精品解析：江西省南昌市第二中学2025-2026学年高三上学期周测（八）数学试题

南昌二中2025-2026学年度上学期高三数学周练（八） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法化简可得出复数，利用共轭复数的定义以及复数的模长公式可求得结果. 【详解】因为，则，所以，， 所以，. 故选：D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先化简集合，再由交集运算即可求解． 【详解】， 因为，则，可得：， 因此， 所以． 故选：D 3. 抛物线的准线与双曲线的渐近线交于点，且有一个公共的焦点，则双曲线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据在渐近线上可求得，结合抛物线准线可得其焦点坐标，由此可构造方程求得，进而得到双曲线方程. 【详解】由双曲线方程知其渐近线方程为：， 在双曲线的一条渐近线上，又，，即； 由题意知：抛物线准线为：，抛物线的焦点为， ，解得：， 双曲线方程为：，即. 故选：D. 4. 如图，正方形的边长为，为边的中点，为边上一点，当取得最大值时，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建系设，应用数量积的坐标运算得出，最后应用两角差的正切公式计算求解. 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系如图所示，则，． 设，则，，故，． 所以，当时，取得最大值， 此时． 故选：B． 5. 设命题：“直四棱柱中，平面与对角面垂直”；命题乙：“直四棱柱是正方体”，那么，甲是乙的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 即非充分又非必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由面面垂直的判定即可知甲是乙的必要非充分条件. 【详解】如图所示： 充分性：若是菱形，则有， 而几何体为直四棱柱， 所以平面，平面， 所以，，平面， 所以平面，而平面， 所以平面与对角面垂直， 此时直四棱柱不是正方体，不满足充分性； 必要性：若直四棱柱是正方体， 则有， 平面，平面， 所以，，平面， 所以平面，而平面， 所以平面与对角面垂直，满足必要性. 所以甲是乙的必要非充分条件. 故选：C 6. 已知圆：，直线：，点，点P在圆上运动，点Q满足（为坐标原点），则点Q到直线距离的最大值为（ ） A. B. 8 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，由得，进而得，利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】设，由有， 所以，又点在圆上，所以， 即，所以点在以为半径，圆心为的圆上， 由圆心到直线的距离为， 所以点到直线的距离的最大值为：， 故选：A. 7. 已知圆台的上、下底面圆均在体积为的球的球面上，若圆台的下底面圆的半径与母线长均为上底面圆半径的2倍，则该圆台的表面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可设圆台的上、下底面圆的半径分别为，则其母线长为，可求得高，进而计算下底面圆心到上底面圆周上任意一点的距离，看到正好等于下底面圆的半径，由此得到球心位置，进而得到球的半径为，结合球的体积可求得，进而求得圆台的表面积即可. 【详解】由题意设圆台的上、下底面圆的半径分别为，则其母线长为， 可得高为， 所以下底面圆心到上底面圆周上任意一点的距离为， 又因为下底面圆的半径也等于，所以下底面圆心正好就是已知球的球心，所以球的半径为. 已知该球的体积为，由球的体积公式得，解得. 所以该圆台的表面积. 故选：C． 8. 已知关于的方程且在上恰好有两个不等的实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将已知方程根据指数幂与对数转换为同结构的式子，，从而构造函数，利用单调性化简方程为，结合对数与指数函数关系，取对数运算转换为有两个根，根据函数的单调性确定函数取值情况，从而可得实数的取值范围. 【详解】对得， 而函数在上为增函数， 所以，对两边同时取自然对数， 得，即， 所以与图象恰好有两个交点， 又，则在单调递增；在单调递减， 而，当时，，当时，， 故， 故实数的取值范围为. 故选：B. 【点睛】思路点睛：根据函数方程化同结构函数值的式子结合单调性化简成自变量之间的关系式，遇到方程可两边取自然底数的对数，将参数方程转换为参变分离的结构，从而构造新函数结合导数求单调性与取值情况，即可得参数范围. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 在正三棱柱中，，为中点，点是线段上的动点，则（ ） A. B. 有且仅有一个点，使得 C. 有且仅有一个点，使得 D. 有且仅有一个点，使得平面平面 【答案】AD 【解析】 【分析】根据线线平行、线线垂直、面面平行的判定逐项判定即可. 【详解】对于选项A： 因为正三棱柱，所以平面， 因为平面，所以， 因为平面， 所以平面，又平面， 所以，所以A正确； 对于选项B： 如图建立空间直角坐标系，设，，则. 则，要使得， 那么，无解，所以不存在点使得，所以B错误； 对于选项C： ，要使得， 那么，所以，解得或， 所以存在两个点使得，所以C错误； 对于选项D： ，所以， 设平面的法向量为，则. 得到，令，则，所以. ， 设平面的法向量为，则. 得到，令，则，所以， 要使得两平面平行，则，解得， 所以有且仅有一个点使得平面平面，所以D正确. 故选：AD. 10. 某高中一年级有3个班级，（1）班、（2）班、（3）班的学生人数之比为.在某次数学考试中，（1）班的及格率为，（2）班的及格率为，（3）班的及格率为，从该校随机抽取一名高一学生.记事件“该学生本次数学为试及格”，事件“该学生在高一（i）班”，则（ ） A. B. 与均不相互独立 C. D. 若从这次高一年级数学考试及格的学生中随机抽取一人，则该同学来自（1）班的概率最大 【答案】AC 【解析】 【分析】根据全概率公式计算判断A，根据独立事件的概率乘法公式计算判断B，根据条件概率公式计算判断C，根据古典概型概率公式计算判断D. 【详解】由题意，， ， 则，故A正确； 由，则，所以与相互独立，故B错误； 因为，所以，所以，故C正确； 由题意这次高一年级数学考试中，（1）班、（2）班、（3）班学生中及格人数之比为， 所以从这次高一年级数学考试及格的学生中随机抽取一人，则该同学来自（1）班的概率为， 该同学来自（2）班的概率为，该同学来自（3）班的概率为， 所以该同学来自（3）班的概率最大，故D错误. 故选：AC 11. 设函数，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的一个正周期为 C. 的一个单调减区间是 D. 函数在区间上有2026个零点，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正弦型函数的对称性、周期性、零点，结合诱导公式、辅助角公式、余弦型函数的单调性逐一判断即可. 【详解】因为， 所以的图象关于直线对称，因此选项A正确； 因为， 所以的一个正周期为，因此选项B正确； 当时，， 因为， 所以此时函数单调递增，因此选项C错误； 要想有最小值，只需都是零点， 因为该函数是以为周期的周期函数， 所以我们可以假设， 当时，， 令 ， 因此当时， 假设时，要想有2026个零点只需， 此时， 若时，要想有2026个零点只需， 此时， 因为， 所以的最小值为，因此选项D正确， 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 展开式中的常数项是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，先求得二项式的展开式的通项公式为，进而求得展开式的常数项，得到答案. 【详解】由二项式的展开式的通项公式为， 所以， 所以当时有常数项，当时有常数项， 所以所求展开式的常数项为. 故答案为：. 13. 在中，将角所对边的边长分别记作.设.若，，则的面积为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】由余弦定理及已知条件，整理得到的值，然后求，由三角形面积公式即可求得结果. 【详解】由余弦定理得， ∵，，∴，即， 整理得，即，所以， ∵，∴， ∴. 故答案为：. 14. 在三棱锥中，，，，，且，则二面角的余弦值的最小值为______ 【答案】 【解析】 【分析】首先得、的轨迹方程，进一步作二面角的平面角为，结合轨迹的参数方程以及余弦定理、基本不等式即可求解，注意取等条件. 【详解】因为，所以，且，可得， 所以，，点的轨迹方程为， 又因为，则，且，则， 所以点的轨迹方程为（双曲线的一支）， 过点在平面内作，垂足为点，连接， 因为，而，、面，所以面， 因为平面，则，则二面角的 平面角为， 设为中点，因为点在椭圆上，设，所以，， 因为在双曲线上，，所以， 所以 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，二面角的余弦值的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 随着双休政策的推进，某同学记录了2025年4~5月份连续6个双休日某校积极参与运动的同学人数（单位：人），6个双休日分别用1~6表示，并绘制表格如下. 1 2 3 4 5 6 248 282 370 420 440 520 （1）经过统计分析，发现与具有线性相关关系，求出关于的线性回归方程；（系数精确到0.1） （2）从这6个双休日积极参与运动的同学人数中随机抽取3个数据，记最大的数据为，求的分布列及数学期望. 附：回归方程，其中，． 【答案】（1） （2） 370 420 440 520 ； 【解析】 【分析】（1）先求得，，根据公式得到，由回归方程过样本中心点知，继而求得，即可得到回归方程； （2）由题知的取值可能为370，420，440，520，根据古典概型及组合数分别计算对应概率，列出分布列并计算期望即可. 【小问1详解】 ，， ， ， 所以关于的线性回归方程为. 【小问2详解】 根据题意，的取值可能为370，420，440，520， ， ， ， ， 的分布列为： 370 420 440 520 期望. 16. 已知数列的前项和为，且，. （1）证明：数列是等差数列并求通项； （2）给定正整数，设函数，求. 【答案】（1） 由， 则， 则， 则，即，， 又，所以，， 则数列是以为首项，1为公差的等差数列， 所以，则. （2） 【解析】 【分析】（1）由题设结合与的关系可得，再利用等差数列的定义即可求证以及求出； （2）由（1）得，求导得，进而利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得， 所以， 故， 可得①， 所以②， 由①②得： ， 所以. 17. 已知以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴的椭圆经过点，． （1）求椭圆的标准方程． （2）设过点的直线与交于，两点，点在轴上，且，是否存在常数使？如果存在，请求出；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在实数满足题意. 【解析】 【分析】(1)设出椭圆标准方程，将给定点的坐标代入列出方程组，求解即得； (2)直线斜率存在时，设出的方程，联立与的方程消元，借助韦达定理求出线段MN长，再求出QF长即可，验证斜率不存在时即可判断作答. 【详解】（1）设椭圆的标准方程为，因点，在椭圆上， 则有，解得，， 所以椭圆的标准方程为； （2）显然点为椭圆的右焦点，当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由消去y并整理得：， 设，，则，， 于是得， 而，则线段的中点坐标为， 因为点在轴上，且，则为线段的垂直平分线与轴的交点， 当时，，，则， 当时，线段的垂直平分线方程为， 令，得，即，则有，于是得， 当直线的斜率不存在时，，取或能满足， 综上所述，存在实数满足题意. 18. 如图，在四棱锥中，，，，为的中点，，，点在线段上. （1）证明：平面； （2）已知四点均在球的球面上. （i）证明：三点共线； （ii）若直线与平面所成角的正弦值为，求. 【答案】（1）如图，连接，因为，为的中点， 所以，又，故， 所以， 又，，则，故， 又，，平面，平面， 所以平面，平面，所以， 又，，平面，平面， 所以平面， （2）（i）法一：如图，以为原点，，，分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，设， 由得，， 解得，，所以点的坐标为，则，故， 又为，的公共点，故三点共线， 法二：不妨记为的中点，为的中点，连接，则， 由（1）平面，所以平面， 由，可知， 易知直线上任一点到三点的距离相等，故， 同理由，知过点且垂直于平面的直线上任一点到三点的距离相等，故， 由，所以点即为点，于是三点共线， （ii）. 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求，并证明，根据线面垂直判定定理证明平面，由此可得，结合条件，根据线面垂直判定定理证明平面， （2）（i）法一：以为坐标原点，，，的正方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，设，根据关系，列方程求点的坐标，再证明，由此可证明结论，法二：不妨记为的中点，为的中点，证明，再证明点在过点且垂直于平面的直线上，由此证明点与点重合，由此可证结论；（ii）不妨设，求直线的方向向量和平面的法向量，结合向量夹角公式求直线与平面所成角的正弦值，由条件列方程求，由此可得结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 (i)略 （ii）如图，连接，不妨设， 则，，， 设平面的法向量为，则， 即，取，可得，， 所以为平面的一个法向量， 设直线与平面所成的角为，， 所以， 由已知，所以，解得或（舍去）， 故. 19. 已知函数. （1）证明：曲线在点处的切线恒过定点，并求出该定点坐标； （2）若存在使得，记的导函数为. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【答案】（1） 由题意可知：函数的定义域为，且， 则，，即切点坐标为，切线斜率， 所求切线方程为，即， 令，解得， 所以切线恒过定点. （2） （i）； （ii）设，构建， 则， 记的导函数为，的导函数为， 且的导函数为，的导函数为， 则，且， 因为，且， 又因为， 且在内恒成立， 若，则，可得， 可知在内单调递增，则， 可知在内单调递增，则， 若，则，可知在内单调递增，不合题意； 所以； 若，由（i）可知：直线与在内存在唯一交点横坐标为， 则，由单调性可得， 可得， 因为在内单调递减，在内单调递增， 可得， ， 所以； 综上所述：. 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求切线方程，进而分析定点； （2）（i）求导，分析讨论分析函数的单调性，结合单调性分析求解；（ii）构建设，构建，求导，分类讨论分析的符号分析证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 构建，则， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，所以. （i）构建，则， ①若，则，可知在内单调递增， 且，当趋近于时，趋近于， 可知在定义域内存在唯一零点， 当时，，即；当时，，即； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则至多存在两个实数，使得，不合题意； ②若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，即， 若，则，即， 可知在定义域内单调递增，不合题意； 若，则， 当时，则； 当时，则； 可知在和内分别存在一个零点， 当时，；当时，； 可知在内单调递增，在内单调递减， 且当趋近于0时，趋近于，当趋近于时，趋近于，符合题意； 综上所述：实数的取值范围； （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌二中2025-2026学年度上学期高三数学周练（八） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的准线与双曲线的渐近线交于点，且有一个公共的焦点，则双曲线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，正方形的边长为，为边的中点，为边上一点，当取得最大值时，（ ） A. B. C. D. 5. 设命题：“直四棱柱中，平面与对角面垂直”；命题乙：“直四棱柱是正方体”，那么，甲是乙的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 即非充分又非必要条件 6. 已知圆：，直线：，点，点P在圆上运动，点Q满足（为坐标原点），则点Q到直线距离的最大值为（ ） A. B. 8 C. D. 7. 已知圆台的上、下底面圆均在体积为的球的球面上，若圆台的下底面圆的半径与母线长均为上底面圆半径的2倍，则该圆台的表面积为（　　） A. B. C. D. 8. 已知关于的方程且在上恰好有两个不等的实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 在正三棱柱中，，为中点，点是线段上的动点，则（ ） A. B. 有且仅有一个点，使得 C. 有且仅有一个点，使得 D. 有且仅有一个点，使得平面平面 10. 某高中一年级有3个班级，（1）班、（2）班、（3）班的学生人数之比为.在某次数学考试中，（1）班的及格率为，（2）班的及格率为，（3）班的及格率为，从该校随机抽取一名高一学生.记事件“该学生本次数学为试及格”，事件“该学生在高一（i）班”，则（ ） A. B. 与均不相互独立 C. D. 若从这次高一年级数学考试及格的学生中随机抽取一人，则该同学来自（1）班的概率最大 11. 设函数，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的一个正周期为 C. 的一个单调减区间是 D. 函数在区间上有2026个零点，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 展开式中的常数项是___________． 13. 在中，将角所对边的边长分别记作.设.若，，则的面积为___________． 14. 在三棱锥中，，，，，且，则二面角的余弦值的最小值为______ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 随着双休政策的推进，某同学记录了2025年4~5月份连续6个双休日某校积极参与运动的同学人数（单位：人），6个双休日分别用1~6表示，并绘制表格如下. 1 2 3 4 5 6 248 282 370 420 440 520 （1）经过统计分析，发现与具有线性相关关系，求出关于的线性回归方程；（系数精确到0.1） （2）从这6个双休日积极参与运动的同学人数中随机抽取3个数据，记最大的数据为，求的分布列及数学期望. 附：回归方程，其中，． 16. 已知数列的前项和为，且，. （1）证明：数列是等差数列并求通项； （2）给定正整数，设函数，求. 17. 已知以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴的椭圆经过点，． （1）求椭圆的标准方程． （2）设过点的直线与交于，两点，点在轴上，且，是否存在常数使？如果存在，请求出；如果不存在，请说明理由． 18. 如图，在四棱锥中，，，，为的中点，，，点在线段上. （1）证明：平面； （2）已知四点均在球的球面上. （i）证明：三点共线； （ii）若直线与平面所成角的正弦值为，求. 19. 已知函数. （1）证明：曲线在点处的切线恒过定点，并求出该定点坐标； （2）若存在使得，记的导函数为. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $