数学试卷-【1号卷·A10联盟】2026届高三上学期8月底学情调研

号卷·A10联盟2026届高三上学期8月底学情调研 数学试题 本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。请在答题卡上作答 第I卷（选择题共58分） 8已知巨店行 一，选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 23y7 则( 目要求的 A.x不可能是最小值 B.y不可能是最小值 1.2=51的虚部为( C.z不可能是最大值 D.y不可能是最大值 i 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 B.-21 D.-2 全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 A.21 C.2 9.电影《南京照相馆》在全国各地热映，某影院连续8天的观影人数（单位：百人）依次为90， 2.已知全集U={x∈Z3.5<x<4,集合A={-3,-1,L,3引，则C,A的子集个数为( 120,80,160,180,160,170,160,则这组数据的() A.1 B.4 C.8 D.16 A.众数为160 B.中位数为170 3.已知双曲线C关于原点对称，其中一个焦点的坐标为(5.0)，一条渐近线方程为y=x,则C的 C.平均数为140 D.第30百分位数为90 3 10.已知直三棱柱ABC-AB.C的所有棱长均为6，点M.N分别是线段AB,CC的中点，则( 实轴长为( A.MN∥平面ABC A.3 B.6 C.4 D.8 B.AN⊥AM 4.若直线x=a(a<0)是函数y=tan3x- 图象的一条对称轴.则a的最大值为( C.三棱柱ABC-AB,C外接球的表面积为84π D.点A到平面BMW的距离为3√3 2π C.-24 D. 6 11.小明和小红进行某项比赛（比赛结果没有平局）.小明每局获胜的概率均为P,每局比赛胜者获 得1个积分，负者获得0个积分，记小明和小红两人积分之差的绝对值为5，规定=k时，比 5.已知非零向量a,b满足d=3b,向量a在向量b上的投影向量为2b,若(2a-b)⊥(a+b), 赛结束且总积分多者获胜.。下列说法正确的是( 则实数入的值为( A,若k=2,则比赛结束时总局数可能是5 B.2 C. 3 n 3 B.若k=2,p= 4 则恰好4局结束比赛且小明获胜的概率为2习 128 [x2+2x,-3<x<0 6.已知函数f(x)= 0≤x<C ,若f(x)存在最小值，侧正数c的最大值为() C若k=3,p= 3 则在不超过5局比赛结束的条件下，小明以4：1获胜的概率为 5 2 D若太=3。P=子，比赛进行一段时同后5=0，则续比赛小明终我胜的既丰为 9 A.1 B.2 D.4 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 7.已知圆C:x2+(y-5)=9与圆C2:(x-a)}'+y2=9(a>0)交于M,N两点，若点A(,0)在 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 直线MN上，则实数1的取值范围为( 12.若直线y=2x+a是曲线y=2e*+x2-1的一条切线，则实数a的值为 7W11 711 13.在△ABC中，若cos2A+cos2B=2cos2C,则sinC的取值范围为 11 1,0 c.(∞，i D.（i.0 14.类比数列，我们把一系列向量按照一定的顺序排列，可得到向量列.已知向量列a。}满足 an=2a+d,且ad=d=1,则aa= )号袭·A10联盟2026届高三上学期月底学情调研·数学试题第1页共4页 号卷，A10联盟2026届高三上学期8月底学情调研·数学试题第2页共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.(15分) 15.(13分) 为了研究“长期长跑”与“半月板损伤”之间的关系，研究人员在长跑爱好者中随机抽取了100 已知数列a,}的前n项积为工，其中工=3宁，数列私，}的通项公式为6，-40g,口 人进行调查，所得数据统计如下表所示： 半月板的健康状况 (1)求数列{a}及{凸}的通项公式： 组别 半月板正常半月板损伤 合计 (2)求数列 a 的前n项和Sn: 长期长跑 40 360 400 b 非长期长跑 460 140 600 合计 500 500 1000 (3)求证： 合a (1)根据小概率值《=0.01的独立性检验，判断“长期长跑”与“半月板损伤”之间是否相关： (2)若按照半月板的健康状况，使用分层随机抽样的方法从长期长跑的爱好者中随机抽取10人，再 从这10人中随机挑选2人，记抽到的2人中半月板损伤的人数为X,求X的分布列与均值. 18.(17分) 附：X= n(ad-be) 其中n=a+b+c+d. (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 已知离心丰为兮的撰调C:号+长=口>b>0的左，右焦点分别为F.5,且C过装 0.1 0.050.010.005 0.001 过原点的直线1与C交于P,Q两点. Xa 2.706 3.841 6.6357.879 10.828 -唱 (1)求C的方程 141: 2)若点P在第一象限，过点Q作直线P听.PE的重线，垂是分别为么B.求证：8 16.(15分) (3)若点P关于x轴的对称点为M,点D的坐标为(4，O),直线MD交C于点N,探究：直线 如图，在四棱台ABCD-ABCD中，DD⊥平面ABCD,AB=CD=4, PN是否过定点，若是，请求出定点，若不是，请说明理由. AD=BC=2AD=2,∠BCD=60° (1)求证：BD⊥AD: (2)若三棱锥D-ABD的外接球表面积为17π，求平面BCD与平面ABCD夹角的余弦值 19.(17分) 已知函数f(x)=x-asinx(a∈R) (1)若a=2,求函数f(x)在[0，π上的最值： (2)若a=1,对xe(0.+∞)，求证：6f(x)<x3: (3)若x=0是函数g(x)=x3f(x)的极小值点，求a的取值范围. /号卷·A10联盟2026偏高三上学期8月底学情调研，数学试题第3页共4页 号卷，A10暖联盟2026届高三上学期8月底学情调研·数学试题第4页共4页∥号卷·A10联盟2026届高三上学期8月底学情调研 数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的 题号 2 3 6 7 答案 D C A C D A B 1.D2-51=-27-51=-5-2i,故所求虚部为-2.故选D 2.C因为U={-3,-2,-1,0,1,2,3},则CA={-2,0,2},所以C,A的子集个数为23=8.故选C. [b 4 3,B由题意设双曲线C的方程为无，=1(a>0,b>0),则a3 a=3 ,解得 1b=4' 故所求 a2+b2=25 实轴长为2a=6.故选B. 4A令3x-号经任eZ,解得x-否+冬ke乙)因为a<0,故当太=-1时.a康得地大值 0 18 故选A. 5C由向量0在向量五的投影同量为%0-2b.得ah=216、庙(2一b1口+6)得 (a-b)(a+b)=2a+(2-1)ab-|b=0,又4=3bl,则 91bP+2(2-1)1bP-b=0,因为b是非零向量，放91+2(2-1)-1=0，解得元=3 故选C 6.D当-3<x<0时，由二次函数的图象与性质知，-1≤f)<3.令-≥-1，解得0<c≤4， 则c的最大值为4.故选D. 7.A两圆方程相减得，2am-10y+25-2=0,令y=0,则1=-25_4_25 由两圆相交知， 2a22a 0<a+5<6,解得-i<a<而，又a>0,则0<a<,易得fm=-25在 22x Aa小而-六- ,所以f<-7四 11 故选A, s.n =h(x) 令9=(-了=>.则 v=f(x) x-n3（y-}n3(:-》nn,在同-直维 坐标系分别作出四-(-》n2g)-（-》 多袭·A10联盟2026届高三上学期8月底学情调研·数学参考答案第1页共7页 )三x-,n的大致图象如图所示，观察可知，可能出现x<y<2,x<z<y,2<<少 z<y<x.故选B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 题号 9 10 11 答案 AC ACD BCD 9.AC影院观影人数按由小到大排列依次为80,90,120,160,160,160,170,180，则这组 数据的众数为160，A正确；中位数为160+160 160,B错误；平均数为 90+120+80+160+180+160+170+160=140,C正确：因为8×0.3=2.4，所以第30百 8 分位数为120，D错误.故选AG. 10.ACD取AB的中点O,因为OMICN,OM=CN,所以四边形MOCN为平行四边形，故MN/CO, 又MN丈平面ABC,COc平面ABC,所以MN1∥平面ABC,故A正确；易知NO⊥平面 ABB,A,则NO⊥AM.若AN⊥AM,则AM⊥平面AON,则AO⊥AM,显然这不成 立，故B错误；记△ABC,△AB,C的外接圆圆心分别为O,O2, 则00，=6,04=25，故R2=00+0,4=21,故所求 4 外接球的表面积为4πR2=84元，故C正确； BM=BN=V32+62=3V5,MN=V32+(3W3)2=6,故 S.w=)X6x6=18.设点A到平面BMN的距离为d,则 令d-Smm-0-S,即d-18=35×6x6, 3 3 3 解得d=3√3，故D正确.故选ACD. 11.BCD若k=2,则比赛结束时总局数为偶数，故A错误；恰好4局结束比赛且小明获胜的概率为 且不超过5局比赛结束，有两种情 况，第一种小明或小红均连鞋3局.率为=)+)日·第二种小明或小红以4：1获 生，乃=c)得))+c)目=号其中小男以4：1获胜题幸为 乃=C们)-得)仔)-发号所以不通过5局比赛结本的条作下，小明以4：1装的车 16 P 为P= 81-16 +B1+245 故C正确；已知小明在净胜一2局（小明胜的局数比输的局数少2） 39 前提下，继续比赛一局，若小明胜，则小明的状态变为净胜一1局，继续比赛获胜的概率为P, 若小明输，则小明的状态变为净鞋-3局，比赛结束。根据全藏率公式。P,=,同理可得， 多袭·A10联盟2026届高三上学期8月底学情调研·数学参考答案第2页共7页 A=+月=+=+月子联上得- 3 3 3 33 明最终获胜的概率为。，故D正确。故选B 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.1 设切点坐标为(o,2e+x-1),由y=2e+2x,得2e+2x=2,即e+x-1=0.令 f(x)=e+x-1,则f'(x)=e+1>0,故f(x)在R上单调递增，又f(0)=0,所以方程 e+x。-1=0的解为x,=0,故切点的坐标为(0,1)，代人直线方程y=2x+a,解得a=1. 13. 3 0, 2 因为cos2A+cos2B=2cos2C,所以1-2sin2A+1-2sin2B=2-4sin2C,由正弦定理得 g+6=2c,则c0sC=+-c-口+小≥2ab=},当且仅当a=b时等号成立.因为 -≥ 2ab 4ab 4ab 2 Ce@,所以Ce0号 所以sinC∈,y3 2 14.255 由ad=(2an+d)d=2a,d+2-2a,d+1,得and+1=2(a,d+1,因为 ad+1=2,所以数列{a,d+1是以2为首项，2为公比的等比数列，则a·d+1=2”,即 an·d=2”-1,所以a。·d=28-1=255 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.（13分) (1)零假设为H:“长期长跑”与“半月板损伤”之间无相关关系，…(1分) 则X=1000×(40×140-360×460)2 ≈426.667>6.635，…(4分) 500×500×400×600 故零假设H。不成立，即“长期长跑”与“半月板损伤”之间具有相关性.…(6分) (2)由分层随机抽样知识知，半月板正常的有1人，半月板损伤的有9人，…(7分) 则X的可能取值为1,2，…(8分) 则P(X=1)= C-1 5 P(X=2)= 5…(10分） 所以X的分布列为 X 1 2 4 5 …（11分) .1 4 故E(X)=1×5+2×5=1.8.…（13分） 5 5 16.（15分) (1)因为AD=BC,AB=CD,所以四边形ABCD为平行四边形， 故∠DAB=∠BCD=60°.…(1分) 号卷·A10联盟2026届高三上学期8月底学情调研·数学参考答案第3页共7页 在△ABD中，DA=2,AB=4, 由余弦定理可得，DB=VAB+AD-2 AB.AD.c0S60°=√12=2√3，…(2分) 故DA+DB2=AB2,故△ADB为直角三角形，故AD 1 BD.…(3分) 因为DD⊥平面ABCD,BDC平面ABCD,所以DD⊥BD,…(4分) 因为ADC平面ADDA,DDC平面ADDA,且DA∩DD=D, 所以BD⊥平面ADDA,…(5分) 因为ADC平面ADDA,所以BD⊥AD.…(6分) (2)由(1)知，DD,DA,DB两两垂直， 故π·(DD2+DA2+DB2)=17π，解得DD=1.…(7分) 以D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示 则B(0V3,1,C(-2,23,0,D(0,0,1), …(8分) 所以BC=（-2,V5,-1,BD=(0,-V5,0) n.BC=-2x+3y-z=0 设n=（x,y,z)为平面B,CD的法向量，故{ …（10分) n:BD=-3y=0 令x=1,则n=(1,0,-2)为平面B,CD的一个法向量.…（12分) D 易知平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1),…（13分) 则cos<m,n>= m4_225 m:n√55， 即平面BCD与平面ABCD夹角的余弦值为25 …(15分) 5 17.(15分) （1)当n=1时，T=3=☑1；…（1分) 当n≥2时，Z=3岁，T1=37,a,=王=3；…(3分) n-n T- 因为当n=1时，也满足a,=3”.故数列{an}的通项公式为an=3”.…(4分) 1 1 1 1 1 因为bn 410g,a,410g,30210g,9=2n ,数列{b,}的通项公式为b,= ,…（6分) 2n (2)由(1)得，分=2n3”,则S=23+4-32+6-3++2m-3 3Sn=2.32+433+634+…+2n3,…（7分) 两式相减得， -2S,=2-3+2-32+23+…+2.30-2n-31=2.30-3）-2n-31=1-2n31-3. 1-3 …(9分) 所以S,=(2n-1)31+3 …（10分) 2 (3)由(1)得，bn= ,则数列{.}单调递减，故，<V石，…(1分） 2n 多装·A10联盟2026届高三上学期8月底学情调研·数学参考答案第4页共7页 则-_2小<20--26-0).…(13分) 2Vb。Vb+Vb. 将房+是西-店-5 2-6<2=2xy5=5. 故不等式得证.…（15分) 18.(17分) a 2 3,3 (1)由题意得， +4h=l,…(2分) a2=b2+c2 a=2 解得b=V5,故椭圆C的方程为上+ -=1.…（4分) 43 c=1 (2)法一：设P(x,y),则(-x,-%), 因为F,5分别为椭圆的左、右焦点，所以Son=So%,则PFQ=)PF引QB, OAPF._4-PF 4 所以 -1.…（7分) №B PFPF PF 1 为PF=(++%+2x+4三+2，∈(0.2 2 所以PF∈(2,3)，即 …（10分) 法二：设P(xo%),则x∈(0,2)，Q(-x,-y), 易得直线PR的方程为y=么（x+1）,即，x-(x,+1)y+,=0. x+1 则0小=厂%++)+为 2yo 2y. …(6分) Vy2+(x+1)月 x0+2 V4+2+4 同可得：餐明的方程为产-)，用-化-y头=0， 则OB= -x+(x0-1)-o 2yo 2y0 …(8分) V2+(x-1) V2-2+4 1 2、七 2 号袭·A10联盟2026届高三上学期8月底学情调研·数学参考答案第5页共7页 所以4 224581.9分 B2+4+x4+ 2 因为x∈(0,2)，且y= P -1在(0,2)上单调递减， 4+x …(10分) 34+x (3)设M(x,y),N(x2,y2),则P(x,-), 由题意得，直线MD斜率不为0，故设直线MD的方程为x=y+4.…（11分) 联立43 ,消去x,整理得(3m2+4)y2+24my+36=0, x=my+4 由△=(24m)2-4×363m2+4)>0,得m2>4, 241m 则+⅓=3m+44 36 …（13分) 3m2+4 直线PN的方程为y-片，=占+当(x-x), X2-x 由对称性令y=0,得 x=2(任-+5，=y+=m+4)+m,+4)y y1+y2 y1+y2 yi+y2 36 =2m.y+4=2m.3m2+4+4=1,…(16分) 乃+y2 24m 3m2+4 所以直线PN过定点，且定点坐标为(1,0).…（17分) 19.(17分) (1)a=2,f(x)=x-2sinx,f(x)=1-2cosx, …(1分) 放当x=[写引时，<0，f)单明诺诚：当xe侣时，f>0,f)单调跪瑞 …（2分) 面/0)=0，f)=,f侣-号-5，放f)在[®司上的最小值为号-5，最大值为元 …（4分) (2)法一：若a=1,f(x)=x-sinx, 令M)=名-f)=名-x+smx(>0).则i=-1+cosx(x>0.…(5分y 令p(x)=h(x),则p'(x)=x-sinx(x>0),令t(x)=p'(x),则t(x)=1-cosx≥0， 则(x)在(0，十∞)上单调递增，所以(x)>(0)=0,…（6分) 即p(x)>0,则p(x)在(0，+∞）上单调递增，所以p(x)>p(0)=0,…(7分) 即h(x)>0,则h(x)在(0，+∞)上单调递增，所以h(x)>h(0)=0,…(8分) 号袭·A10联盟2026届高三上学期8月底学情调研·数学参考答案第6页共7页 所以当r>0时，Lx>r-sinx,即6f时<r. …(9分) 法二：若a=1,f(x)=x-sinx,f'(x)=1-cosx≥0，…(5分) 故f(x)在(0，+∞)上单调递增，所以当x>0时，f(x)>f(O)=0,即sinx<x. 因为cosx∈-l,,所以当x>0时，sinx<, …（6分）》 令M)=22+simx-xx>0). 6 (x)=cosx-1+=-2sim 22>2 (2/ -=0,…(8分) 2 2 故h(x)在(0，+∞）上单调递增，所以h(x)>h(0)=0, 即当x>0时.x>x-sinx,即6f9)<x2 …(9分) 6 (3)由题意得，g(x)=x3(x-asinx)),f(x)=1-acosx.…(10分) 当a≤1时，不妨设x∈ 因为osxe(0,1,故f()≥022 ππ 上恒成立，f(x)单调递增 …(11分) 又f0=0,m以当xe(号0时.f)<f0=0:当xe到时.f)>f0=0 …(12分) 又g(x)=x3f(x),则g(x)=3x2f(x)+x3f'(x), 当xe〔0时，g<0,即g(-0 上单调递减； 当xe0时.8>0，即g)在0 上单调递增， 故x=0是函数g(x)的极小值点. …(14分) 当a>1时，不纺设xe(0引故存在无eQ引 使得f'(x）=0, 且当x∈(0，x)时，f(x)<0,故f(x)在(0，x)上单调递减，…（15分) 故当x∈(0，x)时，f(x)<f(0)=0,g'(x)=3x2f(x)+x3f'(x)<0, 故g(x)在(0，x)上单调递减，故x=0不是函数g(x)的极小值点. 综上所述，实数a的取值范围为(-∞，1]： …(17分) 以上各解答题如有不同解法并且正确，请按相应步骤给分 多表·A10联盟2026届高三上学期8月底学情调研·数学参考答案第7页共7页