4.3.1 等比数列的概念（2）课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.3.1等比数列的性质 1.若{an} 是公比为q的等比数列，c为常数，则下列数列是等比数列吗？若是，公比是什么？ (1){} ; (2){} ; (3){c} ; (4){+c} ; (5){· } ; (6){} . 2.若{an}是各项为正数的等比数列，则下面的数列是等比数列吗？ √ √ √ (1){} ; (2){l}. √ 热身练习 例3 3、 已知数列的首项. （1）若为等差数列，公差，证明数列为等比数列； （2）若为等比数列，公比，证明数列为等差数列. 热身练习 4、若数列{an}为等比数列，证明：若p＋q＝s＋t(p、q、s、t∈N*)，则ap·aq＝as·at 热身练习 等比数列的性质 题型一　等比数列性质的应用 题型一　等比数列性质的应用 题型一　等比数列性质的应用 题型一　等比数列性质的应用 A 16 题型一　等比数列性质的应用 题型二　等差等比的综合应用 题型二　等差等比的综合应用 题型二　等差等比的综合应用 题型二　等差等比的综合应用 例3. 用 10 000元购买某个理财产品一年. （1）若以月利率的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？ （2）若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的 利息不少于按月结算的利息（精确到）？ 分析：复利是指把前一期的利息与本金之和算作本金，再计算下一期的利息.所以若原始本金为元，每期的利率为，则从第一期开始，各期的本利和, ，…构成等比数列. 题型三、等比数列的实际应用 解：（1）设这笔钱存个月以后的本利和组成一个数列， 则是等比数列， 首项，公比， 所以. 所以，12个月后的利息为（元）.   题型三、等比数列的实际应用 解：（2）设季度利率为，这笔钱存个季度以后的本利和组成一个 数列，则也是一个等比数列， 首项 ，公比为， 于是 . 因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为 元. 解不等式，得. 所以，当季度利率不小于时，按季结算的利息不少于按月结算的利息. 题型三、等比数列的实际应用 例4.某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为.从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品.1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高，产品合格率比前一个月增加，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？ 分析：设从今年1月起各月的产量及合格率分别构成数列，,则各月不合格品的数量构成数列，由题意可知，数列是等比数列，数列是等差数列,由于数列既非等差数列又非等比数列，所以可以先列表观察规律，再寻求问题的解决方法. 题型三、等比数列的实际应用 解：（1）设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列，由题意，知 ， 则从今年1月起，各月不合格产品的数量是 （ ） .由计算工具计算（精确到0.1），并列表   题型三、等比数列的实际应用 观察发现，数列先递增，在第6项以后递减，所以只要设法证明当时，递减，且<100即可. 由 ， 得. 所以，当时，递减 又 <100, 所以当24时, <100 所以，生产该产品一年后，月不合格的数量能控制在100个以内. 题型三、等比数列的实际应用 课堂小结 1、知识点 2、题型与方法 3、重难点、易错点 [例1] 已知{an}为等比数列． (1)若an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5； (2)若an＞0，a5a6＝9，求log3a1＋ log3a2＋…＋log3a10的值． [迁移1]在例1(1)中，添加条件a1a7＝4，求an. 解　由等比数列的性质得a1a7＝a3a5＝4，又由例1(1)知a3＋a5＝5，解得a3＝1，a5＝4或a3＝4，a5＝1． 若a3＝1，a5＝4，则q＝2，an＝2n－3； 若a3＝4，a5＝1，则q＝eq \f(1,2)，an＝25－n. [迁移2]把例1(2)的条件改为“公比q等于3，a1a2a3…a30＝3300”，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值． 解　a1a2a3…a30＝(a1a2a3…a10)·q100(a1a2a3…a10)·q200(a1a2a3…a10)＝q300(a1a2a3…a10)3＝3300，又q＝3， 所以a1a2a3…a10＝1， 所以log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝ log3(a1a2…a10)＝log31＝0. ————————————•　规律方法　•———————————— 在等比数列的性质中，以“下标和”性质的应用最多、最灵活，使用时要区别其与等差数列“下标和”性质，比较如下表： 等差数列 等比数列 条件 m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*) 结论 am＋an＝ap＋aq＝2ak am·an＝ap·aq＝aeq \o\al(2,k) [训练1](1)在等比数列{an}中，a6·a12＝6，a4＋a14＝5，则eq \f(a25,a5)＝(　　)． A．eq \f(9,4)或eq \f(4,9) B．eq \f(3,2) C．eq \f(3,2)或eq \f(2,3) D．eq \f(3,2)或eq \f(9,4) (2)在公差不为零的等差数列{an}中，2a3－aeq \o\al(2,7)＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝ . [例2]已知{an}为等差数列，且a1＋a3＝8，a2＋a4＝12. (1)求{an}的通项公式； (2)记{an}的前n项和为Sn，若a1，ak，Sk＋2成等比数列，求正整数k的值． 解　(1)设数列{an}的公差为d，由题意知 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2a1＋2d＝8，,2a1＋4d＝12，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝2，,d＝2，)) 所以an＝a1＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n. (2)由(1)可得Sn＝eq \f(na1＋an,2)＝eq \f(n2＋2n,2)＝n(1＋n)． 因为a1，ak，Sk＋2成等比数列，所以aeq \o\al(2,k)＝a1Sk＋2，所以(2k)2＝2(k＋2)(k＋3)， 即k2－5k－6＝0，解得k＝6或k＝－1(舍去)，所以k＝6. 练习、在公差为d(d≠0)的等差数列{an}和公比为q的等比数列{bn}中，已知a1＝b1＝1，a2＝b2，a8＝b3. (1)求d，q的值； (2)是否存在常数a，b，使得对任意n∈N*，都有an＝logabn＋b成立？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由． ————————————•　规律方法　•———————————— 解决等差数列与等比数列综合问题的注意点 (1)注意等差数列、等比数列性质的灵活运用． (2)注意基本量及方程思想的应用． (3)注意问题的转化，利用非等差数列(非等比数列)构造等差数列(等比数列)，以便利用公式和性质解题． $