精品解析：江西省上饶市鄱阳县鄱阳县四十里街镇第二中学2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025－2026学年度第一学期期中阶段练习 九年级数学 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将正确的代号填涂在答题卷上） 1. “瓦当”是中国古建筑中覆盖檐头筒瓦前端的遮挡，主要有防水、排水、保护木制飞檐和美化屋面轮廓的作用．瓦当上的图案设计优美，字体行云流水，极富变化，是中国特有的文化艺术遗产．下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆的性质和轴对称图形与中心对称图形的定义解答． 【详解】A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，选项错误； B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项正确； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，选项错误； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，选项错误． 故选B． 【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2. 以下是某同学用当下两款热门豆包、都解方程，解答过程如下所示： 豆包 DeepSeek 两边同时除以（），得． 移项，得． ∴． ∴或，解得． 其中完全正确的是（ ） A. 豆包 B. 豆包和 C. D. 都不正确 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法是解题的关键． 豆包在解方程时直接两边除以 ，未考虑 的情况，导致漏解；DeepSeek通过移项和因式分解求解，正确无误． 【详解】解：∵ ∴ 移项得 ∴ 提取公因式 得 ∴ 或 ∴， 豆包解法中，两边除以 时，若 ，则除零错误，且漏解，故不正确．DeepSeek解法完整正确． 故选：C 3. 关于抛物线下列说法中错误的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标 D. 与y轴交点坐标 【答案】D 【解析】 【分析】根据的图象与性质解答． 【详解】中， 抛物线的开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为， 所以选项A、B、C均正确． 令，得 抛物线与y轴的交点坐标为． 因此选项D错误， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，涉及顶点式解析式，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 4. 将点P（2，﹣1）以原点为旋转中心，顺时针旋转90°得到点P'，则点P'的坐标是（　　） A. （﹣2，1） B. （﹣2，﹣1） C. （﹣1，2） D. （﹣1，﹣2） 【答案】D 【解析】 【分析】如图，作PE⊥x轴于E，P′F⊥x轴于F．利用全等三角形的性质解决问题即可． 【详解】解：如图，作PE⊥x轴于E，P′F⊥x轴于F． ∵∠PEO＝∠OFP′＝∠POP′＝90°， ∴∠POE+∠P′OF＝90°，∠P′OF+∠P′＝90°， ∴∠POE＝∠P′， ∵OP＝OP′， ∴△POE≌△OP′F（AAS）， ∴OF＝PE＝1，P′F＝OE＝2， ∴P′（﹣1，-2）． 故选：D． 【点睛】本题考查旋转变换，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 5. 《数书九章》是我国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式．若三角形的三边a，b，c分别为7，6，3，则这个三角形内切圆的半径是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把三角形的三边长代入面积公式，得出三角形的面积为，然后设这个三角形内切圆的半径为，再根据三角形的内切圆的半径垂直于三角形的三边，结合三角形的面积公式，得出，即，再把三角形的三边长代入面积公式，计算即可得出答案． 【详解】解：∵三角形的三边a，b，c分别为7，6，3， ∴ ， 如图， 设这个三角形内切圆的半径为， 则， 即， ∵三角形的三边a，b，c分别为7，6，3， ∴， 解得：， ∴这个三角形内切圆的半径为． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆、求代数式的值、二次根式的运算，解本题的关键在正确求出代数式的值． 6. 如图，函数经过点，对称轴为直线：；；；；若点、在抛物线上，则；（为任意实数），其中结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象与轴有两个交点，即可判断； 根据图象的开口方向、对称轴、图象与轴的交点即可判断； 根据图象可得对称轴为，与轴的一个交点为，则另一个交点为，即可判断； 根据图象抛物线与轴的一个交点为，可得，对称轴为，可得，推出，再代入，即可判断； 根据图象可得，即可得出，再结合对称轴为，运用二次函数增减性即可判断； 对称轴为，，运用二次函数增减性即可判断． 【详解】解：抛物线与轴有两个交点， ， ， 正确； 抛物线开口向上， ， 抛物线对称轴在轴右侧， 与异号，即， 抛物线与轴交点在轴下方， ， ， 错误； 抛物线对称轴为直线，与轴的一个交点为， 抛物线与轴的另一个交点为， 当时，， ， 错误； 抛物线与轴的一个交点为， ， 抛物线对称轴为直线， ， ， ， ， 正确； ， ， 抛物线对称轴为直线，抛物线开口向上，在对称轴右侧随增大而增大， ， 错误； 抛物线对称轴为直线，抛物线开口向上， ，有最小值， 为任意实数， 为任意实数， 正确； 综上所述，正确； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是综合运用二次函数的相关知识． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知：二次函数的图象经过点、和，当时，y的值为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意可得交点式，然后把代入求出a值，即可求出二次函数表达式． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点、 ∴抛物线的解析式为， 把代入得：，解得：， ∴函数的解析式为， 即， ∴当时，， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题关键． 8. 关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．根据二次项系数不等于零且列式求解即可． 【详解】解：由题意，得 且， ∴且． 故答案为：且． 9. 如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为_____． 【答案】（－1，－2） 【解析】 【分析】连接CB，作CB的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点O的坐标即可． 【详解】连接CB，作CB的垂直平分线，如图所示： 在CB的垂直平分线上找到一点D， CD═DB=DA=， 所以D是过A，B，C三点的圆的圆心， 即D的坐标为（﹣1，﹣2）， 故答案为（﹣1，﹣2）， 【点睛】本题考查了垂径定理，关键是根据垂径定理得出圆心位置． 10. 我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场），每个组共安排场比赛．设每个组邀请个球队参加比赛，则可列方程得为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键，利用每组安排比赛的场数每组邀请球队数（每组邀请球队数），即可列出关于的一元二次方程，进而得到答案． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为：． 11. 若二次函数的图象与x轴交于A，B两点，则的值为______． 【答案】﹣4 【解析】 【分析】与x轴的交点的家横坐标就是求y=0时根，再根据求根公式或根与系数的关系，求出两根之和与两根之积．把要求的式子通分代入即可． 【详解】设y=0，则，∴一元二次方程的解分别是点A和点B的横坐标，即，，∴， ∴ ，故答案为． 【点睛】根据求根公式可得，若，是方程的两个实数根，则 12. 如图，在中，斜边，，将线段绕点B顺时针旋转，得到线段，连接，，当时，的长为_____________． 【答案】3或6或 【解析】 【分析】进行分类讨论①当点P在上方时，，易得点P在上，，通过证明是等边三角形，即可求解；②当点P在下方时，延长交于点P，此时，通过证明是等边三角形，即可求解；③当时，先证明当为等边三角形，得出为中点，则，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵在中，斜边，， ∴， ①当点P在上方时，， ∵，， ∴点P在上，， ∵线段绕点B顺时针旋转得到线段， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ②当点P在下方时，延长交于点P，此时， ∵，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ③当时， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴为中点， ∴， 根据勾股定理可得：， 综上：的长为3或6或． 故答案为：3或6或． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，含30度直角三角形的特征，解题的关键是掌握旋转前后对应边相等；等边三角形三个角都是60度，三条边相等；含30度角的直角三角形，30度所对的边是斜边的一半． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 选择合适的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． （1）先移项，再根据直接开平方法解一元二次方程即可； （2）先移项，再根据因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， 或， ． 【小问2详解】 ， ， 或， ． 14. 如图，为的直径，弦于点E，若，，求半径的长． 【答案】的半径为5． 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理、勾股定理．连接，设的半径为，根据垂径定理“垂直于弦的直径平分这条弦”求出，根据勾股定理列式计算，得到答案． 【详解】解：连接， 设的半径为，则， ∵，为的直径， ， 由勾股定理得，， 即， 解得，， 则的半径为5． 15. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）设是方程的一个实数根，且满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了方程的根的定义以及根的判别式． （1）若一元二次方程有两实数根，则根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围． （2）是方程的一个实数根，则，则，代入，求得的值． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个实数根 ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵是方程的一个实数根，则，则， 则，即， 解得：（舍去）或． 故的值为． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． （1）若和关于原点O成中心对称，画出； （2）将绕点O顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标． 【答案】（1） 解：如图，即为所求； （2） 如图，即为所求，点的坐标为． 【解析】 【分析】此题考查了中心对称和旋转的作图，以及写出平面直角坐标系中点的坐标． （1）找到关于原点成中心对称的对应点，顺次连接即可； （2）找到绕点顺时针旋转得到的对应点，顺次连接即可得到，然后写出点的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 如图①，桥拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点B到水面的距离是． （1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式； （2）一只宽为的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点时，桥下水位刚好在处，有一名身高的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）． 【答案】（1） （2） 解：工人的头顶不会触碰到桥拱，理由如下： 打捞船宽为，距O点，工人站立在打捞船正中间， 工人距O点的距离为：， 将代入，得：， ， 工人的头顶不会触碰到桥拱． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，根据实际问题抽象出数学模型是解题的关键． （1）根据顶点坐标设出顶点式，再将代入求解； （2）先计算出工人距O点的距离，进而求出对应的函数值，与工人的身高比较大小即可． 【小问1详解】 解：，桥拱顶点B到水面的距离是， 顶点B的坐标为， 设， 将代入，得：， 解得， ， 桥拱部分抛物线的函数表达式； 【小问2详解】 略 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知二次函数． （1）二次函数图象与轴的交点坐标是 　　，轴的交点坐标是 　　，顶点坐标是 　　； （2）在平面直角坐标系 中，画出二次函数的图象； （3）当时，结合函数图象，直接写出的取值范围 　　． 【答案】（1），；； （2） 如图： ； （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，画二次函数图象； （1）把一般式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标，分别令求得与坐标轴的交点坐标； （2）先确定抛物线与坐标轴的交点坐标，然后利用描点法画出二次函数图象； （3）结合二次函数图象，写出当时对应的y的取值范围． 【小问1详解】 解：令，则， 解得：， ∴二次函数图象与轴的交点坐标是，， 令，解得：， ∴二次函数图象与轴的交点坐标是； ∵， ∴该二次函数图象顶点坐标为； 故答案为：，；；． 【小问2详解】 解：列表： 描点，连线可得图象； 【小问3详解】 解：由图象可知，当时，． 故答案为：． 19. 如图，已知为的直径，D是上的一点，且点C是的中点，过点C作直线于点E． （1）求证：直线是的切线； （2）连接，过点O作于F，延长交于M，若B为的中点，半径为4，求的长． 【答案】（1）证明：连接，交于点S， ∵为的直径， ∴， ∵点C是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是半径， ∴直线是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，交于点S，证明四边形是矩形，从而可得结论； （2）证明，，结合三角形的外角的性质可得：，再求解，从而可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点O作于F，延长交于M， ∵B为的中点， ∴，， ∵， ∴，而， ∴， ∴， ∴， ∵半径为， ∴． 【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，圆周角定理的应用，弧，圆心角之间的关系，垂径定理的应用，圆的切线的判定，熟练的运用圆的基本性质与圆中基本定理是解本题的关键． 五、解答题（本大题共2小题，共18分） 20. 某公司抓住“一带一路”的机遇不断创新发展，生产销售某产品，该产品销售量y（万件）与售价x（元/件）之间的函数关系式为：． （1）当销售总额为120万元时，求每件售价多少元； （2）若总成本P（万元）与销售量y（万件）之间存在如图所示的变化趋势，当时可看成一条线段，当时可看成抛物线，问售价为多少元时，总利润最大，最大值是多少？ 【答案】（1）每件售价10元或12元 （2）售价为16元时，总利润最大，最大值是46万元 【解析】 【分析】（1）根据销售总额=单价×销售量，列出方程求解即可； （2）用待定系数法求出当时，P关于y的函数解析式为，设利润为W，根据，进行分类讨论：①当时，②当时，根据二次函数的性质即可解答． 【小问1详解】 解：根据题意可得： ， 整理得：， 解得：， 答：每件售价10元或12元； 【小问2详解】 解：设当时，P关于y的函数解析式为， 将代入得： ，解得：， ∴当时，P关于y的函数解析式为， 设利润为W， ， ①当时， ， ∵， ∴当时，，符合题意， ∴当时，W有最大值46； ②当时， ∵， ∴ ， ∵， ∴当时，W随y的增大而减小， ∴当时，， 综上：售价为16元时，总利润最大，最大值是46万元． 21. 某数学兴趣小组在探究函数的图象和性质时，经历了以下探究过程： （1）列表（完成下列表格）． … －3 －2 －1 0 1 2 3 … … 6 3 2 3 3 6 … （2）描点并在图中画出函数的大致图象； （3）根据函数图象，完成以下问题： ①当函数的图象向下平移______个单位时，图象与轴有三个公共点； ②结合图象探究发现，当满足______时，方程有四个解． 【答案】（1），2； （2）描点确定函数图象如下： （3）①3，②2＜p＜3． 【解析】 【分析】（1）把x＝，1分别代入函数表达式即可求解； （2）描点确定函数图象； （3）根据函数图象性质即可求解． 【详解】解：（1）把x＝，1分别代入得， m＝，n=2； 故答案为，2； （2）略 （3）①观察图象可知，当函数y＝x2﹣2|x|+3的图象向下平移3个单位时，图象与x轴有三个公共点； 故答案为：3 ②从图象看，2＜p＜3时，方程x2﹣2|x|+3＝p有四个解； 故答案为：2＜p＜3． 【点睛】本题考查的是二次函数的综合运用，主要通过函数作图，确定函数的性质，依据函数的性质，确定函数与直线的位置关系，通过图象求解问题． 22. 如图，在中，，，过点作的垂线，垂足为，为线段上一动点（不与点重合），连接，以点为中心，将线段逆时针旋转得到线段，连接，与直线交于点． （1）依题意补全图形；并求出与的位置关系； （2）求证：点为的中点． 【答案】（1） 如图，连接，       ．过程如下： 将线段逆时针旋转得到线段， ，， ， ，， ，， ， 在和中， ， ， ； （2） 证明：，， ， ，，    ， ，， ，  ，  ，  ， ； ∴点为的中点． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转性质，相三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）如图，根据将线段逆时针旋转得到线段，得出，，可证，得出，即可解答； （2）根据，，可得，可证，可得，得出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 六、（本大题共12分） 23. 如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点． （1）求这个二次函数的解析式． （2）若点在线段上运动（点与点、点不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标． （3）若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）最大值为，此时 （3）或或 【解析】 【分析】（1）先根据二次函数对称轴公式求出，再把代入二次函数解析式中进行求解即可； （2）先求出，，则，，求出直线的解析式为，设，则，，则；再由得到，故当时，最大，最大值为，此时点P的坐标为； （3）分如图3-1，图3-2，图3-3，图3-4，图3-5，图3-6所示，为对角线和边，利用菱形的性质进行列式求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵二次函数经过点， ∴，即， ∴， ∴二次函数解析式为； 【小问2详解】 解：∵二次函数经过点，且对称轴为直线， ∴， ∴， ∵二次函数与y轴交于点C， ∴， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 设，则，， ∴； ∵， ∴ ， ∵， ∴当时，最大，最大值为， ∴此时点P的坐标为； 【小问3详解】 解：设，则，， ∵轴， ∴轴，即， ∴是以、为顶点的菱形的边； 如图3-1所示，当为对角线时， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴轴， ∴轴，即轴， ∴点C与点N关于抛物线对称轴对称， ∴点N的坐标为， ∴， ∴； 如图3-2所示，当为边时，则， ∵，， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴； 如图3-3所示，当为边时，则， 同理可得， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴； 如图3-4所示，当为边时，则， 同理可得， 解得（舍去）或（舍去）； 如图3-5所示，当为对角线时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴轴， ∴轴，这与题意相矛盾， ∴此种情形不存在 如图3-6所示，当为对角线时，设交于S， ∵轴， ∴， ∵， ∴，这与三角形内角和为180度矛盾， ∴此种情况不存在； 综上所述，或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，菱形的性质，勾股定理，求二次函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第一学期期中阶段练习 九年级数学 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将正确的代号填涂在答题卷上） 1. “瓦当”是中国古建筑中覆盖檐头筒瓦前端的遮挡，主要有防水、排水、保护木制飞檐和美化屋面轮廓的作用．瓦当上的图案设计优美，字体行云流水，极富变化，是中国特有的文化艺术遗产．下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 以下是某同学用当下两款热门豆包、都解方程，解答过程如下所示： 豆包 DeepSeek 两边同时除以（），得． 移项，得． ∴． ∴或，解得． 其中完全正确的是（ ） A. 豆包 B. 豆包和 C. D. 都不正确 3. 关于抛物线下列说法中错误的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标 D. 与y轴交点坐标 4. 将点P（2，﹣1）以原点为旋转中心，顺时针旋转90°得到点P'，则点P'的坐标是（　　） A. （﹣2，1） B. （﹣2，﹣1） C. （﹣1，2） D. （﹣1，﹣2） 5. 《数书九章》是我国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式．若三角形的三边a，b，c分别为7，6，3，则这个三角形内切圆的半径是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，函数经过点，对称轴为直线：；；；；若点、在抛物线上，则；（为任意实数），其中结论正确的有（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知：二次函数的图象经过点、和，当时，y的值为__________． 8. 关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是_______． 9. 如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为_____． 10. 我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场），每个组共安排场比赛．设每个组邀请个球队参加比赛，则可列方程得为______． 11. 若二次函数的图象与x轴交于A，B两点，则的值为______． 12. 如图，在中，斜边，，将线段绕点B顺时针旋转，得到线段，连接，，当时，的长为_____________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 选择合适的方法解下列方程： （1）； （2）． 14. 如图，为的直径，弦于点E，若，，求半径的长． 15. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）设是方程的一个实数根，且满足，求的值． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． （1）若和关于原点O成中心对称，画出； （2）将绕点O顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标． 17. 如图①，桥拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点B到水面的距离是． （1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式； （2）一只宽为的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点时，桥下水位刚好在处，有一名身高的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知二次函数． （1）二次函数图象与轴的交点坐标是 　　，轴的交点坐标是 　　，顶点坐标是 　　； （2）在平面直角坐标系 中，画出二次函数的图象； （3）当时，结合函数图象，直接写出的取值范围 　　． 19. 如图，已知为的直径，D是上的一点，且点C是的中点，过点C作直线于点E． （1）求证：直线是的切线； （2）连接，过点O作于F，延长交于M，若B为的中点，半径为4，求的长． 五、解答题（本大题共2小题，共18分） 20. 某公司抓住“一带一路”的机遇不断创新发展，生产销售某产品，该产品销售量y（万件）与售价x（元/件）之间的函数关系式为：． （1）当销售总额为120万元时，求每件售价多少元； （2）若总成本P（万元）与销售量y（万件）之间存在如图所示的变化趋势，当时可看成一条线段，当时可看成抛物线，问售价为多少元时，总利润最大，最大值是多少？ 21. 某数学兴趣小组在探究函数的图象和性质时，经历了以下探究过程： （1）列表（完成下列表格）． … －3 －2 －1 0 1 2 3 … … 6 3 2 3 3 6 … （2）描点并在图中画出函数的大致图象； （3）根据函数图象，完成以下问题： ①当函数的图象向下平移______个单位时，图象与轴有三个公共点； ②结合图象探究发现，当满足______时，方程有四个解． 22. 如图，在中，，，过点作的垂线，垂足为，为线段上一动点（不与点重合），连接，以点为中心，将线段逆时针旋转得到线段，连接，与直线交于点． （1）依题意补全图形；并求出与的位置关系； （2）求证：点为的中点． 六、（本大题共12分） 23. 如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点． （1）求这个二次函数的解析式． （2）若点在线段上运动（点与点、点不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标． （3）若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $