江苏省太湖高级中学2026届高三上学期12学情调研数学试卷

江苏省太湖高级中学高三年级12月学情调研 学科：数学 时间：120分钟 一、单选题： 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，，，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 3. 已知（其中为虚数单位）是关于的方程的一个根，则在复平面内，所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则在下列区间中，函数单调递减的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知正项等差数列满足，则（ ） A. 670 B. 675 C. 2025 D. 4050 7. 若函数的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线恒过定点A，圆上的两点，满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题： 9. 已知点P是的中线BD上一点（不包含端点），且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值是9 10. 已知函数，则下列选项正确的是（ ） A. 的图象关于点对称 B. 是的极大值点 C. 在处的切线方程为 D. 在区间上单调递增 11. 已知棱长为2的正方体中，，，分别为，，的中点，则下列正确的是（ ） A. B. C. 若点是正方体表面上一动点且满足，则点的轨迹长度为 D. 已知平面过点且，若，且，则点的轨迹长度为 三、填空题： 12. 中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句．如图，假设这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形，再在该扇形内剪下一个同心小扇形（作为扇骨留白），形成扇环形状的扇面．当扇子扇形的圆心角为时，扇面看上去形状较为美观．已知，弧的长为，则此扇面的面积为______． 13. 已知，，则_______． 14. 已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线上上存在一点满足，则椭圆的离心率的取值范围为_________． 四、解答题： 15. 已知的面积为，内角所对的边分别为，且. （1）求的大小； （2）若，且，求. 16. 已知数列的前项和为，若，且． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 17. 已知平面边形中，，，且.以为腰作等腰直角三角形，且，将沿直线折起，使得平面平面. （1）证明：平面； （2）若是线段上一点，且平面， ①求三棱锥的体积； ②求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知椭圆C的对称中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴，右焦点F为，且经过． （1）求椭圆C的标准方程； （2）过F作不与坐标轴平行的直线交曲线C于A，B两点，过点A，B分别向x轴作垂线，垂足分别为点D，E，直线与直线相交于P点． ①求证：点P的横坐标为定值； ②求面积的最大值． 19. 已知函数．（其中是自然对数的底，，）． （1）讨论函数的单调性； （2）若直线是函数图像的切线，求a的值； （3）当时，若恒成立，求整数a的最大值． 江苏省太湖高级中学高三年级12月学情调研 学科：数学 时间：120分钟 一、单选题： 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】C 二、多选题： 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】AC 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题： 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题： 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）；（2）. 【17题答案】 【答案】（1） 因，，故, 又，且，故 在直角梯形中，， 由可得； 因平面平面，，平面平面， 则平面，又平面， 则，又，因平面， 故平面. （2）① ；② 【18题答案】 【答案】（1）； （2）①证明如下： 设直线的方程为 ， ， 联立方程得到 ， 易知 ， ； 直线 的方程为，直线的方程为； 联立方程 ， 解得； 所以点P的横坐标为定值3. ②. 【19题答案】 【答案】（1）当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减 （2） （3）整数的最大值为1 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $