精品解析：陕西省西安市曲江第一学校2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

陕西省西安市曲江第一学校2025-2026学年上学期期中试卷 九年级数学 时间：110分 满分：120分 一、选择题（共8小题，每小题3分，共计24分） 1. 下列函数中，二次函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．根据二次函数的定义，对选项逐一分析判断即可． 【详解】解：是二次函数，故A选项符合题意； 是一次函数，故B选项不符合题意； 是反比例函数，故C选项不符合题意； ，分母中含有自变量，不是二次函数，故D选项不符合题意． 故选：A． 2. 陕西皮影是一种以兽皮雕刻影偶进行表演的传统傀儡戏艺术形式，被列入国家首批非物质文化遗产名录．在表演过程中，当光源离人物剪影越来越远时，落在幕布上的皮影会（ ） A. 逐渐变小 B. 不变 C. 逐渐变大 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，当光源远离剪影时，根据相似三角形的性质，幕布上的投影大小会减小． 【详解】解：设光源到剪影的距离为，剪影到幕布的距离为，剪影高度为，投影高度为， ∴由相似三角形得： ∵增大，和不变， ∴减小， ∴减小， 故皮影逐渐变小， 故选：A． 3. 2025年10月31日23点44分，搭载神舟二十一号载人飞船的火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面上的观测点到的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用；由题意可知，在中，即可求出结果． 【详解】解：由题意可知，在中， ； 此时火箭距海平面的高度为千米． 故选：D． 4. 如图，，m分别交a、b、c于点A、B、C，n分别交a、b、c于点D、E、F，若，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握比例的运算，平行线分线段成比例的知识是解题的关键． 根据平行线分线段成比例即可求解． 【详解】解：由题意，，， ， ，， ，即 ， 故选：． 5. 如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为12，则C点坐标为（　　） A. （6，4） B. （6，2） C. （4，4） D. （8，4） 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用位似图形的性质结合相似比得出AD的长，进而得出△OAD∽△OBG，进而得出AO的长，即可得出答案． 【详解】∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为 ， ∴， ∵BG＝12， ∴AD＝BC＝4， ∵AD∥BG， ∴△OAD∽△OBG， ∴ ∴ 解得：OA＝2， ∴OB＝6， ∴C点坐标为：（6，4）， 故选A． 【点睛】此题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质，正确得出AO的长是解题关键． 6. 为促进消费，国家财政部门对家电类商品消费提供了财政补贴，某电器超级体验店的销售额逐步增加：7月的销售额为144万元，8月、9月的月增长率相同，9月的销售额为225万元．设8月、9月的月增长率为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解数量关系列式是关键． 根据月增长率相同，9月销售额是7月销售额经过两次增长的结果，因此应用增长公式列方程． 【详解】解：设月增长率为x， ∵ 8月销售额为， 9月销售额为， 又∵ 9月销售额为万元， ∴ ， 故选：C． 7. 在同一直角坐标系中，函数和的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的图象性质．根据k的符号，统一反比例函数与一次函数的图象特征是解题关键． 根据题意可知直线过，然后对和的情况分类讨论即可． 【详解】解：根据题目可知直线过，排除B选项， 当，反比例函数的图像在第一、三象限，直线过第一、三、四象限， 当，反比例函数的图像在第二、四象限，直线过第二、三、四象限， 可知只有D符合要求． 故选：D． 8. 如图，在正方形中，点、分别在边、上，，是的中点．与相交于点．则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形判定与性质，掌握通过相似，对线段长度之比进行转换是解题的关键． 延长交于点H，先证，得到，再通过，得到占的，占的，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点H， 四边形是正方形， ， ， 是的中点， ， 又， ， ， ， ， 又， ， ， ， ． 故选：B． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共计18分） 9. 如图，将放在每个小正方形的边长为的网格中，点，，均在格点上，则的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用，在直角三角形中锐角的正切为对边比邻边，构造直角三角形是本题的关键． 根据题意构造直角三角形如图所示，点D在格点上，从而可以求出的值． 【详解】解：构造直角三角形如图所示，点D在格点上， 由图可得， 故答案为：． 10. 如图，在中，，利用圆规在上截取，在上截取，点E就是的黄金分割点．若，则的长为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，尺规作图，根据勾股定理求出，再根据尺规作图求出，然后根据得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 根据勾股定理，得， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 11. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是______（用“”号连接）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 根据反比例函数的图象和性质作答即可． 【详解】解：由于，故， 故反比例函数的图象在第二、四象限，在每个象限内随的增大而增大， 点在第二象限,故； 点，在第四象限，故； 综上，． 故答案为：． 12. 已知在中、都是锐角，，那么的形状是______． 【答案】 直角三角形 【解析】 【分析】本题主要考查非负性，锐角三角函数值的计算，掌握非负性，锐角三角函数的计算是关键． 根据非负数的性质，绝对值和算术平方根的和为零，则每个部分均为零，由此可求出和的度数，进而求出的度数，从而判断三角形的形状． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵是三角形的锐角， ∴， 则， ∴ 是直角三角形， 故答案为：直角三角形． 13. 如图，，是函数的图象上关于原点点对称的任意两点，垂直于轴于点，垂直于轴于点，若四边形的面积为4，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的关系，掌握反比例函数图象的性质是关键． 根据题意，设，则，由，代入求值即可． 【详解】解：∵，是函数的图象上关于原点点对称的任意两点， ∴设，则， ∵垂直于轴于点，垂直于轴于点， ∴，则， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， 故答案为： ． 14. 如图，在中，，平分交于点，，点为中点，连接．若，则的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，掌握相似三角形的判定方法和性质得到线段的数量关系是关键． 根据题意，连接，过点作于点，设，证明，，得到线段数量关系，由此列式求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点，设， ∵点是中点，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，且， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 在中，，， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 整理得，， 解得，， ∴，（不符合题意，舍去）， ∴， 故答案为： ． 三、解答题（共11小题，共计78分，解答要写出过程） 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数的计算，掌握其运算法则是关键． （1）先算特殊角的三角函数值，零次幂，负指数幂的结果，再计算加减即可 （2）先算特殊角的三角函数值，再计算加减即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，因式分解法，公式法是关键． （1）先去括号，化为一般式，再因式分解即可求解； （2）先去括号，化为一般式，再运用求根公式计算即可． 【小问1详解】 解： 去括号得，， 化为一般式得，， 因式分解得，， 解得，； 【小问2详解】 解：， 整理得，， 化为一般式得，， ∴， ∴， 解得，． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 化简结果为，求值结果为 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，分母有理化的计算，掌握其计算法则是关键． 根据分式的性质化简，再代入计算，进行分母有理化即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 尺规作图：已知，，在边上求作一点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 如下图： 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，根据相似三角形的性质，需要确保两个三角形的对应角相等，过点C作交于点D即可． 【详解】解：过点C作交于点D， ∴， ∴在和中， ， ∴． 19. 如图，已知，、分别是、边上的中点，于点，点在的延长线上，，连接． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：D、分别是、边上的中点， 是的中位线， ，即， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 根据中位线的性质证得，结合，证得四边形是平行四边形，根据，从而得出结论； 在中，证得、，进而证得和，过点作于点，根据勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： 在中，， 、 点是的中点， 过点作于点 在中，， 在中，， 由勾股定理得，． 20. 《浪浪山小妖怪》自上映以来，在电影市场掀起了巨大的波澜，已成为中国影史二维动画电影票房冠军电影，其出圈也点燃文创消费新热潮．以下是某款盲盒里小猪妖、蛤蟆精、黄鼠狼精和猩猩怪的卡片，四张卡片分别用编号A，B，C，D来表示，卡片背面完全相同，现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．将小猪妖和蛤蟆精的组合或黄鼠狼精和猩猩怪的组合称为“一套”，小曲和小星依次从中随机抽取一张卡片（不放回），请你用列表或画树状图的方法求他们抽到的两张卡片恰好一套的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查简单事件的概率的计算，掌握好列表法和树状图法是关键，要做到不重复不遗漏． 两人依次抽取，所以树状图要画两层，共有12种等可能性的结果，其中满足要求的有4种，相除得到所求的概率． 【详解】画树状图如下： 共有12种等可能性的结果，其中满足题意要求的有：，，和共4种， ∴他们抽到的两张卡片恰好一套的概率为：． 21. 在学习完利用三角函数测高这一课的内容后，曲老师带领同学们到学校操场进行实践操作，测量国旗旗杆的高度、如图，在处利用测倾器测得旗杆顶部的仰角为，向前行10米，在处利用测倾器测得旗杆顶部的仰角为．、与旗杆底部在同一直线上，侧倾器高度为米，求旗杆高度．（结果精确到．参考数据：，，） 【答案】旗杆高度约为 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的计算，理解题意，掌握解直角三角形的计算是关键． 根据题意，延长交于点，四边形，四边形均是矩形，设，在中，，在中，，代入列式求解得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点， 根据题意得到，，， ∴， ∴四边形，四边形均是矩形， ∴， 设， 在中，， ∴， 在中，， 整理得，， ∴，， 解得，， ∴， ∴， ∴旗杆高度约为． 22. 如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张大小和页边距（纸张的边线到打印区域的距离），上、下，左、右页边距分别为．若纸张大小为，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张的，则需如何设置页边距？ 【答案】 【解析】 【分析】设页边距为，根据题意找出等量关系列方程，解方程即可解题． 【详解】解：设页边距为 则列方程为：， 解得：，（舍去）， 答：页边距为． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系列方程式解题的关键． 23. 在中，，是斜边上的中线，交于点、交于点，． （1）求证：； （2）求的值． 【答案】（1） 证明：∵，是斜边上的中线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 又， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，正弦值，掌握相似三角形的判定和性质是关键． （1）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，结合等边对等角得，由直角三角形中角的相互转换得到，根据三角形相似的判定即可求解； （2）根据相似三角形的性质得到，设，则，，由正弦的计算方法即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 设，则， ∴， ∴． 24. 如图，直线与双曲线交于两点． （1）求m和直线的表达式； （2）根据函数图象直接写出不等式的解集； （3）求的面积． 【答案】（1）； （2） （3）16 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图象与性质，一次函数解析式的求解，一次函数与反比例的交点与不等式的解集的关系，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解决本题的关键． （1）已知双曲线过点，将点的坐标代入双曲线方程，即可求出的值，先将点的坐标代入双曲线方程求出的值，再将点和的坐标代入直线方程，联立方程组求解和的值，进而得到直线的表达式． （2）根据函数图象，找出直线在双曲线上方时的取值范围，即为不等式的解集． （3）可先求出直线与x轴的交点，然后根据三角形面积公式，将的面积转化为与的面积之和进行计算． 【小问1详解】 解：点在双曲线上， ， 又在双曲线上， ，解得． 由题意得：，解得， ． 【小问2详解】 解：由（1）可知，， 所以不等式可化为， 根据函数图象，直线在双曲线上方时，的取值范围是， 所以不等式的解集为． 【小问3详解】 解：如图，设直线与轴交于点， 当时．， ， ， ． 25. 在四边形中，，，分别为，上的点，与相交于点，且满足． （1）如图1，若四边形是矩形、求证：． （2）如图2，若四边形是平行四边形，（1）中的结论是否依然成立？请说明理由． （3）如图3，在四边形中，，连接，此时平分，，，，求． 【答案】（1） 证明：四边形是矩形， ， , ， 又， ， 由, ， ，即 （2） 成立，理由如下： 四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由得，， ； （3）1 【解析】 【分析】（1）矩形中利用直角和角度互补证得，先根据直角三角形两个锐角互余证得，再证明，最后根据相似的性质即可得证； （2）需证，，再根据相似三角形对应线段成比例及平行四边形的性质，将比例式变形即可求解； （3）延长到N，使得，则，证明；过点A作于H，与交于M，则，证明，根据得到，最后通过得到，进而求得的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 延长到N，使得，则， ， 过点D作于G， ，令， ，， 在中，，即， ， ， ， ， ， 过点A作于H，与交于M，则， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形和平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数的应用等知识点，解题的关键在于利用角度关系和相似三角形的性质，通过角度互补和三角形相似推导线段比例关系，特别是在第（3）问中，通过设参数结合三角函数表示边长，再利用垂直条件和相似关系求解线段比． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西省西安市曲江第一学校2025-2026学年上学期期中试卷 九年级数学 时间：110分 满分：120分 一、选择题（共8小题，每小题3分，共计24分） 1. 下列函数中，二次函数是（ ） A. B. C. D. 2. 陕西皮影是一种以兽皮雕刻影偶进行表演的传统傀儡戏艺术形式，被列入国家首批非物质文化遗产名录．在表演过程中，当光源离人物剪影越来越远时，落在幕布上的皮影会（ ） A. 逐渐变小 B. 不变 C. 逐渐变大 D. 无法确定 3. 2025年10月31日23点44分，搭载神舟二十一号载人飞船的火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面上的观测点到的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 4. 如图，，m分别交a、b、c于点A、B、C，n分别交a、b、c于点D、E、F，若，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为12，则C点坐标为（　　） A. （6，4） B. （6，2） C. （4，4） D. （8，4） 6. 为促进消费，国家财政部门对家电类商品消费提供了财政补贴，某电器超级体验店的销售额逐步增加：7月的销售额为144万元，8月、9月的月增长率相同，9月的销售额为225万元．设8月、9月的月增长率为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 7. 在同一直角坐标系中，函数和的图象大致是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方形中，点、分别在边、上，，是的中点．与相交于点．则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，共计18分） 9. 如图，将放在每个小正方形的边长为的网格中，点，，均在格点上，则的值是_______． 10. 如图，在中，，利用圆规在上截取，在上截取，点E就是的黄金分割点．若，则的长为______ ． 11. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是______（用“”号连接）． 12. 已知在中、都是锐角，，那么的形状是______． 13. 如图，，是函数的图象上关于原点点对称的任意两点，垂直于轴于点，垂直于轴于点，若四边形的面积为4，则的值为______． 14. 如图，在中，，平分交于点，，点为中点，连接．若，则的长度为______． 三、解答题（共11小题，共计78分，解答要写出过程） 15. 计算： （1）； （2）． 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 尺规作图：已知，，在边上求作一点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 19. 如图，已知，、分别是、边上的中点，于点，点在的延长线上，，连接． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，，，求的长． 20. 《浪浪山小妖怪》自上映以来，在电影市场掀起了巨大的波澜，已成为中国影史二维动画电影票房冠军电影，其出圈也点燃文创消费新热潮．以下是某款盲盒里小猪妖、蛤蟆精、黄鼠狼精和猩猩怪的卡片，四张卡片分别用编号A，B，C，D来表示，卡片背面完全相同，现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．将小猪妖和蛤蟆精的组合或黄鼠狼精和猩猩怪的组合称为“一套”，小曲和小星依次从中随机抽取一张卡片（不放回），请你用列表或画树状图的方法求他们抽到的两张卡片恰好一套的概率． 21. 在学习完利用三角函数测高这一课的内容后，曲老师带领同学们到学校操场进行实践操作，测量国旗旗杆的高度、如图，在处利用测倾器测得旗杆顶部的仰角为，向前行10米，在处利用测倾器测得旗杆顶部的仰角为．、与旗杆底部在同一直线上，侧倾器高度为米，求旗杆高度．（结果精确到．参考数据：，，） 22. 如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张大小和页边距（纸张的边线到打印区域的距离），上、下，左、右页边距分别为．若纸张大小为，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张的，则需如何设置页边距？ 23. 在中，，是斜边上的中线，交于点、交于点，． （1）求证：； （2）求的值． 24. 如图，直线与双曲线交于两点． （1）求m和直线的表达式； （2）根据函数图象直接写出不等式的解集； （3）求的面积． 25. 在四边形中，，，分别为，上的点，与相交于点，且满足． （1）如图1，若四边形是矩形、求证：． （2）如图2，若四边形是平行四边形，（1）中的结论是否依然成立？请说明理由． （3）如图3，在四边形中，，连接，此时平分，，，，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $