用11辆型大巴车，19辆型大巴车；方案3：租用12辆型大巴车，8辆型大巴车； （3）采用租车方案1可使总费用最低，最低费用是11000元 【解析】 【分析】（1）设每辆型大巴车需元，每辆型大巴车需元，根据“租用3辆型大巴车和2辆台型大巴车，共需费用2100元；4辆台型大巴车比5辆型大巴车的费用多500元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用辆型大巴车，则租用辆型大巴车，根据“型大巴车的辆数不少于型大巴车的一半，两种型号大巴车的租用总费用不超过11500元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各租车方案； （3）利用总租金每辆型大巴车的租金租用型大巴车的数量每辆型大巴车的租金租用型大巴车的数量，可求出采用各租车方案所需费用，比较后即可得出结论． 本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，求出采用各租车方案所需费用． 【小问1详解】 解：设每辆型大巴车需元，每辆型大巴车需元， 根据题意得：， 解得：． 答：每辆型大巴车需500元，每辆型大巴车需300元； 【小问2详解】 解：设租用辆型大巴车，则租用辆型大巴车， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为10，11，12， 该校共有3种租车方案， 方案1：租用10辆型大巴车，20辆型大巴车； 方案2：租用11辆型大巴车，19辆型大巴车； 方案3：租用12辆型大巴车，8辆型大巴车； 【小问3详解】 解：采用租车方案1所需费用为（元）； 采用租车方案2所需费用为（元）； 采用租车方案3所需费用为（元）． ， 采用租车方案1可使总费用最低，最低费用是11000元． 23. 如图1，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，BE与CD相交于F． （1）求证：BF=AC； （2）如图2，H为边BC的中点，连接DH交BE于点G，若BE平分∠ABC，CE=3，求GE的长． 【答案】 （1）证明：∵CD⊥AB， ∴∠CDB=90°， ∵∠ABC=45°， ∴∠DCB=45°=∠DBC， ∴BD=DC， 在△BDF和△CEF中， ∵∠BDC=∠BEC=90°，∠DFB=∠EFC， ∴∠DBF=∠ECF， 在△BDF和△CDA中 ， ∴△BDF≌△CDA， ∴BF=AC； （2） 【解析】 【分析】（1）证明BD=DC，∠ADC=∠BDF，∠ACD=∠DBF，证出△BDF≌△CDA即可； （2）连接CG，证明BG=GC，再证明，推出CE=GE即可． 【详解】解：（1）略 （2）解：连接CG， ∵BD=DC，H为BC中点， ∴DH为BC垂直平分线， ∴BG=CG， ∴∠CBE=∠GCB， BE平分∠ABC， ∵∠ABC=45°，∠ABE=∠CBE， ∴∠EGC=∠CBE+∠GCB=45°， ∵∠GEC=90°， ∴∠ECG=45°=∠EGC， ∴GE=CE=3． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线性质，三角形外角性质，等腰三角形的性质的应用，掌握以上知识是解题的关键． 24. 如图1，，， （1）求证：； （2）若，设，求的值； （3）如图2，若，延长交于，设，，猜想，满足的关系式并证明． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴； （2）2 （3）， 证明如下： ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）利用“角角边”证明，即可； （2）根据全等三角形的性质可得，再由，可得，从而得到，即可求解； （3）根据，可得，证明为等腰直角三角形，可 ，，再由是等腰直角三角形，以及，可得，，从而得到，在中，利用勾股定理解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期期中考试 八年级数学试题卷 温馨提示： 1．全卷共三大题，24小题，满分为120分．考试时间为120分钟，本次考试采用闭卷形式． 2．请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上先填写姓名和准考证号． 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列图形是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下各组线段为边，能成三角形的是（ ） A. 1cm，3cm，1cm B. 1cm，3cm，2cm C. 3cm，4.5cm，8cm D. 1cm，cm，2cm 3. 下列选项中，的值可以作为命题“若，则”是假命题的反例的是（ ） A. B. C. D. 4. 如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 如果的三个顶点A，B，C所对的边分别为a，b，c．那么下列条件中能判断是直角三角形的是（ ） A. ，， B. ， C. D. 7. 将空调安装在墙上时，采用如图所示的方法固定，这种做法的依据是（ ） A. 垂线段最短 B. 两点之间，线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 三角形具有稳定性 8. 某社区招募了成年志愿者和青少年志愿者共80人参与垃圾分类宣传活动．成年志愿者平均每人向25位居民宣传垃圾分类知识，青少年志愿者平均每人向10位居民宣传垃圾分类知识．为了保证向1200位居民宣传垃圾分类知识，至少需要成年志愿者多少人？设需要成年志愿者人，则根据题意所列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，平分，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，中，交于，平分交于，为的延长线上一点，交的延长线于，的延长线交于，连接，下列结论： ①②；③④若为直角，则．其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①③ C. ①②④ D. ②③④ 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 用不等式表示“的3倍减去1是负数”：___________． 12. 如图，在中，，分别是边，的垂直平分线，，则的周长___________．     13. 如图，这是王彬同学设计的一个计算机程序，规定从“输入一个值到判断“结果是否”为一次运行过程，如果程序运行两次就停止，那么的取值范围为______． 14. 如图，有一架秋千，当他静止时，踏板离地的垂直高度，将他往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，绳索的长度为___________． 15. 如图，在中，，，则___________． 16. 已知关于的不等式组下面四个结论：①若它的解集是，则；②当时，不等式组有解；③若它的整数解仅有3个，则；④若它有解，则．其中正确的结论序号是_____________． 三、解答题（共72分） 17. 解下列不等式(组)，并把解集在数轴上表示出来． （1）解不等式：． （2）解不等式组：． 18. 如图，点，，，在同一条直线上，，，． （1）求证：． （2）若与交于点，过点作．求证：． 19. 如图，点，，都在网格的格点上，每小方格是边长为1个单位长度的正方形．利用格点和直尺画图并填空： （1）画出关于直线轴对称的； （2）直线上是否存在一点，使的值最小，若存在，请求出的最小值． 20. 已知：如图，锐角的两条高相交于点，且 （1）求证：是等腰三角形； （2）判断点是否在的角平分线上，并说明由． 21. 在中，，，，垂足为G，且，，其两边分别交边于点E，F． （1）求证：是等边三角形； （2）求证：． 22. 我校即将进行秋季实践活动，计划租用A、B两种型号的大巴车，已知租用3辆A型大巴车和2辆台B型大巴车，共需费用2100元；4辆台A型大巴车比5辆B型大巴车的费用多500元． （1）求A型大巴车和B型大巴车每辆俩各需多少元； （2）若计划租用A、B两种型号大巴车共30辆，且A型大巴车的辆数不少于B型大巴车的一半，两种型号大巴车的租用采购总费用不超过11500元，共有哪几种采购方案？ （3）在（2）的条件下，直接写出采用哪一种租用方案可使总费用最低，最低费用是多少元？ 23. 如图1，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，BE与CD相交于F． （1）求证：BF=AC； （2）如图2，H为边BC的中点，连接DH交BE于点G，若BE平分∠ABC，CE=3，求GE的长． 24. 如图1，，， （1）求证：； （2）若，设，求的值； （3）如图2，若，延长交于，设，，猜想，满足的关系式并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $