期末复习专题01：圆 （思维导图+考点清单+易错归纳+典例精析）-2025-2026学年六年级上册数学（北师大版）

该小学数学期末复习讲义以思维导图统领“圆”的知识体系，通过考点清单系统梳理圆的认识、周长、面积及解决问题四大模块，清晰呈现圆心、半径、圆周率等核心概念与公式的内在联系，突出几何直观与空间观念的培养。 讲义亮点在于“易错归纳”与“典例精析”的结合，针对半圆周长计算遗漏直径、圆环面积误用直径等易错点精准指导，通过组合图形面积、生活应用问题（如车轮滚动路程）的例题解析，培养运算能力与模型意识，助力教师实施分层教学，提升复习效率。

期末复习专题01：圆 思维导图 考点清单 考点一、圆的认识 1. 圆的定义 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所经过的封闭曲线叫做圆。这个固定的点O叫做圆心，线段OA叫做半径。 圆是平面上的一种曲线图形，圆上任意一点到圆心的距离都相等。 2. 圆的各部分名称及特征 圆心（O）：圆中心的点，确定圆的位置。 半径（r）：连接圆心和圆上任意一点的线段，决定圆的大小。在同一个圆里，有无数条半径，所有半径的长度都相等。 直径（d）：通过圆心并且两端都在圆上的线段。在同一个圆里，有无数条直径，所有直径的长度都相等。 半径与直径的关系：在同一个圆里，直径的长度是半径的2倍，即或。 3. 圆的对称性 圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴，圆有无数条对称轴。 圆也是中心对称图形，圆心是它的对称中心。 4. 圆的画法 用圆规画圆的步骤： 1.确定圆心的位置； 2.确定半径的长度（圆规两脚间的距离）； 3.以圆心为定点，旋转一周即可画出一个圆。 考点二、圆的周长 1. 周长的意义 围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母表示。 2. 圆周率（π） 圆的周长与直径的比值是一个固定不变的数，叫做圆周率，用字母表示。 是一个无限不循环小数，，在实际计算中，通常取。 圆周率 3. 圆的周长计算公式 已知直径求周长： 已知半径求周长： 已知周长求直径： 已知周长求半径： 4. 半圆的周长 半圆的周长等于圆周长的一半加上直径的长度： 5. 圆周长的应用 解决实际问题，如计算圆形花坛的周长、圆形跑道的长度、车轮滚动一周前进的距离等。 考点三、圆的面积 1. 圆面积的意义 圆所占平面的大小叫做圆的面积，用字母表示。 2. 圆面积计算公式的推导 将圆平均分成若干份（如16份、32份、64份...），拼成一个近似的长方形。 拼成的长方形的长相当于圆周长的一半（），宽相当于圆的半径（）。 因为长方形的面积=长×宽，所以圆的面积 3. 圆面积的计算公式 已知半径求面积： 已知直径求面积：先求半径，再用公式 已知周长求面积：先求半径，再用公式 4. 圆环的面积 圆环是指两个半径不相等的同心圆之间的部分。 圆环的面积=外圆面积-内圆面积，公式：（其中为外圆半径，为内圆半径） 5. 扇形的认识与面积 扇形的定义：由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。 扇形面积公式：（其中为圆心角的度数，为扇形所在圆的半径） 考点四、解决问题 1. 与圆的周长相关的实际问题 计算圆形物体的周长，如树的周长、花坛的周长等。 计算组合图形的周长（如长方形内有一个最大的圆，求图形的周长）。 2. 与圆的面积相关的实际问题 计算圆形物体的占地面积，如圆形草坪的面积、圆形花坛的面积等。 计算不规则图形中圆形部分的面积（如在正方形中剪去一个最大的圆，求剩余部分的面积）。 计算圆环的面积，如光盘的面积、环形铁片的面积等。 3. 生活中的应用 车轮问题：车轮滚动一周前进的距离就是车轮的周长。 喷水问题：喷头旋转一周洒水的面积就是以喷头为圆心，以射程为半径的圆的面积。 钟表问题：分针或时针扫过的面积就是扇形的面积。 易错归纳 一、概念理解类易错点 1.圆的定义混淆 错误：认为“圆是有无数条边的正多边形”或“圆有顶点” 正确：圆是平面上的曲线图形，没有边和顶点，圆上任意一点到圆心距离相等 2.半径与直径关系的前提条件 错误：在不同圆中直接应用“直径=半径×2” 正确：必须满足“同一圆或等圆”的前提，不同圆中半径和直径无固定倍数关系 3.对称轴概念混淆 错误：说“圆的直径是对称轴” 正确：直径所在的直线才是对称轴（对称轴是直线，直径是线段） 4.圆周率的精确性 错误：认为“π=3.14” 正确：π是无限不循环小数，3.14只是近似值 二、公式应用类易错点 1.周长与面积公式混淆 典型错误：求面积时用 ，求周长时用 区分技巧：周长是“线”，单位是长度单位（m、cm）；面积是“面”，单位是面积单位（m²、cm²） 2.半径平方运算错误 典型错误：将 误算为 （如 ） 正确计算： 表示 （如 ） 3.半圆周长计算遗漏 错误：仅计算“圆周长的一半”（） 正确公式：半圆周长=圆周长一半+直径（ 或 ） 4.圆环面积计算错误 错误：直接用直径计算（） 正确步骤：先求半径（，），再用公式 三、计算操作类易错点 1.已知周长求面积的步骤缺失 错误：直接用周长计算面积（如 ） 正确流程：周长→半径（）→面积（） 2.组合图形中圆的参数判断错误 典型场景：正方形内画最大圆 错误：将正方形边长当作半径 正确关系：圆的直径=正方形边长（半径=边长/2，即 ） 3.扇形面积计算失误 错误：圆心角未除以360°或误用直径计算 正确公式：（ 为圆心角度数， 为半径） 四、单位与取值类易错点 1.单位使用错误 错误：周长用面积单位（如“这个圆的周长是25.12平方厘米”） 正确区分：周长用长度单位（m、dm、cm），面积用面积单位（m²、dm²、cm²） 2.π的取值不当 错误：题目未说明时随意用3代替π计算 规范要求：无特殊说明时，π取3.14进行计算 3.计算结果未化简 错误：扇形面积计算后未约分化简（如保留 ） 正确做法：先化简分数（）再计算 五、实际应用类易错点 1.问题类型判断错误 典型场景：“给圆形花坛围栅栏”算周长，“给圆形桌面铺玻璃”算面积 判断技巧：“边框”“围栏”“滚动距离”等关键词对应周长；“占地”“覆盖”“表面”等关键词对应面积 2.特殊图形的隐蔽条件 典型问题：求“半圆形拱门”的用料长度 注意事项：除计算半圆周长外，需确认是否包含直径部分（根据实际问题判断，如拱门需保留直径作为底边） 3.多个圆组合的参数关系 错误：认为“两个半圆的周长和等于一个整圆的周长” 正确分析：两个半圆的周长和=整圆周长+2条直径（多了 ，即 ） 典例精析 典例一：圆的认识 【例题1】在图中，圆的直径是 厘米，长方形的长是 厘米，这个图形有 条对称轴。 【答案】 6 12 2 【分析】观察图形可知圆的半径是3厘米，根据圆的特点知：圆的直径是3×2＝6（厘米）；且这个长方形的长是圆直径的2倍，长方形的长是：6×2＝12（厘米）。 一个图形沿一条直线对折，直线两边的图形完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，折痕所在的直线就是对称轴，据此确定对称轴的数量。 【详解】3×2＝6（厘米） 6×2＝12（厘米） 所以圆的直径是6厘米，长方形的长是12厘米，这个图形有2条对称轴。 【例题2】如图，大圆的直径是10厘米，大圆的半径是( )厘米，小圆的半径是( )厘米。 【答案】 5 【分析】从图中可以得出，大圆的直径是两个小圆的直径和，也就是这个大圆的半径。圆的半径是直径的。分别得出大、小圆的半径。 【详解】10×＝5（厘米） 5×＝（厘米） 则大圆的半径是5厘米，小圆的半径是厘米。 【例题3】以点O为圆心画一个半径是1厘米的圆，并用字母标出半径和直径。 【答案】见详解 【分析】画圆步骤： 先将圆规的两脚分开，定好两脚间的距离（即半径）； 然后将有针尖的一端固定在一个点上（即圆心）； 再将装有铅笔尖的一只脚旋转一周，即可画出所需要的圆； 最后标出半径和直径； 据此画圆。 【详解】将圆规两脚分开，距离为1厘米；再将针尖一端固定在圆心O上；将铅笔尖旋转一周，并标注半径r和直径d（标注不唯一）；如下图所示： 典例二：圆的周长 【例题1】在一块长3米，宽1米的长方形铁板上截下一块最大的半圆形铁板，半圆形铁板的周长是( )米。 【答案】5.14 【分析】半圆的周长是指围绕半圆一周的长度，它由两部分组成：一部分是半圆的圆弧部分（即圆周长的一半），另一部分是圆的直径。由题意可知，半圆的半径等于长方形的宽1米，根据“圆的周长＝2πr（r为圆的半径）”先求出以半径为1米的圆的周长，再用圆的周长除以2，即可求出半圆的圆弧部分；根据“直径d＝2r（r为圆的半径）”求出以半径为1米的圆的直径；最后用半圆圆弧部分加上直径部分，即可求出半圆的周长。 【详解】2×3.14×1÷2＋2×1 ＝6.28×1÷2＋2 ＝6.28÷2＋2 ＝3.14＋2 ＝5.14（米） 半圆形铁板的周长5.14米。 【例题2】如图所示，小明、小丽两人同时从甲地出发，分别沿两条路走到乙地，如果两人速度相同，谁先到达乙地？写出你的思考过程。 【答案】小明先到达乙地；思考过程见解析。 【分析】假设大半圆的直径是D，小圆的直径是d，小明走的线段是a，则D＝2d＋a，根据圆的周长＝直径，分别求出小丽、小明从甲地到乙地走的路程，路程近的先到达乙地即可解答。 【详解】假设大半圆的直径是D，小圆的直径是d，小明走的线段是a； 则小丽走的路程是： 小明走的路程：＋a D＝2d＋a 所以＝＝＋ a＜ 所以＋a＜＋ 答：小明先到达乙地。 【例题3】打造低碳风尚，提倡绿色出行，共享单车成为越来越多人的出行选择。周末乐乐骑共享单车外出郊游，骑行40分，车轮平均每分旋转80周，车轮的半径是35厘米。乐乐骑行的路程是多少米？ 【答案】7033.6米 【分析】根据公式：C＝2πr，先求出车轮的周长，然后用车轮的周长乘车轮每分钟旋转的周数再乘骑行的时间，即可计算出骑行的路程。 【详解】35厘米＝0.35米 （米） （米） 答：乐乐骑行的路程是7033.6米。 典例三：圆的面积 【例题1】小智研究圆面积的计算方法，他把一个圆切拼成了一个近似的平行四边形（如图），这个平行四边形的周长比圆的周长增加了20厘米。这个圆的半径是( )，这个圆的面积是( )。 【答案】 10厘米 314平方厘米 【分析】把一个圆等分成若干份，拼成一个和它面积相等的近似平行四边形，平行四边形底相当于圆周长的一半，另外两条边相当于圆半径，设这个圆的半径是厘米，根据这个近似的平行四边形周长比原来圆的周长增加了20厘米，列出方程，求出圆的半径，再根据圆面积＝，即可解答。 【详解】解：设这个圆的半径是厘米。 2π×r÷2×2＋2r＝2πr＋20 2r＝20 r＝10 圆的面积： 3.14×10×10＝314（平方厘米） 所以这个圆的半径是10厘米，面积是314平方厘米。 【例题2】育才小学在一块长为20米的长方形空地上用栏杆围成了一个半圆形的花坛，在剩余的地方铺上了草坪（阴影部分）。求草坪的面积。 【答案】43平方米 【分析】由题可知长方形的长和宽分别为圆的直径和半径，用长除以2，可求得圆的半径，圆的面积＝πr2，再除以2，即可求得半圆的面积。再根据长方形的面积＝长×宽，用长方形的面积－半圆的面积，即可求得草坪的面积。 【详解】3.14×（20÷2）2÷2 ＝3.14×102÷2 ＝3.14×100÷2 ＝314÷2 ＝157（平方米） 20×（20÷2）－157 ＝20×10－157 ＝200－157 ＝43（平方米） 答：草坪的面积为43平方米。 【例题3】红星小学在劳动实践基地的正方形草坪上新安装了两个喷头（如图），喷头的喷灌范围是半径为6米的圆。两个喷头都能喷到的草坪面积是多少平方米？ 【答案】20.52平方米 【分析】如图①②，两个喷头喷到草坪的范围都是半径为6米的圆的；如图③，两个喷头都能喷到的范围即是重合的部分； 重合部分的面积＝半径为6米的圆面积的×2－边长为6米的正方形面积，根据圆的面积公式S＝πr2，正方形的面积公式S＝a2，代入数据计算求解。 【详解】3.14×62××2－6×6 ＝3.14×36××2－36 ＝56.52－36 ＝20.52（平方米） 答：两个喷头都能喷到的草坪面积是20.52平方米。 典例四：圆环的面积 【例题1】要在一个直径是12米的圆形花坛周围修一条宽1米的小路，这条中路的占地面积是( )平方米。 【答案】40.82 【分析】根据题意，小路的占地面积是圆环的面积，圆环面积公式为S＝π（R2－r2）（R是外圆半径，r是内圆半径）。先根据原题数据“直径是12米”，用直径÷2求出内圆半径r，再用内圆半径加小路宽1米求出外圆半径R，最后代入圆环面积公式计算，据此解答。 【详解】内圆半径：12÷2＝6（米） 外圆半径：6＋1＝7（米） 3.14×（72－62） ＝3.14×（49－36） ＝3.14×13 ＝40.82（平方米） 答：这条小路的占地面积是40.82平方米。 【例题2】火锅桌。火锅桌起源于我国古代，从陶鼎到青铜器，演变至今，形式多样。如图所示，一个圆形火锅桌面，桌面直径是2米。中间放置火锅的部分的直径是60厘米，采用大理石制作，其他部分是由实木板做成的桌面。制作这样一张桌面，至少需要多少平方米的木板？ 【答案】2.8574平方米 【分析】桌面直径是2米，所以半径为2÷2＝1米，中间放置火锅的部分的直径是60厘米，因为1米＝100厘米，60厘米是60÷100＝0.6米，所以半径为0.6÷2＝0.3米。其它部分是由实木板做成，把实木板部分看作是圆环。根据圆环面积公式：S＝π（R2－r2）（π取3.14，R为外圆半径，r为内圆半径），把外圆半径1米，内圆半径0.3米代入公式计算即可。 【详解】2÷2＝1（米） 1米＝100厘米 60÷100÷2＝0.3（米） 3.14×（12－0.32） ＝3.14×（1－0.09） ＝3.14×0.91 ＝2.8574（平方米） 答：制作这样一张桌面，至少需要2.8574平方米的木板。 【例题3】凤凰山公园有一段宽2米的步行鹅卵石路（如图阴影部分），如果铺设这条鹅卵石路每平方米投资100元，那么铺设这条鹅卵石路一共需要投资多少元？ 【答案】8792元 【分析】根据题意，先观察图形可知，阴影部分的面积可通过平移转化为一个圆环的面积，圆环面积公式为S＝π（R2－r2）。首先，内圆直径是12米，所以内圆半径用12÷2可得；外圆半径是内圆半径加路宽2米。然后用圆环面积乘每平方米投资100元，即可求出总投资。 【详解】内圆半径：12÷2＝6（米） 外圆半径：6＋2＝8（米） 圆环面积： 3.14×（82－62） ＝3.14×（64－36） ＝3.14×28 ＝87.92（平方米） 总投资：87.92×100＝8792（元） 答：铺设这条鹅卵石路一共需要投资8792元。 典例五：含圆的组合图形面积 【例题1】求阴影部分面积。 【答案】21.5 【分析】阴影部分的面积等于边长为10cm的正方形的面积减去半径是5cm的圆的面积，根据正方形的面积＝边长×边长，圆的面积＝×半径的平方解答。 【详解】10×10－3.14× ＝100－3.14×25 ＝100－78.5 ＝21.5（） 即阴影部分面积是21.5。 【例题2】计算图中阴影部分的面积，单位：cm。 【答案】4.72平方厘米 【分析】观察图形可知，阴影部分的面积＝梯形面积－半圆的面积，根据梯形面积公式：面积＝（上底＋下底）×高÷2；圆的面积公式：面积＝，代入数据，即可解答。 【详解】梯形的高：4÷2＝2（厘米） （4＋7）×2÷2 ＝11×2÷2 ＝22÷2 ＝11（平方厘米） ＝3.14×4÷2 ＝12.56÷2 ＝6.28（平方厘米） 11－6.28＝4.72（平方厘米） 【例题3】求下图阴影部分的面积。（图中单位：厘米） 【答案】10.56平方厘米 【分析】根据图可知，阴影部分面积可以看作半径为4厘米的圆加上右侧边长为2厘米的正方形的面积，再减去底是4＋2＝6（厘米），高是2厘米的三角形面积即可求解。根据圆的面积公式：S＝πr2，三角形的面积公式：底×高÷2，正方形的面积公式：边长×边长，把数代入即可求解。 【详解】由分析可知： ×3.14×42＋2×2－（4＋2）×2÷2 ＝×3.14×16＋4－6×2÷2 ＝12.56＋4－6 ＝10.56（平方厘米） 阴影部分的面积是10.56平方厘米。 典例六：方中圆和圆中方的面积问题 【例题1】计算下图中阴影部分的面积。 【答案】18.24cm2 【分析】用半径为4cm的圆的面积减去两个底长为8厘米，高为2厘米的等腰三角形的面积，根据圆的面积＝和三角形的面积＝底×高÷2，即可计算出阴影部分的面积。 【详解】3.14×42－（2×4）×4÷2×2 ＝3.14×16－8×4÷2×2 ＝50.24－32 ＝18.24（cm2） 即阴影部分的面积为18.24cm2。 【例题2】求阴影部分的面积。 【答案】13.76dm2 【分析】四个空白扇形可以拼成一个直径为8dm的圆，根据圆的面积，正方形面积，用正方形面积－圆的面积＝阴影部分的面积进行解答即可。 【详解】阴影部分的面积： （dm2） 【例题3】春节期间，人们贴窗花寄托辞旧迎新、接福纳祥的愿望。用边长是16厘米的正方形纸张裁剪这个圆形窗花（如图），剪出的圆形窗花面积最大是多少平方厘米？ 【答案】200.96平方厘米 【分析】根据题意，把一个正方形纸张裁剪成最大的圆形窗花，那么圆的直径等于正方形的边长；根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆形窗花最大的面积。 【详解】3.14×（16÷2）2 ＝3.14×82 ＝3.14×64 ＝200.96（平方厘米） 答：剪出的圆形窗花面积最大是200.96平方厘米。 典例七：用转化法求圆的组合图形的周长与面积 【例题1】下图正方形的边长是6cm，求阴影部分的周长和面积。 【答案】42.84cm；28.26cm2 【分析】阴影部分可以拼成一个圆，阴影部分的周长＝圆的周长＋正方形周长，圆的周长＝圆周率×直径，正方形周长＝边长×4；阴影部分的面积＝圆的面积＝圆周率×半径的平方，据此列式计算。 【详解】3.14×6＋6×4 ＝18.84＋24 ＝42.84（cm） 3.14×（6÷2）2 ＝3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（cm2） 阴影部分的周长和面积分别是42.84cm、28.26cm2。 【例题2】求图中阴影部分的面积。（单位：厘米）（取） 【答案】平方厘米 【分析】如图，通过割补可知阴影部分面积等于半径为6厘米圆面积的。根据，代入数据计算即可。 【详解】（平方厘米） 即阴影部分面积是平方厘米。 【例题3】如图BC＝12cm，CD＝DE＝6cm，①与②两阴影部分的面积的差（较大的减去较小的）是多少？ 【答案】12.78cm2 【分析】如下图所示，用③表示一块阴影部分的面积，则①－②＝（①＋③）－（②＋③）。用半径是12cm的大扇形的面积减去半径是6cm的小扇形的面积即可得出①与③两阴影部分的面积之和，而②与③两阴影部分的面积之和等于长方形的面积，那么用大扇形的面积减去小扇形的面积，再减去长方形的面积，即可求出①与②两阴影部分的面积的差。图中扇形的面积是整圆面积的，根据S＝πr2求出整圆面积，再除以4分别求出两个扇形的面积；根据长方形的面积＝长×宽，求出长方形的面积。最后根据上面的分析结果进行解答。 【详解】 ＝3.14×27－72 （cm2） 答：①与②两阴影部分的面积的差是12.78cm2。 【点睛】把①与②两阴影部分的面积的差，转化为①与③的面积之和，与②与③面积之和的差，是解题的关键。再运用圆的面积公式和长方形的面积公式分别求出两部分的面积。 试卷第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习专题01：圆 思维导图 考点清单 考点一、圆的认识 1. 圆的定义 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所经过的封闭曲线叫做圆。这个固定的点O叫做圆心，线段OA叫做半径。 圆是平面上的一种曲线图形，圆上任意一点到圆心的距离都相等。 2. 圆的各部分名称及特征 圆心（O）：圆中心的点，确定圆的位置。 半径（r）：连接圆心和圆上任意一点的线段，决定圆的大小。在同一个圆里，有无数条半径，所有半径的长度都相等。 直径（d）：通过圆心并且两端都在圆上的线段。在同一个圆里，有无数条直径，所有直径的长度都相等。 半径与直径的关系：在同一个圆里，直径的长度是半径的2倍，即或。 3. 圆的对称性 圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴，圆有无数条对称轴。 圆也是中心对称图形，圆心是它的对称中心。 4. 圆的画法 用圆规画圆的步骤： 1.确定圆心的位置； 2.确定半径的长度（圆规两脚间的距离）； 3.以圆心为定点，旋转一周即可画出一个圆。 考点二、圆的周长 1. 周长的意义 围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母表示。 2. 圆周率（π） 圆的周长与直径的比值是一个固定不变的数，叫做圆周率，用字母表示。 是一个无限不循环小数，，在实际计算中，通常取。 圆周率 3. 圆的周长计算公式 已知直径求周长： 已知半径求周长： 已知周长求直径： 已知周长求半径： 4. 半圆的周长 半圆的周长等于圆周长的一半加上直径的长度： 5. 圆周长的应用 解决实际问题，如计算圆形花坛的周长、圆形跑道的长度、车轮滚动一周前进的距离等。 考点三、圆的面积 1. 圆面积的意义 圆所占平面的大小叫做圆的面积，用字母表示。 2. 圆面积计算公式的推导 将圆平均分成若干份（如16份、32份、64份...），拼成一个近似的长方形。 拼成的长方形的长相当于圆周长的一半（），宽相当于圆的半径（）。 因为长方形的面积=长×宽，所以圆的面积 3. 圆面积的计算公式 已知半径求面积： 已知直径求面积：先求半径，再用公式 已知周长求面积：先求半径，再用公式 4. 圆环的面积 圆环是指两个半径不相等的同心圆之间的部分。 圆环的面积=外圆面积-内圆面积，公式：（其中为外圆半径，为内圆半径） 5. 扇形的认识与面积 扇形的定义：由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。 扇形面积公式：（其中为圆心角的度数，为扇形所在圆的半径） 考点四、解决问题 1. 与圆的周长相关的实际问题 计算圆形物体的周长，如树的周长、花坛的周长等。 计算组合图形的周长（如长方形内有一个最大的圆，求图形的周长）。 2. 与圆的面积相关的实际问题 计算圆形物体的占地面积，如圆形草坪的面积、圆形花坛的面积等。 计算不规则图形中圆形部分的面积（如在正方形中剪去一个最大的圆，求剩余部分的面积）。 计算圆环的面积，如光盘的面积、环形铁片的面积等。 3. 生活中的应用 车轮问题：车轮滚动一周前进的距离就是车轮的周长。 喷水问题：喷头旋转一周洒水的面积就是以喷头为圆心，以射程为半径的圆的面积。 钟表问题：分针或时针扫过的面积就是扇形的面积。 易错归纳 一、概念理解类易错点 1.圆的定义混淆 错误：认为“圆是有无数条边的正多边形”或“圆有顶点” 正确：圆是平面上的曲线图形，没有边和顶点，圆上任意一点到圆心距离相等 2.半径与直径关系的前提条件 错误：在不同圆中直接应用“直径=半径×2” 正确：必须满足“同一圆或等圆”的前提，不同圆中半径和直径无固定倍数关系 3.对称轴概念混淆 错误：说“圆的直径是对称轴” 正确：直径所在的直线才是对称轴（对称轴是直线，直径是线段） 4.圆周率的精确性 错误：认为“π=3.14” 正确：π是无限不循环小数，3.14只是近似值 二、公式应用类易错点 1.周长与面积公式混淆 典型错误：求面积时用 ，求周长时用 区分技巧：周长是“线”，单位是长度单位（m、cm）；面积是“面”，单位是面积单位（m²、cm²） 2.半径平方运算错误 典型错误：将 误算为 （如 ） 正确计算： 表示 （如 ） 3.半圆周长计算遗漏 错误：仅计算“圆周长的一半”（） 正确公式：半圆周长=圆周长一半+直径（ 或 ） 4.圆环面积计算错误 错误：直接用直径计算（） 正确步骤：先求半径（，），再用公式 三、计算操作类易错点 1.已知周长求面积的步骤缺失 错误：直接用周长计算面积（如 ） 正确流程：周长→半径（）→面积（） 2.组合图形中圆的参数判断错误 典型场景：正方形内画最大圆 错误：将正方形边长当作半径 正确关系：圆的直径=正方形边长（半径=边长/2，即 ） 3.扇形面积计算失误 错误：圆心角未除以360°或误用直径计算 正确公式：（ 为圆心角度数， 为半径） 四、单位与取值类易错点 1.单位使用错误 错误：周长用面积单位（如“这个圆的周长是25.12平方厘米”） 正确区分：周长用长度单位（m、dm、cm），面积用面积单位（m²、dm²、cm²） 2.π的取值不当 错误：题目未说明时随意用3代替π计算 规范要求：无特殊说明时，π取3.14进行计算 3.计算结果未化简 错误：扇形面积计算后未约分化简（如保留 ） 正确做法：先化简分数（）再计算 五、实际应用类易错点 1.问题类型判断错误 典型场景：“给圆形花坛围栅栏”算周长，“给圆形桌面铺玻璃”算面积 判断技巧：“边框”“围栏”“滚动距离”等关键词对应周长；“占地”“覆盖”“表面”等关键词对应面积 2.特殊图形的隐蔽条件 典型问题：求“半圆形拱门”的用料长度 注意事项：除计算半圆周长外，需确认是否包含直径部分（根据实际问题判断，如拱门需保留直径作为底边） 3.多个圆组合的参数关系 错误：认为“两个半圆的周长和等于一个整圆的周长” 正确分析：两个半圆的周长和=整圆周长+2条直径（多了 ，即 ） 典例精析 典例一：圆的认识 【例题1】在图中，圆的直径是 厘米，长方形的长是 厘米，这个图形有 条对称轴。 【例题2】如图，大圆的直径是10厘米，大圆的半径是( )厘米，小圆的半径是( )厘米。 【例题3】以点O为圆心画一个半径是1厘米的圆，并用字母标出半径和直径。 典例二：圆的周长 【例题1】在一块长3米，宽1米的长方形铁板上截下一块最大的半圆形铁板，半圆形铁板的周长是( )米。 【例题2】如图所示，小明、小丽两人同时从甲地出发，分别沿两条路走到乙地，如果两人速度相同，谁先到达乙地？写出你的思考过程。 【例题3】打造低碳风尚，提倡绿色出行，共享单车成为越来越多人的出行选择。周末乐乐骑共享单车外出郊游，骑行40分，车轮平均每分旋转80周，车轮的半径是35厘米。乐乐骑行的路程是多少米？ 典例三：圆的面积 【例题1】小智研究圆面积的计算方法，他把一个圆切拼成了一个近似的平行四边形（如图），这个平行四边形的周长比圆的周长增加了20厘米。这个圆的半径是( )，这个圆的面积是( )。 【例题2】育才小学在一块长为20米的长方形空地上用栏杆围成了一个半圆形的花坛，在剩余的地方铺上了草坪（阴影部分）。求草坪的面积。 【例题3】红星小学在劳动实践基地的正方形草坪上新安装了两个喷头（如图），喷头的喷灌范围是半径为6米的圆。两个喷头都能喷到的草坪面积是多少平方米？ 典例四：圆环的面积 【例题1】要在一个直径是12米的圆形花坛周围修一条宽1米的小路，这条中路的占地面积是( )平方米。 【例题2】火锅桌。火锅桌起源于我国古代，从陶鼎到青铜器，演变至今，形式多样。如图所示，一个圆形火锅桌面，桌面直径是2米。中间放置火锅的部分的直径是60厘米，采用大理石制作，其他部分是由实木板做成的桌面。制作这样一张桌面，至少需要多少平方米的木板？ 【例题3】凤凰山公园有一段宽2米的步行鹅卵石路（如图阴影部分），如果铺设这条鹅卵石路每平方米投资100元，那么铺设这条鹅卵石路一共需要投资多少元？ 典例五：含圆的组合图形面积 【例题1】求阴影部分面积。 【例题2】计算图中阴影部分的面积，单位：cm。 【例题3】求下图阴影部分的面积。（图中单位：厘米） 典例六：方中圆和圆中方的面积问题 【例题1】计算下图中阴影部分的面积。 【例题2】求阴影部分的面积。 【例题3】春节期间，人们贴窗花寄托辞旧迎新、接福纳祥的愿望。用边长是16厘米的正方形纸张裁剪这个圆形窗花（如图），剪出的圆形窗花面积最大是多少平方厘米？ 典例七：用转化法求圆的组合图形的周长与面积 【例题1】下图正方形的边长是6cm，求阴影部分的周长和面积。 【例题2】求图中阴影部分的面积。（单位：厘米）（取） 【例题3】如图BC＝12cm，CD＝DE＝6cm，①与②两阴影部分的面积的差（较大的减去较小的）是多少？ 试卷第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $