精品解析：四川省仁寿县书院初级中学校2025-2026学年九年级上学期期中检测数学试题

书院初中2025年秋半期质量监测 九年级（上）数学试题 考试时间：120分钟 总分：150分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分） 1. 要使二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟记二次根式有意义的条件是解决问题的关键．根据题中二次根式的被开方数为非负数列出不等式求解即可得到答案． 【详解】由题意得： 解得： 故选：B． 2. 下列各组中的四条线段成比例的是 （　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据成比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解：A、，四条线段不成比例，故本选项不合题意； B、，四条线段不成比例，故本选项不合题意； C、，四条线段成比例，故本选项符合题意； D、，四条线段不成比例，故本选项不合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查了成比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断． 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案． 【详解】解：A、，无法合并，故此选项错误； B、，故此选项错误； C、，故此选项错误； D、，故此选项正确； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 4. 最简二次根式与是同类二次根式，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式的概念，解题的关键是利用“同类二次根式的被开方数相同”这一性质列方程求解． 根据同类二次根式的定义，令两个最简二次根式的被开方数相等，列方程求解并验证． 【详解】解：因为最简二次根式与是同类二次根式， 所以同类二次根式的被开方数相同，可得方程：， 解得：， 验证：当时，，均为最简二次根式且被开方数相同，符合题意． 故选：B． 5. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程中二次项系数不为零及根的判别式建立不等式组求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：且． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，熟练掌握根的判别式是解题的关键，注意不要忽略“一元二次方程二次项系数不为零”这一隐含条件． 6. 实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（　　） A. B. a C. D. b 【答案】C 【解析】 【分析】由数轴得，进而判断出，再根据二次根式的性质化简即可． 本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：由数轴得， ∴， ∴ ． 故选：C． 7. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解． 【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、 只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例． 故选B． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理． 8. 化简二次根式得（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断出，再由二次根式的性质即可得出结论． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键． 9. 组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系是解答本题的关键． 单循环赛的总比赛场数为队数乘以每队比赛场数除以2，等于总安排场数，据此列方程即可． 【详解】解：∵每个队都与其他队比赛一场， ∴每队比赛场数为场，总比赛场数为． 又∵赛程计划安排7天，每天4场比赛， ∴总比赛场数为． ∴满足的关系式为． 故选B． 10. 在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是 A. （﹣2，1） B. （﹣8，4） C. （﹣8，4）或（8，﹣4） D. （﹣2，1）或（2，﹣1） 【答案】D 【解析】 【详解】解：根据位似的性质，缩小后的点在原点的同侧，为（-2，1），然后求在另一侧为（2，-1）． 故选∶D． 11. 如图，中，M是的中点，平分，于点D，若，则等于（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】延长交于H，证明，根据全等三角形的性质得到，根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：延长交于H， ， ， ， 是的中位线， ． 12. 如图，在正方形中，是等边三角形，的延长线分别交于点E，F，连接，与相交于点H．给出以下结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形性质，以及等边三角形性质，证明，即可判断①，根据正方形性质，以及等边三角形性质，得到，再利用三角形内角和定理，即可判断②，证明，即可判断③，证明，结合相似三角形性质，以及等边三角形性质，即可判断④． 【详解】解：四边形为正方形， ，，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 故①正确； 四边形为正方形， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， 故②正确； ， ， ， 不一定等于， 故③错误； 四边形为正方形，为其对角线， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 故④正确； 综上所述，正确的有①②④，共个； 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形性质，等边三角形性质，全等三角形性质和判定，等腰三角形性质，相似三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 13. 化简______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质先化简再计算即可． 【详解】原式 故答案为． 【点睛】本题考查二次根式的加减法，解题方法一般先化简再合并同类二次根式． 14. 若，则的值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查比例的性质．根据得，代入即可得出答案． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 15. 若关于x的一元二次方程有一个根为0，则a的值为_________． 【答案】-2 【解析】 【分析】把x=0代入方程计算，检验即可求出a的值． 【详解】解：把x=0代入方程得：a2-4=0， （a-2）（a+2）=0， 可得a-2=0或a+2=0， 解得：a=2或a=-2， 当a=2时，a-2=0，此时方程不是一元二次方程，舍去； 则a的值为-2． 故答案为：-2． 【点睛】此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，熟练掌握解一元二次方程的方法是解本题的关键． 16. 设，是方程的两个实数根，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，熟记根与系数的关系是解答本题的关键． 根据一元二次方程的解，根与系数的关系可得到，，，代入中，得到答案． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，，， ， 故答案为：． 17. 如图，在矩形中，若，，，则的长为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据题目已知条件求证，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 18. 如图所示，已知AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC相似，则AP=________． 【答案】或2或6 【解析】 【分析】由AD∥BC，∠ABC=90°，易得∠PAD=∠PBC=90°，又由AB=8，AD=3，BC=4，设AP的长为x，则BP长为8-x，然后分别从△APD∽△BPC与△APD∽△BCP去分析，利用相似三角形的对应边成比例求解即可求得答案． 【详解】解：∵∠B=90°， ∵AD∥BC， ∴∠A=180°-∠B=90°， ∴∠PAD=∠PBC=90°， AB=8，AD=3，BC=4， 设AP的长为x，则BP长为8-x， 若AB边上存在P点，使△PAD与△PBC相似，那么分两种情况： ①若△APD∽△BPC，则AP：BP=AD：BC，即x：（8-x）=3：4， 解得x=； ②若△APD∽△BCP，则AP：BC=AD：BP，即x：4=3：（8-x）， 解得x=2或x=6． 所以AP=或AP=2或AP=6． 故答案是：或2或6． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质．注意利用分类讨论思想求解是关键． 三、解答题（本题共8个题，共78分） 19. 计算 （1） （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解本题的关键． （1）利用二次根式的除法和绝对值的性质进行化简，再进行加减法即可； （2）先利用分母有理化，平方差公式进行化简，再进行加减运算． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 20. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）先移项，然后运用因式分解法求解即可； （2）直接运用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ． 21. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】原式利用除法法则变形，约分得到最简结果，将a的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式= = 当时，原式==． 【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 22. 已知、满足，且． （1）求、、的值； （2）解方程：． 【答案】（1），， （2）， 【解析】 【分析】本题考查非负数的性质，实数的零次幂和一元二次方程的解法，根据非负数性质求出a、b、c的值是解题关键． （1）多个非负数相加等于0，意味着每个数都是0；除0以外的任何数的零次幂都等于1； （2）将（1）中求出的、、的值代入，用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， 又∵，， ∴， ∴，， ； 【小问2详解】 由（1）可知，，，， 代入得，， 判别式，方程有两个不相等的实数根， ∴，． 23. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程两实数根分别为，且满足，求实数m的值 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有实数根”；（2）根据根与系数的关系结合，找出关于的一元二次方程． （1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出实数的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出，，结合可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合（1）的结论即可确定的值． 【小问1详解】 解：由题意得 当时，原方程有实数根，即 ； 【小问2详解】 解：根据题意得：，， ， ， ， ， 解得，（舍去）， 实数的值是1． 24. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为 （2）该品牌头盔的实际售价应定为元/个 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键： （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据4月份销售150个，6月份销售216个，列出方程进行求解即可； （2）设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为，由题意，得：， 解得：或（舍去）； 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，由题意，得： ， 解得：， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴； 答：该品牌头盔的实际售价应定为元/个． 25. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F． （1）求证：△FCD∽△ABC； （2）过点A作AM⊥BC于点M，求DE：AM的值； （3）若S△FCD＝10，BC＝16，请直接写出DE的长． 【答案】 （1）证明：∵D是BC边上的中点，DE⊥BC， ∴BD=DC，∠EDB=∠EDC=90°， 又∵DE=DE， ∴△BDE≌△CDE（SAS）， ∴∠B=∠DCE， ∵AD=AC， ∴∠ADC=∠ACB， ∴△ABC∽△FCD； （2）；（3）DE=． 【解析】 【分析】（1）利用D是BC边上的中点，DE⊥BC可以得到∠EBC=∠ECB，而由AD=AC可以得到∠ADC=∠ACD，再利用相似三角形的判定，就可以证明题目结论； （2）根据相似三角形的性质解答即可； （3）利用相似三角形的性质就可以求出三角形ABC的面积，然后利用面积公式就求出了DE的长． 【详解】（1）略 （2）解：∵AD=AC，AM⊥DC， ∴DM=DC， ∵BD=DC， ∴， ∵DE⊥BC，AM⊥BC， ∴DE∥AM， ∴； （3）过点A作AM⊥BC，垂足是M， ∵△ABC∽△FCD，BC=2CD， ∴， ∵S△FCD=10， ∴S△ABC=40，又BC=16， ∴AM=5； ∵DE∥AM， ∴， ∵BD=CD=BC=8，DM=CD=4，BM=BD+DM=12， ∴DE=． ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，也利用了三角形的面积公式求线段的长． 26. 如图1，在直角梯形中，，，动点P从点D开始沿边匀速运动，动点Q从点A开始沿边匀速运动，它们的运动速度均为．点P和点Q同时出发，设运动的时间为． （1）用含t的代数式表示； （2）当以点A、P、Q为顶点的三角形与相似时，求t的值； （3）如图2，延长，两延长线相交于点M，当为直角三角形时，求t的植． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）作于，得四边形是矩形，根据矩形的性质得，，由勾股定理得，然后问题可求解； （2）①当时，得出以点、、为顶点的三角形与相似的值；②当时，得出以点、、为顶点的三角形与相似的值； （3）①当时，即为直角三角形，过作于，根据相似三角形的判定得，由相似三角形性质推出又由，根据相似三角形的性质得当时，，即为直角三角形；②当时，即为直角三角形，根据相似三角形得判定得，根据相似的性质可得的值． 【小问1详解】 解：如图1作于， 则四边形是矩形， ∴，， ， ， 由题意，； 【小问2详解】 解：①当时， 得， 解得； 当时，以点、、为顶点的三角形与相似； ②当时， 得， 解得， 当时，以点、、为顶点的三角形与相似， 综上或； 【小问3详解】 解：①当时，即为直角三角形， 如图2，过作于， ， 当时，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， 经检验，是分式方程的解， 当时，，即为直角三角形； ②当时，即为直角三角形， 如图3所示， ，， 则， ， ， 解得， 经检验，是分式方程的解， 当时，，即为直角三角形， 综上所述，当或时，为直角三角形． 【点睛】本题考查相似的综合知识的应用、勾股定理及矩形的性质与判定，解本题要熟练掌握矩形的性质，相似三角形的判定与性质等基本知识点，注意分类讨论的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 书院初中2025年秋半期质量监测 九年级（上）数学试题 考试时间：120分钟 总分：150分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分） 1. 要使二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组中的四条线段成比例的是 （　　） A. B. C. D. 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 最简二次根式与是同类二次根式，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 6. 实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（　　） A. B. a C. D. b 7. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 8. 化简二次根式得（ ） A. B. C. D. 9. 组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（     ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是 A. （﹣2，1） B. （﹣8，4） C. （﹣8，4）或（8，﹣4） D. （﹣2，1）或（2，﹣1） 11. 如图，中，M是的中点，平分，于点D，若，则等于（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 12. 如图，在正方形中，是等边三角形，的延长线分别交于点E，F，连接，与相交于点H．给出以下结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 13. 化简______． 14. 若，则的值为_______． 15. 若关于x的一元二次方程有一个根为0，则a的值为_________． 16. 设，是方程的两个实数根，则_______． 17. 如图，在矩形中，若，，，则的长为________． 18. 如图所示，已知AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC相似，则AP=________． 三、解答题（本题共8个题，共78分） 19. 计算 （1） （2）. 20. 解下列方程： （1）； （2）． 21. 先化简，再求值：，其中 22. 已知、满足，且． （1）求、、的值； （2）解方程：． 23. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程两实数根分别为，且满足，求实数m的值 24. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 25. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F． （1）求证：△FCD∽△ABC； （2）过点A作AM⊥BC于点M，求DE：AM的值； （3）若S△FCD＝10，BC＝16，请直接写出DE的长． 26. 如图1，在直角梯形中，，，动点P从点D开始沿边匀速运动，动点Q从点A开始沿边匀速运动，它们的运动速度均为．点P和点Q同时出发，设运动的时间为． （1）用含t的代数式表示； （2）当以点A、P、Q为顶点的三角形与相似时，求t的值； （3）如图2，延长，两延长线相交于点M，当为直角三角形时，求t的植． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $