期末复习专题06：比的认识（思维导图+考点清单+易错归纳+典例精析）-2025-2026学年六年级上册数学北师大版

该小学数学期末复习讲义以思维导图构建“比的认识”知识体系，通过考点清单系统梳理比的意义、各部分名称、与分数除法关系等核心内容，用对比表格明晰比、分数、除法的对应关系，突出比的基本性质及按比例分配等重难点的内在逻辑。 讲义亮点在于“考点-易错-典例”三维设计，如按比例分配实例（30千克水果按2:3分给两人）培养模型意识，易错点归纳（区分比赛比分与数学比）强化抽象能力。典例覆盖不同题型，帮助学生掌握化简比与求比值的运算方法，支持教师精准教学和分层复习。

期末复习专题06：比的认识 思维导图 考点清单 考点一、比的意义 1.核心定义：两个数相除又叫做两个数的比。表示两个数之间的倍比关系，不表示具体数量。 例：男生人数 30 人，女生人数 20 人，男生人数与女生人数的比是 30:20（或化简为 3:2），表示男生人数是女生人数的 2.适用场景：用于描述两个同类量（如长度、人数、质量）或相关联量（如路程与时间）的关系，非同类量（无关联）不能作比。 考点二、比的各部分名称及读写 1.组成要素： 比的符号：“:”（读作 “比”）； 前项：比号前面的数（表示被比较的量）； 后项：比号后面的数（表示比较的标准量）； 比值：比的前项除以后项所得的商（可以是整数、小数、分数）。 例：在a:b=c中，a是前项，b是后项，c是比值（c=a÷b）。 2.读写方法： 读作：“a比b”（如 3:2 读作 “3 比 2”）； 写作：可以用 “a:b” 或分数形式 （注意：分数形式表示比时，仍读作 “a比b”，区别于普通分数）。 考点三、比与分数、除法的关系 1.对应关系（核心等式）： 比的部分 分数部分 除法部分 前项（a） 分子（a） 被除数（a） 比号（:） 分数线（—） 除号（÷） 后项（b） 分母（b） 除数（b） 比值（c） 分数值（c） 商（c） 2.关键区别： 比：表示两个数的关系（如 3:2）； 分数：表示一个数 除法：表示一种运算（如 3÷2）。 3.共同限制：比的后项、分数的分母、除法的除数都不能为 0（因为 0 不能作除数）。 考点四、比的基本性质 1.性质内容：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0 除外），比值不变。 字母表示：若a:b = c，则(a×k):(b×k) = c，(a÷k):(b÷k) = c（k≠0）。 2.核心作用：化简比的依据（将比化为最简整数比）。 考点五、化简比与求比值 1. 化简比 定义：把一个比化成前项和后项是互质数（只有公因数 1）的最简整数比。 结果形式：必须是 “m:n”（m、n为整数，且互质），不能是小数、整数或分数。 化简方法： 整数比（如 12:18）：前项后项同时除以最大公因数（12 和 18 的最大公因数是 6，化简为 2:3）； 小数比（如 0.4:0.6）：先转化为整数比（同时乘 10 得 4:6），再化简（2:3）； 分数比：先转化为整数比（同时乘分母最小公倍数 15 得 10:12），再化简（5:6）； 混合比 2. 求比值 定义：计算比的前项除以后项的商。 结果形式：可以是整数（如 6:2 的比值是 3）、小数（如 4:5 的比值是 0.8）或分数（如 3:7 的比值 计算方法：直接用前项 ÷ 考点六、比的应用（按比例分配） 1.问题特征：已知总量和各部分量的比，求各部分量的具体数值。 2.解题步骤： 第一步：求总份数（各部分比的和）； 第二步：求每份的量（总量 ÷ 总份数）； 第三步：求各部分的量（每份的量 × 对应部分的比的份数）。 3.拓展场景： 已知部分量和对应比，求总量（部分量 ÷ 对应份数 × 总份数）； 已知两个部分量的差和比，求各部分量或总量（差 ÷ 份数差 × 对应份数）。 4.实例：把 30 千克水果按 2:3 分给甲、乙两人，甲分得30÷(2+3)×2=12千克，乙分得30÷(2+3)×3=18千克。 易错归纳 一、概念理解类易错点 1.混淆 “比” 与 “比值” 的意义 错误： 正确：3:2 是比（表示示具体数值）；化简比结果必须是 “m:n” 形式（如 3:2）。 2.误解 “比的后项不能为 0” 错误：认为 “体育比赛中的比分 2:0，说明比的后项可以为 0”。 正确：体育比赛的 “比分” 是双方得分的记录，不表示两个数相除的关系（2:0 不代表 2÷0），与数学中的 “比” 本质不同，数学中的比后项仍不能为 0。 4.非同类量作比 错误：计算 “小明身高 150cm，体重 40kg，身高与体重的比是 150:40”。 正确：身高（长度单位）和体重（质量单位）是不同类量，无倍比关系，不能作比。 二、性质应用类易错点 1.比的基本性质遗漏 “0 除外” 错误：化简比时，前项后项同时除以 0（如 10:5=(10÷0):(5÷0)）；或同时乘 / 除不同的数（如 8:4=(8×2):(4×3)=16:12）。 正确：比的前项和后项必须同时乘 / 除相同的数（0 除外） ，比值才不变；0 不能作除数，因此不能乘除 0。 2.化简分数比时方法错误 错误：直接用前项分母除以后项分母结果为比值而非最简比）。 正确：分数比需先乘分母最小公倍数转化为整数比，再化简 三、化简与求比值混淆类易错点 1.结果形式混淆 错误：求比值时写成比的形式（如求 4:6 的比值，结果写成 2:3）；化简比时写成数值形式（如化简 4:6。 区分技巧：“求比值” 求的是 “商”（结果是一个数），“化简比” 化的是 “关系”（结果是一个比）。 2.计算过程混淆 错误：化简比时用前项 ÷ 后项（如化简 6:4，计算 6÷4=1.5，直接作为结果）。 正确：化简比需通过 “乘除相同数” 转化为最简整数比，求比值才用 “前项 ÷ 后项”。 四、实际应用类易错点 1.按比例分配时总份数计算错误 错误：已知比为a:b:c，总份数算成a+b（遗漏c）；或把比的份数当作具体数量（如比为 2:3，直接用总量 ×2 或 ×3）。 正确：总份数是所有比的份数之和（a+b+c）；需先求 “每份的量”，再乘对应份数。 3.比的前后项顺序颠倒 错误：“甲与乙的比是 3:2”，计算时误按 2:3 分配（如甲应分 3 份，误分 2 份）。 正确：严格按照题目描述的 “前项：后项” 对应分配，“甲与乙的比是 3:2” 表示甲占 3 份，乙占 2 份。 4.单位不统一就按比例分配 错误：已知长方形长 2 米、宽 50 厘米，按长：宽 = 2:50 分配周长（单位未统一）。 正确：先统一单位（2 米 = 200 厘米，长：宽 = 200:50=4:1），再进行后续计算。 5.忽略 “部分量与比的对应关系” 错误：已知甲、乙的比是 3:5，甲比乙少 10，直接用 10÷(5-3)=5，认为甲是 5，乙是 10（未乘对应份数）。 正确：每份的量是 10÷(5-3)=5，甲是 5×3=15，乙是 5×5=25。 五、特殊情况类易错点 1.单一量的比化简错误 错误：把 “1 小时：30 分钟” 化简为 1:30（单位未统一）。 正确：先统一单位（1 小时 = 60 分钟），再化简为 60:30=2:1。 2.连比化简时方法错误 错误：化简连比 3:6:9，先化简 3:6=1:2，再化简 6:9=2:3，最终写成 1:2:3（步骤正确，但需确保每一步都同时化简所有项）。 正确：连比需同时除以所有项的最大公因数（3:6:9=（3÷3）:（6÷3）:（9÷3）=1:2:3），确保各项互质。 3.混淆 “比的应用” 与 “分数乘法” 错误：“甲是乙，误转化为甲：乙 = 5:3（前后项颠倒）。 正确：“甲是乙，因此甲：乙 = 3:5。 典例精析 典例一：比的意义 【例题1】六（1）班女生人数是男生人数的，则女生人数与男生人数的比是( )，男生人数与全班人数的比是( )。 【答案】 3∶7 7∶10 【分析】比的意义：两个数相除又叫两个数的比。女生人数是男生人数的，可以将男生人数看作7份，则女生人数为3份。女生人数与男生人数的比即为3∶7；全班人数为男生和女生的总和，即7份＋3份＝10份，因此男生人数与全班人数的比是7∶10。 【详解】设男生人数为7份，则女生人数为3份，全班人数为7份＋3份＝10份。 所以，女生人数与男生人数的比是3∶7。男生人数与全班人数的比是7∶10。 【例题2】大小两个圆的半径比是4∶3，则两圆的周长比是( )，两圆的面积比是( )。 【答案】 4∶3 16∶9 【分析】根据圆的周长公式C＝2πr可知，两个圆的周长比等于它们的半径之比； 根据圆的面积公式S＝πr2可知，两个圆的面积比等于它们半径的平方之比。 【详解】两圆的周长比＝两圆的半径比＝4∶3 两圆的面积比＝两圆半径的平方比＝42∶32＝16∶9 大小两个圆的半径比是4∶3，则两圆的周长比是（4∶3），两圆的面积比是（16∶9）。 【例题3】如图，小圆与大圆的半径比是( )；已知阴影部分的面积是7.2dm2，小圆面积是( )dm2。 【答案】 1∶2 2.4 【分析】通过观察图形可知，小圆半径是大圆半径的一半，也就是小圆与大圆半径的比是1∶2； 根据圆的面积公式：S＝πr2，大小圆面积的比等于半径平方的比，那么大圆面积与小圆面积的比是4∶1，已知阴影部分的面积是7.2平方分米，也就是阴影部分的面积是小圆面积（4－1）倍，据此解答即可。 【详解】由图可知，小圆与大圆的半径比是1∶2 则大圆面积与小圆面积的比是4∶1 所以阴影部分的面积是小圆面积的（4－1）倍 7.2÷（4－1） ＝7.2÷3 ＝2.4（平方分米） 即小圆的面积是2.4平方分米。 【点睛】此题解答的关键是明确：大小圆面积的比等于大小圆半径平方的比。 典例二：比的读法、写法及各部分的名称 【例题1】9∶6＝1.5，9是比的( )，6是比的( )，1.5是比的( )。 【答案】 前项 后项 比值 【分析】在一个比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以比的后项，所得的商叫做比值。 【详解】由分析可得：9∶6＝1.5，9是比的前项，6是比的后项，1.5是比的比值。 【例题2】两个数( )，又叫两个数的比，如：24÷7写作( )，读作( )，其中( )是这个比的前项，( )是这个比的后项。 【答案】 相除 24∶7 二十四比七 24 7 【分析】两个数相除又叫两个数的比，比号前面的数叫作比的前项，比号后面的数叫作比的后项，据此解答。 【详解】两个数相除，又叫两个数的比，如：24÷7写作24∶7，读作二十四比七，其中24是这个比的前项，7是这个比的后项。 【点睛】此题考查了比的意义、读写法以及前后项的认识，属于基础类题目。 【例题3】如果x：y=c，那么x是比的 ，y是比的 ，c是比的 ． 【答案】 前项 后项 比值 【分析】在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项．比的前项除以比的后项所得的商叫做比值． 【详解】根据分析可得：x是比的前项，y是比的后项，c是比的比值． 【点评】此题考查比的各部分名称． 典例三：求比值 【例题1】求比值。 ∶＝    ∶0.8＝ 【答案】；0.875 【分析】根据求比值的方法，用比的前项除以后项所得的商就是比值。对于∶，用÷计算即可；对于∶0.8，用÷0.8计算即可。 【详解】∶ ＝÷ ＝× ＝ ∶0.8 ＝÷0.8 ＝0.7÷0.8 ＝0.875 【例题2】求比值。 144∶72    1.28∶0.32 【答案】2；4 【分析】比的前项相当于除法中的被除数，比的后项相当于除法中的除数，据此即可求出比值。 【详解】144∶72＝144÷72＝2； 1.28∶0.32＝1.28÷0.32＝4。 【例题3】求比值。                   【答案】0.6；；    0；56； 【分析】将比的前项除以比的后项，求出比值。 （1）将0.2除以，求出比值； （2）将除以，求出比值； （3）将除以2，求出比值； （4）将0除以，求出比值； （5）将8除以，求出比值； （6）将除以，求出比值。 【详解】0.2∶＝0.2÷＝0.2×3＝0.6 ∶＝÷＝×7＝ ∶2＝÷2＝×＝ 0∶＝0÷＝0×7＝0 8∶＝8÷＝8×7＝56 ∶＝÷＝×3＝ 典例四：比与分数除法的关系 【例题1】（    ）＝（    ）∶32＝（    ）（填小数）。 【答案】15；64；12；0.375 【分析】分数的分子相当于比的前项，除法的被除数，分数的分母相当于比的后项，除法的除数； 并且分数的分子与分母同时乘或除以0除外的相同的数，分数大小不变，据此即可填空。 【详解】； ； ； ； 即。 【例题2】4÷5＝＝24∶（      ）＝（      ）%＝（      ）折＝（      ）（小数）。 【答案】8；30；80；八；0.8 【分析】根据分数与除法的关系，4÷5＝。根据分数的基本性质，把的分子和分母同时乘2，得；根据分数与比的关系、分数的基本性质，把的分子和分母同时乘6，得＝＝24∶30；用的分子除以分母，化为小数是4÷5＝0.8；把0.8的小数点向右移动两位，添上百分号，化成百分数为80%；80%就是八折。 【详解】通过分析可得：4÷5＝＝24∶30＝80%＝八折＝0.8。 【例题3】一个比的比值是6，如果这个比的前项扩大为原来的2倍，后项缩小为原来的，变化后的比值是( )。 【答案】36 【分析】根据比与除法的关系，比的前项相当于被除数，比的后项相当于除数，比值相当于商，被除数不变，除数乘几或除以几（0除外），商就除以几或乘几；除数不变，被除数乘几或除以几（0除外），商就乘几或除以几。 【详解】因为：6×2÷ ＝12×3 ＝36 所以：变化后的比值是36。 【点睛】熟练掌握比与除法的关系以及商的变化规律是解题的关键。 典例五：比的基本性质 【例题1】如果5∶9的后项加上27，要使比值不变，前项应该加上( )。 【答案】15 【分析】原来的比是5∶9，后项加上27后，新的后项为9＋27＝36。后项从9变为36，36÷9＝4，即后项乘4。据比的基本性质，比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。因此，前项也应乘4，原来的前项是5，乘4后变为5×4＝20。前项从5变为20，需要加上的数为20－5＝15。 【详解】9＋27＝36 36÷9＝4 5×4＝20 20－5＝15 所以前项应该加上15。 【例题2】在5∶3这个比中，比的前项加上10，要使比值不变，比的后项应加上( )。 【答案】6 【分析】根据比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变，解答即可。 【详解】5＋10＝15，比的前项由5变成15，而15＝5×3，相当于比的前项乘3，要使比值不变，比的后项也应乘3，3×3＝9，而比的后项由3变成9，9－3＝6，相当于比的后项加上6。 【例题3】在7∶9中，比的前项增加14，要使比值不变，比的后项应增加( )。 【答案】18 【分析】比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。据此解答。 【详解】在7∶9中，比的前项增加14，即7＋14＝21，21÷7＝3，相当于前项乘3，要使比值不变，比的后项应乘3，即9×3＝27，27－9＝18，即比的后项应增加18。 【点睛】熟练掌握比的性质是解题的关键。 典例六：比的化简 【例题1】化简比。 4∶＝    0.25∶0.125＝ 【答案】5∶1；2∶1 【分析】（1）比的前项和后项同时乘5，把分数比转化为整数比，比的前项和后项再同时除以4，把整数比转化为最简比； （2）比的前项和后项同时乘1000，把小数比转化为整数比，比的前项和后项再同时除以125，把整数比转化为最简比，据此解答。 【详解】（1）4∶ ＝（4×5）∶（×5） ＝20∶4 ＝（20÷4）∶（4÷4） ＝5∶1 （2）0.25∶0.125 ＝（0.25×1000）∶（0.125×1000） ＝250∶125 ＝（250÷125）∶（125÷125） ＝2∶1 【例题2】把下面各比化成最简整数比。 28∶36＝              1.5∶0.45＝                             【答案】7∶9；10∶3；2∶5；5∶7 【分析】根据比的基本性质，即比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（ 0除外），比值不变，进而把比化成最简整数比即可。 【详解】28∶36 ＝（28÷4）∶（36÷4） ＝7∶9 1.5∶0.45 ＝（1.5÷0.15）∶（0.45÷0.15） ＝10∶3 ∶ ＝（×）∶（×） ＝2∶5 0.5∶ ＝0.5∶0.7 ＝（0.5×10）∶（0.7×10） ＝5∶7 【例题3】把下面各比化成最简单的整数比。                          【答案】2∶3；3∶5；1∶12 【分析】根据比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以一个数（0除外），比值不变，化简即可。 【详解】 ＝（12÷6）∶（18÷6） ＝2∶3 ＝（0.45×100）∶（0.75×100） ＝45∶75 ＝（45÷15）∶（75÷15） ＝3∶5 ＝（）∶（） ＝3∶36 ＝（3÷3）∶（36÷3） ＝1∶12 典例七：按比分配问题 【例题1】一种混凝土由水泥、黄沙和石子配制而成。三种材料的配比是。如果这三种材料各有36吨，当黄沙全部用完时，水泥还剩多少吨？ 【答案】 12吨 【分析】黄沙的总量为36吨，对应的配比为3份，用36除以3求出每1份黄沙多少吨；根据按比例分配问题，水泥的配比为2份，用1份的重量乘2，求出所需用的水泥数；最后用原有水泥的重量，减去用去的水泥数，即可求出水泥还剩多少吨。 【详解】（吨） （吨） 答：当黄沙全部用完时，水泥还剩12吨。 【例题2】王伯伯家里的菜地一共有450平方米，准备用种西红柿。剩下的按2∶3的面积比种黄瓜和茄子，三种蔬菜的面积分别是多少平方米？ 【答案】西红柿150平方米；黄瓜120平方米；茄子180平方米 【分析】将菜地面积看作单位“1”，菜地面积×西红柿对应分率＝西红柿面积，菜地面积－西红柿面积＝黄瓜和茄子的面积，将比的前后项看成份数，黄瓜和茄子的面积÷总份数＝一份数，一份数分别乘黄瓜和茄子的对应份数，即可求出黄瓜和茄子的面积。 【详解】（平方米） （平方米） 300÷（2＋3） ＝300÷5 ＝60（平方米） 60×2＝120（平方米） 60×3＝180（平方米） 答：西红柿的面积是150平方米、黄瓜的面积是120平方米、茄子的面积是180平方米。 【例题3】刺梨被誉为“维C之王”，是贵州的一种特产水果。妈妈调制一款刺梨果汁，刺梨膏和水的质量比是3∶7，要调制这样的刺梨果汁200克，需要刺梨膏多少克？ 【答案】60克 【分析】根据刺梨膏和水的质量比是3∶7，那么刺梨膏是刺梨果汁的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。 【详解】 ＝60（克） 答：需要刺梨膏60克。 典例八：比的应用 【例题1】商店运来的橘子和苹果的质量的比是5∶6，已知运来橘子100千克，运来苹果多少千克？ 【答案】120千克 【分析】由题意可知，商店运来的橘子和苹果的质量的比是5∶6，可以把橘子的质量看作5份，则苹果的质量看作6份； 用橘子的质量除以橘子的份数，求出一份数表示的质量，再用一份数乘苹果的份数，求出运来苹果的质量。 【详解】100÷5＝20（千克） 20×6＝120（千克） 答：运来苹果120千克。 【例题2】一块长方形菜地的周长是280米，长与宽的比是4∶3，王红计算后说∶“这块长方形菜地的面积是1920平方米。”你认为王红计算的结果正确吗？请写出你的理由。 【答案】不正确；理由见详解 【分析】已知周长是280米，则长＋宽＝280÷2＝140（米）；长与宽的比是4∶3，则长是长与宽的和的，宽是是长与宽的和的，先用乘法算出长和宽分别是多少，再根据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算，即可求出这块长方形菜地的面积是多少，据此解答。 【详解】280÷2＝140（米） 140× ＝140× ＝80（米） 140× ＝140× ＝60（米） 60×80＝4800（平方米） 1920平方米≠4800平方米 答：这块长方形菜地的面积是4800平方米，所以王红计算的结果不正确。 【例题3】小张出资4万元，小刘出资5万元合开了一家商店，年终盈利共4.5万元。两人按出资的比例来分配盈利，小张、小刘各得多少万元？ 【答案】2万元；2.5万元 【分析】先求出小张、小刘出资的比，再用盈利的总钱数除以小张、小刘出资的比的份数和，求出1份是多少万元，再分别乘二人各自的份数即可解答。 【详解】小张、小刘出资的比是4∶5 4.5÷（4＋5） ＝4.5÷9 ＝0.5（万元） 0.5×4＝2（万元） 0.5×5＝2.5（万元） 答：小刘得2万元，小刘得2.5万元。 试卷第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习专题06：比的认识 思维导图 考点清单 考点一、比的意义 1.核心定义：两个数相除又叫做两个数的比。表示两个数之间的倍比关系，不表示具体数量。 例：男生人数 30 人，女生人数 20 人，男生人数与女生人数的比是 30:20（或化简为 3:2），表示男生人数是女生人数的 2.适用场景：用于描述两个同类量（如长度、人数、质量）或相关联量（如路程与时间）的关系，非同类量（无关联）不能作比。 考点二、比的各部分名称及读写 1.组成要素： 比的符号：“:”（读作 “比”）； 前项：比号前面的数（表示被比较的量）； 后项：比号后面的数（表示比较的标准量）； 比值：比的前项除以后项所得的商（可以是整数、小数、分数）。 例：在a:b=c中，a是前项，b是后项，c是比值（c=a÷b）。 2.读写方法： 读作：“a比b”（如 3:2 读作 “3 比 2”）； 写作：可以用 “a:b” 或分数形式 （注意：分数形式表示比时，仍读作 “a比b”，区别于普通分数）。 考点三、比与分数、除法的关系 1.对应关系（核心等式）： 比的部分 分数部分 除法部分 前项（a） 分子（a） 被除数（a） 比号（:） 分数线（—） 除号（÷） 后项（b） 分母（b） 除数（b） 比值（c） 分数值（c） 商（c） 2.关键区别： 比：表示两个数的关系（如 3:2）； 分数：表示一个数 除法：表示一种运算（如 3÷2）。 3.共同限制：比的后项、分数的分母、除法的除数都不能为 0（因为 0 不能作除数）。 考点四、比的基本性质 1.性质内容：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0 除外），比值不变。 字母表示：若a:b = c，则(a×k):(b×k) = c，(a÷k):(b÷k) = c（k≠0）。 2.核心作用：化简比的依据（将比化为最简整数比）。 考点五、化简比与求比值 1. 化简比 定义：把一个比化成前项和后项是互质数（只有公因数 1）的最简整数比。 结果形式：必须是 “m:n”（m、n为整数，且互质），不能是小数、整数或分数。 化简方法： 整数比（如 12:18）：前项后项同时除以最大公因数（12 和 18 的最大公因数是 6，化简为 2:3）； 小数比（如 0.4:0.6）：先转化为整数比（同时乘 10 得 4:6），再化简（2:3）； 分数比：先转化为整数比（同时乘分母最小公倍数 15 得 10:12），再化简（5:6）； 混合比 2. 求比值 定义：计算比的前项除以后项的商。 结果形式：可以是整数（如 6:2 的比值是 3）、小数（如 4:5 的比值是 0.8）或分数（如 3:7 的比值 计算方法：直接用前项 ÷ 考点六、比的应用（按比例分配） 1.问题特征：已知总量和各部分量的比，求各部分量的具体数值。 2.解题步骤： 第一步：求总份数（各部分比的和）； 第二步：求每份的量（总量 ÷ 总份数）； 第三步：求各部分的量（每份的量 × 对应部分的比的份数）。 3.拓展场景： 已知部分量和对应比，求总量（部分量 ÷ 对应份数 × 总份数）； 已知两个部分量的差和比，求各部分量或总量（差 ÷ 份数差 × 对应份数）。 4.实例：把 30 千克水果按 2:3 分给甲、乙两人，甲分得30÷(2+3)×2=12千克，乙分得30÷(2+3)×3=18千克。 易错归纳 一、概念理解类易错点 1.混淆 “比” 与 “比值” 的意义 错误： 正确：3:2 是比（表示示具体数值）；化简比结果必须是 “m:n” 形式（如 3:2）。 2.误解 “比的后项不能为 0” 错误：认为 “体育比赛中的比分 2:0，说明比的后项可以为 0”。 正确：体育比赛的 “比分” 是双方得分的记录，不表示两个数相除的关系（2:0 不代表 2÷0），与数学中的 “比” 本质不同，数学中的比后项仍不能为 0。 4.非同类量作比 错误：计算 “小明身高 150cm，体重 40kg，身高与体重的比是 150:40”。 正确：身高（长度单位）和体重（质量单位）是不同类量，无倍比关系，不能作比。 二、性质应用类易错点 1.比的基本性质遗漏 “0 除外” 错误：化简比时，前项后项同时除以 0（如 10:5=(10÷0):(5÷0)）；或同时乘 / 除不同的数（如 8:4=(8×2):(4×3)=16:12）。 正确：比的前项和后项必须同时乘 / 除相同的数（0 除外） ，比值才不变；0 不能作除数，因此不能乘除 0。 2.化简分数比时方法错误 错误：直接用前项分母除以后项分母结果为比值而非最简比）。 正确：分数比需先乘分母最小公倍数转化为整数比，再化简 三、化简与求比值混淆类易错点 1.结果形式混淆 错误：求比值时写成比的形式（如求 4:6 的比值，结果写成 2:3）；化简比时写成数值形式（如化简 4:6。 区分技巧：“求比值” 求的是 “商”（结果是一个数），“化简比” 化的是 “关系”（结果是一个比）。 2.计算过程混淆 错误：化简比时用前项 ÷ 后项（如化简 6:4，计算 6÷4=1.5，直接作为结果）。 正确：化简比需通过 “乘除相同数” 转化为最简整数比，求比值才用 “前项 ÷ 后项”。 四、实际应用类易错点 1.按比例分配时总份数计算错误 错误：已知比为a:b:c，总份数算成a+b（遗漏c）；或把比的份数当作具体数量（如比为 2:3，直接用总量 ×2 或 ×3）。 正确：总份数是所有比的份数之和（a+b+c）；需先求 “每份的量”，再乘对应份数。 3.比的前后项顺序颠倒 错误：“甲与乙的比是 3:2”，计算时误按 2:3 分配（如甲应分 3 份，误分 2 份）。 正确：严格按照题目描述的 “前项：后项” 对应分配，“甲与乙的比是 3:2” 表示甲占 3 份，乙占 2 份。 4.单位不统一就按比例分配 错误：已知长方形长 2 米、宽 50 厘米，按长：宽 = 2:50 分配周长（单位未统一）。 正确：先统一单位（2 米 = 200 厘米，长：宽 = 200:50=4:1），再进行后续计算。 5.忽略 “部分量与比的对应关系” 错误：已知甲、乙的比是 3:5，甲比乙少 10，直接用 10÷(5-3)=5，认为甲是 5，乙是 10（未乘对应份数）。 正确：每份的量是 10÷(5-3)=5，甲是 5×3=15，乙是 5×5=25。 五、特殊情况类易错点 1.单一量的比化简错误 错误：把 “1 小时：30 分钟” 化简为 1:30（单位未统一）。 正确：先统一单位（1 小时 = 60 分钟），再化简为 60:30=2:1。 2.连比化简时方法错误 错误：化简连比 3:6:9，先化简 3:6=1:2，再化简 6:9=2:3，最终写成 1:2:3（步骤正确，但需确保每一步都同时化简所有项）。 正确：连比需同时除以所有项的最大公因数（3:6:9=（3÷3）:（6÷3）:（9÷3）=1:2:3），确保各项互质。 3.混淆 “比的应用” 与 “分数乘法” 错误：“甲是乙，误转化为甲：乙 = 5:3（前后项颠倒）。 正确：“甲是乙，因此甲：乙 = 3:5。 典例精析 典例一：比的意义 【例题1】六（1）班女生人数是男生人数的，则女生人数与男生人数的比是( )，男生人数与全班人数的比是( )。 【例题2】大小两个圆的半径比是4∶3，则两圆的周长比是( )，两圆的面积比是( )。 【例题3】如图，小圆与大圆的半径比是( )；已知阴影部分的面积是7.2dm2，小圆面积是( )dm2。 典例二：比的读法、写法及各部分的名称 【例题1】9∶6＝1.5，9是比的( )，6是比的( )，1.5是比的( )。 【例题2】两个数( )，又叫两个数的比，如：24÷7写作( )，读作( )，其中( )是这个比的前项，( )是这个比的后项。 【例题3】如果x：y=c，那么x是比的 ，y是比的 ，c是比的 ． 典例三：求比值 【例题1】求比值。 ∶＝    ∶0.8＝ 【例题2】求比值。 144∶72    1.28∶0.32 【例题3】求比值。                   典例四：比与分数除法的关系 【例题1】（    ）＝（    ）∶32＝（    ）（填小数）。 【例题2】4÷5＝＝24∶（      ）＝（      ）%＝（      ）折＝（      ）（小数）。 【例题3】一个比的比值是6，如果这个比的前项扩大为原来的2倍，后项缩小为原来的，变化后的比值是( )。 典例五：比的基本性质 【例题1】如果5∶9的后项加上27，要使比值不变，前项应该加上( )。 【例题2】在5∶3这个比中，比的前项加上10，要使比值不变，比的后项应加上( )。 【例题3】在7∶9中，比的前项增加14，要使比值不变，比的后项应增加( )。 典例六：比的化简 【例题1】化简比。 4∶＝    0.25∶0.125＝ 【例题2】把下面各比化成最简整数比。 28∶36＝              1.5∶0.45＝                             【例题3】把下面各比化成最简单的整数比。                          典例七：按比分配问题 【例题1】一种混凝土由水泥、黄沙和石子配制而成。三种材料的配比是。如果这三种材料各有36吨，当黄沙全部用完时，水泥还剩多少吨？ 【例题2】王伯伯家里的菜地一共有450平方米，准备用种西红柿。剩下的按2∶3的面积比种黄瓜和茄子，三种蔬菜的面积分别是多少平方米？ 【例题3】刺梨被誉为“维C之王”，是贵州的一种特产水果。妈妈调制一款刺梨果汁，刺梨膏和水的质量比是3∶7，要调制这样的刺梨果汁200克，需要刺梨膏多少克？ 典例八：比的应用 【例题1】商店运来的橘子和苹果的质量的比是5∶6，已知运来橘子100千克，运来苹果多少千克？ 【例题2】一块长方形菜地的周长是280米，长与宽的比是4∶3，王红计算后说∶“这块长方形菜地的面积是1920平方米。”你认为王红计算的结果正确吗？请写出你的理由。 【例题3】小张出资4万元，小刘出资5万元合开了一家商店，年终盈利共4.5万元。两人按出资的比例来分配盈利，小张、小刘各得多少万元？ 试卷第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $