江西省南昌市第二中学2025-2026学年高三上学期周测（八）数学试题

南昌二中2025-2026学年度上学期高三数学周练（八） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的准线与双曲线的渐近线交于点，且有一个公共的焦点，则双曲线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，正方形的边长为，为边的中点，为边上一点，当取得最大值时，（ ） A. B. C. D. 5. 设命题：“直四棱柱中，平面与对角面垂直”；命题乙：“直四棱柱是正方体”，那么，甲是乙的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 即非充分又非必要条件 6. 已知圆：，直线：，点，点P在圆上运动，点Q满足（为坐标原点），则点Q到直线距离的最大值为（ ） A. B. 8 C. D. 7. 已知圆台的上、下底面圆均在体积为的球的球面上，若圆台的下底面圆的半径与母线长均为上底面圆半径的2倍，则该圆台的表面积为（　　） A. B. C. D. 8. 已知关于的方程且在上恰好有两个不等的实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 在正三棱柱中，，为中点，点是线段上的动点，则（ ） A. B. 有且仅有一个点，使得 C. 有且仅有一个点，使得 D. 有且仅有一个点，使得平面平面 10. 某高中一年级有3个班级，（1）班、（2）班、（3）班的学生人数之比为.在某次数学考试中，（1）班的及格率为，（2）班的及格率为，（3）班的及格率为，从该校随机抽取一名高一学生.记事件“该学生本次数学为试及格”，事件“该学生在高一（i）班”，则（ ） A. B. 与均不相互独立 C. D. 若从这次高一年级数学考试及格的学生中随机抽取一人，则该同学来自（1）班的概率最大 11. 设函数，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的一个正周期为 C. 的一个单调减区间是 D. 函数在区间上有2026个零点，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 展开式中的常数项是___________． 13. 在中，将角所对边的边长分别记作.设.若，，则的面积为___________． 14. 在三棱锥中，，，，，且，则二面角的余弦值的最小值为______ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 随着双休政策的推进，某同学记录了2025年4~5月份连续6个双休日某校积极参与运动的同学人数（单位：人），6个双休日分别用1~6表示，并绘制表格如下. 1 2 3 4 5 6 248 282 370 420 440 520 （1）经过统计分析，发现与具有线性相关关系，求出关于的线性回归方程；（系数精确到0.1） （2）从这6个双休日积极参与运动的同学人数中随机抽取3个数据，记最大的数据为，求的分布列及数学期望. 附：回归方程，其中，． 16. 已知数列的前项和为，且，. （1）证明：数列是等差数列并求通项； （2）给定正整数，设函数，求. 17. 已知以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴的椭圆经过点，． （1）求椭圆的标准方程． （2）设过点的直线与交于，两点，点在轴上，且，是否存在常数使？如果存在，请求出；如果不存在，请说明理由． 18. 如图，在四棱锥中，，，，为的中点，，，点在线段上. （1）证明：平面； （2）已知四点均在球的球面上. （i）证明：三点共线； （ii）若直线与平面所成角的正弦值为，求. 19. 已知函数. （1）证明：曲线在点处的切线恒过定点，并求出该定点坐标； （2）若存在使得，记的导函数为. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 南昌二中2025-2026学年度上学期高三数学周练（八） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】AD 【10题答案】 【答案】AC 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2） 370 420 440 520 ； 【16题答案】 【答案】（1） 由， 则， 则， 则，即，， 又，所以，， 则数列是以为首项，1为公差的等差数列， 所以，则. （2） 【17题答案】 【答案】（1）；（2）存在实数满足题意. 【18题答案】 【答案】（1）如图，连接，因为，为的中点， 所以，又，故， 所以， 又，，则，故， 又，，平面，平面， 所以平面，平面，所以， 又，，平面，平面， 所以平面， （2）（i）法一：如图，以为原点，，，分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，设， 由得，， 解得，，所以点的坐标为，则，故， 又为，的公共点，故三点共线， 法二：不妨记为的中点，为的中点，连接，则， 由（1）平面，所以平面， 由，可知， 易知直线上任一点到三点的距离相等，故， 同理由，知过点且垂直于平面的直线上任一点到三点的距离相等，故， 由，所以点即为点，于是三点共线， （ii）. 【19题答案】 【答案】（1） 由题意可知：函数的定义域为，且， 则，，即切点坐标为，切线斜率， 所求切线方程为，即， 令，解得， 所以切线恒过定点. （2） （i）； （ii）设，构建， 则， 记的导函数为，的导函数为， 且的导函数为，的导函数为， 则，且， 因为，且， 又因为， 且在内恒成立， 若，则，可得， 可知在内单调递增，则， 可知在内单调递增，则， 若，则，可知在内单调递增，不合题意； 所以； 若，由（i）可知：直线与在内存在唯一交点横坐标为， 则，由单调性可得， 可得， 因为在内单调递减，在内单调递增， 可得， ， 所以； 综上所述：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $